专题08 一元二次方程根与系数的关系
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一、选择题(每题2分,共20分) |
1.(本题2分)(山东威海·八年级校考期中)一元二次方程
有一个正根和一个负根,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【思路点拨】设一元二次方程
的两个根为
,根据题意
,求解即可.
【规范解答】设一元二次方程
的两个根为
,
根据题意
,
∴解得
.
故选A.
【考点评析】本题考查了根的判别式,根与系数关系定理,熟练掌握判别式和根与系数关系定理是解题的关键.
2.(本题2分)(八年级课时练习)若关于
的一元二次方程
的两根互为倒数,则
( )
A.3 B.1 C.
D.
【答案】B
【思路点拨】设
、
是
的两根,根据根与系数的关系,得出
,再根据倒数的定义,得出
,再利用等量代换,得出
,求出
的值,再根据原方程有两个实数根,即可求出符合题意的
的值.
【规范解答】解:设
、
是
的两根,
∴根据根与系数的关系,可得:
,
∵方程
的两根互为倒数,
∴可得
,
∴
,
解得:
,
∵方程有两个实数根,
∴
,
当
时,
,
∴
符合题意,
当
时,
,
∴
不符合题意.
∴
,
故选:B.
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.
3.(本题2分)(八年级课时练习)两根均为负数的一元二次方程是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【思路点拨】因为两根均为负数,所以两实数根的和小于零,两根之积大于零.解题时检验两根之和
是否小于零,及两根之积
是否大于零.
【规范解答】解:A.
,
,两根均为正数;
B.
,
,两根为一正一负;
C.
,
,两根均为负数;
D.
,
,两根为一正一负.
故答案为:C.
【考点评析】本题考查了根与系数的关系:若
,
是一元二次方程
的两根时,
,
.
4.(本题2分)(八年级课时练习)如果方程
的三根可作为一个三角形的三边之长,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【思路点拨】方程
的三根是一个三角形三边的长,则方程有一根是1,即方程的一边是1,另两边是方程
的两个根,根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.则方程
的两个根设是
和
,一定是两个正数,且一定有
,结合根与系数的关系,以及根的判别式即可确定m的范围.
【规范解答】解:∵方程
有三根,
∴
,
有根,方程
的
,得
.
又∵原方程有三根,且为三角形的三边和长.
∴有
,
,而
已成立;
当
时,两边平方得:
.
即:
.解得
.
∴
.
故选:D.
【考点评析】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系,利用了:①一元二次方程的根与系数的关系,②根的判别式与根情况的关系判断,③三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
5.(本题2分)(浙江杭州·八年级翠苑中学校考期中)下列给出的四个命题,真命题的有( )个
①若方程
两根为-1和2,则
;
②若
,则
;
③若
,则方程
一定无解;
④若方程
的两个实根中有且只有一个根为0,那么
,
.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【思路点拨】①根据一元二次方程根与系数的关系可得
,即可判断;②利用求根公式求出方程的根,求得1﹣a<0,即可判断;③由△=b2﹣4ac<0,即可判断;④利用根与系数的关系进行判断.
【规范解答】①若方程
两根为-1和2,
则
,则
,即
;故此选项符合题意;
②∵a2﹣5a+5=0,
∴a=
>1或a=
>1,
∴1﹣a<0,
∴
;此选项符合题意;
③∵
,
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定无解,故此选项符合题意;
④若方程x2+px+q=0的两个实根中有且只有一个根为0,
∴两根之积为0,
那么p≠0,q=0,故此选项符合题意;
故选:A.
【考点评析】此题考查了一元二次方程的根,涉及到了一元二次方程的求根公式,根的判别式,根与系数的关系等,熟记各计算方法是解题的关键.
6.(本题2分)(八年级课时练习)已知
,
是方程
的两根,则代数式
的值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【思路点拨】由根与系数的关系可得:a+b=1,再由a与b是方程的两根可得a2=a+1,b2=b+1,把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值.
【规范解答】∵a与b是方程
的两根
∴a+b=1,a2-a-1=0,b2-b-1=0
∴a2=a+1,b2=b+1
∵
,同理:
∴
故选:D.
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值,灵活进行整式的运算是解题的关键.
7.(本题2分)(湖南·八年级统考期末)已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根,则α3+8β+6的值为( )
A.﹣1 B.2 C.22 D.30
【答案】D
【规范解答】解:∵α方程x2-2x-4=0的实根,
∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2(2α+4)+4α=8α+8,
∴原式=8α+8+8β+6
=8(α+β)+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,
∴α+β=2,
∴原式=8×2+14
=30,
故选D.
8.(本题2分)(江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中)已知关于
的方程
有且仅有两个不相等的实根,则实数
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
或a>0 D.
或a>0
【答案】C
【规范解答】解:原方程变形为
,这是一个以
为未知数的一元二次方程.
当|x-3|<0时,x无解;
当|x-3|=0时,只有1解;
当|x-3|有2个大于0的根时,x有4解.
所以关于
的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根.
①当关于
的一元二次方程有两个相等的实数根,即△=0时,
,解得
=-2
②当关于
的一元二次方程有两个不相等的实数根,一根大于0,另一根小于0时:
,解得即a>0.
综合上面两种情况,a的取值范围是a>0或者a=-2.
9.(本题2分)(全国·九年级专题练习)若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足
,
,则
的值为( )
A.
B.
C.2012 D.2011
【答案】A
【思路点拨】根据题意可将a2012与b2012看做方程(x-c2012)(x-d2012)=2012的两个解,把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2,把方程整理后,利用根与系数的关系表示出x1x2,代入整理后的式子中,即可求出所求式子的值.
【规范解答】解:设a2012与b2012看做方程(x-c2012)(x-d2012)=2012的两个解,
方程整理得:x2-(c2012+d2012)x+(cd)2012-2012=0,
则(ab)2012-(cd)2012=x1x2−(cd)2012,
又x1x2=(cd)2012-2012,
则(ab)2012-(cd)2012=x1x2−(cd)2012=(cd)2012-2012-(cd)2012=-2012.
故选:A.
【考点评析】此题考查了根与系数的关系的运用,利用了方程的思想,其中当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有解,即b2-4ac≥0时,设方程的两个根分别为x1,x2,则有x1+x2=
,x1x2=
.
10.(本题2分)(四川宜宾·九年级专题练习)关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,那么a的取值范围是( )
A.﹣
<a<
B.a>
C.a<﹣
D.﹣
<a<0
【答案】D
【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式,建立关于a的不等式,求出a的取值范围.又存在x1<1<x2,即(x1-1)(x2-1)<0,x1x2-(x1+x2)+1<0,利用根与系数的关系,从而最后确定a的取值范围.
【规范解答】解:∵方程有两个不相等的实数根,
则a≠0且△>0,
由(a+2)2-4a×9a=-35a2+4a+4>0,
解得
,
又∵x1<1<x2,
∴x1-1<0,x2-1>0,
那么(x1-1)(x2-1)<0,
∴x1x2-(x1+x2)+1<0,
,x1x2=9,
即
,
解得
,
综上所述,a的取值范围为:
.
故选D.
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.根与系数的关系为:
.
|
二、填空题(每题2分,共20分) |
11.(本题2分)(江苏省无锡市东林集团九年级上学期期末数学试题)已知
,
是一元二次方程
的两根,则
______.
【答案】6
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系,即可求解.
【规范解答】解:
,
是一元二次方程
的两根,
,
故答案为:6.
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键.
12.(本题2分)(青海西宁·九年级校考期末)若一元二次方程
的两根分别为
、
,则
______.
【答案】
【思路点拨】分别利用一元二次方程根与系数的关系求
,将后面的分式通分后再代入求值即可得答案.
【规范解答】解∶
,
.
故答案为∶
.
【考点评析】本题考查了根与系数的关系,孰练掌握
是解题的关键.
13.(本题2分)(四川达州·九年级校考期中)已知关于x的一元二次方程
,若方程的两根之和等于两根之积,则k的值为____
【答案】
【思路点拨】设方程的两根为
,根据根的判别式得到
,解得
,根据根与系数的关系得到
,则
,可解得
,然后根据
的取值范围可确定满足条件的
的值.
【规范解答】解∶设方程的两根为
,
根据题意得
,解得
,
方程的两根之和等于两根之积,
,
,
而
,
.
故答案为:
【考点评析】本题考查了一元二次方程
的根与系数的关系∶若方程两个为
,则
.也考查了一元二次方程根的判别式.
14.(本题2分)(四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模)关于x的一元二次方程
有两个实数根
,
,若
,则
_____.
【答案】2
【思路点拨】由根与系数的关系可得出
,
,结合
可求出
的可能值,根据方程的系数结合根的判别式
可得出关于
的一元二次不等式,解之即可得出
的取值范围,进而可确定
的值,此题得解.
【规范解答】解:
关于
的一元二次方程
的两个实数根为
,
,
,
.
,即
,
,
解得:
.
关于
的一元二次方程
有实数根,
,
解得:
或
,
.
故答案为:2.
【考点评析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,利用根与系数的关系结合
,求出
的值是解题的关键.
15.(本题2分)(浙江·九年级自主招生)设a、b、c、d是4个两两不同的实数,若a、b是方程
的解,c、d是方程
的解,则
的值为__________.
【答案】
【思路点拨】由根与系数的关系得
,
的值,两式相加得的值,根据一元二次方程根的定义可得
,代入可得
,同理可得
,两式相减即可得
的值,进而可得
的值.
【规范解答】解:由根与系数的关系得
,
,两式相加得
.
因为
是方程
的根,所以
,又
,
所以
①
同理可得
②
①-②得
.
因为
,所以
,所以
.
故答案为
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的定义,根据等式的性质变形是解题的关键.
16.(本题2分)(江苏盐城·九年级统考期中)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程
的两个根为
,则
__________.
【答案】
【思路点拨】由根与系数的关系得
,
,所以
,则
,然后代入即可求解.
【规范解答】由根与系数的关系得
,
,
所以
,
则
,
则
.
故答案为:
.
【考点评析】本题考查了根与系数的关系,难度较大,关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值.
17.(本题2分)(九年级课时练习)已知a、b、c均为实数,且
,
,则
______.
【答案】4
【思路点拨】先变形得到a+b=4,ab=2c2-4
c+10,再根据根与系数的关系,a、b可看作是方程x2-4x+2c2-4
c+10=0的两实数解,配方后可得(x-2)2+2(c-
)2=0,得到x=2,c=
,然后计算abc的值即可;
【规范解答】∵a+b=4,ab=2c2-4
c+10
∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4
c+10=0的两实数解
∴(x-2)2+2(c-
)2=0
∴x-2=0或c-
=0
解得x=2,c=
∴ab=2×3-4
×
+10=4
∴abc=4×
=4
故答案为:4
.
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.学会观察算式形式,正确写出一元二次方程是解决本题的关键.
18.(本题2分)(四川内江·九年级专题练习)将两个关于x的一元二次方程整理成
(
,a、h、k均为常数)的形式,如果只有系数a不同,其余完全相同,我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”.已知关于x的一元二次方程
(
)与方程
是“同源二次方程”,且方程
(
)有两个根为
、
,则b-2c=______,
的最大值是______.
【答案】 4; -3
【思路点拨】利用
(
)与方程
是“同源二次方程”得出
,
,即可求出
;利用一元二次方程根与系数的关系可得
,
,进而得出
,设
(
),得
,根据方程
有正数解可知
,求出t的取值范围即可求出
的最大值.
【规范解答】解:根据新的定义可知,方程
(
)可变形为
,
∴
,
展开,
,
可得
,
,
∴
;
∵
,
,
∴
,
∵方程
(
)有两个根为
、
,
∴
,且
,
∴
,
设
(
),得
,
∵方程
有正数解,
∴
,
解得
,即
,
∴
.
故答案为:4,-3.
【考点评析】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式,由根与系数的关系得到
是解题的关键.
19.(本题2分)(山东德州·九年级校考期中)设α、β是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根,则α2+2α+β的值为_____.
【答案】2017
【思路点拨】利用一元二次方程的解的定义得到α2=﹣α+2018,则α2+2α+β=α+β+2018,再根据根与系数的关系得到α+β=﹣1,然后利用整体代入的方法计算.
【规范解答】解:∵α是方程x2+x﹣2018=0的根,
∴α2+α﹣2018=0,
∴α2=﹣α+2018,
∴α2+2α+β=﹣α+2018+2α+β=α+β+2018,
∵α、β是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根,
∴α+β=﹣1,
∴α2+2α+β=﹣1+2018=2017.
故答案为2017.
【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系.
20.(本题2分)(河南周口·九年级统考期中)一元二次方程
的两根为
,
,若
,则
______.
【答案】-7
【思路点拨】先用根与系数的关系,确定m、n的和与积,进一步确定a的值,然后将m代入
,得到
,最后再对
变形即会完成解答.
【规范解答】解:由
得:m+n=-5,mn=a,即a=2
又m是方程
的根,则有
,
所以
+(m+n)=-2-5=-7
故答案为-7.
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的解和多项式的变形,其中根据需要对多项式进行变形是解答本题的关键.
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三、解答题(共60分) |
21.(本题6分)(福建泉州·九年级统考期末)关于x的一元二次方程
.
(1)不解方程,判断该方程的根的情况;
(2)设
,
是方程的两根,其中有一根不大于0,若
,求y的最大值.
【答案】(1)一定有实数根
(2)2
【思路点拨】(1)根据一元二次方程根的判别式,即可判定;
(2)首先可求得
,
,再根据其中有一根不大于0,可得
,据此即可求解.
【规范解答】(1)解:
,
,
,
,
,
∴该方程一定有实数根;
(2)解:由原方程可得:
,
解得
,
.
∵方程其中一根不大于0,
.
又
,
∴
,
,
∴y的最大值为2.
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式,熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键.
22.(本题6分)(内蒙古呼和浩特·九年级校考期末)已知关于x的一元二次方程
有实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当
时,方程的根为
,
,求代数式
的值.
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】(1)根据一元二次方程根的判别式求解即可;
(2)根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到
,
,将所求式子变形为
,据此求解即可.
【规范解答】(1)解:∵关于x的一元二次方程
有实数根,
∴
,
∴
,
∴
;
(2)解:当
,原方程即为
,
∵方程的根为
,
,
∴
,
∴
,
∴
.
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程解的定义,灵活运用所学知识是解题的关键.
23.(本题8分)(湖南株洲·九年级统考期末)已知:关于x的一元二次方程
.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一根为
,求m的值,并求另一根.
(3)若方程两根为
,且满足
,求m的值.
【答案】(1)见解析
(2)
;另一根为1
(3)
【思路点拨】(1)要证明方程总有两个不相等的实数根,那么只要证明
即可;
(2)把
代入
,得:
,再根据两根之和等于
,可得另一根;
(3)根据方程两根为
,
,则变形
,解答即可.
【规范解答】(1)解:
,
,
方程总有两个实数根;
(2)把
代入
,得:
,
解得:
,
根据两根之和等于
,所以
,
另一根是1;
(3)
,
,
解得:
.
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,解题的关键是掌
,方程有两个不相等的实数根;
,方程有两个相等的实数根;
,方程没有实数根.
24.(本题8分)(河南南阳·九年级校考阶段练习)阅读理解:法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现:如果一元二次方程
的两个根分别是
,
,那么
,
.
例如:已知方程
的两根分别是
,
则
,
请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题:
(1)已知方程
的两根分别是
,
,求
和
的值;
(2)已知方程
的两根分别是
,
,且
,求
的值;
(3)已知
、
是方程
的两个根,则
________.
【答案】(1)
(2)
(3)2
【思路点拨】(1)先把原方程化为一般式,再仿照题意求解即可;
(2)先仿照题意得到
,再根据
求出
的值即可得到答案;
(3)先根据题意和一元二次方程解的定义得到
,再根据所求可以变形为
进行求解即可.
【规范解答】(1)解:∵方程
,即
的两根分别是
,
,
∴
;
(2)解:∵方程
的两根分别是
,
,
∴
,
∴
,
∵
,
∴
;
(3)解:∵
、
是方程
的两个根,
∴
,
∴
∴
,
故答案为:2.
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,完全平方公式的变形求值,一元二次方程解的定义,正确理解题意是解题的关键.
25.(本题8分)(湖北黄石·九年级校联考期末)(1)
是关于
的一元二次方程
的两实根,且
,求
的值.
(2)已知:
,
是一元二次方程
的两个实数根,设
,
,…,
.根据根的定义,有
,
,将两式相加,得
,于是,得
.
根据以上信息,解答下列问题:
①直接写出
,
的值.
②经计算可得:
,
,
,当
时,请猜想
,
,
之间满足的数量关系,并给出证明.
【答案】(1)1;(2)①
,
;②
,证明见解析
【思路点拨】(1)根据一元二次方程根与系数的关系可得出
,
.由
,可得
,即得出关于k的一元二次方程,解出k的值,再根据一元二次方程根的判别式验证,舍去不合题意的值即可;
(2)①根据一元二次方程根与系数的关系可得出
,
,进而可求出
,
;②由一元二次方程的解的定义可得出
,两边都乘以
,得:
①,同理可得:
②,再由①+②,得:
.最后结合题意即可得出
,即
.
【规范解答】解:(1)∵
是关于
的一元二次方程
的两实根,
∴
,
,
∴
,
整理,得:
,
解得:
,
.
当
时,
,
∴此时原方程没有实数根,
∴
不符合题意;
当
时,
,
∴此时原方程有两个不相等的实数根,
∴
符合题意,
∴
的值为1;
(2)①∵
,
∴
.
∵
,
是一元二次方程
的两个实数根,
∴
,
,
∴
,
;
②猜想:
.
证明:根据一元二次方程根的定义可得出
,两边都乘以
,得:
①,
同理可得:
②,
由①+②,得:
,
∵
,
,
,
∴
,即
.
【考点评析】本题考查一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的判别式,一元二次方程的解的定义.掌握一元二次方程
的根的判别式为
,且当
时,该方程有两个不相等的实数根;当
时,该方程有两个相等的实数根;当
时,该方程没有实数根.熟记一元二次方程根与系数的关系:
和
是解题关键.
26.(本题8分)(四川资阳·九年级统考期末)定义:已知
是关于x的一元二次方程
的两个实数根,若
,且
,则称这个方程为“限根方程”.如:一元二次方程
的两根为
,因
,
,所以一元二次方程
为“限根方程”.
请阅读以上材料,回答下列问题:
(1)判断一元二次方程
是否为“限根方程”,并说明理由;
(2)若关于x的一元二次方程
是“限根方程”,且两根
满足
,求k的值;
(3)若关于x的一元二次方程
是“限根方程”,求m的取值范围.
【答案】(1)此方程为“限根方程”,理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为
或
【思路点拨】(1)解该一元二次方程,得出
,再根据“限根方程”的定义判断即可;
(2)由一元二次方程根与系数的关系可得出
,
,代入
,即可求出
,
.再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可;
(3)解该一元二次方程,得出
或
.再根据此方程为“限根方程”,即得出此方程有两个不相等的实数根,结合一元二次方程根的判别式即可得出
,
且
,可求出m的取值范围.最后分类讨论即可求解.
【规范解答】(1)解:
,
,
∴
或
,
∴
.
∵
,
,
∴此方程为“限根方程”;
(2)∵方程
的两个根分比为
,
∴
,
.
∵
,
∴
,
解得:
,
.
分类讨论:①当
时,原方程为
,
∴
,
,
∴
,
,
∴此时方程
是“限根方程”,
∴
符合题意;
②当
时,原方程为
,
∴
,
,
∴
,
,
∴此时方程
不是“限根方程”,
∴
不符合题意.
综上可知k的值为2;
(3)
,
,
∴
或
,
∴
或
.
∵此方程为“限根方程”,
∴此方程有两个不相等的实数根,
∴
,
且
,
∴
,即
,
∴
且
.
分类讨论:①当
时,
∴
,
∵
,
∴
,
解得:
;
②当
时,
∴
,
∵
,
∴
,
解得:
.
综上所述,m的取值范围为
或
.
【考点评析】本题考查解一元二次方程,一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的判别式.读懂题意,理解“限根方程”的定义是解题关键.
27.(本题8分)(安徽安庆·八年级统考期末)如果关于
的一元二次方程
有两个实数根
、
,且
,求
的值.
【答案】
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系可得
,再由
可得关于k的方程,求解该方程即可.
【规范解答】解:∵关于
的一元二次方程
有两个实数根
、
,
∴
,
∵
,
∴
.
解方程得:
,
.
∵
,
∴
.
【考点评析】本题主要考查了根与系数的关系以及求解一元二次方程,熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.
28.(本题8分)(四川·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习)对于任意一个三位数k,如果k满足各个数位上的数字都不为零,且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,那么称这个数为“喜鹊数”.
例如:k=169,因为62=4×1×9,所以169是“喜鹊数”.
(1)请通过计算判断241是不是“喜鹊数”,并直接写出最小的“喜鹊数”;
(2)已知一个“喜鹊数”k=100a+10b+c(1≤a、b、c≤9,其中a,b,c为自然数),若x=m是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,x=n是一元二次方程cx2+bx+a=0的一个根,且m+n=﹣2,求满足条件的所有k的值.
【答案】(1)241不是喜鹊数;最小的“喜鹊数”是121;(2)满足条件的所有k的值为121,242,363,484.
【思路点拨】(1)由题意代入验证即可解答;
(2)求出m与n互为倒数,又m+n=−2,得出m=−1,n=−1,求出b=a+c,a=c,结合喜鹊数的定义即可得出答案.
【规范解答】解:(1)∵42=16,4×2×1=8,16≠8
∴241不是喜鹊数;
∵各个数位上的数字都不为零,百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,
∴十位上的数字的平方最小为4,
∵22=4,4×1×1=4,
∴最小的“喜鹊数”是121;
(2)∵k=100a+10b+c是喜鹊数,
∴b2=4ac,即b2﹣4ac=0,
∵x=m是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,x=n是一元二次方程cx2+bx+a=0的一个根,
∴am2+bm+c=0,cn2+bn+a=0,
将cn2+bn+a=0两边同除以n2得:a(
)2+b(
)+c=0,
∴将m、
看成是方程ax2+bx+c=0的两个根,
∵b2﹣4ac=0,
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根,
∴m=
,即mn=1,
∵m+n=﹣2,
∴m=﹣1,n=﹣1,
∴a﹣b+c=0,
∴b=a+c,
∵b2=4ac,
∴(a+c)2=4ac,
解得:a=c,
∴满足条件的所有k的值为121,242,363,484.
【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是弄清喜鹊数的定义.