专题6.40 反比例函数（全章复习与巩固）（巩固篇）

一、单选题

1．下列函数中不是反比例函数的是（    ）

A． B． C． D．

2．定义新运算：a※b＝ ，例如：4※5＝ ，4※（﹣5）＝ ．那么函数y＝2※x（x≠0）的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

3．反比例函数y= ，关于其函数图象下列说法错误的是（     ）

A．位于第二、四象限 B．图象过点（-1,3）

C．关于原点成中心对称 D．y随x的增大而增大

4．在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y₁），B（2，y₂），C（3，y₃）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₂＜y₃＜y₁ B．y₁＜y₂＜y₃ C．y₁＜y₃＜y₂ D．y₃＜y₂＜y₁

5．如图，点 和 都在反比例函数 的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接 、 ，若四边形 的面积记作 ， 面积记作 ，则（  ）

A． B．

C． D．

6．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交反比例函数 的图象于点C，连接BC，若 ，则k的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．已知 ，函数 与 在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）．若反比例函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　）

A．2≤k≤3 B．2≤k≤4 C．3≤k≤4 D．2≤k≤3.5

9．为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量 与时间 成正比例，喷雾完成后y与x成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于 时，对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是（    ）

A．每立方米空气中含药量从 上升到 需要

B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是

C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成 后学生才能进入教室

D．每立方米空气中含药量不低于 的持续时间为

10．如图，已知点 ．点P是反比例函数 图象上一动点，已知点P到点 的距离等于点P到直线 距离的 倍， 轴交直线 于点M，则 的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．在1，2，3， 这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数 的图象在第二、四象限的概率是________.

12．已知点 在函数 （ 是常数， ）的图象上，若将点C先向下平移 个单位，再向左平移 个单位，得点D，点D恰好落在此函数的图象上， 的值是______．

13．如图，已知点A在反比例函数图像上， 轴于点M，且 的面积为4，则反比例函数的解析式为___________．

14．若反比例函数y= （m≠0）与正比例函数y=7x无交点，则m的取值范围是___________

15．在平面直角坐标系中，将反比例函数 的图像沿着x轴折叠，得到的图像的函数表达式是_________．

16．如图，点 为反比例函数 第三象限内图象上一点，连接 并延长，交该函数第一象限内的图象于点 ，过点 作 轴交反比例函数 的图象于点 ，连接 ，则 的面积为 _____．

17．将等腰直角三角形 按图的方式放在平面直角坐标系中，其中点 ，点 ，点 在双曲线 的图像 上．

（1） ______________；

（2）将 沿着 轴正方向平移 个单位得到 ．

①当双曲线 过线段 的中点时，点 的坐标是___________；

②当线段 和双曲线 有公共点时， 的取值范围是_______________．

18．如图，矩形 的两边落在坐标轴上，反比例函数 的图像在第一象限的分支交 于点 ，交 于点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，连接 ．则下列结论：① ；②四边形 为平行四边形；③若 ，则 ；④若 ， ，则 ．其中正确的有__________．（填序号）

三、解答题

19．如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象在第一象限内交于 点，直线 与y轴交于A点．

(1)求一次函数的解析式和 的面积；

(2)当 时，直接写出不等式 的解集．

20．已知直线 过点 ．点 为直线 上一点，其横坐标为 ．过点 作 轴的垂线，与函数 的图象交于点 ．

(1)求 的值；

(2)①求点 的坐标（用含 的式子表示）；

②若 的面积等于3，求出点 的横坐标 的值．

21．如图，直线 交坐标轴于点 ，且与反比例函数 的图象相交于点 ， ．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)连接 ，在x轴上找一点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，求出点 的坐标．

22．如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 第一象限内的图象相交于点 ，与x轴相交于点B．

(1)求n和k的值；

(2)如图，以 为边作菱形 ，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交 于点E，连接 ，求 ．

23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线 （x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为G，连接OD．已知△AOB≌△ACD．

(1)如果b=﹣2，求k的值；

(2)试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式．

24．如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，点 ，一次函数 与y轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数解析式；

(2)连接 ，求 的面积；

(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接 ，把线段 绕点A顺时针旋转 ，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．

参考答案

1．D

【分析】根据反比例函数的概念进行判断即可．

解： A． 是反比例函数；

B． 是反比例函数；

C． 可得 是反比例函数；

D．中 是正比例函数，不是反比例函数，符合题意；

故选D．

【点拨】本题考查了反比例函数的表达式，形如 是y关于x的反比例函数，也可表示为 或 是反比例函数．

2．D

【分析】根据题干中新运算定义求出y=2※x的解析式，进而求解．

解：由题意得y＝2※x＝ ，

故选：D．

【点拨】本题考查函数图象，解题关键是理解题意，掌握求新运算的方法，根据函数y= 2※x的解析式求解．

3．D

【分析】根据反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系进行判断即可．

解：A、反比例函数 中的 ，则该函数图象经过第二、四象限，正确，故本选项不符合题意；

B、反比例函数 ，当 时 ，正确，故本选项不符合题意；

C、反比例函数 的图象关于原点对称，正确，故本选项不符合题意；

D、反比例函数 中的 ，则在每个象限内， 随 的增大而增大，错误，故本选项符合题意．

故选：D．

【点拨】考查了反比例函数的性质，解题的关键是了解反比例函数的性质，属于反比例函数的基础性题目，比较简单．

4．C

【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标及函数的增减性分析，即可得到答案．

解：∵k＞0，

∴反比例函数y＝ （k＞0）的图象在一、三象限，且当 时， 随x的增大而减小；当 时， 随x的增大而减小；

∵点A（﹣1，y₁），B（2，y₂），C（3，y₃）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上

∴点A（﹣1，y₁）在第三象限，B（2，y₂），C（3，y₃）两点在第一象限，

∴y₁＜0，y₂＞0， y₃＞0，

∵

∴y₂＞y₃＞0，

∴y₁，y₂，y₃的大小关系为y₁＜y₃＜y₂．

故选：C．

5．C

【分析】根据图象上点的坐标特征求出 ， ，根据反比例函数比例系数k的几何意义求得 ，然后根据 求得 ，即可求解．

解：∵点 和 都在反比例函数 的图象上．

∴ ，

∴点 ， ，

∵过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N．

∴ ，

如图，过点B作 交 的延长线于点K，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，分别求得 、 的值是解题的关键．

6．A

【分析】连接 ， 与y轴交于点 ，根据条件求出 的面积，然后根据 的几何意义即可求得．

解：如图，连接 ， 与y轴交于点 ，

正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，且 轴，

，

根据反比例函数的中心对称性得： ，

，

，

，

，

，

．

故选：A

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，相关知识点有：中心对称性、 的几何意义等，熟练运用反比例函数的性质是解题关键．

7．A

【分析】根据一次函数与y轴的正半轴相交，即可排除C、D两项，再根据一次函数和反比例函数中的系数k的符号即可作答．

解：当 时， ，

即一次函数 与y轴的正半轴相交，交点为： ，故C、D两项错误，不符合题意，

A项，由一次函数 的图象经过一、二、三象限可知 ，由反比例 的图象经过一、三象限可知 ，故A项正确，符合题意；

B项，由一次函数 的图象经过一、二、四象限可知 ，由反比例 的图象经过一、三象限可知 ，二者矛盾，故B项错误，不符合题意；

故选：A．

【点拨】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．

8．B

【分析】根据△ABC三顶点的坐标可知，当k最小是反比例函数过点A，当k取最大值时，反比例函数与直线相切，且切点在线段BC上，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的最小值，再由点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，将其代入反比例函数中，令△=0即可求出k的最大值，从而得出结论．

解：当反比例函数过点A时，k值最小，

此时k=1×2=2；

∵1×3=3×1，

∴反比例函数图象与直线BC的切点在线段BC上，

设直线BC的解析式为y=ax+b，

∴有 ，

解得： ，

∴直线BC的解析式为y=-x+4，

将y=-x+4代入y= 中，得：-x+4= ，

即x²-4x+k=0，

∵反比例函数图象与直线BC只有一个交点，

∴△=（-4）²-4k=0，

解得：k=4．

综上可知：2≤k≤4．

故答案是：2≤k≤4．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及根的判别式，解题的关键是求出k的最小值与最大值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标利用待定系数法求出直线解析式，将其代入反比例函数中利用相切求出k值是关键．

9．C

【分析】首先根据题意，喷雾阶段，室内每立方米空气中的含药量y与喷雾时间x成正比例；喷雾后，y与x成反比例，且其图象都过点 将数据代入用待定系数法可求得在比例和反比例函数的函数解析式，再分别计算即可得出结果．

解：设喷雾阶段函数解析式为 由题意得：

∴此阶段函数解析式为

设喷雾结束后函数解析式为 由题意得：

∴此阶段函数解析式为

A.在喷雾阶段，当 时， 当 时， 共需要 ，故此选项不符合题意．

B.每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 故此选项不符合题意．

C.喷雾结束后，当 时， 为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成 后学生才能进入教室，故此选项符合题意．

D.在喷雾阶段，当 时， 在喷雾结束后，当 时， 所以每立方米空气中含药量不低于 的持续时间为 故此选项不符合题意．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了一次函数，反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

10．B

【分析】根据 ， ，得出 ，根据 ，得出 ，根据平行线的性质，得出 ，得出 等于点P到直线 距离的 倍，得出 ，得出 的最小值即为 的最小值，即当F、P、N三点共线时， 最小，求出最值即可．

解：∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ 轴交直线 于点M，

∴ ，

∴ 等于点P到直线 距离的 倍，

∵点P到点 的距离等于点P到直线 距离的 倍，

∴ ，

∴ 的最小值即为 的最小值，

当F、P、N三点共线时， 最小，

∴其最小值为 ，故B正确．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是求出 ，得出 的最小值即为 的最小值，是解题的关键．

11．

【分析】四个数任取两个有6种可能．要使图象在第四象限，则k<0，找出满足条件的个数，除以6即可得出概率．

解：依题可得，任取两个数的积作为k的值的可能情况有6种（1，2）、（1，3）、（1，-4）、

（2，3）、（2，-4）、（3，-4），

要使反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，则k＜0，

这样的情况有3种即（1，-4）、（2，-4）、（3，-4），

故概率为： = .

【点拨】本题考查反比例函数的选择，根据题意找出满足情况的数量即是解题关键.

12． ##

【分析】先表示出点 的坐标，根据点 、点 均在函数 上，构造方程求解即可；

解：点 向下平移 个单位，再向左平移 个单位得 ；

∴

∵点 、点 均在函数 上

∴ ，

∴

解得：

故答案为：

【点拨】本题考查了反比例函数的性质、平面直角坐标系中点的平移变换；熟练掌握反比例函数图像与函数表达式的关系是解题的关键．

13．

【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为 ，据此即可得解．

解：设反比例函数的解析式为： ，

反比例函数的图像在第二、四象限，

，

又 轴于点M，且 的面积为4，

，

，

反比例函数的解析式为： ．

【点拨】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解此题的关键．

14．m<0

【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求解 ．

解：∵正比例函数y=7x中，7＞0，

∴正比例函数y=7x的图象过第一、三象限，

∵反比例函数y= （m≠0）与正比例函数y=7x无交点，

∴反比例函数y= （m≠0）的图象过第二、四象限，

∴m＜0．

故答案为：m＜0．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数和反比例函数的性质，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．

15． ．

【分析】根据关于x轴对称点的规律，可得反比例函数的解析式．

解：∵反比例函数 的图像沿着x轴折叠，

∴ ，即 ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及关于x、y轴对称点的坐标的特点．如（a，b）关于x轴对称点的坐标（a，-b），关于y轴对称点的坐标（-a，b）．

16．3

【分析】连接 ，延长 ，交 轴于点 ，根据反比例函数系数 的几何意义得到 ，根据反比例函数的中心对称性对称 ，即可得出 ．

解：连接 ，延长 ，交 轴于点 ，

轴，

轴，

， ，

，

是反比例函数 图象上第三象限上的点，连接 并延长交该函数第一象限的图象于点 ，

、 关于原点 成中心对称，

，

故答案为：3．

【点拨】本题考查了反比例函数 的几何意义，反比例函数的对称性，明确 是解题的关键．

17．     3         

【分析】（1）作 轴于点E，证明 ，从而求得 ，即可求解；

（2）①根据平移的性质得到平移后的中点为 ，再解方程即可求解；

②考虑当 在双曲线 上时，当 在双曲线 上时，两种情况，即可求解．

解：（1）作 轴于点E，

则 ，

∵ 是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∵点 在双曲线 的图像 上，

∴ ；

故答案为：3；

（2）①设 的中点为D，

则 ， ，

∴ ，

∵将 沿着 轴正方向平移 个单位得到 ，

∴y值不变，则平移后的中点为 ，

依题意得 ，

解得 ，

∴点 的坐标是 ；

②设平移后 ，

当 在双曲线 上时，有 ，

解得 ，

当 在双曲线 上时，有 ，

解得 ，

∴线段 与双曲线 有公共点时， 的取值范围是 ．

故答案为： ； ．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合，涉及全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、函数图象上点的坐标特征，有一定难度．

18．①②④

【分析】根据题意，设 ， ，则点 ， ， ，从而求出直线 的解析式，点 的坐标，可判断 ，根据平行四边形的性质，面积公式， ， 即可求解．

解：矩形 ，比例函数 ，

∴设 ， ，则点 ， ， ，

∴设直线 的解析式为 ，

∴ ，解得， ，

∴直线 的解析式为 ，

令 ，则 ，解得， ，

∴ ，则 ，

∵ ，

∴ ，则 ，

∵矩形 ，

∴ ， ，

∴四边形 是平行四边形，

∴ ，故①正确；

∵四边形 是平行四边形，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 是平行四边形，故②正确；

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，且 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∵直线 的解析式为 ，

∴ ，且 ，

∴ ，

∴ ，故③错误；

∵ ，

∴ ，解得， ，

∵ ，即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ （舍去）或 ，故④正确；

综上所述，正确的有①②④，

故答案为：①②④．

【点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，反比例函数图形的性质是解题的关键．

19．(1)一次函数的解析式为 ，3；(2)

【分析】（1）将点 代入 得到点M的坐标，再将点M的坐标代入 即可得到b值，即可得到一次函数的解析式，进一步求得A点坐标，利用三角形面积公式即可求得 的面积；

（2）根据图象即可求解．

（1）解：将点 代入 得： ，

解得 ，

∴ ，

将 代入 ，得： ，解得： ，

∴一次函数的解析式为 ，

令 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的面积为： ；

（2）由图象可知，当 时，不等式 的解集为 ．

【点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解本题的关键．

20．(1) ；(2)① ；②

【分析】（1）由直线 过点 ，代入直线解析式即可求解；

（2）①根据题意可求点P的纵坐标为 ，由 轴，可得点 的纵坐标为 ，由点Q在函数 的图象上，可求点Q的横坐标即可；②根据点P，Q的坐标可求 的长，利用三角形面积公式，即可．

（1）解：∵直线 过点 ，

∴ ，即 ．

（2）解：①∵ 在直线 上且横坐标为 ，

∴点 的纵坐标为 ，

∵ 轴，

∴点 的纵坐标为 ．

∵点 在函数 的图象上，

∴点 的横坐标为 ．

∴点 的坐标为 ．

②∵ ， ，

∴ ，

∵ 中 边上的高 ，

∴ ，

∵ 的面积等于3，

∴ ，

∴ （舍）， ，

∴点 的横坐标 为 ．

【点拨】本题考查一次函数解析式与反比例函数，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积是解题关键．

21．(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 ；(2) ， 或

【分析】（1）利用待定系数法先将点 的坐标代入反比例函数先求出点 的坐标，分别代入一次函数解析式以及反比例函数解析式求解即可；

（2）分类讨论，①当 时，利用勾股定理求出 的长然后根据点 在 轴上求解即可；②当 时，利用等腰三角形三线合一的性质求解即可．

（1）解： ， ，且 在反比例函数图象上，

代入

，

解得 ，

，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，

反比例函数的表达式为 ．

， ，

，

解得

一次函数的表达式为 ．

（2）解： 点 的坐标为 ，

，

分两种情况：①当 时，

∵点 在 轴上，

的坐标为 或 ；

②如图，当 时，作 轴于点 ，则 ，

．

点 的坐标为 ．

综上所述，当 是以 为腰的等腰三角形时，点 的坐标为 ， 或 ．

【点拨】本题考查反比例函数的性质、一次函数，利用待定系数法求解解析式以及分类讨论分解问题是解决本题的关键，是渗透了数学学科模型观念、推理能力的核心素养．

22．(1) ； ；(2)

【分析】（1）把点 代入一次函数 ，得到n的值为3；再把点 代入反比例函数 ，得到k的值为12；

（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为 ，过点A作 轴，垂足为G，根据勾股定理得到 ，再根据菱形的性质可得 ，即可求解．

（1）解：把点 代入一次函数 ，得：

；

∴点 ，

把点 代入反比例函数 ，得：

，解得： ；

（2）解：∵一次函数 与 轴相交于点B，

当 时， ，

解得 ，

∴点B的坐标为 ，   

如图，过点A作 轴，垂足为G，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

在 中， ．

∵四边形 是菱形，

∴ ， ，

∴ ．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

23．(1)4；(2) ，y=x．

【分析】（1）首先求出直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线 （ x＞0）的图象上求出k的值．

（2）首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（ ，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式．

解：（1）当b=﹣2时，直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，﹣2），

∵△AOB≌△ACD，

∴CD=OB=2，AO=AC=1．

∴点D的坐标为（2，2）．

∵点D在双曲线 （ x＞0）的图象上，

∴k=2×2=4．

（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（ ，0），B（0，b），

∵△AOB≌△ACD，

∴CD=OB=b，AO=AC= ，

∴点D的坐标为（﹣b，﹣b）．

∵点D在双曲线 （ x＞0）的图象上，

∴ ，即k与b的数量关系为： ．

∴直线OD的解析式为：y=x．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的性质、待定系数法求解一次函数，熟掌握一次函数与反比例函数的图像及性质是解题的关键．

24．(1) ； ；(2)4；(3)点E的坐标为

【分析】（1）将 代入反比例函数的解析式求得m的值，再将 代入 ，即可求解；

（2）利用 的面积 ，即可求解；

（3）设点 ， ，又 ，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解.

（1）解：将 代入反比例函数 ，

解得 ，

∴ ，

将 代入 ，

得 ，

将 ，点 代入 ，

，解得 ，

∴ ；

（2）解：设一次函数 与y轴交于点C，与y轴交于点D，

令 ，则 ，令 ，则 ，

∴ 的面积

；

；

（3）解：设点 ， 又 ，

由旋转知： 为等腰直角三角形，

∴ ，

解得 ，

∴ .

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键．