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【324272】2024八年级数学下册 专题08 一元二次方程根与系数的关系(含解析)(新版)浙教版

时间:2025-01-15 21:51:01 作者: 字数:28146字


专题08 一元二次方程根与系数的关系

评卷人

得分




一、选择题(每题2分,共20)

1(本题2)(山东威海·八年级校考期中)一元二次方程Shape1 有一个正根和一个负根,则a的取值范围是(    

AShape2 BShape3 CShape4 DShape5

【答案】A

【思路点拨】设一元二次方程Shape6 的两个根为Shape7 ,根据题意Shape8 ,求解即可.

【规范解答】设一元二次方程Shape9 的两个根为Shape10

根据题意Shape11

解得Shape12

故选A

【考点评析】本题考查了根的判别式,根与系数关系定理,熟练掌握判别式和根与系数关系定理是解题的关键.

2(本题2)(八年级课时练习)若关于Shape13 的一元二次方程Shape14 的两根互为倒数,则Shape15     

A3 B1 CShape16 DShape17

【答案】B

【思路点拨】设Shape18 Shape19 Shape20 的两根,根据根与系数的关系,得出Shape21 ,再根据倒数的定义,得出Shape22 ,再利用等量代换,得出Shape23 ,求出Shape24 的值,再根据原方程有两个实数根,即可求出符合题意的Shape25 的值.

【规范解答】解:设Shape26 Shape27 Shape28 的两根,

根据根与系数的关系,可得:Shape29

方程Shape30 的两根互为倒数,

可得Shape31

Shape32

解得:Shape33

方程有两个实数根,

Shape34

Shape35 时,Shape36

Shape37 符合题意,

Shape38 时,Shape39

Shape40 不符合题意.

Shape41

故选:B

【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.

3(本题2)(八年级课时练习)两根均为负数的一元二次方程是(  )

AShape42 BShape43 CShape44 DShape45

【答案】C

【思路点拨】因为两根均为负数,所以两实数根的和小于零,两根之积大于零.解题时检验两根之和Shape46 是否小于零,及两根之积Shape47 是否大于零.

【规范解答】解:A.Shape48 Shape49 ,两根均为正数;

B.Shape50 Shape51 ,两根为一正一负;

C.Shape52 Shape53 ,两根均为负数;

D.Shape54 Shape55 ,两根为一正一负.

故答案为:C

【考点评析】本题考查了根与系数的关系:若Shape56 Shape57 是一元二次方程Shape58 的两根时,Shape59 Shape60

4(本题2)(八年级课时练习)如果方程Shape61 的三根可作为一个三角形的三边之长,则实数m的取值范围是(  )

AShape62 BShape63 CShape64 DShape65

【答案】D

【思路点拨】方程Shape66 的三根是一个三角形三边的长,则方程有一根是1,即方程的一边是1,另两边是方程Shape67 的两个根,根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.则方程Shape68 的两个根设是Shape69 Shape70 ,一定是两个正数,且一定有Shape71 ,结合根与系数的关系,以及根的判别式即可确定m的范围.

【规范解答】解:∵方程Shape72 有三根,

Shape73 Shape74 有根,方程Shape75 Shape76 ,得Shape77

又∵原方程有三根,且为三角形的三边和长.

Shape78 Shape79 ,而Shape80 已成立;

Shape81 时,两边平方得:Shape82

即:Shape83 .解得Shape84

Shape85

故选:D

【考点评析】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系,利用了:①一元二次方程的根与系数的关系,②根的判别式与根情况的关系判断,③三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

5(本题2)(浙江杭州·八年级翠苑中学校考期中)下列给出的四个命题,真命题的有(    )个

若方程Shape86 两根为-12,则Shape87

Shape88 ,则Shape89

Shape90 ,则方程Shape91 一定无解;

若方程Shape92 的两个实根中有且只有一个根为0,那么Shape93 Shape94

A4 B3 C2 D1

【答案】A

【思路点拨】①根据一元二次方程根与系数的关系可得Shape95 ,即可判断;②利用求根公式求出方程的根,求得1﹣a0,即可判断;③由△=b2﹣4ac0,即可判断;④利用根与系数的关系进行判断.

【规范解答】①若方程Shape96 两根为-12

Shape97 ,则Shape98 ,即Shape99 ;故此选项符合题意;

②∵a2﹣5a+50

aShape100 1aShape101 1

1﹣a0

Shape102 ;此选项符合题意;

③∵Shape103

方程ax2+bx+c0a≠0)一定无解,故此选项符合题意;

若方程x2+px+q0的两个实根中有且只有一个根为0

两根之积为0

那么p≠0q0,故此选项符合题意;

故选:A

【考点评析】此题考查了一元二次方程的根,涉及到了一元二次方程的求根公式,根的判别式,根与系数的关系等,熟记各计算方法是解题的关键.

6(本题2)(八年级课时练习)已知Shape104 Shape105 是方程Shape106 的两根,则代数式Shape107 的值是(    

AShape108 BShape109 CShape110 DShape111

【答案】D

【思路点拨】由根与系数的关系可得:a+b=1,再由ab是方程的两根可得a2=a+1b2=b+1,把a3b3采用降次的方法即可求得结果的值.

【规范解答】∵ab是方程Shape112 的两根

a+b=1a2-a-1=0b2-b-1=0

a2=a+1b2=b+1

Shape113 ,同理:Shape114

Shape115

Shape116

Shape117

Shape118

Shape119

Shape120

故选:D

【考点评析】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值,灵活进行整式的运算是解题的关键.

7(本题2)(湖南·八年级统考期末)已知αβ是方程x2﹣2x﹣40的两个实数根,则α3+8β+6的值为(  )

A.﹣1 B2 C22 D30

【答案】D

【规范解答】解:∵α方程x2-2x-4=0的实根,

α2-2α-4=0,α2=2α+4,

α3=2α2+4α=22α+4+4α=8α+8,

原式=8α+8+8β+6

=8α+β+14,

α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,

α+β=2,

原式=8×2+14

=30,

故选D.

8(本题2)(江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中)已知关于Shape121 的方程 Shape122 有且仅有两个不相等的实根,则实数Shape123 的取值范围为( )

AShape124 BShape125

CShape126 a>0 DShape127 a>0

【答案】C

【规范解答】解:原方程变形为Shape128 ,这是一个以Shape129 为未知数的一元二次方程.

|x-3|<0时,x无解;

|x-3|=0时,只有1解;

|x-3|2个大于0的根时,x4解.

所以关于Shape130 的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根.

当关于Shape131 的一元二次方程有两个相等的实数根,即△=0时,

Shape132 ,解得Shape133 =-2

当关于Shape134 的一元二次方程有两个不相等的实数根,一根大于0,另一根小于0时: Shape135 ,解得即a>0

综合上面两种情况,a的取值范围是a>0或者a=-2

9(本题2)(全国·九年级专题练习)若四个互不相等的正实数abcd满足Shape136 Shape137 ,则Shape138 的值为(    

AShape139 BShape140 C2012 D2011

【答案】A

【思路点拨】根据题意可将a2012b2012看做方程(x-c2012)(x-d2012=2012的两个解,把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2,把方程整理后,利用根与系数的关系表示出x1x2,代入整理后的式子中,即可求出所求式子的值.

【规范解答】解:设a2012b2012看做方程(x-c2012)(x-d2012=2012的两个解,

方程整理得:x2-c2012+d2012x+cd2012-2012=0

则(ab2012-cd2012=x1x2−(cd)2012

x1x2=cd2012-2012

则(ab2012-cd2012=x1x2−(cd)2012=cd2012-2012-cd2012=-2012

故选:A

【考点评析】此题考查了根与系数的关系的运用,利用了方程的思想,其中当一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0)有解,即b2-4ac≥0时,设方程的两个根分别为x1x2,则有x1+x2=Shape141 x1x2=Shape142

10(本题2)(四川宜宾·九年级专题练习)关于x的方程ax2+a+2x+9a0有两个不等的实数根x1x2,且x11x2,那么a的取值范围是(  )

A.﹣Shape143 aShape144 BaShape145 Ca<﹣Shape146 D.﹣Shape147 a0

【答案】D

【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式,建立关于a的不等式,求出a的取值范围.又存在x11x2,即(x1-1)(x2-1)<0x1x2-x1+x2+10,利用根与系数的关系,从而最后确定a的取值范围.

【规范解答】解:∵方程有两个不相等的实数根,

a≠0且△>0

由(a+22-4a×9a=-35a2+4a+40

解得Shape148

又∵x11x2

x1-10x2-10

那么(x1-1)(x2-1)<0

x1x2-x1+x2+10

Shape149 x1x2=9

Shape150

解得Shape151

综上所述,a的取值范围为:Shape152 .

故选D

【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.根与系数的关系为:Shape153 .


评卷人

得分




二、填空题(每题2分,共20)

11(本题2)(江苏省无锡市东林集团九年级上学期期末数学试题)已知Shape154 Shape155 是一元二次方程Shape156 的两根,则Shape157 ______

【答案】6

【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系,即可求解.

【规范解答】解:Shape158 Shape159 是一元二次方程Shape160 的两根,

Shape161

故答案为:6

【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键.

12(本题2)(青海西宁·九年级校考期末)若一元二次方程Shape162 的两根分别为Shape163 Shape164 ,则Shape165 ______

【答案】Shape166

【思路点拨】分别利用一元二次方程根与系数的关系求Shape167 ,将后面的分式通分后再代入求值即可得答案.

【规范解答】解∶Shape168

Shape169

故答案为∶Shape170

【考点评析】本题考查了根与系数的关系,孰练掌握Shape171 是解题的关键.

13(本题2)(四川达州·九年级校考期中)已知关于x的一元二次方程Shape172 ,若方程的两根之和等于两根之积,则k的值为____

【答案】Shape173

【思路点拨】设方程的两根为Shape174 ,根据根的判别式得到Shape175 ,解得Shape176 ,根据根与系数的关系得到Shape177 Shape178 ,则Shape179 ,可解得Shape180 ,然后根据Shape181 的取值范围可确定满足条件的Shape182 的值.

【规范解答】解∶设方程的两根为Shape183

根据题意得Shape184 ,解得Shape185 Shape186

Shape187 方程的两根之和等于两根之积,

Shape188

Shape189

Shape190

Shape191

Shape192

故答案为:Shape193

【考点评析】本题考查了一元二次方程Shape194 的根与系数的关系∶若方程两个为Shape195 ,则Shape196 .也考查了一元二次方程根的判别式.

14(本题2)(四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模)关于x的一元二次方程Shape197 有两个实数根Shape198 Shape199 ,若Shape200 ,则Shape201 _____

【答案】2

【思路点拨】由根与系数的关系可得出Shape202 Shape203 ,结合Shape204 可求出Shape205 的可能值,根据方程的系数结合根的判别式Shape206 可得出关于Shape207 的一元二次不等式,解之即可得出Shape208 的取值范围,进而可确定Shape209 的值,此题得解.

【规范解答】解:Shape210 关于Shape211 的一元二次方程Shape212 的两个实数根为Shape213 Shape214

Shape215 Shape216

Shape217 ,即Shape218

Shape219

解得:Shape220

Shape221 关于Shape222 的一元二次方程Shape223 有实数根,

Shape224 Shape225

解得:Shape226 Shape227

Shape228

故答案为:2

【考点评析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,利用根与系数的关系结合Shape229 ,求出Shape230 的值是解题的关键.

15(本题2)(浙江·九年级自主招生)设abcd4个两两不同的实数,若ab是方程Shape231 的解,cd是方程Shape232 的解,则Shape233 的值为__________

【答案】Shape234

【思路点拨】由根与系数的关系得Shape235 Shape236 的值,两式相加得的值,根据一元二次方程根的定义可得Shape237 ,代入可得Shape238 ,同理可得Shape239 ,两式相减即可得Shape240 的值,进而可得Shape241 的值.

【规范解答】解:由根与系数的关系得Shape242 Shape243 ,两式相加得Shape244     

因为Shape245 是方程Shape246 的根,所以Shape247 ,又Shape248

所以Shape249             

同理可得Shape250             

-②Shape251

因为Shape252 ,所以Shape253 ,所以Shape254

故答案为Shape255

【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的定义,根据等式的性质变形是解题的关键.

16(本题2)(江苏盐城·九年级统考期中)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程Shape256 的两个根为Shape257 ,则Shape258 __________

【答案】Shape259

【思路点拨】由根与系数的关系得Shape260 Shape261 ,所以Shape262 ,则Shape263 ,然后代入即可求解.

【规范解答】由根与系数的关系得Shape264 Shape265

所以Shape266

Shape267

Shape268

Shape269

Shape270

Shape271

Shape272

故答案为:Shape273

【考点评析】本题考查了根与系数的关系,难度较大,关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值.

17(本题2)(九年级课时练习)已知abc均为实数,且Shape274 Shape275 ,则Shape276 ______

【答案】4Shape277

【思路点拨】先变形得到a+b=4ab=2c2-4Shape278 c+10,再根据根与系数的关系,ab可看作是方程x2-4x+2c2-4Shape279 c+10=0的两实数解,配方后可得(x-22+2c-Shape280 2=0,得到x=2c=Shape281 ,然后计算abc的值即可;

【规范解答】∵a+b=4ab=2c2-4Shape282 c+10

ab可看作方程x2-4x+2c2-4Shape283 c+10=0的两实数解

x-22+2c-Shape284 2=0

x-2=0c-Shape285 =0

解得x=2c=Shape286

ab=2×3-4Shape287 ×Shape288 +10=4

abc=4×Shape289 =4Shape290

故答案为:4Shape291

【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.学会观察算式形式,正确写出一元二次方程是解决本题的关键.

18(本题2)(四川内江·九年级专题练习)将两个关于x的一元二次方程整理成Shape292 Shape293 ahk均为常数)的形式,如果只有系数a不同,其余完全相同,我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”.已知关于x的一元二次方程Shape294 Shape295 )与方程Shape296 是“同源二次方程”,且方程Shape297 Shape298 )有两个根为Shape299 Shape300 ,则b2c______Shape301 的最大值是______

【答案】     4;     -3

【思路点拨】利用Shape302 Shape303 )与方程Shape304 是“同源二次方程”得出Shape305 Shape306 ,即可求出Shape307 ;利用一元二次方程根与系数的关系可得Shape308 Shape309 ,进而得出Shape310 ,设Shape311 Shape312 ),得Shape313 ,根据方程Shape314 有正数解可知Shape315 ,求出t的取值范围即可求出Shape316 的最大值.

【规范解答】解:根据新的定义可知,方程Shape317 Shape318 )可变形为Shape319

Shape320

展开,Shape321

可得Shape322 Shape323

Shape324

Shape325 Shape326

Shape327

方程Shape328 Shape329 )有两个根为Shape330 Shape331

Shape332 ,且Shape333

Shape334

Shape335 Shape336 ),得Shape337

方程Shape338 有正数解,

Shape339

解得Shape340 ,即Shape341

Shape342

故答案为:4-3

【考点评析】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式,由根与系数的关系得到Shape343 是解题的关键.

19(本题2)(山东德州·九年级校考期中)设αβ是方程x2+x﹣20180的两个实数根,则α2+2α+β的值为_____

【答案】2017

【思路点拨】利用一元二次方程的解的定义得到α2=﹣α+2018,则α2+2α+βα+β+2018,再根据根与系数的关系得到α+β=﹣1,然后利用整体代入的方法计算.

【规范解答】解:∵α是方程x2+x﹣20180的根,

α2+α﹣20180

α2=﹣α+2018

α2+2α+β=﹣α+2018+2α+βα+β+2018

αβ是方程x2+x﹣20180的两个实数根,

α+β=﹣1

α2+2α+β=﹣1+20182017

故答案为2017

【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系.

20(本题2)(河南周口·九年级统考期中)一元二次方程Shape344 的两根为Shape345 Shape346 ,若Shape347 ,则Shape348 ______.

【答案】-7

【思路点拨】先用根与系数的关系,确定mn的和与积,进一步确定a的值,然后将m代入Shape349 ,得到Shape350 ,最后再对Shape351 变形即会完成解答.

【规范解答】解:由Shape352 得:m+n=-5mn=a,即a=2

m是方程Shape353 的根,则有Shape354

所以Shape355 Shape356 +m+n=-2-5=-7

故答案为-7.

【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的解和多项式的变形,其中根据需要对多项式进行变形是解答本题的关键.


评卷人

得分




三、解答题(60)

21(本题6)(福建泉州·九年级统考期末)关于x的一元二次方程Shape357

(1)不解方程,判断该方程的根的情况;

(2)Shape358 Shape359 是方程的两根,其中有一根不大于0,若Shape360 ,求y的最大值.

【答案】(1)一定有实数根

(2)2


【思路点拨】(1)根据一元二次方程根的判别式,即可判定;

(2)首先可求得Shape361 Shape362 ,再根据其中有一根不大于0,可得Shape363 ,据此即可求解.

【规范解答】(1)解:Shape364 Shape365 Shape366

Shape367

Shape368

该方程一定有实数根;

2)解:由原方程可得:Shape369

解得Shape370 Shape371

方程其中一根不大于0

Shape372

Shape373

Shape374

Shape375

y的最大值为2

【考点评析】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式,熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键.

22(本题6)(内蒙古呼和浩特·九年级校考期末)已知关于x的一元二次方程Shape376 有实数根.

(1)求实数m的取值范围;

(2)Shape377 时,方程的根为Shape378 Shape379 ,求代数式Shape380 的值.

【答案】(1)Shape381

(2)Shape382


【思路点拨】(1)根据一元二次方程根的判别式求解即可;

2)根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到Shape383 Shape384 ,将所求式子变形为Shape385 ,据此求解即可.

【规范解答】(1)解:∵关于x的一元二次方程Shape386 有实数根,

Shape387

Shape388

Shape389

2)解:当Shape390 ,原方程即为Shape391

方程的根为Shape392 Shape393

Shape394 Shape395

Shape396

Shape397

Shape398

Shape399

Shape400

Shape401

Shape402

【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程解的定义,灵活运用所学知识是解题的关键.

23(本题8)(湖南株洲·九年级统考期末)已知:关于x的一元二次方程Shape403

(1)求证:方程总有两个实数根;

(2)若方程有一根为Shape404 ,求m的值,并求另一根.

(3)若方程两根为Shape405 ,且满足Shape406 ,求m的值.

【答案】(1)见解析

(2)Shape407 ;另一根为1

(3)Shape408


【思路点拨】(1)要证明方程总有两个不相等的实数根,那么只要证明Shape409 即可;

2)把Shape410 代入Shape411 ,得:Shape412 ,再根据两根之和等于Shape413 ,可得另一根;

3)根据方程两根为Shape414 Shape415 ,则变形Shape416 ,解答即可.

【规范解答】(1)解:Shape417 Shape418

Shape419 方程总有两个实数根;

2)把Shape420 代入Shape421 ,得:Shape422

解得:Shape423

根据两根之和等于Shape424 ,所以Shape425

Shape426 另一根是1

3Shape427

Shape428

解得:Shape429

【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,解题的关键是掌Shape430 ,方程有两个不相等的实数根;Shape431 ,方程有两个相等的实数根;Shape432 ,方程没有实数根.

24(本题8)(河南南阳·九年级校考阶段练习)阅读理解:法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现:如果一元二次方程Shape433 的两个根分别是Shape434 Shape435 ,那么Shape436 Shape437

例如:已知方程Shape438 的两根分别是Shape439 Shape440

Shape441 Shape442

请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题:

(1)已知方程Shape443 的两根分别是Shape444 Shape445 ,求Shape446 Shape447 的值;

(2)已知方程Shape448 的两根分别是Shape449 Shape450 ,且Shape451 ,求Shape452 的值;

(3)已知Shape453 Shape454 是方程Shape455 的两个根,则Shape456 ________

【答案】(1)Shape457

(2)Shape458

(3)2


【思路点拨】(1)先把原方程化为一般式,再仿照题意求解即可;

2)先仿照题意得到Shape459 ,再根据Shape460 求出Shape461 的值即可得到答案;

3)先根据题意和一元二次方程解的定义得到Shape462 ,再根据所求可以变形为Shape463 进行求解即可.

【规范解答】(1)解:∵方程Shape464 ,即Shape465 的两根分别是Shape466 Shape467

Shape468

2)解:∵方程Shape469 的两根分别是Shape470 Shape471

Shape472

Shape473

Shape474

Shape475

3)解:∵Shape476 Shape477 是方程Shape478 的两个根,

Shape479

Shape480

Shape481

Shape482

Shape483

Shape484

Shape485

故答案为:2

【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,完全平方公式的变形求值,一元二次方程解的定义,正确理解题意是解题的关键.

25(本题8)(湖北黄石·九年级校联考期末)(1Shape486 是关于Shape487 的一元二次方程Shape488 的两实根,且Shape489 ,求Shape490 的值.

2)已知:Shape491 Shape492 是一元二次方程Shape493 的两个实数根,设Shape494 Shape495 ,…,Shape496 .根据根的定义,有Shape497 Shape498 ,将两式相加,得Shape499 ,于是,得Shape500

根据以上信息,解答下列问题:

直接写出Shape501 Shape502 的值.

经计算可得:Shape503 Shape504 Shape505 ,当Shape506 时,请猜想Shape507 Shape508 Shape509 之间满足的数量关系,并给出证明.

【答案】(11;(2)①Shape510 Shape511 ;②Shape512 ,证明见解析

【思路点拨】(1)根据一元二次方程根与系数的关系可得出Shape513 Shape514 .由Shape515 ,可得Shape516 ,即得出关于k的一元二次方程,解出k的值,再根据一元二次方程根的判别式验证,舍去不合题意的值即可;

2)①根据一元二次方程根与系数的关系可得出Shape517 Shape518 ,进而可求出Shape519 Shape520 ;②由一元二次方程的解的定义可得出Shape521 ,两边都乘以Shape522 ,得:Shape523 ①,同理可得:Shape524 ②,再由①+②,得:Shape525 .最后结合题意即可得出Shape526 ,即Shape527

【规范解答】解:(1)∵Shape528 是关于Shape529 的一元二次方程Shape530 的两实根,

Shape531 Shape532

Shape533

整理,得:Shape534

解得:Shape535 Shape536

Shape537 时,Shape538

此时原方程没有实数根,

Shape539 不符合题意;

Shape540 时,Shape541

此时原方程有两个不相等的实数根,

Shape542 符合题意,

Shape543 的值为1

2)①∵Shape544

Shape545

Shape546 Shape547 是一元二次方程Shape548 的两个实数根,

Shape549 Shape550

Shape551 Shape552

猜想:Shape553

证明:根据一元二次方程根的定义可得出Shape554 ,两边都乘以Shape555 ,得:Shape556 ①,

同理可得:Shape557 ②,

由①+②,得:Shape558

Shape559 Shape560 Shape561

Shape562 ,即Shape563

【考点评析】本题考查一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的判别式,一元二次方程的解的定义.掌握一元二次方程Shape564 的根的判别式为Shape565 ,且当Shape566 时,该方程有两个不相等的实数根;当Shape567 时,该方程有两个相等的实数根;当Shape568 时,该方程没有实数根.熟记一元二次方程根与系数的关系:Shape569 Shape570 是解题关键.

26(本题8)(四川资阳·九年级统考期末)定义:已知Shape571 是关于x的一元二次方程Shape572 的两个实数根,若Shape573 ,且Shape574 ,则称这个方程为“限根方程”.如:一元二次方程Shape575 的两根为Shape576 ,因Shape577 Shape578 ,所以一元二次方程Shape579 为“限根方程”.

请阅读以上材料,回答下列问题:

(1)判断一元二次方程Shape580 是否为“限根方程”,并说明理由;

(2)若关于x的一元二次方程Shape581 是“限根方程”,且两根Shape582 满足Shape583 ,求k的值;

(3)若关于x的一元二次方程Shape584 是“限根方程”,求m的取值范围.

【答案】(1)此方程为“限根方程”,理由见解析

(2)k的值为2

(3)m的取值范围为Shape585 Shape586


【思路点拨】(1)解该一元二次方程,得出Shape587 ,再根据“限根方程”的定义判断即可;

2)由一元二次方程根与系数的关系可得出Shape588 Shape589 ,代入Shape590 ,即可求出Shape591 Shape592 .再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可;

3)解该一元二次方程,得出Shape593 Shape594 .再根据此方程为“限根方程”,即得出此方程有两个不相等的实数根,结合一元二次方程根的判别式即可得出Shape595 Shape596 Shape597 ,可求出m的取值范围.最后分类讨论即可求解.

【规范解答】(1)解:Shape598

Shape599

Shape600 Shape601

Shape602

Shape603 Shape604

此方程为“限根方程”;

2)∵方程Shape605 的两个根分比为Shape606

Shape607 Shape608

Shape609

Shape610

解得:Shape611 Shape612

分类讨论:①当Shape613 时,原方程为Shape614

Shape615 Shape616

Shape617 Shape618

此时方程Shape619 是“限根方程”,

Shape620 符合题意;

Shape621 时,原方程为Shape622

Shape623 Shape624

Shape625 Shape626

此时方程Shape627 不是“限根方程”,

Shape628 不符合题意.

综上可知k的值为2

3Shape629

Shape630

Shape631 Shape632

Shape633 Shape634

此方程为“限根方程”,

此方程有两个不相等的实数根,

Shape635 Shape636 Shape637

Shape638 ,即Shape639

Shape640 Shape641

分类讨论:①当Shape642 时,

Shape643

Shape644

Shape645

解得:Shape646

Shape647 时,

Shape648

Shape649

Shape650

解得:Shape651

综上所述,m的取值范围为Shape652 Shape653

【考点评析】本题考查解一元二次方程,一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的判别式.读懂题意,理解“限根方程”的定义是解题关键.

27(本题8)(安徽安庆·八年级统考期末)如果关于Shape654 的一元二次方程Shape655 有两个实数根Shape656 Shape657 ,且Shape658 ,求Shape659 的值.

【答案】Shape660

【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系可得Shape661 ,再由Shape662 可得关于k的方程,求解该方程即可.

【规范解答】解:∵关于Shape663 的一元二次方程Shape664 有两个实数根Shape665 Shape666

Shape667

Shape668

Shape669

Shape670

Shape671

Shape672

Shape673

解方程得:Shape674 Shape675

Shape676

Shape677

【考点评析】本题主要考查了根与系数的关系以及求解一元二次方程,熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.

28(本题8)(四川·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习)对于任意一个三位数k,如果k满足各个数位上的数字都不为零,且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,那么称这个数为“喜鹊数”.

例如:k169,因为624×1×9,所以169是“喜鹊数”.

1)请通过计算判断241是不是“喜鹊数”,并直接写出最小的“喜鹊数”;

2)已知一个“喜鹊数”k100a10bc1≤abc≤9,其中abc为自然数),若xm是一元二次方程ax2bxc0的一个根,xn是一元二次方程cx2bxa0的一个根,且mn=﹣2,求满足条件的所有k的值.

【答案】(1241不是喜鹊数;最小的“喜鹊数”是121;(2)满足条件的所有k的值为121242363484

【思路点拨】(1)由题意代入验证即可解答;

2)求出mn互为倒数,又mn=−2,得出m=−1n=−1,求出bacac,结合喜鹊数的定义即可得出答案.

【规范解答】解:(1)∵42164×2×1816≠8

241不是喜鹊数;

各个数位上的数字都不为零,百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,

十位上的数字的平方最小为4

2244×1×14

最小的“喜鹊数”是121

2)∵k100a10bc是喜鹊数,

b24ac,即b2﹣4ac0

xm是一元二次方程ax2bxc0的一个根,xn是一元二次方程cx2bxa0的一个根,

am2bmc0cn2bna0

cn2bna0两边同除以n2得:aShape678 2bShape679 )+c0

mShape680 看成是方程ax2bxc0的两个根,

b2﹣4ac0

方程ax2bxc有两个相等的实数根,

mShape681 ,即mn1

mn=﹣2

m=﹣1n=﹣1

abc0

bac

b24ac

ac24ac

解得:ac

满足条件的所有k的值为121242363484

【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是弄清喜鹊数的定义.



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