【324269】2024八年级数学下册专题6.44 反比例函数（挑战综合（压轴）题分类专题）（新版）

专题6.44 反比例函数（挑战综合（压轴）题分类专题）

（专项练习）

【综合类型】反比例函数图象与性质

【类型①】反比例函数➼➻解析式✭★面积

1．如图，B，C是反比例函数y= （k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．

(1)求此反比例函数的表达式；

(2)求△BCE的面积．

2．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．

（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．

(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；

(2)点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，，求的面积．

【类型②】反比例函数➼➻解析式✭★不等式解集✭★面积

4．如图，直线y=kx+b与双曲线y= 相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．

分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
连接OA，OB，求△AOB的面积；
直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．

5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为 .

（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点在线段上，且，求点的坐标.

6．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣ ＞0的解集．

【类型③】反比例函数与一次函数综合➼➻解析式✭★动点问题

7．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．

（1）求直线的解析式；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．

8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)过点作直线 ∥ 轴，过点作直线于，点是直线上一动点，若，求点的坐标．

9．如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围．

【类型④】反比例函数与一次函数综合➼➻解析式✭★平移

10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．

(1)求一次函数的表达式；

(2)结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；

(3)将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．

11．如图，已知一次函数y₁＝kx＋b的图像与函数y₂＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．

(1)求y₁与y₂的解析式；

(2)观察图像，直接写出y₁＜y₂时x的取值范围；

(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为．

12．已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；

(3)在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．

【类型⑤】反比例函数与一次函数综合➼➻解析式✭★折叠问题

13．已知点A（a，m）在双曲线y= 上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．

（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，

①若t=1，直接写出点C的坐标；

②若双曲线y= 经过点C，求t的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线y= （x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣ （x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣ （x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．

14．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，轴，点、的横坐标都是3，且，点在上，若反比例函数的图象经过点、，且 .

（1）求的值及点的坐标；

（2）将沿着折叠，设顶点的对称点的坐标是，求代数式的值．

15．如图所示，矩形ABCO的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（8，n）在边AB上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，E，且OA＝2AB．

（1）AB的长是　　；

（2）求反比例函数的表达式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长．

【类型⑥】反比例函数与一次函数综合➼➻解析式✭★最值问题

16．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是矩形木板用去后的余料，，，，是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上．

[初步探究]

当时．

①若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______；

②若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______；

[问题解决]

如图2，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为4，若以所在直线为轴，中点为原点构建直角坐标系，则曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，所截矩形材料面积是．求的长．

17．已知函数 Shape145

（1）画出函数图象；

列表：

x	．．．									．．．
y	．．．									．．．

描点，连线得到函数图象：

（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；

（3）设是函数图象上的点，若，证明：．

18．如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．

（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；

（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．

【类型⑦】反比例函数与一次函数综合➼➻解析式✭★存在性问题

19．已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．

求反比例函数的关系式；
如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

20．如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．

(1)求，的值：

(2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．

21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)求的面积；

(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【类型⑧】反比例函数实际应用

22．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

（1）求点对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

23．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：

时间x（天）	3	5	6	9	……
硫化物的浓度y（mg/L）	4.5	2.7	2.25	1.5	……

(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

24．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
求恒温系统设定的恒定温度；
若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

【压轴类型】反比例函数图象与性质

【类型①】反比例函数➼➻几何综合问题✭★分类讨论

25．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标；

（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y= 的图象的一个交点为A（﹣1，n）．

（1）求反比例函数y= 的解析式；

（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．

27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．

求a，k的值；
直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．

①求△ABC的面积；

②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．

【类型②】反比例函数➼➻几何问题✭★分类讨论✭★动点问题✭★最值问题

28．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数（）经过点，反比例函数经过点，且交边于点，连接．

(1)求直线的表达式．

(2)求的值．

(3)如图，是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，交反比例函数（）于点．在点运动过程中，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

29．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．

(1)点的坐标_________；

(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；

(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图，直线AD：与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数与直线AD交于E、F两点．

(1)求反比例函数表达式；

(2)根据图像，求出不等式的解集；

(3)在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

【类型③】反比例函数➼➻综合探究类

31．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于点，已知为线段的中点．

求的值；
若点是反比例函数的图象上一个动点，轴于点设四边形的面积为，探究随的变化情况．

32．【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．

例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．

【应用】

（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是；

（2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是，点O与双曲线之间的距离是；

【拓展】

（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？

33．如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段交于点D，直线过点D，与线段相交于点F，求点F的坐标；

（3）连，探究与的数量关系并证明（提示：）．

参考答案

1．(1) ；(2)1

【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；

（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．

（1）解：当y=0时，即x-1=0，

∴x=1，

即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），

∴OA=1=AD，

又∵CD=3，

∴点C的坐标为（2，3），

而点C（2，3）在反比例函数y= 的图象上，

∴k=2×3=6，

∴反比例函数的图象为y= ；

（2）解：方程组 Shape319 的正数解为，

∴点B的坐标为（3，2），

当x=2时，y=2-1=1，

∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，

∴EC=3-1=2，

∴S△BCE= ×2×（3-2）=1，

答：△BCE的面积为1．

【点拨】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．

2．（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．

解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y= 的图象上，

∴ ，

∴反比例函数的解析式为；

（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，

设B(a，a)，则有，

∴ ，即B( ， )，

∴小正方形的边长为，

∴小正方形的面积为，

大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，

∴大正方形的面积为，

∴图中阴影部分的面积为16-8=8．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．

3．(1) ；(2)6

【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）作BD x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B、D的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．

（1）解：∵一次函数y＝x＋2的图象过点A（1，m），

∴m＝1＋2＝3，

∴A（1，3），

∵点A在反比例函数（x＞0）的图象上，

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函数的解析式为；

（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，

∴B（3，1），

作BD x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，

代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝−1，

∴D（−1，1），

∴BD＝3＋1＝4，

∴ ．

【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，注意数形结合思想的运用．

4．(1)y= x+ ，y= ；(2)△AOB的面积为；(3)1<x<3

【分析】（1）将点A ( 1，2 )代入y = ，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；

（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解；

（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．

（1）解：将点A ( 1，2 )代入y = ，得m=2，

∴双曲线的表达式为： y= ，

把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：

y= ，解得： Shape349 ，

∴直线的表达式为：y= x+ ；

（2）解：联立 Shape352 ，

解得，或，

∵点A 的坐标为（1，2），

∴点B的坐标为（3，），

∵

= ，

∴△AOB的面积为；

（3）解：观察图象可知：不等式kx+b> 的解集是1<x<3．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．

5．（1）或；（2），；（3）

【分析】(1) 观察图象得到当或时，直线y=k₁x+b都在反比例函数的图象上方，由此即可得；

(2)先把A(-1，4)代入y= 可求得k₂，再把B(4，n)代入y= 可得n=-1，即B点坐标为(4，-1)，然后把点A、B的坐标分别代入y=k₁x+b得到关于k₁、b的方程组，解方程组即可求得答案；

(3)设与轴交于点，先求出点C坐标，继而求出，根据分别求出，，再根据确定出点在第一象限，求出，继而求出P点的横坐标，由点P在直线上继而可求出点P的纵坐标，即可求得答案.

解：(1)观察图象可知当或，k₁x+b> ；

(2)把代入，得，

∴ ，

∵点在上，∴ ，

∴ ，

把，代入得

，解得，

∴ ；

(3)设与轴交于点，

∵点在直线上，∴ ，

，

又，

∴ ，，

又，∴点在第一象限，

∴ ，

又，∴ ，解得，

把代入，得，

∴ .

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.

6．（1）反比例函数解析式为y=﹣ ，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．

【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；

（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S_△_AOB=S_△_AOC+S_△_BOC进行计算；

（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．

解：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，

所以反比例函数解析式为，

把B（n，﹣4）代入，

得﹣4n=﹣8

解得n=2，

把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得：，解得：，

所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；

（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，

即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），

∴S_△_AOB=S_△_AOC+S_△_BOC= ×2×2+ ×2×4=6；

（3）由图可得，不等式kx＋b− ＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．

7．（1）；（2）；（3）

【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；

（2）利用先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；

（3）设而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.

解：（1）点在反比例函数的图象上，

则

设直线为：

则

所以直线为：

（2）轴，．

所以反比例函数为：

（3）设而为的中点，

【点拨】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.

8．(1)y＝，y＝﹣x＋1；(2)（2，8）或（2，﹣4）

【分析】（1）把点A（﹣1，2）代入求出n的值，即可得到反比例函数的解析式，把B（m，﹣1）代入求得的反比例函数的解析式得到m的值，把A、B两点的坐标代入一次函数，求出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；

（2）根据已知条件确定AD的长及点D的坐标，由DC＝2AD得到DC＝6，从而求得点C的坐标．

（1）解：把点A（﹣1，2）代入得，

2＝，

解得n＝﹣2，

∴反比例函数的解析式是y＝，

把B（m，﹣1）代入y＝得，

﹣1＝，

解得m＝2，

∴ 点B的坐标是（2，﹣1），

把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入得，

，

解得，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x＋1；

（2）解：∵直线l y轴，AD⊥l，点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，﹣1），

∴ 点D的坐标是（2，2），

∴ AD＝2－（﹣1）＝3，

∵ DC＝2DA，

∴ DC＝6，

设点C的坐标为（2，m），

则｜m－2｜＝6，

∴ m－2＝6或m－2＝﹣6，

解得m＝8或﹣4，

∴ 点C的坐标是（2，8）或（2，﹣4）

【点拨】此题是一次函数与反比例函数综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合思想的应用是解答此题的关键．

9．（1），；（2）．

【分析】（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；

（2）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可得．

解：（1）将点代入得：，

则反比例函数的解析式为；

当时，，解得，即，

将点代入得：，解得，

则一次函数的解析式为；

（2）对于一次函数，

当时，，即，

，

轴，且，

，，

，

解得．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．

10．(1)一次函数的表达式为；(2) ；(3)

【分析】（1）将、两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；

（2）当，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的即可；

（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图像即可判断反比例函数的系数，进而得到反比例函数的解析式．

（1）解：由题意得：，，

∴ ，

由题意得，

解得：，

∴一次函数的表达式为：；

（2）解：由图像可知，当时，

一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的值为，

当时，满足的x的取值范围为；

（3）解：一次函数的图像平移后为，

函数图像经过第一、三象限，

要使正比例函数与反比例函数没有交点，

则反比例的函数图像经过第二、四象限，则反比例函数的，

当时，满足条件，

反比例函数的解析式为．

【点拨】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．

11．(1) ，；(2) ；(3)2．

【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可；

（2）由图像可知当x在A、B两点之间时y₁<y₂，，所以x取值在A、B两点横坐标之间；

（3）根据平移性质可知，CF=t，求出两直线之间的距离即为△ACD的高CG，通过A、C坐标求出线段AC长，列出△ACD面积= 的代数式求解即可．

解：（1）∵一次函数y₁＝kx＋b的图像与函数y₂＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，

∴ Shape553 ， Shape554 ，

解得： Shape555 ，，

∴y₁、y₂的解析式为：，；

（2）从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y₁<y₂，

∴x的取值范围为：；

（3） <a href="/tags/25/" title="分类" class="c1" target="_blank">分类</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/116/" title="挑战" class="c1" target="_blank">挑战</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a>

作CG⊥DE于G，如图，

∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到，

∴ ，CF=t，

∵直线AB的解析式为，

∴直线AB与y轴的交点为C ，与x轴的交点为，

即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，

∴∠FCA=45°，

∵CG⊥DE，，

∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离，

∴∠GCF=∠GFC=45°，

∴CG= = ，

∵A、C两点坐标为：A（6，－），C ，

∴线段AC= ，

∴ ，

∵△ACD的面积为6，

∴3t=6，

解得：t=2．

【点拨】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键．

12．(1) ；(2) ；(3)见分析

【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；

（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；

（3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明．

解：（1）∵直线过点，

∴

∴将代入中，得，

∴反比例函数的表达式为

（2）∵点在的图象上，

∴ ，

∴

设平移后直线的解析式为，

将代入中，得4=1+b，

解得．

（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点．

∵ 在反比例函数的图象上，

∴n=-4，

∴B（-4，-1）

又∵ ，

∴ ，，

∴

∴ ，

又∵直线与轴、轴分别交于点，，

∴ ，，

∴

在和中，

Shape624

∴ ．

【点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．

13．（1）①C（1，3）．②t=﹣4 或2；（2）满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．

【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；

（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．

②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣ 上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣ 上，可得mn=﹣8.

解：（1）①如图1﹣1中，

由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，

∴C（1，3）；

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），

∵点C在y= 上，

∴t（t+2）=8，

∴t=﹣4 或2；

（2）如图2中，

①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），

∴m+n=0；

②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣ 上，

作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，

∴OB=OH，AB=D′H，

∵A（a，m），

∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），

∵D′在y=﹣ 上，

∴mn=﹣8，

综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．

【点拨】本题考查了反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．

14．（1）k=3；D（1，3）；（2）m+3n=9

【分析】（1）先根据，BC＝2得出OA的长，再根据点B、C的横坐标都是3可知BC∥AO，故可得出B点坐标，再根据点B在反比例函数的图象上可求出k的值，由AC∥x轴可设点D（t，3）代入反比例函数的解析式即可得出t的值，进而得出D点坐标；

（2）过点A′作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OA′，根据AC∥x轴可知∠A′ED＝∠A′FO＝90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA′∽△A′FO，设A′（m，n），可得出，再根据勾股定理可得出m²＋n²＝9，两式联立可得出的值.

解：（1）∵ ，BC＝2，

∴OA＝3，

∵点B、C的横坐标都是3，

∴BC∥AO，

∴B（3，1），

∵点B在反比例函数的图象上，

∴ ，解得k＝3，

∵AC∥x轴，

∴设点D（t，3），

∴3t＝3，解得t＝1，

∴D（1，3）；

（2）过点A′作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OA′（如图所示），

∵AC∥x轴，

∴∠A′ED＝∠A′FO＝90°，

∵∠OA′D＝90°，

∴∠A′DE＝∠OA′F，

∴△DEA′∽△A′FO，

设A′（m，n），

∴ ，

又∵在Rt△A′FO中，m²＋n²＝9，

∴m+3n=9.

【点拨】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．

15．（1）4；（2）y＝，n=1;(3)

【分析】（1）先求出OA＝8，进而求出AB；

（2）先求出点B坐标，进而求出点D坐标，再求出反比例函数解析式，即可得出结论；

（3）先求出点F坐标，设出点G的坐标，进而表示出CG，FG，最后用勾股定理即可得出结论．

解：（1）∵四边形OABC是矩形，且点E（8，n）在边AB上，

∴OA＝8，

∵OA＝2AB，

∴AB＝4，

故答案为4；

（2）由（1）知，OA＝8，AB＝4，

∴B（8，4），

∵点D是OB的中点，

∴D（4，2），

∵点D在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝4×2＝8，

∴反比例函数的解析式为y＝，

∵点E（8，n）在反比例函数图上

∴8n＝8，

∴n＝1；

（3）如图，连接FG，

由（2）知，反比例函数解析式为y＝，

∴点F（2，4），

∴CF＝2，

设点G的坐标为（0，m），

∴OG＝m，

∴CG＝OC﹣OG＝AB﹣OG＝4﹣m，

由折叠知，CF＝OG＝m

在Rt△FCG中，CG²+CF²＝FG²，

∴（4﹣m）²+4＝m²，

∴m＝，

∴OG＝．

【点拨】反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，待定系数法，中点坐标公式，勾股定理，求出点D的坐标是解本题的关键．

16．(1)①4；②10；(2)

【分析】（1）①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；

②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；

（2）由题意可知，，，，再由点在函数图象上，求出反比例函数的解析式为，再求点，，用待定系数法求出直线的解析式，设，则，再由方程，求出的值即可求的长．

（1）解：①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，

，，

，

截取的矩形面积的最大值4；

故答案为：4；

②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，

，，

，

截取的矩形面积的最大值10；

故答案为：10；

（2）解：，

，，

，

，，

点在函数图象上，

，

反比例函数的解析式为，

和之间的距离为4，，

，

设直线的解析式为，

，

解得，

，

设，则，

，

解得，

的长为．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．

17．（1）见分析；（2）有，当时，最大值为3；当时，函数有最小值；（3）见分析

【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；

（2）观察图像可得函数的最大值；

（3）根据，得到和互为相反数，再分，，，分别验证．

解：（1）列表如下：

x	．．．	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	．．．
y	．．．	-1		-3	0	3		1		．．．

函数图像如图所示：

（2）根据图像可知：

当x=1时，函数有最大值3；当时，函数有最小值；

（3）∵ 是函数图象上的点，，

∴ 和互为相反数，

当时，，

∴ ，，

∴ ；

当时，，

则；

同理：当时，，

，

综上：．

【点拨】本题主要考查正比例函数，反比例函数的图像和性质，描点法画函数图像，准确画出图像，理解是解题的关键．

18．（1），；（2）点P坐标为；（3）．

【分析】（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.

(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；

（3）的周长的最小值为DE+ ，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.

解：（1）∵D为的中点，，

∴ ．

∵四边形是矩形，，

∴D点坐标为．

∵ 在的图象上，

∴ ．∴反比例函数解析式为．

当时，．

∴E点坐标为．

∵直线过点和点

∴

解得

∴直线的解析式为．

∴反比例函数解析式为，

直线的解析式为．

（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．

此时的周长最小．∵点D的坐标为，

∴点的坐标为．

设直线的解析式为．

∵直线经过

∴

解得 Shape785

∴直线的解析式为．

令，得．

∴点P坐标为．

（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2）， (-1,4).又B(2,4),

∴BD=1,BE=2, B=3.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE= = .

在Rt△B E中，由勾股定理，得 E= = .

的周长的最小值为 +DE = ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.

19．(1) ；(2)

【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；

（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；

（1）解：把代入，得

Shape813 ，

解得，，

所以反比例函数解析式是；

（2）存在点P使△ABP周长最小，理由：

解 Shape816 和 Shape817 得，

和，

，

和，

，

作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，

△ABP的周长= ，

，

．

【点拨】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．

20．(1) ，；(2) ，

【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入即可求得，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标．

解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，

∵ ，

∴∠AOE+∠BOF=90°，

又∵∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠BOF=∠EAO，

又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，

∴△AOE≌△BOF（AAS），

∴AE=OF，OE=BF，

∵点A的坐标为，

∴AE=1，OE=4，

∴OF=1，BF=4，

∴B（4，-1），

将点A、B分别代入和，

解得，，；

（2）由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称，

∵ ，

∴OC=OA=OB=OD，

只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，

∴点C（4，1），点D（1，-4）．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．

21．(1) ；(2) ；(3) 或或

【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；

（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；

（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．

（1）解：把代入一次函数，得，

解得，

，

把代入反比例函数，得，

，

反比例函数的表达式为；

（2）解：令，解得或，

当时，，即，

当时，，

，

；

（3）解：存在，理由如下：

当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；

当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；

当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；

综上，P点坐标为或或．

【点拨】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．

22．（1）20；（2）能，见分析

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值

（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论

解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，

∴ ，

∴ ．将x=45代入

将x=45代入得：

点对应的指标值为．

（2）设直线的解析式为，将、代入中，

得，解得．

∴直线的解析式为．

由题得 Shape925 ，解得．

∵ ，

∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.

【点拨】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。

23．(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；(2)y＝（x≥3）；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见分析．

【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；

（2）设函数的表达式为：y= ，把C点坐标代入，求出k的值即可；

（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．

（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b

把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得，

解得：k=﹣2.5，b=12

∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；

（2）解：当x≥3时，设y= ，

把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5= ，

解得k=13.5，

∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；

（3）解：能，理由如下：

当x=15时，y= =0.9，

因为0.9＜1，

所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．

【点拨】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．

24．(1)y关于x的函数解析式为 Shape935 ；(2)恒温系统设定恒温为20°C；(3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；

（2）观察图象可得；

（3）代入临界值y=10即可．

（1）解：设线段AB解析式为y=k₁x+b（k≠0）

∵线段AB过点（0，10），（2，14），

代入得，

解得，

∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）．

∵B在线段AB上当x=5时，y=20，

∴B坐标为（5，20），

∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10），

设双曲线CD解析式为：y= （k₂≠0），

∵C（10，20），

∴k₂=200．

∴双曲线CD解析式为：y= （10≤x≤24），

∴y关于x的函数解析式为： Shape940 ；

（2）解：由（1）恒温系统设定恒温为20°C；

（3）解：把y=10代入y= 中，解得x=20，

∴20-10=10．

答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

【点拨】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．

25．（1），；（2），，，；（3）-12<x<0或x>3

【分析】（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B点坐标，进而求一次函数解析式；

（2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可；

（3）根据图像得出一次函数图像在反比例函数图像上方时x的取值范围即可.

解：（1）把A（3，4）代入，

∴m＝12，

∴反比例函数是；

把B（n，-1）代入得n＝−12．

把A（3，4）、B（-12，−1）分别代入y＝kx＋b中：

得，

解得，

∴一次函数的解析式为；

（2）∵A（3，4），△AOC为等腰三角形，OA= ，

分三种情况：

①当OA=OC时，OC=5，

此时点C的坐标为，；

②当AO=AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，

此时点C的坐标为；

③当CA=CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，

过A作AD⊥x轴，垂足为D，

由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x，则AC=x，

在△ACD中，

，

解得：x= ，

此时点C的坐标为；

综上：点C的坐标为：，，，；

（3）由图得：

当一次函数图像在反比例函数图像上方时，

-12<x<0或x>3，

即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：-12<x<0或x>3.

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想.

26．（1）y=﹣ ；（2）（-2，0）或（0，4）

解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上．

∴n=﹣2×（﹣1）=2

∴点A的坐标为（﹣1，2）

∵点A在反比例函数的图象上．

∴k=﹣2

∴反比例函数的解析式是y=﹣ ．

（2）∵A（-1，2），

∴OA= ，

∵点P在坐标轴上，

∴当点P在x轴上时设P（x，0），

∵PA=OA，

∴ ，

解得x=-2；

当点P在y轴上时，设P（0，y），

∴ ，

解得y=4；

当点P在坐标原点，则P（0，0）舍去．

∴点P的坐标为（-2，0）或（0，4）

27．(1) ，；(2)①8；②符合条件的点坐标是和．

【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k；

（2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可．

（1）解：将点代入，得，，

将点代入，得，

反比例函数的解析式为．

（2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

②分两种情况：设，．

ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，

∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，

∴ ，，

∴ ．

ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，

∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，

∴ ，，

∴ ．

综上所述，符合条件的点坐标是和．

【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．

28．(1)直线的表达式为；(2) ；(3)存在，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形

【分析】（1）把点A（a,−3）代入反比例函数y＝− （x＞0）得到a＝4，求得A（4，−3），根据勾股定理得到OA＝，根据菱形的性质得到OC＝AB＝OA＝5，设直线BC的解析式为y＝mx＋n,列方程组即可得到结论；

（2）把B（−1，−3）代入y＝得y＝，解方程组得到D（−4，− ），过D作DE⊥AB于E，根据三角函数的定义即可得到结论；

（3）①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论．

解：（1）反比例函数经过点，

，

四边形为菱形，

，

，，

设直线的解析式为，

则，

解得 Shape1073 ，

直线的表达式为；

（2），

，

解 Shape1080 得，或不合题意舍去，

，

如图，过作于，

，，

；

（3）存在，理由如下，

当四边形是平行四边形时，如图，

，

把代入得，，

；

当四边形是平行四边形时，如图，

，

把代入得，，

，

综上所述，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键．

29．(1)(﹣3，1)；(2) ，；(3)存在，或或

【分析】对于（1），先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断△DGA≌△AHB，得DG=AH=3，BH=AG=1，即可得出答案；

对于（2），先根据运动表示出点，的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；

对于（3），先求出点，的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．

解：（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，

∵点A（-6，0），D（-7，3），

∴OA=6，OG=7，DG=3，

∴AG=OG-OA=1．

∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，

∴∠GDA=∠BAH．

又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，

∴△DGA≌△AHB，

∴DG=AH=3，BH=AG=1，

∴点B的坐标是（-3，1）；

（2）由（1），得点B（-3，1），D（-7，3），

∴运动t秒时，点，．

设反比例函数的关系式为，

∵点，在反比例函数图象上，

∴ ，

解得，k=6，

∴反比例函数的关系式为；

（3）存在，理由：由（2）知，点，，，

∴ ，，反比例函数关系式为，

设点Q ，点P（0，s）．

以点PQ 四个点为顶点的四边形是平行四边形，

∴①当PQ与是对角线时，

∴ ，，

解得，，

∴ ，；

②当与是对角线时，

∴ ，，

解得，，

∴ ，；

③当与是对角线时，

∴ ，，

解得，，

∴ ，．

综上所述：或或．

【点拨】这是一道关于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．

30．(1) ；(2) ；(3)Q点的坐标为：，，，，．

【分析】（1）首先证明，再根据直线AD求出点A、D的坐标，利用全等三角形的对应边相等，写出点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可得出反比例函数的表达式；

（2）利用图像可以看出当时，一次函数图象在A点之后，E点之前符合条件，所以将一次函数与反比例函数的表达式联立，求出点E的坐标，点A的坐标（1）中已求出，根据两点的横坐标，即可得到不等式的解集；

（3）△DAO≌△ABM得到点B的坐标，然后设出Q点的坐标，分别讨论当CB=CQ，BC=BQ，QC=QB时，得出Q点的坐标．

解：（1）证明：四边形是正方形，

，，

，

轴，

，

在和中，

Shape1193 ，

；

对于直线，

令，则，

，

令，则，

，

，，

，将点代入反比例函数中，得，

反比例函数的解析式为 ①．

（2）解：直线的解析式为 ②，

联立①②得， Shape1216 ，

解得，或，

，；

由图象可得不等式的解集为．

（3）证明：如图，过点B作BM垂直于x轴垂足为M，

∵四边形是正方形，

∴ ，，

∵BM⊥x轴，x轴⊥y轴，

∴ ，

∵ ，，

∴ ，

∵在△DAO和△ABM中

Shape1230

∴△DAO≌△ABM（AAS），

∴OA BM 1，OD AM 3，

∴OM AM－OA 2，

∴B（2，－1），

设Q（a，0）

CB＝，CQ＝，BQ＝

①当△CBQ为等腰三角形，CB＝CQ时，

∴ ，

解得：，

此时，

②当△CBQ为等腰三角形，BC＝BQ时，

∴ ，

解得：，，

此时，，

③当△CBQ为等腰三角形，QC＝QB时，

∴ ，

∴

解得：，

此时，

∴Q点的坐标为：，，，，．

【点拨】此题是反比例函数的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，待定系数法，解方程组等知识点，正确理解题意是解题的关键．

31．(1) ；(2) 随的增大而减小

【分析】（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出点的坐标，待定系数法求出值即可；

（2）利用梯形的面积公式求出与的关系式，再进行分析即可．

（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，

当时，；当时，，

，．

为线段的中点，

，

反比例函数的图象过点，

；

（2）点是反比例函数的图象上一个动点，

设，

，

设，则，

随的增大而减小，

在中，，

时，随的增大而增大，

随的增大而减小．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，是解题的关键．

32．（1）；（2），；（3）80米

【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可；

（2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可；

（3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案．

解：（1）如图，过点D作于点H，

∵ ，，

∴ ，

∵ ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ，

∵ ，，

∴ ，

∴ ；

故答案为：；

（2）把代入中，得：，

∴ ，

把代入，得：，

∴ ，

∴双曲线的解析式为，

联立，得：，

即，

解得：，，

∴ ，

∴ ；

如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，

则，

整理得：，

∴ ，

∴ 或（不符合题意，舍去），

∴直线的解析式为，

由，

解得：，

∴ ，

∴ ；

故答案为：；．

（3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，

则，

∵直线平分第二、四象限角，

∴ ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ，

代入，得，

解得：，

∴ ，

联立得：，

解得：或，

∴ ，，

∴ ，

∵ ，，

∴四边形是平行四边形，

∵ ，

∴四边形是矩形，

∴ ，

答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．

【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算．

33．（1）；（2）；（3），证明见分析

【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；

（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y= x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；

（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，BE=CH=1，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OH=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论．