专题08 一元二次方程根与系数的关系
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一、选择题(每题2分，共20分) |
1．(本题2分)（山东威海·八年级校考期中）一元二次方程
有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】设一元二次方程
的两个根为
，根据题意
，求解即可．
【规范解答】设一元二次方程
的两个根为
，
根据题意
，
∴解得
．
故选A．
【考点评析】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握判别式和根与系数关系定理是解题的关键．
2．(本题2分)（八年级课时练习）若关于
的一元二次方程
的两根互为倒数，则
（ ）
A．3 B．1 C．
D．
【答案】B
【思路点拨】设
、
是
的两根，根据根与系数的关系，得出
，再根据倒数的定义，得出
，再利用等量代换，得出
，求出
的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的
的值．
【规范解答】解：设
、
是
的两根，
∴根据根与系数的关系，可得：
，
∵方程
的两根互为倒数，
∴可得
，
∴
，
解得：
，
∵方程有两个实数根，
∴
，
当
时，
，
∴
符合题意，
当
时，
，
∴
不符合题意．
∴
，
故选：B．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
3．(本题2分)（八年级课时练习）两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【思路点拨】因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和
是否小于零，及两根之积
是否大于零．
【规范解答】解：A.
，
，两根均为正数；
B.
，
，两根为一正一负；
C.
，
，两根均为负数；
D.
，
，两根为一正一负．
故答案为：C．
【考点评析】本题考查了根与系数的关系：若
，
是一元二次方程
的两根时，
，
．
4．(本题2分)（八年级课时练习）如果方程
的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【思路点拨】方程
的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程
的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程
的两个根设是
和
，一定是两个正数，且一定有
，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【规范解答】解：∵方程
有三根，
∴
，
有根，方程
的
，得
．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有
，
，而
已成立；
当
时，两边平方得：
．
即：
．解得
．
∴
．
故选：D．
【考点评析】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．(本题2分)（浙江杭州·八年级翠苑中学校考期中）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程
两根为-1和2，则
；
②若
，则
；
③若
，则方程
一定无解；
④若方程
的两个实根中有且只有一个根为0，那么
，
．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【思路点拨】①根据一元二次方程根与系数的关系可得
，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【规范解答】①若方程
两根为-1和2，
则
，则
，即
；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝
＞1或a＝
＞1，
∴1﹣a＜0，
∴
；此选项符合题意；
③∵
，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
【考点评析】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．
6．(本题2分)（八年级课时练习）已知
，
是方程
的两根，则代数式
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【思路点拨】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
【规范解答】∵a与b是方程
的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵
，同理：
∴
故选：D．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
7．(本题2分)（湖南·八年级统考期末）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【答案】D
【规范解答】解：∵α方程x2-2x-4=0的实根,
∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,
∴原式=8α+8+8β+6
=8（α+β）+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,
∴α+β=2,
∴原式=8×2+14
=30,
故选D.
8．(本题2分)（江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中）已知关于
的方程
有且仅有两个不相等的实根，则实数
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
或a>0 D．
或a>0
【答案】C
【规范解答】解：原方程变形为
，这是一个以
为未知数的一元二次方程．
当|x-3|<0时，x无解；
当|x-3|=0时，只有1解；
当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解．
所以关于
的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根．
①当关于
的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得
=-2
②当关于
的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时：
，解得即a>0．
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2．
9．(本题2分)（全国·九年级专题练习）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2012 D．2011
【答案】A
【思路点拨】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．
【规范解答】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，
方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，
则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012，
又x1x2=（cd）2012-2012，
则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．
故选：A．
【考点评析】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=
，x1x2=
．
10．(本题2分)（四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（ ）
A．﹣
＜a＜
B．a＞
C．a＜﹣
D．﹣
＜a＜0
【答案】D
【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）（x2-1）＜0，x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
【规范解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，
解得
，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
那么（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，
，x1x2=9，
即
，
解得
，
综上所述，a的取值范围为：
.
故选D．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根与系数的关系为：
.
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二、填空题(每题2分，共20分) |
11．(本题2分)（江苏省无锡市东林集团九年级上学期期末数学试题）已知
，
是一元二次方程
的两根，则
______．
【答案】6
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【规范解答】解：
，
是一元二次方程
的两根，
，
故答案为：6．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
12．(本题2分)（青海西宁·九年级校考期末）若一元二次方程
的两根分别为
、
，则
______．
【答案】
【思路点拨】分别利用一元二次方程根与系数的关系求
，将后面的分式通分后再代入求值即可得答案．
【规范解答】解∶
，
．
故答案为∶
．
【考点评析】本题考查了根与系数的关系，孰练掌握
是解题的关键．
13．(本题2分)（四川达州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程
，若方程的两根之和等于两根之积，则k的值为____
【答案】
【思路点拨】设方程的两根为
，根据根的判别式得到
，解得
，根据根与系数的关系得到
，则
，可解得
，然后根据
的取值范围可确定满足条件的
的值．
【规范解答】解∶设方程的两根为
，
根据题意得
，解得
，
方程的两根之和等于两根之积，
，
，
而
，
．
故答案为：
【考点评析】本题考查了一元二次方程
的根与系数的关系∶若方程两个为
，则
．也考查了一元二次方程根的判别式．
14．(本题2分)（四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x的一元二次方程
有两个实数根
，
，若
，则
_____．
【答案】2
【思路点拨】由根与系数的关系可得出
，
，结合
可求出
的可能值，根据方程的系数结合根的判别式
可得出关于
的一元二次不等式，解之即可得出
的取值范围，进而可确定
的值，此题得解．
【规范解答】解：
关于
的一元二次方程
的两个实数根为
，
，
，
．
，即
，
，
解得：
．
关于
的一元二次方程
有实数根，
，
解得：
或
，
．
故答案为：2．
【考点评析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合
，求出
的值是解题的关键．
15．(本题2分)（浙江·九年级自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程
的解，c、d是方程
的解，则
的值为__________．
【答案】
【思路点拨】由根与系数的关系得
，
的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得
，代入可得
，同理可得
，两式相减即可得
的值，进而可得
的值．
【规范解答】解：由根与系数的关系得
，
，两式相加得
．
因为
是方程
的根，所以
，又
，
所以
①
同理可得
②
①-②得
．
因为
，所以
，所以
．
故答案为
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．
16．(本题2分)（江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
的两个根为
，则
__________．
【答案】
【思路点拨】由根与系数的关系得
，
，所以
，则
，然后代入即可求解．
【规范解答】由根与系数的关系得
，
，
所以
，
则
，
则
．
故答案为：
．
【考点评析】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
17．(本题2分)（九年级课时练习）已知a、b、c均为实数，且
，
，则
______．
【答案】4
【思路点拨】先变形得到a+b=4，ab=2c2-4
c+10，再根据根与系数的关系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-4
c+10=0的两实数解，配方后可得（x-2）2+2（c-
）2=0，得到x=2，c=
，然后计算abc的值即可；
【规范解答】∵a+b=4，ab=2c2-4
c+10
∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4
c+10=0的两实数解
∴（x-2）2+2（c-
）2=0
∴x-2=0或c-
=0
解得x=2，c=
∴ab=2×3-4
×
+10=4
∴abc=4×
=4
故答案为：4
．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．学会观察算式形式，正确写出一元二次方程是解决本题的关键．
18．(本题2分)（四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成
（
，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程
（
）与方程
是“同源二次方程”，且方程
（
）有两个根为
、
，则b－2c＝______，
的最大值是______．
【答案】 4； -3
【思路点拨】利用
（
）与方程
是“同源二次方程”得出
，
，即可求出
；利用一元二次方程根与系数的关系可得
，
，进而得出
，设
（
），得
，根据方程
有正数解可知
，求出t的取值范围即可求出
的最大值．
【规范解答】解：根据新的定义可知，方程
（
）可变形为
，
∴
，
展开，
，
可得
，
，
∴
；
∵
，
，
∴
，
∵方程
（
）有两个根为
、
，
∴
，且
，
∴
，
设
（
），得
，
∵方程
有正数解，
∴
，
解得
，即
，
∴
．
故答案为：4，-3．
【考点评析】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到
是解题的关键．
19．(本题2分)（山东德州·九年级校考期中）设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．
【答案】2017
【思路点拨】利用一元二次方程的解的定义得到α2＝﹣α+2018，则α2+2α+β＝α+β+2018，再根据根与系数的关系得到α+β＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【规范解答】解：∵α是方程x2+x﹣2018＝0的根，
∴α2+α﹣2018＝0，
∴α2＝﹣α+2018，
∴α2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018，
∵α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，
∴α2+2α+β＝﹣1+2018＝2017．
故答案为2017．
【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系.
20．(本题2分)（河南周口·九年级统考期中）一元二次方程
的两根为
，
，若
，则
______.
【答案】-7
【思路点拨】先用根与系数的关系，确定m、n的和与积，进一步确定a的值，然后将m代入
，得到
，最后再对
变形即会完成解答.
【规范解答】解：由
得：m+n=-5，mn=a，即a=2
又m是方程
的根，则有
，
所以
+（m+n）=-2-5=-7
故答案为-7.
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的解和多项式的变形，其中根据需要对多项式进行变形是解答本题的关键.
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三、解答题(共60分) |
21．(本题6分)（福建泉州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程
．
(1)不解方程，判断该方程的根的情况；
(2)设
，
是方程的两根，其中有一根不大于0，若
，求y的最大值．
【答案】(1)一定有实数根
(2)2
【思路点拨】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可判定；
(2)首先可求得
，
，再根据其中有一根不大于0，可得
，据此即可求解．
【规范解答】（1）解：
，
，
，
，
，
∴该方程一定有实数根；
（2）解：由原方程可得：
，
解得
，
．
∵方程其中一根不大于0，
．
又
，
∴
，
，
∴y的最大值为2．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键．
22．(本题6分)（内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程
有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当
时，方程的根为
，
，求代数式
的值．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到
，
，将所求式子变形为
，据此求解即可．
【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程
有实数根，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：当
，原方程即为
，
∵方程的根为
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．(本题8分)（湖南株洲·九年级统考期末）已知：关于x的一元二次方程
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为
，求m的值，并求另一根．
(3)若方程两根为
，且满足
，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
；另一根为1
(3)
【思路点拨】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明
即可；
（2）把
代入
，得：
，再根据两根之和等于
，可得另一根；
（3）根据方程两根为
，
，则变形
，解答即可．
【规范解答】（1）解：
，
，
方程总有两个实数根；
（2）把
代入
，得：
，
解得：
，
根据两根之和等于
，所以
，
另一根是1；
（3）
，
，
解得：
．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌
，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个相等的实数根；
，方程没有实数根．
24．(本题8分)（河南南阳·九年级校考阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程
的两个根分别是
，
，那么
，
．
例如：已知方程
的两根分别是
，
则
，
请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题：
(1)已知方程
的两根分别是
，
，求
和
的值；
(2)已知方程
的两根分别是
，
，且
，求
的值；
(3)已知
、
是方程
的两个根，则
________．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【思路点拨】（1）先把原方程化为一般式，再仿照题意求解即可；
（2）先仿照题意得到
，再根据
求出
的值即可得到答案；
（3）先根据题意和一元二次方程解的定义得到
，再根据所求可以变形为
进行求解即可．
【规范解答】（1）解：∵方程
，即
的两根分别是
，
，
∴
；
（2）解：∵方程
的两根分别是
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）解：∵
、
是方程
的两个根，
∴
，
∴
∴
，
故答案为：2．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
25．(本题8分)（湖北黄石·九年级校联考期末）（1）
是关于
的一元二次方程
的两实根，且
，求
的值．
（2）已知：
，
是一元二次方程
的两个实数根，设
，
，…，
．根据根的定义，有
，
，将两式相加，得
，于是，得
．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出
，
的值．
②经计算可得：
，
，
，当
时，请猜想
，
，
之间满足的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）1；（2）①
，
；②
，证明见解析
【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出
，
．由
，可得
，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；
（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出
，
，进而可求出
，
；②由一元二次方程的解的定义可得出
，两边都乘以
，得：
①，同理可得：
②，再由①+②，得：
．最后结合题意即可得出
，即
．
【规范解答】解：（1）∵
是关于
的一元二次方程
的两实根，
∴
，
，
∴
，
整理，得：
，
解得：
，
．
当
时，
，
∴此时原方程没有实数根，
∴
不符合题意；
当
时，
，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴
符合题意，
∴
的值为1；
（2）①∵
，
∴
．
∵
，
是一元二次方程
的两个实数根，
∴
，
，
∴
，
；
②猜想：
．
证明：根据一元二次方程根的定义可得出
，两边都乘以
，得：
①，
同理可得：
②，
由①+②，得：
，
∵
，
，
，
∴
，即
．
【考点评析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程
的根的判别式为
，且当
时，该方程有两个不相等的实数根；当
时，该方程有两个相等的实数根；当
时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：
和
是解题关键．
26．(本题8分)（四川资阳·九年级统考期末）定义：已知
是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若
，且
，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程
的两根为
，因
，
，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程
是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程
是“限根方程”，且两根
满足
，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程
是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为
或
【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出
，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出
，
，代入
，即可求出
，
．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
（3）解该一元二次方程，得出
或
．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出
，
且
，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【规范解答】（1）解：
，
，
∴
或
，
∴
．
∵
，
，
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程
的两个根分比为
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
解得：
，
．
分类讨论：①当
时，原方程为
，
∴
，
，
∴
，
，
∴此时方程
是“限根方程”，
∴
符合题意；
②当
时，原方程为
，
∴
，
，
∴
，
，
∴此时方程
不是“限根方程”，
∴
不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3）
，
，
∴
或
，
∴
或
．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴
，
且
，
∴
，即
，
∴
且
．
分类讨论：①当
时，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
；
②当
时，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
．
综上所述，m的取值范围为
或
．
【考点评析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键．
27．(本题8分)（安徽安庆·八年级统考期末）如果关于
的一元二次方程
有两个实数根
、
，且
，求
的值．
【答案】
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系可得
，再由
可得关于k的方程，求解该方程即可．
【规范解答】解：∵关于
的一元二次方程
有两个实数根
、
，
∴
，
∵
，
∴
．
解方程得：
，
．
∵
，
∴
．
【考点评析】本题主要考查了根与系数的关系以及求解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
28．(本题8分)（四川·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
【答案】（1）241不是喜鹊数；最小的“喜鹊数”是121；（2）满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【思路点拨】（1）由题意代入验证即可解答；
（2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【规范解答】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121；
（2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，
∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，
∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，
将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（
）2＋b（
）＋c＝0，
∴将m、
看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根，
∴m＝
，即mn＝1，
∵m＋n＝﹣2，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b＋c＝0，
∴b＝a＋c，
∵b2＝4ac，
∴（a＋c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．