专题6.41 反比例函数（全章复习与巩固）（培优篇）

一、单选题

1．已知点P为反比例函数 的图象上一点，且点P 到坐标原点的距离为 ，则符合条件的点P有（    ）

A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个

2．如图，一次函数y＝－2x＋4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线AB上运动(点P不与点A，B重合)，反比例函数y＝ 的图象过点P，则k的最大值为(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

3．已知 ， ， 在反比例函数 上，则 ， ， 的大小关系为 　　

A． B． C． D．

4．若 ， 两点均在函数 的图像上，且 ＜ ，则 - 的值为（     ）

A．正数 B．负数 C．零 D．非负数

5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将 绕点O按顺时针旋转60°至 ，反比例函数 的图象经过点B，过A作 交反比例函数图象于点C，若 的面积为 ，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，矩形 的顶点A、B分别在反比例函数 与 的图像上，点C、D在x轴上， 分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（    ）

A． B．2 C． D．

7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于A、 两点，以 为边在第一象限作正方形 ，点 在双曲线 上．将正方形沿 轴负方向平移 个单位长度后，点 恰好落在该双曲线上，则 的值（　　）

A． B． C． D．

8．如图，A、B是函数 上两点， 为一动点，作 轴， 轴，下列说法正确的是(    )

① ；② ；③若 ，则 平分 ；④若 ，则

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

9．如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到 ．若反比例函数 的图象恰好经过 的中点D，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

10．2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分 ，每将 个单位的 溶解在一定量水中，则消毒液的浓度 （克/升）随着时间 （分钟）变化的函数关系式近似为 ，其中当 时， ，当 时， ．若多次溶解 ，则某一时刻水中 的浓度为每次溶解的 在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（    ）

A．一次投放4个单位的 ，在2分钟时，消毒液的浓度为 克/升

B．一次投放4个单位的 ，有效消毒时间可达8分钟

C．若第一次投放2个单位的 ，6分钟后再投放2个单位的 ，第8分钟消毒液的浓度为5克/升

D．若第一次投放2个单位的 ，6分钟后再投放2个单位的 ，接下来的4分钟能够持续有效消毒

二、填空题

11．将 代入反比例函数 中，所得函数值记为 ，又将 代入原反比例函数中，所得函数值记为 ，再将 代入原反比例函数中，所得函数值记为 ，…，如此继续下去，则 ______.

12．已知反比例函数 的图象经过点 ，则当 时，自变量x的取值范围______．

13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝ 的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________．

14．在同一坐标系中，反比例函数y= 和y= 分别与一个正比例函数在第一象限相交于A、B两点，则OA：OB=____．

15．如图，已知反比例函数 的图象经过点 ，在该图象上年找一点P，使 ，则点P的坐标为______．

16．如图， 位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及 的中点D在反比例函数 的图象上，点C在反比例函数 的图象上，则k的值为_______．

17．两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在 的图象上，PC⊥x轴于点C，交 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交 的图象于点B，当点P在 的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是__ ．

18．如图，矩形ABCO的顶点B（10，8），点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y＝ 的图象与边AB交于点F，则线段BF的长为_____．

三、解答题

19．如图，点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．

(1)求m的值；

(2)点M是函数y＝ （x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．

20．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，改造期间生产数量y（万支）与月份x之间的变化成反比例关系，如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：

(1)求出如图所示的函数图象的解析式并直接写出取值范围？

(2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？

21．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积；

（3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．

(1)求k和b的值；

(2)将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝ （k＜0）的图象上，并说明理由．

23．如图，一次函数 与反比例函数 交于 、 两点，其中点 的坐标为 ．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)在第二象限的反比例函数图象上是否存在一点 ，使得 的面积是 面积的2倍？若存在，求出点 的横坐标，若不存在，请说明理由；

(3)请结合图形，直接写出不等式 的解集．

24．如图1，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上，在第一象限内以 为边作 ，点 和边 的中点 都在反比例函数 的图象上，已知 的面积为

（1）求反比例函数解析式；

（2）点 是 轴上一个动点，求 最大时 的值；

3. 过点 作 轴的平行线（如图2），在直线 上是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．C

【分析】设（x， ），再根据点P到原点的距离 是可得到关于x的方程，求出x的值即可．

解：设点P坐标为（x， ），

∵点P到原点的距离是 ，

∴x²+（ ）²= ，

解得： ， ．

故点P坐标为（3,1），（-3，-1），（1,3），（-1，-3）.

∴符合条件的点有4个．

故选C．

【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据点P在反比例函数的图象上得出关于x的方程是解答此题的关键．

2．A

【分析】一次函数与反比例函数有交点，则-2x+4═ ，只有一个交点，则△≥0.

解：将y=-2x+4代入y= ，得-2x+4═ ，

整理得，2x²-4x+k=0，

∵两个函数图象只有一个公共点，

∴△=(-4)²-4×2•k≥0，

解得k≤2，

∴k的最大值为2.

故选A．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.

3．A

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．

解：∵反比例函数y=- 中k=-a²＜0，

∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．

∵（-3，y₁），（-15，y₂），（2，y₃）在反比例函数y=- 上，

∴（-3，y₁），（-15，y₂）在第二象限，点（2，y₃）在第四象限，

∴y₃＜y₂＜y₁．

故选A．

【点拨】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

4．B

解： ， 两点均在函数 的图像上，

可得ab=1, =1，即可得a=c，b= ，

所以b-c= -a= ，

再由 ＜ 可得1-a＞0，1+a＞0，所以 ，

即b-c＜0，

故选B.

5．D

【分析】过B点作 于E点，根据旋转的性质可得： ， ，即有 是等边三角形，则有 ， ，根据 ，可得 ，即可得 ，解方程可得 （负值舍去），则有 ，问题随之得解．

解：过B点作 于E点，如图，

根据旋转的性质可得： ， ，

∴ 是等边三角形，

∵ ，

∴ ，

∴在 中， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ （负值舍去），

∴ ，

∴ ，

∵反比例函数 的图象经过点B，

∴ ，

故选：D．

【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，根据 ，得到 ，是解答本题的关键．

6．D

【分析】设 、 ，根据题意：利用函数关系式表示出线段 ，然后利用三角形的面积公式计算即可．

解：设点A的坐标为 ， ．则 ．

∴点B的纵坐标为 ．

∴点B的横坐标为 ．

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

．

∴ ．

故选：D．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．

7．B

【分析】作 轴于点 ，交双曲线于点 作 轴于点 ，易证 ≌ ≌ ，求得A、 的坐标，根据全等三角形的性质可以求得 、 的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得平移后的点的坐标，则 的值即可求解．

解：作 轴于点 ，交双曲线于点 ，作 轴于点 ．

在 中，令 ，解得： ，

的坐标是 ．

令 ，解得： ，

的坐标是 ．

， ．

，

，

又 直角 中， ，

，

在 和 中，

，

≌ ，

同理， ≌ ≌ ，

， ，

的坐标是 ， 的坐标是 ．

点 在双曲线 上，

，

函数的解析式是： ．

把 代入 得： ．

．

故选： ．

【点拨】本题考查正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得 、 的坐标是关键．

8．B

【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a， ），A（ ，b），根据S△_BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误．

解：①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；

②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，

∵AP//x轴，BP//y轴，

∴四边形OEPF是矩形，S△_EOP=S△_FOP，

∵S△_BOE=S△_AOF= k=6，

∴S△_AOP=S△_BOP，故②正确；

③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，

∵S△_AOP= OA•PN，S△_BOP= BO•PM，S△_AOP=S△_BOP，AO=BO，

∴PM=PN，

∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；

④设P（a，b），则B（a， ），A（ ，b），

∵S△_BOP= BP•EO= =4，

∴ab=4，

∴S△_ABP= AP•BP= =8，

故④错误，

综上，正确的为②③，

故选B．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键．

9．C

【分析】作 轴于 证明 ≌ ，推出 ， ，求出点 坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．

解：作 轴于 ．

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∵点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵反比例函数 的图象经过点 ，

∴ ．

故选C．

【点拨】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化 旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

10．C

【分析】根据题意，对于题意根据当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，根据题意求得 时的函数值，即可判断A，令 根据上述函数关系式，求得 的取值范围，进而判断B选项，根据当 时，求得函数关系式，求得当 时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得 的最小值即可判断D选项．

解：对于A，由题意可得 ，当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，故A正确，

对于B，当 时， ，解得 ，

故 ，

当 时， ，解得 ，

故 ，

综上所述， ，

若一次投放4个单位的 ，消毒时间可达8分钟，故B正确，

对于C，当 时，

，当 时， ，

故C错误，

对于D，∵ ，

∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，

∴ 有最小值 ，

∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确．

故选C

【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键．

11．2

【分析】根据题意将x值依次代入 中，得y₁，y₂，y₃，y₄，发现y值的变化规律是三个数字为一个循环，将2018除以3得672余2，则 为一个循环的第2个数即可求解.

解： 时， ；

时， ；

时， ；

时， ；

时， ；

……

∴y的值是三个数值 为一个循环，

∵2018÷3=672…2，

∴ =2

故答案为：2

【点拨】本题考查反比例函数的定义，按照题目规则计算y值从而得到数字循环规律是解答此题的关键.

12．

【分析】根据反比例函数 的图象经过点 ，可以求得k的值，从而可以得到该函数图象在第几象限，从而可以得到相应的不等式，从而可以得到x的取值范围．

解： 反比例函数 的图象经过点 ，

，得 ，

，

该函数图象在第二、四象限，当 时， ；当 时， ；

当 时，则 ，

解得， ，

故答案为 ．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

13．4

【分析】先利用反比例函数解析式y＝ 确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的 .

解：把P(2a，a)代入y＝ 得:

2a•a=2，解得a=1或-1，

∵点P在第一象限，∴a=1，

∴P点坐标为(2，1)，

∴正方形的面积=4×4=16，

∴图中阴影部分的面积= ×正方形的面积=4．

故答案为4．

【点拨】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形．根据对称性理解阴影部分的面积是正方形面积的 是关键.

14． ：3．

【分析】分别过A、B作x轴的垂线AE、BF，垂足分别为E、F，设A（a， ），B（b， ）（a＞0，b＞0），证明△AEO∽△BFO，根据相似三角形的性质可得 ，代入数据即可求得b= a，再由 即可求解.

解：分别过A、B作x轴的垂线AE、BF，垂足分别为E、F，

设A（a， ），B（b， ）（a＞0，b＞0），

∴OE=a，OF=b，AE= ，BF= ，

∵AE∥BF，

∴△AEO∽△BFO，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴6a²=2b²，

∴b= a，

∵ ，

∴ ，

故答案为 ：3．

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用函数关系式表示点的坐标是数学中常用的方法，要熟练掌握，解决此类问题时与平行相似结合在一起列等量关系式，可以求出线段的比．

15．

解：分析：作AE⊥y轴于E，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，作A′F⊥x轴于F，则△AOE≌△A′OF，可得OF=OE=4，A′F=AE=3，即A′（4，-3），求出线段AA′的中垂线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可．

详解：作AE⊥y轴于E，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，作A′F⊥x轴于F，则△AOE≌△A′OF，可得OF=OE=4，A′F=AE=3，即A′（4，-3）

∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（3，4），

所以由勾股定理可知：OA=5，

∴4= ，OA=5，

∴k=12，

∴y= ，

∴AA′的中点K（ ， ），

∴直线OK的解析式为y= x，

由 ，解得 或 ，

∵点P在第一象限，

∴P（2 ， ），

故答案为（2 ， ）．

点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标

16．2

【分析】过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，根据平行四边形的性质以及 在 上，可得 ，设 ，则 ，可得 的坐标，进而根据 为 中点，根据中点坐标公式求得 的坐标，根据 在 上，列出方程，即可求得 的值．

解：如图，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，

四边形 是平行四边形

，

即

轴， 在 上，

，即

设 ，则

是 的中点

， 在 上，

即

得

故答案为：2

【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形结合， 的几何意义，平行四边形的性质，设参数法求解是解题的关键．

17．①②④．

解：①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为 ．

②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化．

③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB．

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．正确，当点A是PC的中点时，k=2，则此时点B也一定是PD的中点．

故一定正确的是①②④

18．

【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AD=AB=10，DE=BE；然后设点E的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长度，进而求出k的值，再把F点的纵坐标代入解析式可求得F点的坐标，即可求得BF的长．

解：∵△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，

∴AD=AB=10，DE=BE，

∵AO=8，AD=10，

∴OD= =6，

∴CD=10-6=4，

设点E的坐标是（10，b），

则CE=b，DE=10-b，

∵CD²+CE²=DE²，

∴4²+b²=（8-b）²，

解得b=3，

∴点E的坐标是（10，3），

设反比例函数y= ，

∴k=10×3=30，

∴反比例函数解析式为y= ，

∵F点纵坐标为8，

∴8= ，解得x= ，即AF= ，

∴BF=AB-AF=10- = ，

故答案为 ．

【点拨】（1）此题主要考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

（2）此题还考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

19．(1)24；(2)（12,2）

【分析】（1）根据点P为函数y= x+1图象的点，点P的纵坐标为4，可以求得点P的坐标，进而求得m的值；

（2）设点D的坐标（a， a+1），根据∠PMD＝45°，构造一线三垂直模型，表示出M点坐标，最后根据M在y＝ 上列方程求解即可．注意分两种情况：点M在点P右侧，点M在点P左侧．

解：（1）∵点P为函数y= x+1图象的点，点P的纵坐标为4，

∴4= x+1，解得：x=6，

∴点P（6，4），

∵点P为函数y= x+1与函数y= （x＞0）图象的交点，

∴4= ，

∴m=24；

（2）由（1）可得反比例函数解析式为

∵∠PMD＝45°，MD⊥AP

∴△PDM是等腰直角三角形

∴DP=DM

过D作EF平行x轴，过P作PE⊥EF于E，过M作MF⊥EF于F，交x轴于N

∴

∴ (AAS)，

∴DE=FM，EP=DF

∵PB⊥x轴，

∴E、P、B三点共线

∴四边形EBNF是矩形

设点D的坐标（a， a+1）

当M在AP右边时，a>6，如图

∵点P（6，4）

∴

∴

∴

∴M的坐标为

∵M在 上

∴ ，解得 或 （舍去）

此时M点坐标为（12,2）

当M在AP左边时， ，如图

∵点P（6，4）

∴

∴

∴

∴M的坐标为

∵M在 上

∴ ，解得 （舍去）或 （舍去）

综上所述，M点坐标为（12,2）

【点拨】本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用45°构造辅助线解题是关键．

20．(1)y=15x-15（4≤x≤12且x为正整数）；(2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．

【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，再根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式；

（2）直接利用（1）中所求，即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．

解：(1)当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y= ，

∵点（1，180）在该函数图象上，

∴180=

，得k=180，

∴y= （1≤x≤4且x为正整数），

当x=4时，y= =45，

即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；

设技术改造完成后对应的函数解析式为y=ax+b，

∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，

∴ ，

解得： ，

∴技术改造完成后对应的函数解析式为y=15x-15（4≤x≤12且x为正整数），

(2)

解得：2≤x≤7

∵x为正整数，

∴x=2，3，4，5，6，7，

答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．

【点拨】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

21．（1）y＝ ；（2）1；（3）△MNP的面积是不变的常数1，理由见分析．

【分析】（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），进而求解；

（2）MN⊥y轴，故MN∥x轴，则△MNP的面积S＝S_△OMN＝ k＝1；

（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，即可求解．

解：（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），

设反比例函数的表达式为：y＝ ，将点A的坐标代入上式得：2＝ ，解得：k＝2，

故反比例函数表达式为：y＝ ；

（2）∵MN⊥y轴，故MN∥x轴，

则△MNP的面积S＝S_△OMN＝ k＝1；

（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，

故△MNP的面积是不变的常数1．

【点拨】此题主要考查一次函数、反比例函数和几何综合，熟练掌握函数图象和性质是解题关键．

22．(1) ， ；(2)点C′在函数y＝ （k＜0）的图象上，证明见分析

【分析】（1）将 代入 可求出 的值；将 代入 可求出 的值；

（2）由一次函数的解析式求出 点坐标为 ．根据 与 的面积比为 ，得出 为 中点，利用中点坐标公式求出 点坐标为 ．过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 ．根据 证明△ ，得出 ， ，又 在第二象限，得出 ，进而判断点 是落在函数 的图象上．

（1）解：将 代入 ，

得， ，

，

将 代入 ，

得， ，

解得， ，

故所求 和 的值分别为 ，5；

（2）点 是落在函数 的图象上．理由如下：

，

时， ，解得 ，

．

与 的面积比为 ，

为 中点，

， ，

．

如图，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 ．

将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，

， ， ．

．

在△ 与 中，

，

△ ，

， ，

在第二象限，

，

点 是落在函数 的图象上．

【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握．

23．(1) ； ；(2)存在；点M的横坐标为 或 ；(3) 且

【分析】（1）把点A 分别代入 和 ，即可求出解析式；

（2）由题意知，分两种情况求解：①连接OA、OB，延长AO交反比例函数图像于一点M，则点M在第二象限，连接BM，则点A与点M关于原点对称，即 ，由中心对称的点坐标特征，即可得到点M的坐标；②如图1，过M作直线 使 ，设直线 的解析式为 ，将M 代入 ，求出 的值，可知直线 的解析式，进而可得在直线 上方，到直线 的距离与 到直线 距离相等的直线 的解析式，由题意知 的图象与反比例函数图象在第二象限的交点即为M，联立方程组求出符合要求的解即可；

（3）直接利用图像法，即可求出不等式的解集．

（1）解：根据题意，

∵一次函数 与反比例函数 交于点A ，

∴把点A 分别代入 和 ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴一次函数解析式为： ，

反比例函数的解析式为： ；

（2）解：由题意，联合得方程组：

，解得： 或 ，

∴点B的坐标为（ ，6）；

由题意知，分两种情况求解：

①连接OA、OB，延长AO交反比例函数图像于一点M，则点M在第二象限，连接BM，如图1：

∵点A和点M都是反比例函数 图像上的点，而且直线AM经过原点，

∴点A和点M关于原点O对称，

∴ ，即点O是AM的中点，

∴ ，

∵点A为 ，

∴点M为 ，

∴点M的横坐标为 ；

②如图1，过M作直线 使 ，

∴设直线 的解析式为 ，

将M 代入 ，解得 ，

∴直线 的解析式为 ，

∴可知在直线 上方，到直线 的距离与 到直线 距离相等的直线 的解析式为

由题意知 与 在第二象限的交点为M

∴联立方程组

解得 或 （不合题意，舍去）

∴点M的横坐标为 ；

综上所述，存在，点M的横坐标为 或 ；

（3）解：根据图像，

∵点A为 ，点B为（ ，6），

∴不等式 的解集为： 且 ；

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，反比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．

24．（1） ；（2） ；（3）存在．点 的坐标为 或 或 或

【分析】（1）先用k表示出点C，D的坐标，作 轴于点 轴于点 ，根据 ，列出方程，即可求解；

（2）由三角形的三边长关系可知：当 在一条直线上时， 最大，再求出直线CD的解析式，进而即可求解；

（3）设点 的坐标为 ，分三种情况讨论：①当∠QOC=90°时，②当∠OCQ=90°时，③当∠OQC=90°时，利用勾股定理，列出方程，即可求解．

解：（1）当 时， ，

，

中， ，

，

是边 的中点，

，即： ，

作 轴于点 轴于点 ，

则 ，解得： ．

反比例函数解析式为： ．

在 中， ，

当 在一条直线上时， ，

由 知， ，

设直线 的解析式为： ，

则 ，

解得： ，

的解析式为： ，

由 ，得 ，

最大时， 的值为 ；

设点 的坐标为 ，

①当∠QOC=90°时，则OQ²+OC²=QC²，即： ，解得：m= ，

∴点 的坐标为 ；

②当∠OCQ=90°时，则CQ²+OC²= OQ²，即： ，解得：m= ，

∴点 的坐标为 ；

③当∠OQC=90°时，则CQ²+OQ²= OC²，即： ，解得：m= 或 ，

∴点 的坐标为 或 ．

综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．

【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图像和性质，待定系数法，勾股定理，是解题的关键．