【324268】2024八年级数学下册 专题6.43 反比例函数（中考常考知识点分类专题）（巩固篇）（

专题6.43 反比例函数（中考常考知识点分类专题）

（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

【考点一】反比例函数➽➼定义✭★参数

1．下列函数中不是反比例函数的是（    ）

A． B． C． D．

2．若点 在双曲线 上，则代数式 的值为（    ）

A．－12 B．－7 C．－5 D．5

【考点二】反比例函数➽➼函数值✭★自变量

3．函数 的图像可以由 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数 的图像没有公共点的是（　    ）

A．经过点 且平行于 轴的直线B．经过点 且平行于 轴的直线

C．经过点 且平行于 轴的直线D．经过点 且平行于 轴的直线

4．定义:[a,b]为反比例函数y= (ab≠0,a,b为实数)的“关联数”.反比例函数y= 的“关联数”为[m,m+2],反比例函数y= 的“关联数”为[m+1,m+3],若m>0,则 (     )

A．k1=k2 B．k1>k2

C．k1<k2 D．无法比较

【考点三】判断反比例函数图象✭★由图象求解析式

5．运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， 轴于点 ，点 是线段 上的点，连接 ．点 在线段 上，且 ，函数 的图象经过点 ．当点 在线段 上运动时， 的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【考点四】反比例函数图象的对称性➽➼轴对称✭★中心对称

7．反比例函数 （ ，k为常数）的图象经过点 ，则它的图象还经过点（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线 （ ，k是常数）与双曲线 交于点 ， 两点，则 的值为（　　　）

A．5 B．0 C． D．

【考点五】反比例函数图象➽➼位置✭★参数

9．反比例函数 （m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．若反比例函数 的图象过点 ，则下列说法正确的是（    ）

A．该函数图象位于二、四象限 B． 时，

C．y随x的增大而增大 D．当 时，k有最小值0

【考点六】反比例函数图象➽➼增减性✭★参数

11．若点 ， 在反比例函数 的图象上，则（    ）

A．若 ，则 B．若 ，则

C．若 ，则 D．若 ，则

12．若点P（n﹣3，y₁）与点Q（n+1，y₂）在同一反比例函数图象上，且y₁＜y₂，则（　　）

A．若P，Q不在同一象限内，则n＞﹣1

B．若P，Q不在同一象限内，则n＜3

C．若P，Q在同一象限内，则﹣1＜n＜3

D．若P，Q在同一象限内，则n＞3或n＜﹣1

【考点七】反比例函数图象的增减性➽➼比较因变（自变）量大小

13．已知点 ， 在反比例函数 的图像上，其中 ，下列选项正确的是（    ）

A．若 ，则 B．若 ，则

C．若 ，则 D．若 ，则

14．已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， ， 的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【考点八】反比例函数比例系数（面积）➽➼面积（比例系数）

15．如图，点 是反比例函数 的图像上的一点，过点 作平行四边形 ．使点 在 轴上，点 在 轴上，则平行四边形 的面积为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

16．如图，在 中， 轴，点B、D在反比例函数 的图象上，若 的面积是20，则k的值是（    ）

A．10 B．15 C．20 D．25

【考点九】反比例函数的解析式

17．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A、 ，过点 作 ，使 ．将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ．则第2024次旋转结束时，点 的对应点 落在反比例函数 的图象上，则 的值为（    ）

A．6 B． C． D．4

18．如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 ，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ．若反比例函数 （ 为常数）的图象经过点 ，则 的值为（    ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【考点十】反比例函数与几何综合

19．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A为函数 图象上的一点，点B在y轴上，点C在x轴上， ， ，当 的面积为2时，k的值为（　　）

A． B． C． D．

20．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 与 轴平行， ， 两点纵坐标分别为 ， ，反比例函数 经过 ， 两点，若 ，则 值为（    ）

A． B． C． D．

【考点十一】一次函数与反比例函数综合➽➼图象综合✭★交点问题

21．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ 　 ）

A． B． C． D．

22．正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点， 轴于点B， 轴于点D（如图），则四边形 的面积为（      ）

A．1 B． C．2 D．

【考点十二】一次函数与反比例函数综合➽➼实际应用

23．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的 与 的数据如表：

时间 分钟
含药量 毫克

则下列图象中，能表示 与 的函数关系的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

24．为了保护生态环境，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造．如图描述的是月利润y(万元)和月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正确的是(　　)

A．5月份该厂的月利润最低

B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元

C．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元

D．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元

【考点十三】反比例函数实际应用➽➼实际应用✭★学科应用

25．随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥8时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（　　）

A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥32

26．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m³)的反比例函数，且当V=1.5m³时，p=16000Pa，当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应(　　)

A．不小于0.5m³ B．不大于0.5m³ C．不小于0.6m³ D．不大于0.6m³

二、填空题

【考点一】反比例函数➽➼定义✭★参数

27．已知 与y=x-3相交于点 ，则 的值为__________．

28．已知函数 是反比例函数，则 的取值范围是______.

【考点二】反比例函数➽➼函数值✭★自变量

29．将x= 代入反比例函数y=－ 中，所得的函数值记为 ，又将x= +1代入反比例函数y=－ 中，所得的函数值记为 ，又将x= +1代入反比例函数y=－ 中，所得的函数值记为 ，…，如此继续下去，则y₂₀₂₀=______________

30．已知点 分别在反比例函数 的图象上，若点 与点 关于 轴对称，则 的值为______．

【考点三】判断反比例函数图象✭★由图象求解析式

31．已知y与 成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为______．

32．已知点A（ ）在第二象限，且 为整数，反比例函数 经过该点，则 的值为_________．

【考点四】反比例函数图象的对称性➽➼轴对称✭★中心对称

33．若点 与点 是正比例函数 图象与反比例西数 图象的两个不同的交点，则 __________．

34．已知点A(1，2)，B在反比例函数 的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________．

【考点五】反比例函数图象➽➼位置✭★参数

35．已知反比例函数 (k＞0)的图象如图所示，当 时， 的取值范围是_______．

36．正比例函数 的图象与反比例函数 的图象上一个交点是 ，则反比例图象位于第________象限，它们的另一个交点是________．

【考点六】反比例函数图象➽➼增减性✭★参数

37．已知反比例函数 的图像经过点 ，根据图像可知，当 时， 的取值范围是______．

38．已知函数 ， ，当 时，函数 的最大值为 ，函数 的最小值为 ，则 的值为______．

【考点七】反比例函数图象的增减性➽➼比较因变（自变）量大小

39．已知点 、 、 都在反比例函数 的图象上，则 、 、 大小关系是______（用“<”连接）．

40．已知点 都在反比例函数 的图象上，则 、 、 的大小关系是_______．

【考点八】反比例函数比例系数（面积）➽➼面积（比例系数）

41．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 交反比例函数 的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D， 轴于点E，交 于点F．若图中四边形 与 的面积差为 ，则 与 的面积差为___．

42．如图，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上，且 ，反比例函数 （ ），若 ，则 的值为_____．

【考点九】反比例函数的解析式

43．如图，矩形 的边 与y轴平行，且 ，反比例函数 的图象同时经过点B与点D，则k的值为_________．

44．已知点 ， 在一反比例函数 的图象上， ，且 ，则 的值是______．

【考点十】反比例函数与几何综合

45．将等腰直角三角形 按图的方式放在平面直角坐标系中，其中点 ，点 ，点 在双曲线 的图像 上．

（1） ______________；

（2）将 沿着 轴正方向平移 个单位得到 ．

①当双曲线 过线段 的中点时，点 的坐标是___________；

②当线段 和双曲线 有公共点时， 的取值范围是_______________．

46．如图，点A是反比例函数 图象上的一点，连接 ，点B是 的中点，过点B作x轴的平行线，分别交y轴和反比例函数的图象于点C、D，连接 ，若 的面积为3，则k的值为_______

【考点十一】一次函数与反比例函数综合➽➼图象综合✭★交点问题

47．一次函数 分别与 轴、 轴交于A、 两点，点 为反比例函数 （ ）图象上一点，过点 作 轴的垂线交直线 交于 ，作 交直线 于 若 ，则 的值为______．

48．若反比例函数 与 的图象与函数 的图象相交于点 和点B，则点B的坐标为 _____．

【考点十二】一次函数与反比例函数综合➽➼实际应用

49．某品牌热水器中，原有水的温度为 ，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温 与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到 时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温 与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至 时，热水器又自动以相同的功率加热至 ……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则

（1）当 时，水温 开机时间x分钟的函数表达式______；

（2）当水温为 时， ______；

（3）通电 分钟时，热水器中水的温度y约为______．

50．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是 ，然后按照一次函数关系一直增加到 ，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至 ，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至 ，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至， 如此循环下去．

（1） 的值为________；

（2）如果在 分钟内温度大于或等于 时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟．

【考点十三】反比例函数实际应用➽➼实际应用✭★学科应用

51．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 是面条的粗细（横截面积） 的反比例函数，其图象如图所示．

写出 与 的函数关系式：________．

当面条粗 时，面条总长度是________ ．

52．某物体对地面的压强 随物体与地面的接触面积 之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）.如果该物体与地面的接触面积为 ，那么该物体对地面的压强是__________ .

三、解答题

53．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与y轴交于点B，与x轴交于点 ．

(1)求k与m的值；

(2) 为x轴上的一动点，当△APB的面积为 时，求a的值．

54．设函数 ，函数 （ ， ，b是常数， ， ）．

(1)若函数 和函数 的图象交于点 ，点B(3，1)，

①求函数 ， 的表达式：

②当 时，比较 与 的大小（直接写出结果）．

2. 若点 在函数 的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数 的图象上，求n的值．

55．如图，点 在反比例函数 的图象上，点B在y轴上， ，将线段 向右下方平移，得到线段 ，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且 ．

(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；

(2)求k的值和直线 的表达式．

56．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标 随时间 （分钟）变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象是线段；当 时，图象是反比例函数的一部分．

（1）求点 对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

57．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在坐标轴上，且 ， ，连接 ．反比例函数 （ ）的图象经过线段 的中点 ，并与 、 分别交于点 、 ．一次函数 的图象经过 、 两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点 是 轴上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为______．

58．如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与直线 交于点A(3,m).

（1）求k、m的值；

（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于 轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.

①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

参考答案

1．D

【分析】根据反比例函数的概念进行判断即可．

解： A． 是反比例函数；

B． 是反比例函数；

C． 可得 是反比例函数；

D．中 是正比例函数，不是反比例函数，符合题意；

故选D．

【点拨】本题考查了反比例函数的表达式，形如 是y关于x的反比例函数，也可表示为 或 是反比例函数．

2．C

【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式即可求出 的值．

解：把 代入 得，

=3，

，

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代入求值．

3．D

【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．

解：A、当y=2时， ，解得x= ，故直线y=2与函数 的图像有公共点；

B、当y=-3时， =-3，解得x=0，故直线y=-3与函数 的图像有公共点；

C、当x=-1时， ，故直线x=-1与函数 的图像有公共点；

D、分式有意义的条件是x≠1，∴函数 的图像与直线x=1没有公共点；

故选：D．

【点拨】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．

4．C

【分析】利用题中的新定义表示出k₁与k₂，利用作差法比较即可．

解：根据题意得： ，

∵m＞0，

∴k₁-k₂= ＜0，

则k₁＜k₂．

【点拨】此题考查了反比例函数的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．

5．C

【分析】根据图象可知x无论取任何数y始终大于0，且在 时有最大值，再逐项判断即可．

解：A．当 时， ，故与题干中图象不符，该选项不合题意；

B．当 时， 无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意；

C．当自变量x取其相反数时， ，且当 时， 为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意；

D．当 时， 无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意．

故选C．

【点拨】本题考查识别函数图象，解题的关键是根据图象得出该函数的性质．

6．C

【分析】设点C的坐标为（c,0），根据已知写出P的坐标，再代入反比例函数解析式，根据ｃ的取值范围即可求解．

解：设点C的坐标为（c,0）

∵点 的坐标为 ， 轴于点 ，

∴P（ ）

∵函数 的图象经过点

∴

∴c=2k-4

∵0≤c≤4

∴0≤2k-4≤4

∴

故选：C

【点拨】考核知识点：反比例函数．理解反比例函数的意义是关键．

7．C

【分析】先利用反比例函数 的图象经过点 ，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．

解：∵反比例函数 的图象经过点 ，

∴ ，

∵ ，则 不经过 ，

∵ ，则 不经过 ，

∵ ，则 经过 ，

∵ ，则 不经过 ．

故选：C．

【点拨】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

8．C

【分析】先根据点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是双曲线 上的点可得出x₁•y₁=x₂•y₂=5，再根据直线y=kx（k＞0）与双曲线 交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点可得出x₁=-x₂，y₁=-y₂，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．

解：∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是双曲线 上的点，

∴x₁•y₁=x₂•y₂=5，

∵直线y=kx（k＞0）与双曲线 交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，

∴x₁=-x₂，y₁=-y_{2 ，}y₁₌ k x₁，y₂= k x₂，

∴原式=2k x1 x₂- k x1 x₂= k x1 x₂= =-5．

故选：C．

【点拨】本题考查反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x₁=-x₂，y₁=-y₂是解答此题的关键．

9．A

【分析】利用反比例函数的性质：当 时，图象过一、三象限；当 时，图象过二、四象限可得到答案．

解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故选：A．

【点拨】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中 的意义以及相对应图象所在象限的位置是解题的关键．

10．B

【分析】由题意知 ，可求 的取值范围，进而可判断反比例函数的图象、性质．

解：由题意知

∴

∵

∴

∴反比例函数图象位于一、三象限，故A错误，不符合题意；

当 时， ，故B正确，符合题意；

在第一和第三象限中， 随着 的增大而减小，故C错误，不符合题意；

无最小值， ，与 矛盾，故D错误，不符合题意；

故选B．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于确定 的取值范围．

11．C

【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐项进行判断即可．

解：A．∵ 时， ， ，

又∵ ，

∴ 在第四象限， 在第二象限，

∴ ， ，

∴ ，故A错误；

B．∵ 时， ， ，

又∵ ，

∴ 在第四象限， 在第二象限，

∴ ， ，

∴ ；

∵当 时， ， ，且 ，

又∵ ，

∴y随x的增大而增大，

∴ ；

综上分析可知，当 时，可能 ，也可能 ，故B错误；

C．∵ 时， ， ，且 ，

又∵ ，

∴y随x的增大而增大，

∴ ，故C正确；

D．∵ 时， ， ，且 ，

又∵ ，

∴y随x的增大而增大，

∴ ，故D错误．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数 ，当 时，在每个象限内y随x的增大而减小；当 时，在每个象限内y随x的增大而增大．

12．D

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征结合反比例函数图象逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结论．

解：若点P（n﹣3，y₁）与点Q（n+1，y₂）在同一象限，且y₁＜y₂，

则y随x的增大而增大，故反比例函数图象在二四象限，

∴ 或 ，

∴n＜﹣1或＞3；

若点P（n﹣3，y₁）与点Q（n+1，y2）不在同一象限，且y₁＜y₂，反比例函数图象在一、三象限，

则 ，

∴﹣1＜n＜3；

∴D选项符合题意．

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象，熟悉反比例函的图象是解题的关键.

13．D

【分析】先根据反比例函数解析式中 的取值范围，判断出函数图像所在的象限，再根据 即可获得答案．

解：若点 ， 在反比例函数 的图像上，且 ，

当 时，该函数图像的两个分支分别位于一、三象限，

此时可有 ，故选项A、B不正确，不符合题意；

当 时，该函数图像的两个分支分别位于二、四象限，

此时可有 ，故选项C不正确，不符合题意，选项D正确，符合题意．

故选：D．

【点拨】本题主要考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．

14．D

【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．

解：∵

∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大，

∵ ，

∴点 在第四象限，点 在第二象限，

∴ ；

故选D．

【点拨】本题考查比较反比例函数自变量的大小．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．

15．C

【分析】作 于H，根据平行四边形的性质得 ，则 ，再根据反比例函数 (k )系数 的几何意义得到 即可解答．

解：如图：作 于H，

∵ ，

∴ 轴，

∴四边形 为矩形，

∵ ，

∴ ，

∵点A是反比例函数 的图像上的一点，

∴ ，

∴ ．

故选C

【点拨】本题主要了反比例函数 (k )系数 的几何意义，掌握例函数 (k )图像上任意一点向 轴和 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 是解答本题的关键．

16．A

【分析】先根据平行四边形的性质得到 ， 轴，设 ，则 ，即可得到 ，即可求出 ，再根据平行四边形面积公式进行求解即可．

解：∵四边形 是平行四边形，

∴ ， ，

∵ 轴，

∴ 轴，

设 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 的面积是20，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故选A．

【点拨】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，正确用含k的式子表示出 是解题的关键．

17．B

【分析】过点C作 轴，垂足为D，则 是等腰直角三角形，根据 ，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算 的余数，确定最后的坐标，利用 横坐标 纵坐标计算即可．

解：如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示：

把 ，代入 得： ，解得： ，

∴ ，

把 ，代入 得： ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴点 ，

第一次旋转的坐标为 ，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为 ，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为 ，第四次回到起点，

∴每4次一个循环，

∴ ，

∴第2024次变化后点的坐标为 ，

∴ ，故B正确．

故选：B．

【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键．

18．B

【分析】如图所示，过点C作 轴于D，先求出 、 ，然后根据一线三垂直模型证明 得到 ，进而求出 ，则 ，然后把点 代入反比例函数解析式中求出k的值即可．

解：如图所示，过点C作 轴于D，

∴ ，

∵ 、 ，

∴ ，

由旋转的性质可得 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵反比例函数 （ 为常数）的图象经过点 ，

∴ ，

故选B．

【点拨】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

19．B

【分析】过点A作 轴于M，根据等腰三角形的判定得出 ，根据 ，得出 ，设 ，根据 ，列出关于x的方程，解方程，得出x的值，求出点A坐标 ，即可得出答案．

解：如图，过点A作 轴于M，如图所示：

∵ ， ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

设 ，由题意得，

，

即 ，

解得： ，

∴ ，

∴点 ，

∵点A在反比例函数 图象上，

∴ ，故B正确．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了求反比例函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出点A的坐标．

20．A

【分析】过点 作 ，设 ， ，根据 的长度，在 中应用勾股定理即可求解．

解：过点 作 ，

∵ ， 两点纵坐标分别为 ， ，反比例函数 经过 ， 两点，

∴设 ， ，

∴ ， ，

∵

在 中， ，

即 ，解得 ，

∴ ，

故选：A．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键．

21．B

【分析】根据k的取值范围，分别讨论 和 时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．

解：①当 时，一次函数 经过一、三、四象限，反比例函数的 （k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，

②当 时，一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数的 （k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．

一次函数 ：

①当 ， 时，一次函数 经过一、二、三象限；

②当 ， 时，一次函数 经过一、三、四象限；

③当 ， 时，一次函数 经过一、二、四象限；

④当 ， 时，一次函数 经过二、三、四象限；

反比例函数的 （k≠0），

①当 时，反比例函数的 （k≠0）的图象经过一、三象限；

②当 时，反比例函数的 （k≠0）的图象经过二、四象限．

22．C

【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解．

解：解方程组 ，得： 或 ，

即：正比例函数 与反比例函数 的图象相交于两点的坐标分别为 ， ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

即：四边形 的面积是2．

故选：C

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解．

23．D

【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．

解：由表格中数据可得： ，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为： ，

则将

代入得： ，

解得： ，

故函数解析式为： ，

由表格中数据可得： ，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为： ，

则将 代入得： ，

故函数解析式为： ．

故函数图象D正确．

故选： ．

【点拨】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．

24．C

【分析】利用待定系数法，代入已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．

解：A、由题中函数图象，得5月份该厂的月利润最低，为60万元，故A正确；

B、治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万元到120万元，故每月利润比前一个月增加30万元，故B正确；

C、设反比例函数的解析式为 ，将（1，300）代入得 ，故 ，将 代入，得 ，解得 ，所以只有3月、4月、5月、6月、7月共5个月的月利润不超过120万元，故C错误；

D、设一次函数的解析式为 ，将（5，60），（7，120）代入得， ，解得 ，所以 ，当 时， ，则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元，故D正确．

故选：C．

【点拨】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，利用待定系数法正确得出函数解析式是解题关键．

25．B

【分析】利用已知反比例函数图象过（8，80），得出其函数解析式，再利用y=20时，求出x的最值，进而求出x的取值范围．

解：设反比例函数的解析式为： ，

则将（8，80），代入 ,得：k=xy=8×80=640，

∴反比例函数的解析式为：

故当车速度为20千米/时，则 ，

解得：x=32，

故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：0<x≤32．

故答案为x≤32．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．

26．C

【分析】设函数解析式为P ，把V=1.5，p=16000代入求k,再根据题意可得 4000，解不等式可得．

解：设函数解析式为P ，

∵当V=1.5m³时，p=16000Pa，∴k=Vp=24000，∴p ，

∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，∴ 4000，

解得：v≥0.6，

即气球的体积应不小于0.6m³．

故选：C．

【点拨】考核知识点：反比例函数应用.用待定系数法求出解析式，再根据实际列出不等式是关键.

27．-3

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出 ， ，进而可得出 ， ，再将其代入 中即可求出结论．

解：∵ 与 相交于点 ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ．

故答案为：-3．

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及分式的加减法，利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，找出 ， 是解题的关键．

28． 且

【分析】根据反比例函数的表达式y= (k为常数，k≠0)，列出系数不为0的式子进行求解.

解：∵ 是反比例函数，

∴ ，且 ,

解得， 且

故答案为： 且

【点拨】本题考查反比例函数的定义，根据定义的条件列式求解是解答此题的重要途径，同时使二次根式有意义的条件也是解答此题的关键.

29．－

【分析】分别计算出y₁，y₂，y₃，y₄，可得到每三个一循环，而2020÷3＝673……1，即可得到y₂₀₂₀＝y₁．

解：将x＝ 代入反比例函数y＝﹣ 中，得y₁＝﹣ ＝﹣ ，

把x＝﹣ +1＝﹣ 代入反比例函数y＝﹣ 得y₂＝﹣ ＝2；

把x＝2+1＝3代入反比例函数y＝﹣ 得y₃＝﹣ ；

把x＝﹣ +1＝ 代入反比例函数y＝﹣ 得y₄＝﹣ ；…；

如此继续下去每三个一循环，

∵2020÷3＝673……1，

∴y₂₀₂₀＝y₁＝﹣ ．

故答案为：﹣ ．

【点拨】本题考查反比例函数的定义．按照题目的叙述计算一下y的值，从中观察得到规律，是解决本题的关键．

30．1

【分析】根据题意，设出点C和点D的坐标，再根据点C与点D关于x轴对称，即可求得p的值

解：∵点 分别在反比例函数 的图象上，

∴设点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，

∵点 与点 关于 轴对称，

∴

∴p=1

故答案为：1

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．

31．

【分析】设 ，把 ， 代入，求出k的值即可得y与x之间的函数解析式.

解：设 ，把 ， 代入得

得

∴y与x之间的函数解析式为 .

故答案为：

【点拨】本题主要考查了求函数的表达式，解题的关键是把 看成自变量，关系式要设正确.

32．－2

【分析】根据第二象限的符号特征，且a为整数，求出a=2，得A（-2，1），将A（-2，1）代入 ，得k的值．

解：∵点A（3a−8，a−1）在第二象限，且a为整数，

∴ ，解得1＜a＜ ，

∴a=2，

∵3×2-8=-2，2-1=1，

∴A（-2，1），

∵反比例函数 经过点A，

∴将A（-2，1）代入 ，得 ，

∴k=-2，

故答案为：-2．

【点拨】本题考查了第二象限的符号特征和反比例函数，解题的关键是掌握第二象限的符号特征．

33．

【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得 的值，即可求解．

解：∵点 与点 是正比例函数 图象与反比例西数 图象的两个不同的交点，

∴ ，

解得 ，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．

34．（2，1）

【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可

解：∵点A(1，2)，B在反比例函数 的图象上，OA=OB，

∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称，

设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b）

由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1）

可以得到： ，

解得：a=2，b=1，

∴点B的坐标为（2,1）

故答案为：（2，1）

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键．

35．

【分析】由点（1，4）在反比例函数 (k＞0)的图象上可求出k值，把x=2代入 可求出y值，即可得出 时y的取值范围．

解：∵点（1，4）在反比例函数 (k＞0)的图象上，

∴k=1×4=4，

∴当x=2时，y=2，

∴当 时，y的取值范围是2≤y≤4．

故答案为：2≤y≤4

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标求出k值是解题关键．

36．     二、四     （2，−1）

【分析】根据点（−2，1）在第二象限可知反比例图象位于第二、四象限；然后根据正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点对称解答即可．

解：∵其中一个交点坐标为（−2，1），在第二象限，

∴反比例图象位于第二、四象限，

∵正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点对称，

∴另外一个交点坐标与（−2，1）关于原点对称，

∴它们的另一个交点是（2，－1），

故答案为：二、四；（2，−1）．

【点拨】此题考查的是正比例函数图象与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．

37．

【分析】把点 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得 的值，然后根据反比例函数图像的增减性解答问题．

解： 反比例函数 的图像经过点 ，

，

，

当 时， 随 的增大而增大，

当 时， ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数图像的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图像上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．

38．2

【分析】根据k>0，2≤x≤4，确定y₁的值随x值的增大而减小，y₂的值随x值的增大而增大，由此得到当x=2时，y₁的最大值为 =a，当x=2时，y₂的最小值为− =a−4，列式-a=a-4计算即可求出答案．

解：∵k>0，2≤x≤3，

∴y₁的值随x值的增大而减小，y₂的值随x值的增大而增大．

∴当x=2时，y₁的最大值为 =a，

当x=2时，y₂的最小值为− =a−4．

∴−a=a−4，解得a=2．

故答案为：2．

【点拨】此题考查反比例函数y= 的性质：当k>0时，每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，每个象限内y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．

39．

【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．

解：∵ ， ，

∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内， 随 的增大而减小，

∵ 、 、 ，

∴点 在第三象限，点 在第一象限，

∵ ，

∴ ；

故答案为： ．

【点拨】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．

40．

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征求出x₁，x₂与x₃，然后对各选项进行判断．

解：∵点 都在反比例函数 的图象上，

∴ ， ， ，

∴x₁＝−3，x₂＝3，x₃＝2，

∴ ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式 （k为常数，k≠0），然后把一组对应值代入求出k，从而得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．

41．

【分析】作 于点H，根据反比例函数面积性质及四边形 与 的面积差为 推出 面积为 ，可求出 ，确定直线 解析式，得到 ，从而将 与 的面积差转化为 与 的面积之差计算即可．

解：作 于点H，

∵四边形 与 的面积差为 ，反比例函数

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵直线 分别交x轴，y轴于点C，D，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴直线 ， ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

设直线 的解析式为 ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴

．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定解析式，熟练掌握交点的意义，反比例函数的性质和k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键．

42．12

【分析】作 轴于 ，由平行线分线段成比例，三角形的面积公式，求出 的面积，再根据反比例函数系数 的几何意义得 ，即可得出答案．

解：作 轴于 ，

，

，

， ，

，

，

，

由图象知， ，

．

故答案为：12．

【点拨】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，反比例函数上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数 的几何意义．

43．9

【分析】根据四边形 为矩形，结合 ，得出点B、D的坐标，然后再根据点B、D在反比例函数 的图象上，列出关于m的方程，解方程即可得出m的值，最后求出k的值即可．

解：∵矩形 的边 与y轴平行， ，

∴点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，

∵点B、D在反比例函数 的图象上，

∴ ，

解得： ，

∴点B的坐标为 ，

∴ ．

故答案为：9

【点拨】本题主要考查了求反比例函数解析式，矩形的性质，解题的关键是根据题意得出 ， ．

44．4

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 ， ，即可得到 ，然后利用 ，得到 ，由 ，变形得到 ，从而得到 ．

解：∵点 ， 在一反比例函数 的图象上，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

故答案为：4．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点 的横纵坐标的积是定值k，即 ，也考查了反比例函数的性质．

45．     3         

【分析】（1）作 轴于点E，证明 ，从而求得 ，即可求解；

（2）①根据平移的性质得到平移后的中点为 ，再解方程即可求解；

②考虑当 在双曲线 上时，当 在双曲线 上时，两种情况，即可求解．

解：（1）作 轴于点E，

则 ，

∵ 是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∵点 在双曲线 的图像 上，

∴ ；

故答案为：3；

（2）①设 的中点为D，

则 ， ，

∴ ，

∵将 沿着 轴正方向平移 个单位得到 ，

∴y值不变，则平移后的中点为 ，

依题意得 ，

解得 ，

∴点 的坐标是 ；

②设平移后 ，

当 在双曲线 上时，有 ，

解得 ，

当 在双曲线 上时，有 ，

解得 ，

∴线段 与双曲线 有公共点时， 的取值范围是 ．

故答案为： ； ．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合，涉及全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、函数图象上点的坐标特征，有一定难度．

46．6

【分析】设点A坐标为 ，点D坐标为 ，由点B是 的中点，可得点B坐标为 ，进而可得 ， ，由此即可解题．

解：设点A坐标为 ，点D坐标为 ，

∵点B是 的中点，

∴点B坐标为 ，

∵ 轴，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴

∴ ，

故答案为6．

【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，灵活设点的坐标，用坐标表示线段长和图形面积是解题关键．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

47．

【分析】设 ，则 ， ，构建方程求出 的值即可．

解：设 ．

过点 作 轴的垂线交直线 交于 ，作 交直线 于 ，

∴PC 轴, 轴，

点的纵坐标为 ， 点的横坐标为 ，

一次函数 ，

，

，

， ，

，

，

，

．

故答案为： ．

当双曲线在第四象限时，同理可得

故答案为：

注：在此两种情况中，P点位置可能不同，形成图形也有所不同，但是解题方法和结论不变，故不再一一列举．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数构建方程，属于中考填空题中的压轴题．

48． ，

【分析】把点 代入 求得 的值，即可求得 的坐标，以及反比例函数的解析式，把 的坐标代入 ，即可求得正比例函数的解析式，进而利用解析式联立成方程组，解方程组即可求得 的坐标．

解： 反比例函数 的图象与函数 的图象相交于点 ，

，

解得 或 （舍去），

，反比例函数为 和 ，

把 的坐标代入 得， ，解得 ，

正比例函数为 ，

解 得 或 ，

点 ， ．

故答案为： ， ．

【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题：求反比例函数与正比例函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

49．              

【分析】（1）设直线解析式为 ，结合图像点 ， 代入即可得到答案；

（2）设反比例函数解析式为 ，结合图像点 代入求出k，将 代入即可得到答案；

（3）根据（1）（2）解析式得到从 ℃加热到 ℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案．

解：（1）设直线解析式为 ，将点 ， 代入可得，

，解得 ，

故答案为： ；

（2）设反比例函数解析式为 ，将点 代入可得，

，

∴ ，

当 时，

，解得 ，

故答案为 ；

（3）当 时， ，解得 ，

∴从 ℃加热到 ℃，需要 分钟， ， ， ，将 代入， ，可得 ．

【点拨】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间．

50．     50     20

【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令 时即可求解，再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得 时对应的 的值求差即可．

解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为 ，过点 ，

，

，

当 时，则 ，解得 ，

设第一次循环过程中一次函数的解析式为 ，

由题意得 ，解得 ，

一次函数的解析式为 ，

当 时，则 ，解得 ，

当 时则 ，解得 ，

分钟内温度大于或等于 时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为

（分钟）

故答案为：（1）50；（2）20．

【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数值，理解题意是解题的关键．

51．         

【分析】（1）首先根据题意，y与s的关系为乘积一定，为面团的体积，即可得出y与s的反比例函数关系式；

（2）将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．

解：（1）设y与x的函数关系式为y= ，

将s=4，y=32代入上式，

解得：k=4×32=128，

∴y= ；

故答案为y= ．

（2）当s=1.6时，y= =80，

当面条粗1.6mm²时，面条的总长度是80m；

故答案为80．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

52．500

【分析】首先通过反比例函数的定义计算出比例系数k的值，然后可确定其表达式，再根据题目中给出的自变量求出函数值

解：根据图象可得

当S=0.24时，P= =500，即压强是500Pa.

【点拨】此题考查反比例函数的应用，列方程是解题关键

53．(1)k的值为 ， 的值为6；(2) 或

【分析】（1）把 代入 ，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；

（2）先求解 ．由 为x轴上的一动点，可得 ．由 ，建立方程求解即可．

（1）解：把 代入 ，

得 ．

∴ ．

把 代入 ，

得 ．

∴ ．

把 代入 ，

得 ．

∴k的值为 ， 的值为6．

（2）当 时， ．

∴ ．

∵ 为x轴上的一动点，

∴ ．

∴ ，

．

∵ ，

∴ ．

∴ 或 ．

【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．

54．(1)① ， ；② ；(2)1

【分析】（1）①把点B(3，1)代入 ，可得 ；可得到m=3，再把点 ，点B(3，1)代入 ，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解；

（2）根据点 在函数 的图象上，可得 ，再根据点的平移方式可得点D的坐标为 ，然后根据点D恰好落在函数 的图象上，可得 ，即可求解．

（1）解：①把点B(3，1)代入 ，得 ，

∴ ．

∵函数 的图象过点 ，

∴ ，

∴点B(3，1)代入 ，得：

，解得 ，

∴ ．

②根据题意，画出函数图象，如图∶

观察图象得∶当 时，函数 的图象位于函数 的下方，

∴ ．

（2）解∶∵点 在函数 的图象上，

∴ ，

∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，

∴点D的坐标为 ，

∵点D恰好落在函数 的图象上，

∴ ，

∴ ，

解得 ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键．

55．(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）；(2)4；y＝-2x＋6

【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；

（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．

解：（1）∵点B在y轴上， ，

∴B（0，2），

∵点D落在x轴正半轴上，且

∴D（1，0），

∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，

∵点A（m，4），

∴C（m＋1，2），

故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；

（2）∵点A和点C在反比例函数 的图象上，

∴k＝4m＝2（m＋1），

∴m＝1，

∴A（1，4），C（2，2），

∴k＝1×4＝4，

设直线AC的表达式为： ，

∴ 解得 ，

∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．

【点拨】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．

56．（1）20；（2）能，见分析

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值

（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出 ， 得出自变量的取值范围 ，即可得出结论

解：（1）令反比例函数为 ，由图可知点 在 的图象上，

∴ ，

∴ ．将x=45代入

将x=45代入得：

点 对应的指标值为 ．

（2）设直线 的解析式为 ，将 、 代入 中，

得 ，解得 ．

∴直线 的解析式为 ．

由题得 ，解得 ．

∵ ，

∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.

【点拨】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。

57．（1） , ；（2）

【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点 ，求出点 的坐标，代入 即可，

由矩形的性质可得 、 坐标，代入 即可求出解析式；

（2）“将军饮马问题”，作 关于 轴的对称点 ，连接 ,直线 与 轴交点即为所求．

解：（1） 四边形 是矩形， ，

为线段 的中点

将 代入 ，得

将 ，代入 ，得：

，解得

（2）如图：作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点P

当 三点共线时， 有最小值

，

设直线 的解析式为

将 ，代入 ，得

，解得

令 ，得

【点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．

58．(1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.

分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．

（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；

②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．

解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，

∴m=3-2=1，

∴A（3，1），

将A（3，1）代入y= ，

∴k=3×1=3，

m的值为1.

（2）①当n=1时，P（1，1），

令y=1，代入y=x-2，

x-2=1，

∴x=3，

∴M（3，1），

∴PM=2，

令x=1代入y= ，

∴y=3，

∴N（1，3），

∴PN=2

∴PM=PN，

②P（n，n），

点P在直线y=x上，

过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，

M（n+2，n），

∴PM=2，

∵PN≥PM，

即PN≥2，

∴0＜n≤1或n≥3

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．