专题6.39
反比例函数（全章复习与巩固）（基础篇）
一、单选题
1．已知点
是双曲线
上一点，则下列各点不在该图象上的点是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知反比例函数
的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
与
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，直线
与双曲线
交于A，B两点，若
，则点B的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知反比例函数
的图象经过第一、三象限，则符合条件的
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．对于反比例函数
，下列说法不正确的是（ ）
A．图象关于
对称 B．当
时，y随x的增大而增大
C．图象位于第一、三象限 D．当
时，则
7．两个反比例函数
和
和
的交点个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．无数个
8．如图，
、
是反比例函数
图象上两点，连接
、
，则
的面积为（ ）
A．3 B．
C．2 D．
9．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流
与电阻
的关系图象，该图象经过点
．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．I与R的函数关系式是
C．当
时，
D．当
时，I的取值范围是
10．如图，直线l和双曲线y=
(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为
、△BOD的面积为
、△POE的面积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知函数
是y关于x的反比例函数，则
______．
12．已知反比例函数
的图象经过点
，则
关于
轴的对称点
坐标为______．
13．如图，符合图像的解析式是_____．（填序号）
①
②
③
和
④
．
14．若反比例函数
图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而增大，则k的取值范围是______．
15．已知：点
，
，
都在反比例函数
图象上
，用“＜”表示
、
、
的大小关系是_____．
16．如图，直线
交x轴于点C，交反比例函数
的图象A，B两点，过点B作
轴，垂足为D，连接
，若
，则k的值为_______．
17．如图，点A，B分别在函数
，
的图象上，点D，C在x轴上．若四边形
为正方形．则点A的坐标是______．
18．在平面直角坐标系
中，直线
向上平移1个单位长度得到直线
．直线
与反比例函数
的图象的一个交点为
，则
的值等于______．
三、解答题
19．已知反比例函数
．
(1)说出比例系数．
(2)求当
时函数的值．
(3)求当
时自变量x的值．
20．如图，点A在反比例函数
的图像上，
轴，垂足为B，
．
求k的值：
点C在这个反比例函数图像上，且
，求OC的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于
，
两点，与
轴交于点
．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点
在
轴正半轴上，且
，求点
的坐标；
22．已知反比例函数
（k为常数，
）．
（Ⅰ）若点
在这个函数的图象上，求k的值；
（Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）如图，若反比例函数
的图象经过点A，
轴于B，且
的面积为6，求k的值；
23．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
是气体体积
的反比例函数，其图像如图所示
写出这一函数表达式
当气体体积为
时，气压是多少？当气球内的气压大于
时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
24．如图，一次函数
和反比例函数
的图像交于点
，
．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求
的面积；
(3)根据图象直接写出不等式
的解集．
参考答案
1．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
解：
是双曲线
上一点，
，
A、
，故点
在该图象上；
B、
，故点
不在该图象上；
C、
，故点
在该图象上；
D、
，故点
在该图象上，
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
2．D
【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出
，即可得出结果．
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴
，
∴
，
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
3．C
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与性质判断即可．
解：
，
、
异号，
当
，
时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限；
当
，
时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限．
∴选项A、B、D中图象不符合题意，选项C中图象符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的图象位置与系数及常数项之间的关系是解答的关键．
4．C
【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可．
解：∵直线
与双曲线
交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点对称，
把
代入到
中得：
，
∴
，
∴
，
故选C．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键．
5．D
【分析】由
的图象经过第一、三象限可知
，进而求出m的取值范围，即可求解．
解：
反比例函数
的图象经过第一、三象限，
，
，
观察选项可知，只有选项D满足
，
故选D．
【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据图象经过的象限求出m的取值范围．
6．B
【分析】根据反比例函数的对称性即可判断A；根据反比例函数图象与系数的关系即可判断B、C、D．
解：由反比例函数的对称性可知，反比例函数
的图象关于
对称，故A不符合题意；
∵
，
∴反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B符合题意，C不符合题意；
当
时，
，
∴当
时，
，故D不符合题意；
故选B．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，反比例函数图象的对称性，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．
7．A
【分析】联立两函数解析式，然后根据Δ与0的大小关系即可判断．
解：联立
，
解得：
，
无解，
故选：A．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是联立解析式后利用
的值判断
8．B
【分析】根据反比例函数的坐标特征得到
，解得
；由反比例函数系数k的几何意义，根据
求得即可．
解：点
、
是函数
图象上的两点，
∴
，
解得
，
∴
、
，
作
轴于M，
轴于N，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到
是解题的关键．
9．D
【分析】设I与R的函数关系式是
，利用待定系数法求出
，然后求出当
时，
，再由
，得到
随
增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
解：设I与R的函数关系式是
，
∵该图象经过点
，
∴
，
∴
，
∴I与R的函数关系式是
，故B不符合题意；
当
时，
，
∵
，
∴
随
增大而减小，
∴当
时，
，当
时，
，当
时，I的取值范围是
，故A、C不符合题意，D符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
10．D
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝
解答即可．
解：根据双曲线的解析式可得
所以可得
设OP与双曲线的交点为
，过
作x轴的垂线，垂足为M
因此
而图象可得
所以
故选：D．
【点拨】本题主要考查了反比例函数
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为
，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
11．
【分析】根据反比例函数的定义可得
且
，由此求
的值即可．
解：∵函数y
是y关于x的反比例函数，
∴
解得
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是
，也可以写成
或
．解题的关键是牢记反比例函数的定义．
12．
【分析】根据反比例数的性质求得
的坐标，根据关于
轴对称的点的坐标特征即可求解．
解：∵反比例函数
的图象经过点
，
∴
，
解得：
，
∴
,
则
关于
轴的对称点
坐标为
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，关于
轴对称的点的坐标特征，得出点
的坐标是解题的关键．
13．④
【分析】根据题干图像为双曲线，且图像再第一象限和第二象限，得到
，逐一判断即可得到答案．
解：
双曲线图像在第一象限和第二象限，
，
应选④，
故答案为：④．
【点拨】本题考查了反比例函数图像，解题关键是掌握反比例函数
的图像是双曲线，当
时，图像位于第一、三象限；当
时，图像位于第二、四象限．
14．
【分析】根据反比例函数
图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而增大，得出
，解不等式即可求解．
解：依题意，
，
解得：
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，在
中，当
时，函数的图象在一、三象限，当
时，反比例函数的图象在二、四象限，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
15．
【分析】由
，可知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即可．
解：∵反比例函数
中，
，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
，
∴点
位于第三象限，
，
，
∴点
，
位于第一象限，
，
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
16．5
【分析】连接
，根据反比例函数比例系数k的几何意义求解即可．
解：连接
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数
（k为常数，
）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数
，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于
．
17．
【分析】设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数
，
的图象上得
，
，根据四边形
为正方形得
，解得
，得点A的纵坐标为5，将
代入
，进行计算即可得．
解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，
∵点A，B分别在函数
，
的图象上，
∴
，
，
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
（舍），
∴点A的纵坐标为5，
将
代入
得，
，
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
18．2
解：y=x向上平移1个单位长度可知直线
为y=x+1，因为点A(A(a，2)在y=x+1上，所以a+1=2，解得a=1.即点A（1，2），把（1，2）代入反比例函数
的得
，解得
=2．
19．(1)比例系数是
；(2)
；(3)
【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解；
（2）把
代入函数解析式进行求解即可；
（3）把
代入函数解析式进行求解即可．
（1）解：由反比例函数
可知比例系数为
；
（2）解：把
代入
得：
；
（3）解：把
代入
得：
，
解得：
．
【点拨】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
20．(1)8；(2)
【分析】（1）利用正切函数的定义可求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值．
（2）连接OC,过点C作
轴于点H，过点A作
于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出OH，CH的长度，进而利用勾股定理可得OC长度．
（1）解：
根据k值的几何意义可知：
（2）解：如图所示，连接OC,过点C作
轴于点H，过点A作
于点M．
四边形AMHB是矩形
设
，则
，
解得：
（舍去）
则
【点拨】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键．
21．(1)一次函数的解析式为：
，反比例函数的解析式为：
；(2)
【分析】（1）把点
代入反比例函数
，求出
；再把点
代入反比例函数
，求出
；再把点
，点
代入一次函数
，即可；
（2）点
在
轴正半轴上，设点
，
，即
，根据点
在一次函数
且与
轴相交，求出点
的坐标；进而表示出
，根据
，求出
的值，问题随之得解．
解：（1）∵点
在比例函数
上，
∴
，
∴
，
∴
；
∵点
在反比例函数
上，
∴
，
∴
，
∴点
，
∵点
，点
经过一次函数
，
∴
，
解得：
，
∴
．
∴一次函数的解析式为：
，反比例函数的解析式为：
．
（2）如图，点
在
轴正半轴上，所示：
设点
，
，即
，
∵点
在一次函数
且与
轴相交，
当
时，
，
∴点
，即
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
．
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合知识，待定系数法求解一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图像和性质．
22．（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k-1=1×2，然后解方程即可；
（2）根据反比例函数的性质得k-1>0，然后解不等式即可；
（3）根据反比例函数k的几何意义求解即可．
解：（1）∵点
在这个函数的图象上，
∴
，
∴
；
（2）∵在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴
，
∴
；
（3）由题根据反比函数k的几何意义，可知：
，
∴
，解得：
或
，
又∵反比例函数图象经过第二象限，
∴
，即：
，
∴
．
【点拨】本题考查求解反比例函数的系数，反比函数的性质及反比例函数k的几何意义，熟记基本性质是解题关键．
23．(1)
；(2)气压是
；(3)为了安全起见，气体的体积应不小于
【分析】（1）设
，将点
代入，得
，进行计算即可得；
（2）当
时，代入解析式即可求解；
（3）当
时，代入解析式即可求解．
（1）解：设
，
将点
代入，得
，
，
即这个函数的解析式为
；
（2）解：当
时，
，
即当气体体积为
时，气压是
；
（3）解：当
时，
，
所以为了安全起见，气体的体积应不少于
．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比函数的图像和性质．
24．(1)
；
；(2)6；(3)
或
【分析】（1）将点
代入反比例函数解析式得出
，根据
，
，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数得出
，然后根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（3）根据图象直接写出不等式
的解集，即可求解．
（1）解：∵反比例函数
的图象过点
，
∴
，即
，
∴反比例函数的解析式为：
．
∵一次函数
的图象过点
，
∴
，
解得
．
∴一次函数的解析式为：
；
（2）∵由
；
令
，则
，
∴
，
即
．
∴
；
（3）∵
，
．
∴不等式
的解集为：
或
．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．