专题6.32 反比例函数（存在性问题）（基础篇）

1．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ．

1. 求反比例函数和一次函数的解析式；

2. 请直接写出不等式 的解集．

3. 若直线 与 轴交于点 轴上是否存在一点 ，使 ？若存在，请求出点 坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ．点 在反比例函数 的图像上的一点， 轴，垂足为 ， 与 交于点 ， ．

(1)求 ， 的值；

(2)若点 为 轴上的一点，求当 最小时，点 的坐标；

(3) 是平面内一点，是否存在点 使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与反比例函数图像交于第一象限内的点 ， 轴于点 ， ．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)在直线 上是否存在点 ，使点 到正比例函数直线 的距离等于点 到点 的距离？若存在，求点 坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （x>0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点．

(1)求一次函数的表达式；

(2)求△AOB的面积；

(3)在直线AB上是否存在点P，使得S_△ONP=3S_△AOB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

5．已知反比例函数y 图象过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y 的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点M．

(1)求反比例函数的解析式和直线y＝ax+b解析式．

(2)若点C的坐标是（0，﹣2），求△CAB的面积．

(3)在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

6．一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），与反比例函数y （k≠0）的图象的交点为A和B，且点B的横坐标是﹣2，

(1)求反比例函数解析式；

(2)若x轴上存在点D，使得BC＝CD，直接写出点D的坐标．

7．如图，点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC=5．

(1)求m，n的值并写出反比例函数的表达式；

(2)连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知反比例函数 的图象经过第二象限内的点 ， 轴于点 ， 的面积为2．若直线 经过点 ，并且经过反比例函数 的图象上另一点 ．

（1）求直线 的解析式；

（2）设直线 与 轴交于点 ，求 的长；

（3）在双曲线上是否存在点 ，使得 的面积为8？若存在请求 点坐标；若不存在请说明理由．

9．如图，已知反比例函数y＝ 的图象与一次函数的图象y＝mx+n的图象交于点A（﹣2，1），点B（1，a）．

（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；

（2）若在x轴上存在一点P，使得S△_PAB＝3，直接写出点P的坐标．

10．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，AC平行于x轴，A、B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．延长CA交y轴于点D，AD＝1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在y轴上是否存在点P，使△PAB的周长最小，若存在，直接写出此时△PAB的周长；若不存在，说明理由．

11．如图，反比例函数 y＝ 的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．

（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；

（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；

（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；

（4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标.

12．如图，点A是反比例函数 上一点，作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，点A坐标为(-1，m)．

(1)求k和m的值．

(2)若直线 经过点A，交另一支双曲线于点C，求△AOC的面积．

(3)指出x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出结果．

(4)在y轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为6，如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．已知反比例函数 图象过第二象限内的点A（-2，m）AB⊥x轴于B， Rt△AOB面积为3, 若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数 的图象上另一点C（n，— ），

（1）反比例函数的解析式为，m= ，n= ；

（2）求直线y=ax+b的解析式；

（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，说明理由．

14．已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，B两点．

(1)求一次函数的解析式及B点的坐标；

(2)在网格中画出一次函数的图像，并根据函数图象，直接写出不等式 的解集；

(3)若在x轴上存在点P使得 ，求P的坐标．

15．如图，一次函数 的图象与反比例函数 图象交于 ．

1. 求线段 的长度；

2. 在x轴上存在一点C，使 为等腰三角形，求此时点C的坐标．

16．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于一、三象限内的 、 两点，直线 与 轴交于点 ，点 的坐标为 ．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求 的面积；

(3)在 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．

(1)直接写出关于 的不等式 的解集；

(2)在 轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，反比例函数 与 的图象交于 ， 两点， 轴，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，若 ， ．

1. 求反比例与一次函数的表达式；

2. 当 时，求 的取值范围；

3. 在反比例的图象上（除 点外）还存在到 点的距离等于线段 的点吗？若不存在，请说明理由，若存在，直接写出该点的坐标．

19．如图，点C是反比例函数 图象的一点，点C的坐标为 ．

(1)求反比例函数解析式；

(2)若一次函数 与反比例函数 相交于A，C点，求点A的坐标；

(3)在x轴上是否存在一个点P，使得 的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

20．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与x轴相交于N点．

(1)求一次函数的表达式：

(2)求 的面积；

(3)在直线AB上是否存在点P，使得 ，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案

1．(1) ， ；(2) 或 ；(3)存在， 或

【分析】（1）把点 代入 得到反比例函数的解析式为 ；把点 代入 得到一次函数的解析式为： ；

（2）当 时，得到 ，设 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．

（1）解：把点 代入 得， ，

，

∴反比例函数的解析式为 ；

把 代入 得， ，

，

把点 代入 得 ，

解得： ，

∴一次函数的解析式为 ；

（2）解：由一次函数图象与反比例函数图象可知，不等式 的解集，即 的解集为： 或

（3）解： 轴上存在一点 ，使 ；

当 时， ，

解得： ，

，

设 ，

或 ，

或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．

2．(1) ， ；(2)点 的坐标 ；(3)存在，点 的坐标为 ， ，

【分析】（1）把点 代入一次函数 ，可求出 的值，在把求出的点 的值代入反比例函数 （ ），可求出 的值；

（2）根据题意，求出点 的坐标，如图所示（见详解），作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ， ，即求 的最小值时点 的坐标，即直线 与 轴的交点，用待定系数求出直线 解析式即可求解；

（3）根据一次函数图像，反比例函数图像的性质分别求出 ， ， 的值，分别以 ， 边平行四边形的两边作图，以 为平行四边形的对角线作图，以 为平行四边形的对角线作图，图形结合即可求解．

（1）解：∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，

∴ ，即 ，

∴ ，代入反比例函数 得， ，即 ，则反比例函数为

∴ ， ．

（2）解：一次函数 与 轴交于点 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ 轴，垂足为 ，且点 在反比例函数 的图像上的一点，

∴点 的横坐标为 ，

∴ ，且 ，

如图所示，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，

∴ ，即求 的最小值时点 的坐标，

∵ ，设直线 的解析式为 ，

∴ ，解方程组得， ，

∴直线 的解析式为 ，

∴令 时， ，即点 ，

∴当 最小时，点 的坐标 ．

（3）解： ， ， ，

如图所示，过点 作 轴于 ，作 于 ，连接 ，

∴ ， ，即 ， ， ，

∴在 中， ；在 中， ；在 中， ，

①如图所示，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两线交于点 ，

∴四边形 为平行线四边形，

∴ ， ，则以 为直角边， 为斜边的直角三角形中，

∴ ，

∴点 在 轴的正半轴上，

∴点 的坐标为 ；

②如图所示，连接 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两线交于点 ，

∴四边形 为平行线四边形， ，

由①可知， 是 关于点 的对称点， ， ，过点 作 轴于 ，且 为等腰直角三角形，

∴点 的纵坐标为 ，即点 的纵坐标为 ，则 ，

∴ ，

∴点 的坐标为 ；

③如图所示，连接 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两线交于点 ，

∴四边形 为平行线四边形， ，

如图所示，过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，两线交于点 ，

同理， ， ，

∴点 的坐标为 ，

综上所示，点 的坐标为 ， ， ．

【点拨】本题主要考查一次函数，反比例函数，几何变换的综合，掌握一次函数，反比例函数的性质，几何图形的性质，图形结合是解题的关键．

3．(1) ；(2) ，

【分析】（1）已知正比例函数 与反比例函数图像交于第一象限内的点 ， 轴于点 ， ，可知点 的坐标，设反比例函数为 ，利用待定系数法即可求解；

（2）设 ，设点 到 距离为 ，根据已知条件可知 ，则 ， ，所以 ，即 ，由此即可求解．

（1）解：根据题意， ，则点 的纵坐标为 ，且点 在函数 ，

∴ ，解方程得， ，

∴ ，设反比例函数解析式为 ，

∴ ，解方程得， ，

∴反比例函数解析式为 ．

（2）解：设 ，设点 到 距离为 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，即 ，解方程得， ， ，

∴ ， ．

【点拨】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．

4．(1)y＝－2x＋6；(2)3；(3)点P的坐标为（0，6）或（6，－6）

【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；

（2）将△AOB的面积转化为 的面积即可；

（3）设 ，结合 ， ，求出y值，进而求出点P坐标；

（1）解：∵点A在反比例函数 上，

∴ ，解得m＝1，

∴点A的坐标为 ，

又∵点B也在反比例函数 上，

∴ ，解得n＝2．

∴点B的坐标为 ，

又∵点A、B在 的图象上，

∴ ，解得 ，

∴一次函数的表达式为 ；

2. 直线 与x轴的交点为N，

∴点N的坐标为 ，

∴ ；

2. 设 ，由（2）知 ，则 ，

∵ON＝3，

∴ ，

∴ ，则 或 ，将 代入 中，得 ，

解得 ，

将 代入 中，得 ，

解得 ，

故点P的坐标为 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．

5．(1) ； ；(2)9；(3)存在，P点坐标为 或 或 或

【分析】（1）将 代入 得 ，进而可得反比例函数解析式；将 代入 ，得 ，可得 点坐标，然后将 坐标代入 中求出 的值，进而可得 的解析式；

（2）如图，将 代入 中求解，可得 点坐标，根据 ，计算求解即可；

（3）设 ，由题意知 为等腰三角形，分3种情况求解： ①当 时， 即 ，求解满足要求的解即可；②当 时， ， ，进而可得 点坐标；③当 时， 即 ，求解满足要求的解即可．

（1）解：∵反比例函数 过点A

∴将 代入得

∴反比例函数解析式为 ；

将 代入 ，得

∴

将 ， 代入 得

解得

∴直线y＝ax+b解析式为 ．

（2）解：如图

将 代入 得

∴

∴

∴ 的面积为9．

（3）解：存在．

设 ，由题意知 为等腰三角形，分3种情况求解：

①当 时， 即

解得 ， （不合题意，舍去）

∴ ；

②当 时，

∵

∴

∴ 的坐标为 ， ；

③当 时， 即

解得

∴ ；

综上所述，在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，P点坐标为 或 或 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

6．(1)y ；(2)D（﹣2 2，0）或（2 2，0）

【分析】（1）把C的坐标代入y＝ax﹣1求得a的值，进而求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）根据等腰三角形的性质即可求得．

（1）解：∵一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），

∴2a﹣1＝0，解得a ，

∴一次函数为y x﹣1，

把x＝﹣2代入得，y 1＝﹣2，

∴B（﹣2，﹣2），

∵点B在反比例函数y （k≠0）的图象上，

∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，

∴反比例函数解析式为y ；

（2）∵B（﹣2，﹣2），C（2，0），

∴BC 2 ，

∴D（﹣2 2，0）或（2 2，0）．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质，求得B的坐标是解题的关键．

7．(1) ；(2)存在，

【分析】（1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；

（2）设 ，根据△PAB的面积等于四边形 的面积减去 和 ，建立方程，解方程求解即可

解：(1)点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，DC=5．

依题意，

解得

设反比例函数的解析式为 ，则

反比例函数的解析式为

(2)存在， ，理由如下，

如图，连接 ，设

，

，

，

解得

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例数的性质是解题的关键．

8．（1） ；（2） ；（3）存在(− ，8)或( ，-8)．

【分析】（1）根据△ABO的面积即可求出k的值，将A（-1，m），C（n，-2）分别代入解析式求A（-1，4），C（2，-2），代入y=ax+b即可求出a、b的值，从而得到直线解析式；

（2）先求得点M的坐标，利用勾股定理即可求解；

（3）利用三角形面积公式求得点P的纵坐标，代入求解即可．

解：（1）∵ΔAOB的面积为2，

∴ =2，

又∵函数图象在二、四象限，

∴k<0，

∴k=−4，

故y=− ，

则点A的坐标为(−1，4)，点C的坐标为 (2，−2)，

将点A(−1，4)，点C(2，−2)，代入y=ax+b，

，

解得： ，

故直线AC的解析式为：y=−2x+2；

（2）令y=0，可得x=1，

则点M的坐标为(1，0)，

在RtΔABM中，AB=4，BM=2，

则AM= =2 ；

（3）存在．

设点P的纵坐标为y，

则 BM×|y|=8，

解得y=±8，

故点P的坐标为(− ，8)或( ，-8)．

【点拨】本题考查了反比例函数综合题，首先根据反比例函数k的几何意义求出k值是关键，要求我们熟练待定系数法求函数解析式，第三问关键去根据三角形的面积确定P点纵坐标．

9．（1）反比例函数解析式为y＝﹣ ，一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；（2）P的坐标（1，0）或（﹣3，0）．

【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，把点B（1，a）代入a，然后把A、B的坐标代入y＝mx+n，根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）先求出一次函数图象与x轴的交点C的坐标，然后根据S△_ABP＝S△_APC+S△_BPC得到关于PC的方程，解方程求得PC，进而即可求得P的坐标．

解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象过点A（﹣2，1），

∴k＝﹣2×1＝﹣2，

∴反比例函数解析式为y＝﹣ ，

又∵点B（1，a）在y＝﹣ 上，

∴a＝﹣2，

∴B（1，﹣2），

又∵一次函数y＝mx+n的图象过A、B两点，

即 ，

解之得 ，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；

（2）如图，由直线AB：y＝﹣x﹣1可知，直线与x轴交点C的坐标（﹣1，0），

∴S△_ABP＝S△_APC+S△_BPC＝ PC×1+ 2＝3，

∴PC＝2，

∴P的坐标（1，0）或（﹣3，0）．

【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

10．（1）y＝ （x＞0）；（2）存在．△PAB的周长的最小值为2 +4 ．

【分析】（1）设A（1，k），则B（3，k-4），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3（k-4）=k，解得k=6，从而得到反比例函数的解析式；

（2）先计算出AB=2 ，作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，则A′（-1，6），PA=PA′，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，然后计算出BA′，从而得到△PAB的周长的最小值．

解：（1）∵∠C＝90°，AC平行于x轴，

∴CD⊥y轴，

∵AD＝1，AC＝2，BC＝4，

∴设A（1，k），则B（3，k﹣4），

∵B点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，

∴3（k﹣4）＝k，解得k＝6，

∴反比例函数的解析式为y＝ （x＞0）；

（2）存在．

∵A（1，6），B（3，2），

∴AB＝ ＝2 ，

作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，A′（﹣1，6），

则PA＝PA′，

∴PA+PB＝PA′+PB＝BA′，

∴此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，

∵BA′＝ ＝4

△PAB的周长的最小值＝AB+BA′＝2 +4 ．

【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，做此类题，先设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝ （k为常数，k≠0），然后把一组对应值代入求出k，从而得到反比例函数解析式．也考查了最短路径问题．

11．（1）y= ，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，-  ）或P（0， ）或P（0，6）或P（0， ）．

【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象，当自变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定；

（3）设一次函数交y轴于D，根据S△_ABO=S△_DBO+S△_DAO即可求解；

（4）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解．

解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k=3，

∵B（n,－1）在y= 的图象上，

∴n=-3．

∵A（1，3），B（-3，-1）在一次函数y＝mx＋b图象上，

∴ ，                

解得m=1，b=2．

∴两函数关系式分别是：y= 和y=x+2．

（2）由图象得：当-3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；

（3）设一次函数y=x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD=2，

∵A（1，3），B（-3，-1）

∴S△_DBO= ×3×2=3，S△_DAO= ×1×2=1

∴S△_ABO=S△_DBO+S△_DAO=4．

（4）OA= = ，

O是△AOP顶角的顶点时，OP=OA，则P（0，-  ）或P（0， ），

A是△AOP顶角的顶点时，由图象得， P（0，6），

OA是底边，P是△AOP顶角的顶点时，

设 P（0，x），分别过A、P作AN⊥x轴于N，PM⊥AN于M，

则AP=OP=x，PM=1，AM=3-x,

在Rt△APM中， 即

解得x= ，

∴P（0， ）．

故答案为（1）y= ，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，-  ）或P（0， ）或P（0，6）或P（0， ）．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同时在求解面积时，要巧妙地利用分割法，将面积分解为两部分之和．

12．（1）-4,4（2） （3） （4）存在，

试题分析：（1）根据△AOB的面积求出A点的坐标，然后根据A点坐标确定出反比例函数的解析式即可．

（2）将△AOC分成△AOM和COM两部分进行求解．先根据直线AC的解析式经过点A求出a的值，再求出M的坐标，即可得出OM的长，然后根据A、C的纵坐标即可求出△AOC的面积；

（3）由图象，根据A、C的横坐标即可得出答案．

（4）假设存在，设P（0，c），由 即可求解．

解：（1）

（2）把 代入 中

得

由

∴C（4,-1）   A（-1,4）

设直线与y轴交于点D，易得D（6,3）

（3）

（4）设

又

∴

∴

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

13． ；P₁(0, ) ； P₂(0,6)； P₃(0, ) ； P₄(0, )

解：试题分析：（1） ； m="3;" n=4 3分（2） 6分

（3）答：存在点P使△PAO为等腰三角形；

点P坐标分别为：

P₁(0, ) ； P₂(0,6)； P₃(0, ) ； P₄(0, )

考点：反比函数的应用

点评：本题属于对反比例函数的基本知识的理解和运用以及分析

14．(1) ， ；(2)画图见分析； 或 ；(3) 或 ．

【分析】（1）先求出 点纵坐标，代入一次函数解析式，求解 的值，即可求出解析式；然后联立反比例函数解析式组成方程组，求解另一个 的值，代入反比例函数即可求得 点坐标．

（2）连接 、 点 所在直线即是一次函数图像； 的解集，可以看图中一次函数图像在反比例函数图像上方部分，根据 、 点的横坐标即可写出对应解集．

（3）这样的 点有两个，分别在 轴的正半轴和负半轴各一个，设 ， 交 轴于 点，转化成 ，根据 、 点坐标可以求出 、 的高，用 的式子分别表示它们的底，即可求解 的值，从而求得 点坐标．

（1）解： ，则

∴ ,

∴

∴一次函数解析式为

联立有： ，解得

∴

∴B点坐标为

（2）解：作图如下，直线 即为一次函数图像；

的解集，表示一次函数图像在反比例函数图像上面的时候，

即 点左侧，或原点到 点之间，

的解集为： 或

（3）

解：当 在 轴正半轴时，如图 , ，设 交 轴于 点， 轴于 、 轴于 ， ， ，

则 ，    

化简得 ，解得

当 在 轴负半轴时，如图 , ，    

解得

所以 点坐标 或 ．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．

15．(1) ；(2) 或 或 或

【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把B点坐标代入到反比例函数解析式求出B点坐标，再利用勾股定理求出 即可；

（2）设点C的坐标为 ，则 ，然后根据等腰三角形的定义分情况讨论求解即可．

（1）解：把点 代入反比例函数 中得： ，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

把 代入反比例函数 中得： ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：设点C的坐标为 ，

∴ ，

当 时，则 ，

解得 ，

∴点C的坐标为 或 ；

当 时，则 ，

解得 ，

∴点C的坐标为 ；

当 时，则 ，

解得 或 （舍去），

∴点C的坐标为 ；

综上所述，点C的坐标为 或 或 或 ．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

16．(1) ；(2)6；(3)点 的坐标为： 或 或 或

【分析】（1）把点 代入 得到 ，把 代入 ，求得 ，即可得到答案；

（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）解方程组得到 ，根据勾股定理得到 ，①当 时，②当 时，③当 时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

（1）解：∵点 在 上，

∴ ，

∴ ，

∵ 在 上，

∴ ，

∴反比例函数的解析式为：

（2）∵ 交 轴于点 ，

∴ ，

∵ 与 交于点 ，

∴ ，

∴ ；

（3）∵ ，

∴ ，

当 时， 或 ，

当 时，如图1，过 作 于 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

时，如图2，过 作 于 ，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴

综上所述：点 的坐标为： 或 或 或

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键．

17．(1) ；(2)存在点 ，使得 的周长最小，此时点 的坐标为

【分析】（1）结合点 的横坐标，根据函数图象即可得；

（2）先求出反比例函数的解析式，从而可得点 的坐标，再根据两点之间的距离公式可得 的长，要使 的周长最小，只需 最小即可，过点 作关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，根据两点之间线段最短可得点 即为所求，然后利用待定系数法求出直线 的函数解析式，由此即可得．

（1）解：关于 的不等式 表示的是一次函数 的图象位于反比例函数 的图象的上方，

， ，

关于 的不等式 的解集为 ．

（2）解：将点 代入 得： ，

则 ，

将点 代入 得： ，

则 ，

，

的周长为 ，

要使 的周长最小，只需 最小即可，

如图，过点 作关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，

则 ，

由两点之间线段最短可知，点 即为所求，

设直线 的函数解析式为 ，

将点 代入得： ，解得 ，

则直线 的函数解析式为 ，

当 时， ，解得 ，

所以存在点 ，使得 的周长最小，此时点 的坐标为 ．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、点坐标与轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．

18．(1) ， ；(2) 或 ；(3) 和

【分析】（1）根据反比例函数系数 的几何意义即可求得 ，通过题意求得 ，即可求得 ，从而求得反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象即可求解；

（3）根据反比例函数的对称性即可求得．

解：（1）∵ 轴于点E， ，

∴

∵图象在二、四象限，

∴ ，

∴反比例函数的表达式为

∵ 轴， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵一次函数 中，当 时， ，

解得 ，

∴ ，

∴ ，

将 代入

得 ，

∴一次函数的表达式 ；

（2）解： 得 或 ，

∴ ，

由图象可知，当 时，x的取值范围是 或

（3）在反比例的图象上（除B点外）还存在两个到O点的距离等于线段 的点，这两点与A、B关于直线 对称，

∴该点的坐标为 和

【点拨】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，等腰直角三角形的判断和性质，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，解决的关键是掌握求得函数解析式的方法．

19．(1) ；(2) ；(3)存在，P点的坐标为 或 ．

【分析】（1）把 代入 解方程即可得到结论；

（2）把 代入 得到 ，解方程组即可得到结论；

（3）根据 的面积为10，可得 ，解得 ；

或 ，解得 ；即可得到结论．

（1）解：把点 代入 ，

∴ ，

∴反比例函数的解析式为 ；

（2）解：把 代入 得： ，解得 ，

∴ ，

∴ ，

∴ 或 ，

∴点A的坐标为 ；

（3）解：存在． 理由：假设存在，设P点坐标为 ，

设直线 与x轴交于点M

当 时， ，解得： ，

∴点M

∵ ，

∴ ，解得 ；

或 ，解得 ；

∴P点的坐标为 或

故存在P点使得 的面积为10．

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为 ，三角形的面积是 ．

20．(1) ；(2)3；(3)点P的坐标为 或

【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；

（2）将△AOB的面积转化为 的面积即可；

（3）设 ，结合 ， ，列出方程，求出y值，进而即可确定点P坐标．

（1）解：∵点A在反比例函数 上，

∴ ，

解得 ，

∴点A的坐标为 ，

又∵点B也在反比例函数 上，

∴ ，

解得 ．

∴点B的坐标为 ，

又∵点A、B在 的图象上，

∴ ，

解得 ，

∴一次函数的表达式为 ；

（2）直线 与x轴的交点为N，

当 时， ，

∴点N的坐标为 ，