【324257】2024八年级数学下册 专题6.32 反比例函数(存在性问题)(基础篇)(新版)浙教版
专题6.32
反比例函数(存在性问题)(基础篇)
1.如图,一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
.
求反比例函数和一次函数的解析式;
请直接写出不等式
的解集.
若直线
与
轴交于点
轴上是否存在一点
,使
?若存在,请求出点
坐标;若不存在,说明理由.
2.如图,一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于点
,与
轴交于点
.点
在反比例函数
的图像上的一点,
轴,垂足为
,
与
交于点
,
.
(1)求
,
的值;
(2)若点
为
轴上的一点,求当
最小时,点
的坐标;
(3)
是平面内一点,是否存在点
使得以
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有符合条件的点
的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,正比例函数
与反比例函数图像交于第一象限内的点
,
轴于点
,
.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)在直线
上是否存在点
,使点
到正比例函数直线
的距离等于点
到点
的距离?若存在,求点
坐标,若不存在,请说明理由.
4.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=
(x>0)的图象交于A(m,4),B(2,n)两点,与x轴相交于N点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)在直线AB上是否存在点P,使得S△ONP=3S△AOB,若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由.
5.已知反比例函数y
图象过第二象限内的点A(﹣2,2),若直线y=ax+b经过点A,并且经过反比例函数y
的图象上另一点B(m,﹣1),与x轴交于点M.
(1)求反比例函数的解析式和直线y=ax+b解析式.
(2)若点C的坐标是(0,﹣2),求△CAB的面积.
(3)在x轴上是否存在一点P,使△PAO为等腰三角形?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
6.一次函数y=ax﹣1的图象与x轴交于点C(2,0),与反比例函数y
(k≠0)的图象的交点为A和B,且点B的横坐标是﹣2,
(1)求反比例函数解析式;
(2)若x轴上存在点D,使得BC=CD,直接写出点D的坐标.
7.如图,点A(1,m),B(6,n)在反比例函数图象上,AD⊥y轴于点D,BC⊥y轴于点C,DC=5.
(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式;
(2)连结AB,在线段DC上是否存在一点P,使△PAB的面积等于10?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,已知反比例函数
的图象经过第二象限内的点
,
轴于点
,
的面积为2.若直线
经过点
,并且经过反比例函数
的图象上另一点
.
(1)求直线
的解析式;
(2)设直线
与
轴交于点
,求
的长;
(3)在双曲线上是否存在点
,使得
的面积为8?若存在请求
点坐标;若不存在请说明理由.
9.如图,已知反比例函数y=
的图象与一次函数的图象y=mx+n的图象交于点A(﹣2,1),点B(1,a).
(1)求反比例函数和一次函数的函数表达式;
(2)若在x轴上存在一点P,使得S△PAB=3,直接写出点P的坐标.
10.如图,直角△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,AC平行于x轴,A、B两点在反比例函数y=
(x>0)的图象上.延长CA交y轴于点D,AD=1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)在y轴上是否存在点P,使△PAB的周长最小,若存在,直接写出此时△PAB的周长;若不存在,说明理由.
11.如图,反比例函数
y=
的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A(1,3),B(n,-1).
(1)求反比例函数与一次函数的函数关系式;
(2)根据图象,直接回答:当x取何值时,一次函数的值大于反比例函数的值;
(3)连接AO、BO,求△ABO的面积;
(4)在y轴上存在点P,使△AOP为等腰三角形,请直接写出点P的坐标.
12.如图,点A是反比例函数
上一点,作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为2,点A坐标为(-1,m).
(1)求k和m的值.
(2)若直线
经过点A,交另一支双曲线于点C,求△AOC的面积.
(3)指出x取何值时,一次函数的值大于反比例函数的值,直接写出结果.
(4)在y轴上是否存在点P,使得△PAC的面积为6,如果存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
13.已知反比例函数
图象过第二象限内的点A(-2,m)AB⊥x轴于B,
Rt△AOB面积为3,
若直线y=ax+b经过点A,并且经过反比例函数
的图象上另一点C(n,—
),
(1)反比例函数的解析式为,m= ,n= ;
(2)求直线y=ax+b的解析式;
(3)在y轴上是否存在一点P,使△PAO为等腰三角形,若存在,请直接写出P点坐标,若不存在,说明理由.
14.已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
,B两点.
(1)求一次函数的解析式及B点的坐标;
(2)在网格中画出一次函数的图像,并根据函数图象,直接写出不等式
的解集;
(3)若在x轴上存在点P使得
,求P的坐标.
15.如图,一次函数
的图象与反比例函数
图象交于
.
求线段
的长度;
在x轴上存在一点C,使
为等腰三角形,求此时点C的坐标.
16.如图,在平面直角坐标系
中,一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于一、三象限内的
、
两点,直线
与
轴交于点
,点
的坐标为
.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求
的面积;
(3)在
轴上是否存在一点
,使
是等腰三角形?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
17.如图,一次函数
与反比例函数
的图象交于
,
两点.
(1)直接写出关于
的不等式
的解集;
(2)在
轴上是否存在点
,使得
的周长最小?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
18.如图,反比例函数
与
的图象交于
,
两点,
轴,直线
与
轴、
轴分别交于
,
两点,若
,
.
求反比例与一次函数的表达式;
当
时,求
的取值范围;
在反比例的图象上(除
点外)还存在到
点的距离等于线段
的点吗?若不存在,请说明理由,若存在,直接写出该点的坐标.
19.如图,点C是反比例函数
图象的一点,点C的坐标为
.
(1)求反比例函数解析式;
(2)若一次函数
与反比例函数
相交于A,C点,求点A的坐标;
(3)在x轴上是否存在一个点P,使得
的面积为10,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.
20.如图,一次函数
与反比例函数
的图象交于
,
两点,与x轴相交于N点.
(1)求一次函数的表达式:
(2)求
的面积;
(3)在直线AB上是否存在点P,使得
,若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
1.(1)
,
;(2)
或
;(3)存在,
或
【分析】(1)把点
代入
得到反比例函数的解析式为
;把点
代入
得到一次函数的解析式为:
;
(2)当
时,得到
,设
,根据三角形的面积公式即可得到结论.
(1)解:把点
代入
得,
,
,
∴反比例函数的解析式为
;
把
代入
得,
,
,
把点
代入
得
,
解得:
,
∴一次函数的解析式为
;
(2)解:由一次函数图象与反比例函数图象可知,不等式
的解集,即
的解集为:
或
(3)解:
轴上存在一点
,使
;
当
时,
,
解得:
,
,
设
,
或
,
或
.
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积的计算,待定系数法求函数的解析式,正确的理解题意是解题的关键.
2.(1)
,
;(2)点
的坐标
;(3)存在,点
的坐标为
,
,
【分析】(1)把点
代入一次函数
,可求出
的值,在把求出的点
的值代入反比例函数
(
),可求出
的值;
(2)根据题意,求出点
的坐标,如图所示(见详解),作点
关于
轴的对称点
,连接
交
轴于点
,
,即求
的最小值时点
的坐标,即直线
与
轴的交点,用待定系数求出直线
解析式即可求解;
(3)根据一次函数图像,反比例函数图像的性质分别求出
,
,
的值,分别以
,
边平行四边形的两边作图,以
为平行四边形的对角线作图,以
为平行四边形的对角线作图,图形结合即可求解.
(1)解:∵一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于点
,
∴
,即
,
∴
,代入反比例函数
得,
,即
,则反比例函数为
∴
,
.
(2)解:一次函数
与
轴交于点
,
∴
,
∵
,
∴
,
∵
轴,垂足为
,且点
在反比例函数
的图像上的一点,
∴点
的横坐标为
,
∴
,且
,
如图所示,作点
关于
轴的对称点
,连接
交
轴于点
,
∴
,即求
的最小值时点
的坐标,
∵
,设直线
的解析式为
,
∴
,解方程组得,
,
∴直线
的解析式为
,
∴令
时,
,即点
,
∴当
最小时,点
的坐标
.
(3)解:
,
,
,
如图所示,过点
作
轴于
,作
于
,连接
,
∴
,
,即
,
,
,
∴在
中,
;在
中,
;在
中,
,
①如图所示,过点
作
的平行线,过点
作
的平行线,两线交于点
,
∴四边形
为平行线四边形,
∴
,
,则以
为直角边,
为斜边的直角三角形中,
∴
,
∴点
在
轴的正半轴上,
∴点
的坐标为
;
②如图所示,连接
,过点
作
的平行线,过点
作
的平行线,两线交于点
,
∴四边形
为平行线四边形,
,
由①可知,
是
关于点
的对称点,
,
,过点
作
轴于
,且
为等腰直角三角形,
∴点
的纵坐标为
,即点
的纵坐标为
,则
,
∴
,
∴点
的坐标为
;
③如图所示,连接
,过点
作
的平行线,过点
作
的平行线,两线交于点
,
∴四边形
为平行线四边形,
,
如图所示,过点
作
轴的平行线,过点
作
轴的平行线,两线交于点
,
同理,
,
,
∴点
的坐标为
,
综上所示,点
的坐标为
,
,
.
【点拨】本题主要考查一次函数,反比例函数,几何变换的综合,掌握一次函数,反比例函数的性质,几何图形的性质,图形结合是解题的关键.
3.(1)
;(2)
,
【分析】(1)已知正比例函数
与反比例函数图像交于第一象限内的点
,
轴于点
,
,可知点
的坐标,设反比例函数为
,利用待定系数法即可求解;
(2)设
,设点
到
距离为
,根据已知条件可知
,则
,
,所以
,即
,由此即可求解.
(1)解:根据题意,
,则点
的纵坐标为
,且点
在函数
,
∴
,解方程得,
,
∴
,设反比例函数解析式为
,
∴
,解方程得,
,
∴反比例函数解析式为
.
(2)解:设
,设点
到
距离为
,
∵
,
,
∴
,
∴
,
,
∴
,即
,解方程得,
,
,
∴
,
.
【点拨】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用,注意距离要加绝对值.数形结合,根据点坐标的特点,找到等量关系是解题的关键.
4.(1)y=-2x+6;(2)3;(3)点P的坐标为(0,6)或(6,-6)
【分析】(1)将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值,从而求出两点坐标;
(2)将△AOB的面积转化为
的面积即可;
(3)设
,结合
,
,求出y值,进而求出点P坐标;
(1)解:∵点A在反比例函数
上,
∴
,解得m=1,
∴点A的坐标为
,
又∵点B也在反比例函数
上,
∴
,解得n=2.
∴点B的坐标为
,
又∵点A、B在
的图象上,
∴
,解得
,
∴一次函数的表达式为
;
直线
与x轴的交点为N,
∴点N的坐标为
,
∴
;
设
,由(2)知
,则
,
∵ON=3,
∴
,
∴
,则
或
,将
代入
中,得
,
解得
,
将
代入
中,得
,
解得
,
故点P的坐标为
或
.
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题,待定系数法求一次函数的解析式,三角形的面积的计算,正确地求出一次函数的解析式是解题的关键.
5.(1)
;
;(2)9;(3)存在,P点坐标为
或
或
或
【分析】(1)将
代入
得
,进而可得反比例函数解析式;将
代入
,得
,可得
点坐标,然后将
坐标代入
中求出
的值,进而可得
的解析式;
(2)如图,将
代入
中求解,可得
点坐标,根据
,计算求解即可;
(3)设
,由题意知
为等腰三角形,分3种情况求解:
①当
时,
即
,求解满足要求的解即可;②当
时,
,
,进而可得
点坐标;③当
时,
即
,求解满足要求的解即可.
(1)解:∵反比例函数
过点A
∴将
代入得
∴反比例函数解析式为
;
将
代入
,得
∴
将
,
代入
得
解得
∴直线y=ax+b解析式为
.
(2)解:如图
将
代入
得
∴
∴
∴
的面积为9.
(3)解:存在.
设
,由题意知
为等腰三角形,分3种情况求解:
①当
时,
即
解得
,
(不合题意,舍去)
∴
;
②当
时,
∵
∴
∴
的坐标为
,
;
③当
时,
即
解得
∴
;
综上所述,在x轴上存在一点P,使△PAO为等腰三角形,P点坐标为
或
或
或
.
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合,反比例函数与一次函数的解析式,等腰三角形,反比例函数与几何综合等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
6.(1)y
;(2)D(﹣2
2,0)或(2
2,0)
【分析】(1)把C的坐标代入y=ax﹣1求得a的值,进而求得B的坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式;
(2)根据等腰三角形的性质即可求得.
(1)解:∵一次函数y=ax﹣1的图象与x轴交于点C(2,0),
∴2a﹣1=0,解得a
,
∴一次函数为y
x﹣1,
把x=﹣2代入得,y
1=﹣2,
∴B(﹣2,﹣2),
∵点B在反比例函数y
(k≠0)的图象上,
∴k=﹣2×(﹣2)=4,
∴反比例函数解析式为y
;
(2)∵B(﹣2,﹣2),C(2,0),
∴BC
2
,
∴D(﹣2
2,0)或(2
2,0).
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数的解析式,等腰三角形的性质,求得B的坐标是解题的关键.
7.(1)
;(2)存在,
【分析】(1)根据题意列出关于m与n的方程组,求出方程组的解得到m与n的值,确定出A与B坐标,设出反比例函数解析式,将A坐标代入即可确定出解析式;
(2)设
,根据△PAB的面积等于四边形
的面积减去
和
,建立方程,解方程求解即可
解:(1)点A(1,m),B(6,n)在反比例函数图象上,DC=5.
依题意,
解得
设反比例函数的解析式为
,则
反比例函数的解析式为
(2)存在,
,理由如下,
如图,连接
,设
,
,
,
解得
【点拨】本题考查了反比例函数的定义,掌握反比例数的性质是解题的关键.
8.(1)
;(2)
;(3)存在(−
,8)或(
,-8).
【分析】(1)根据△ABO的面积即可求出k的值,将A(-1,m),C(n,-2)分别代入解析式求A(-1,4),C(2,-2),代入y=ax+b即可求出a、b的值,从而得到直线解析式;
(2)先求得点M的坐标,利用勾股定理即可求解;
(3)利用三角形面积公式求得点P的纵坐标,代入求解即可.
解:(1)∵ΔAOB的面积为2,
∴
=2,
又∵函数图象在二、四象限,
∴k<0,
∴k=−4,
故y=−
,
则点A的坐标为(−1,4),点C的坐标为 (2,−2),
将点A(−1,4),点C(2,−2),代入y=ax+b,
,
解得:
,
故直线AC的解析式为:y=−2x+2;
(2)令y=0,可得x=1,
则点M的坐标为(1,0),
在RtΔABM中,AB=4,BM=2,
则AM=
=2
;
(3)存在.
设点P的纵坐标为y,
则
BM×|y|=8,
解得y=±8,
故点P的坐标为(−
,8)或(
,-8).
【点拨】本题考查了反比例函数综合题,首先根据反比例函数k的几何意义求出k值是关键,要求我们熟练待定系数法求函数解析式,第三问关键去根据三角形的面积确定P点纵坐标.
9.(1)反比例函数解析式为y=﹣
,一次函数的解析式为y=﹣x﹣1;(2)P的坐标(1,0)或(﹣3,0).
【分析】(1)根据待定系数法,可得反比例函数解析式,把点B(1,a)代入a,然后把A、B的坐标代入y=mx+n,根据待定系数法即可求得一次函数的解析式;
(2)先求出一次函数图象与x轴的交点C的坐标,然后根据S△ABP=S△APC+S△BPC得到关于PC的方程,解方程求得PC,进而即可求得P的坐标.
解:(1)∵反比例函数y=
的图象过点A(﹣2,1),
∴k=﹣2×1=﹣2,
∴反比例函数解析式为y=﹣
,
又∵点B(1,a)在y=﹣
上,
∴a=﹣2,
∴B(1,﹣2),
又∵一次函数y=mx+n的图象过A、B两点,
即
,
解之得
,
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1;
(2)如图,由直线AB:y=﹣x﹣1可知,直线与x轴交点C的坐标(﹣1,0),
∴S△ABP=S△APC+S△BPC=
PC×1+
2=3,
∴PC=2,
∴P的坐标(1,0)或(﹣3,0).
【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.
10.(1)y=
(x>0);(2)存在.△PAB的周长的最小值为2
+4
.
【分析】(1)设A(1,k),则B(3,k-4),利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3(k-4)=k,解得k=6,从而得到反比例函数的解析式;
(2)先计算出AB=2
,作A点关于y轴的对称点A′,连接BA′交y轴于P点,连接PA,如图,则A′(-1,6),PA=PA′,利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小,△PAB的周长最小,然后计算出BA′,从而得到△PAB的周长的最小值.
解:(1)∵∠C=90°,AC平行于x轴,
∴CD⊥y轴,
∵AD=1,AC=2,BC=4,
∴设A(1,k),则B(3,k﹣4),
∵B点在反比例函数y=
(x>0)的图象上,
∴3(k﹣4)=k,解得k=6,
∴反比例函数的解析式为y=
(x>0);
(2)存在.
∵A(1,6),B(3,2),
∴AB=
=2
,
作A点关于y轴的对称点A′,连接BA′交y轴于P点,连接PA,如图,A′(﹣1,6),
则PA=PA′,
∴PA+PB=PA′+PB=BA′,
∴此时PA+PB的值最小,△PAB的周长最小,
∵BA′=
=4
△PAB的周长的最小值=AB+BA′=2
+4
.
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式,做此类题,先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=
(k为常数,k≠0),然后把一组对应值代入求出k,从而得到反比例函数解析式.也考查了最短路径问题.
11.(1)y=
,y=x+2;(2)-3<x<0或x>1;(3)4;(4)P(0,-
)或P(0,
)或P(0,6)或P(0,
).
【分析】(1)利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据图象,当自变量取相同的值时,函数图象对应的点在上边的函数值大,据此即可确定;
(3)设一次函数交y轴于D,根据S△ABO=S△DBO+S△DAO即可求解;
(4)求得OA的长度,分O是顶角的顶点,和A是顶角顶点,以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解.
解:(1)∵A(1,3)在反比例函数图象上,∴k=3,
∵B(n,-1)在y=
的图象上,
∴n=-3.
∵A(1,3),B(-3,-1)在一次函数y=mx+b图象上,
∴
,
解得m=1,b=2.
∴两函数关系式分别是:y=
和y=x+2.
(2)由图象得:当-3<x<0或x>1时,一次函数的值大于反比例函数的值;
(3)设一次函数y=x+2交y轴于D,则D(0,2),则OD=2,
∵A(1,3),B(-3,-1)
∴S△DBO=
×3×2=3,S△DAO=
×1×2=1
∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=4.
(4)OA=
=
,
O是△AOP顶角的顶点时,OP=OA,则P(0,-
)或P(0,
),
A是△AOP顶角的顶点时,由图象得, P(0,6),
OA是底边,P是△AOP顶角的顶点时,
设 P(0,x),分别过A、P作AN⊥x轴于N,PM⊥AN于M,
则AP=OP=x,PM=1,AM=3-x,
在Rt△APM中,
即
解得x=
,
∴P(0,
).
故答案为(1)y=
,y=x+2;(2)-3<x<0或x>1;(3)4;(4)P(0,-
)或P(0,
)或P(0,6)或P(0,
).
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求函数解析式,用待定系数法确定函数的解析式,是常用的一种解题方法.同时在求解面积时,要巧妙地利用分割法,将面积分解为两部分之和.
12.(1)-4,4(2)
(3)
(4)存在,
试题分析:(1)根据△AOB的面积求出A点的坐标,然后根据A点坐标确定出反比例函数的解析式即可.
(2)将△AOC分成△AOM和COM两部分进行求解.先根据直线AC的解析式经过点A求出a的值,再求出M的坐标,即可得出OM的长,然后根据A、C的纵坐标即可求出△AOC的面积;
(3)由图象,根据A、C的横坐标即可得出答案.
(4)假设存在,设P(0,c),由
即可求解.
解:(1)
(2)把
代入
中
得
由
∴C(4,-1) A(-1,4)
设直线与y轴交于点D,易得D(6,3)
(3)
(4)设
又
∴
∴
考点:反比例函数与一次函数的交点问题
13.
;P1(0,
)
;
P2(0,6);
P3(0,
)
;
P4(0,
)
解:试题分析:(1)
;
m="3;"
n=4 3分(2)
6分
(3)答:存在点P使△PAO为等腰三角形;
点P坐标分别为:
P1(0,
)
;
P2(0,6);
P3(0,
)
;
P4(0,
)
考点:反比函数的应用
点评:本题属于对反比例函数的基本知识的理解和运用以及分析
14.(1)
,
;(2)画图见分析;
或
;(3)
或
.
【分析】(1)先求出
点纵坐标,代入一次函数解析式,求解
的值,即可求出解析式;然后联立反比例函数解析式组成方程组,求解另一个
的值,代入反比例函数即可求得
点坐标.
(2)连接
、
点
所在直线即是一次函数图像;
的解集,可以看图中一次函数图像在反比例函数图像上方部分,根据
、
点的横坐标即可写出对应解集.
(3)这样的
点有两个,分别在
轴的正半轴和负半轴各一个,设
,
交
轴于
点,转化成
,根据
、
点坐标可以求出
、
的高,用
的式子分别表示它们的底,即可求解
的值,从而求得
点坐标.
(1)解:
,则
∴
,
∴
∴一次函数解析式为
联立有:
,解得
∴
∴B点坐标为
(2)解:作图如下,直线
即为一次函数图像;
的解集,表示一次函数图像在反比例函数图像上面的时候,
即
点左侧,或原点到
点之间,
的解集为:
或
(3)
解:当
在
轴正半轴时,如图
,
,设
交
轴于
点,
轴于
、
轴于
,
,
,
则
,
化简得
,解得
当
在
轴负半轴时,如图
,
,
解得
所以
点坐标
或
.
【点拨】本题是反比例函数与一次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积,熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键.
15.(1)
;(2)
或
或
或
【分析】(1)先把A点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式,再把B点坐标代入到反比例函数解析式求出B点坐标,再利用勾股定理求出
即可;
(2)设点C的坐标为
,则
,然后根据等腰三角形的定义分情况讨论求解即可.
(1)解:把点
代入反比例函数
中得:
,
∴
,
∴反比例函数解析式为
,
把
代入反比例函数
中得:
,
∴
,
∴
,
∴
;
(2)解:设点C的坐标为
,
∴
,
当
时,则
,
解得
,
∴点C的坐标为
或
;
当
时,则
,
解得
,
∴点C的坐标为
;
当
时,则
,
解得
或
(舍去),
∴点C的坐标为
;
综上所述,点C的坐标为
或
或
或
.
【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合,勾股定理,等腰三角形的定义,利用分类讨论的思想求解是解题的关键.
16.(1)
;(2)6;(3)点
的坐标为:
或
或
或
【分析】(1)把点
代入
得到
,把
代入
,求得
,即可得到答案;
(2)根据三角形的面积公式即可得到结论;
(3)解方程组得到
,根据勾股定理得到
,①当
时,②当
时,③当
时,根据等腰三角形的性质即可得到结论.
(1)解:∵点
在
上,
∴
,
∴
,
∵
在
上,
∴
,
∴反比例函数的解析式为:
(2)∵
交
轴于点
,
∴
,
∵
与
交于点
,
∴
,
∴
;
(3)∵
,
∴
,
当
时,
或
,
当
时,如图1,过
作
于
,
∵
,
∴
,
∴
,
时,如图2,过
作
于
,
∴
,
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴
综上所述:点
的坐标为:
或
或
或
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题,待定系数法求函数的解析式,等腰三角形的判定,勾股定理,正确的理解题意,分类讨论是解题的关键.
17.(1)
;(2)存在点
,使得
的周长最小,此时点
的坐标为
【分析】(1)结合点
的横坐标,根据函数图象即可得;
(2)先求出反比例函数的解析式,从而可得点
的坐标,再根据两点之间的距离公式可得
的长,要使
的周长最小,只需
最小即可,过点
作关于
轴的对称点
,连接
,交
轴于点
,根据两点之间线段最短可得点
即为所求,然后利用待定系数法求出直线
的函数解析式,由此即可得.
(1)解:关于
的不等式
表示的是一次函数
的图象位于反比例函数
的图象的上方,
,
,
关于
的不等式
的解集为
.
(2)解:将点
代入
得:
,
则
,
将点
代入
得:
,
则
,
,
的周长为
,
要使
的周长最小,只需
最小即可,
如图,过点
作关于
轴的对称点
,连接
,交
轴于点
,
则
,
由两点之间线段最短可知,点
即为所求,
设直线
的函数解析式为
,
将点
代入得:
,解得
,
则直线
的函数解析式为
,
当
时,
,解得
,
所以存在点
,使得
的周长最小,此时点
的坐标为
.
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、点坐标与轴对称等知识点,熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键.
18.(1)
,
;(2)
或
;(3)
和
【分析】(1)根据反比例函数系数
的几何意义即可求得
,通过题意求得
,即可求得
,从而求得反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象即可求解;
(3)根据反比例函数的对称性即可求得.
解:(1)∵
轴于点E,
,
∴
∵图象在二、四象限,
∴
,
∴反比例函数的表达式为
∵
轴,
,
∴
,
∴
,
∴
,
∵一次函数
中,当
时,
,
解得
,
∴
,
∴
,
将
代入
得
,
∴一次函数的表达式
;
(2)解:
得
或
,
∴
,
由图象可知,当
时,x的取值范围是
或
(3)在反比例的图象上(除B点外)还存在两个到O点的距离等于线段
的点,这两点与A、B关于直线
对称,
∴该点的坐标为
和
【点拨】本题考查了反比例函数系数
的几何意义,等腰直角三角形的判断和性质,函数与不等式的关系,反比例函数的对称性,解决的关键是掌握求得函数解析式的方法.
19.(1)
;(2)
;(3)存在,P点的坐标为
或
.
【分析】(1)把
代入
解方程即可得到结论;
(2)把
代入
得到
,解方程组即可得到结论;
(3)根据
的面积为10,可得
,解得
;
或
,解得
;即可得到结论.
(1)解:把点
代入
,
∴
,
∴反比例函数的解析式为
;
(2)解:把
代入
得:
,解得
,
∴
,
∴
,
∴
或
,
∴点A的坐标为
;
(3)解:存在.
理由:假设存在,设P点坐标为
,
设直线
与x轴交于点M
当
时,
,解得:
,
∴点M
∵
,
∴
,解得
;
或
,解得
;
∴P点的坐标为
或
故存在P点使得
的面积为10.
【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题,反比例函数系数的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为
,三角形的面积是
.
20.(1)
;(2)3;(3)点P的坐标为
或
【分析】(1)将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值,从而求出两点坐标;
(2)将△AOB的面积转化为
的面积即可;
(3)设
,结合
,
,列出方程,求出y值,进而即可确定点P坐标.
(1)解:∵点A在反比例函数
上,
∴
,
解得
,
∴点A的坐标为
,
又∵点B也在反比例函数
上,
∴
,
解得
.
∴点B的坐标为
,
又∵点A、B在
的图象上,
∴
,
解得
,
∴一次函数的表达式为
;
(2)直线
与x轴的交点为N,
当
时,
,
∴点N的坐标为
,
- 1【330924】综合平移的坐标表示
- 2【330923】专题练习2:用计算器求平均数
- 3【330921】轴对称的坐标表示
- 4【330922】专题练习1:用计算器求平均数
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- 6【330919】直角三角形全等的判定
- 7【330918】直角三角巷的性质和判定(Ⅰ)
- 8【330917】正方形
- 9【330916】正比例函数的图象和性质
- 10【330915】长丰县2018-2019学年度第二学期期末考试八年级数学参考答案
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- 12【330913】一次函数知识点总结
- 13【330911】一次函数与一次方程的联系
- 14【330912】一次函数知识点归纳
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- 17【330909】一次函数
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