【324247】2024八年级数学下册专题6.22 反比例函数（折叠问题）（培优篇）（新版）浙教版

专题6.22 反比例函数（折叠问题）（培优篇）

一、单选题

1．如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（　　）

A． B． C． D．

2．如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在上的点处，则的值为（）

A．10 B．11 C．12 D．13

3．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出以下命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则；其中正确的命题个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．点关于y轴的对称点在反比例函数的图像上，下列说法不正确的是（）

A．y随x的增大而减小

B．点在该函数的图像上

C．当时，

D．该函数图像与直线的交点是（，）和（- ，- ）

5．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（　　）

A．1+ B．4+ C．4 D．-1+

6．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB=90°．点D是轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数（）的图象经过点A,E．若△ACE的面积为6，则的值为（）

A． B． C． D．

7．已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称下列命题：①图象C与函数的图象交于点；② 在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④ ，是图象C上任意两点，若，则，其中真命题是（）

A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④

二、填空题

8．如图，矩形ABCO的顶点B（10，8），点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y＝的图象与边AB交于点F，则线段BF的长为_____．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是_____________．

10．如图，矩形的顶点坐标分别为、、、，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和，给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则．其中正确的命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）

11．如图，四边形是平行四边形，对角线在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限内的点C分别在双曲线和的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：

①阴影部分的面积为；

②若B点坐标为，A点坐标为，则；

③当时，；

④若是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．

其中正确的结论是_______（填写正确结论的序号）．

12．如图，Rt△AOB的顶点O是坐标原点，点B在x轴上，∠OAB=90°，反比例函数（）的图象关于AO所在的直线对称，且与AO、AB分别交于D、E两点，过点A作AH⊥OB交x轴于点H，过点E作EF OB交AH于点G，交AO于点F，则四边形OHGF的面积为_________

13．如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y＝的图象上．将线段 AB沿直线y=kx+b进行对折得到对应线段A′B′，且点A′ 始终在直线OA上，当线段A′B′ 与x轴有交点时，(1),m=____;(2),b的取值范围是____．

14．如图，是反比例函数上的一个动点，过作轴，轴．

（1）若矩形的对角线，则矩形周长为________；

（2）如图，点在上，且，若关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，连结，则的面积为___________．

15．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．若该反比例函数图象与交于点，则点的横坐标是_________．

三、解答题

16．已知，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，为边上的点，反比例函数在第一象限内的图像经过点和边上的点．

（1）求反比例函数的表达式和的值；

（2）若将矩形进行折叠，使点与点重合，折痕分别与轴、轴正半轴交于点、，求折痕所在直线的函数表达式．

17．如图，点A在反比例函数图象上一点，B在反比例函数图象上，是等腰直角三角形，，AB交y轴于C，，将沿y轴折叠得 .

（1）试判断点D是否在的图象上，并说明理由；

（2）连接BD，求四边形BCOD的面积.

（3）将直线OB向上平移，分别交于E，交于F.问：是否存在某一位置使？若存在，求E、F两点的坐标，若不存在，说明理由.

18．如图(1)我们知道等腰直角三角形的三边的比AC:BC:AB=1:1：，含有30度的直角三角形的三边之比AC:BC:AB=1∶ ∶2.如图(2)，分别取反比例函数，图象的一支，Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y轴于C，∠AOC=60°，点A,点B分别在这两个图像上．

（1）填空: K1=-__________，K2=______________.

（2）将△AOC沿y轴折叠得△DOC，如图所示．

①试判断D点是否存在的图象上，并说明理由．

②在y轴上找一点N，使得|BN-DN|的值最大，求出点N的坐标．

③连接BD，求S_四边形OCBD．

（3）将Rt△AOB绕着原点顺时针旋转一周，速度是5°/秒．问：经过多少秒，直线AB与图中分支的对称轴或者与图中分支的对称轴平行．直接写出结果．

19．如图，在平面直角坐标系中，，四边形是矩形，D、E分别是边上的点，沿着折叠矩形，点A恰好落往y轴上的点C处，点B落在点B'处．

（1）求D、E两点的坐标；

（2）反比例函数在第一象限的图像经过E点，判断B′是否在这个反比例函数的图像上？并说明理由；

（3）点F是 (2) 中反比例函数的图像与原矩形的边的交点，点G在平面直角坐标系中，以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，求G点的坐标．(直接写出答案)

20．已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．

(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；

(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；

(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值．

21．如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝的图象上．

（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式；

（3）将线段AB沿直线y＝kx+b进行对折得到线段A₁B₁，且点A₁始终在直线OA上，当线段A₁B₁与x轴有交点时，则b的取值范围为　　（直接写出答案）

22．已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E.

（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等.

（2）记S＝S_△_OEF－S_△_ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由.

23．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．

(1)求和的值．

(2)若点与点关于直线对称，连接．

①求点的坐标；

②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．

24．如图，矩形的面积为8，它的边位于x轴上．双曲线经过点A，与矩形的边交于点E，点B在双曲线上，连接并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接，．

求k的值；
求的面积；
求证：四边形AFGB为平行四边形．

25．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

(1)当时，求k的值；

(2)点B关于y轴的对称点为C，连接；

①判断的形状，并说明理由；

②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B

【分析】先根据折叠的性质得到，，设，利用两点间的距离公式得到，，解关于、的方程组得到点的坐标为，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，易得直线的解析式为，解方程组 Shape268 得，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．

解：正方形的边长为4，点是边的中点，

，，，，

沿着折叠得到，

，，

设，

，

，，

点的坐标为，，

设直线的解析式为，

把，，分别代入得 Shape299 ，

解得 Shape300 ，

直线的解析式为，

易得直线的解析式为，

解方程组 Shape306 得，

，，

点，在反比例函数的图象上，

．

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了正方形的性质和折叠的性质．

2．C

【分析】根据折叠求出EC=1.5，再设A点坐标为（m，4），则E点坐标为（m+5，1.5），根据反比例函数的性质列出方程即可．

解：由翻折可知，AF=AD=5，DE=EF，

∵四边形是矩形，

∴ ，CF=5-3=2，

设EC为x，则DE=EF=4-x，

，

解得，x=1.5，

设A点坐标为（m，4），则E点坐标为（m+5，1.5），

则4m=1.5(m+5)，解得m=3，

把（3，4）代入得，，解得；

故选：C．

【点拨】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、反比例函数的性质，解题关键是求出EC长，设出点的坐标，根据反比例函数的性质列出方程．

3．B

【分析】①若，则计算，故命题①正确；

②如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题②正确；

③因为点不经过点，所以，即可得出的范围；

④求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度；利用算式，求出，故命题④错误．

解：命题①正确．理由如下：

，

，，

，故①正确；

命题②正确．理由如下：

，

，，

，．

如答图，过点作轴于点，则，；

在线段上取一点，使得，连接．

在中，由勾股定理得：，

．

在中，由勾股定理得：．

，

又，

直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确；

命题③错误．理由如下：

由题意，点与点不重合，所以，

，故③错误；

命题④错误．理由如下：

设，则，．

设直线的解析式为，则有，解得 Shape386 ，

．

令，得，

；

令，得，

．

如答图，过点作轴于点，则，．

在中，，，由勾股定理得：；

在中，，，由勾股定理得：．

，解得，

，故命题④错误．

综上所述，正确的命题是：①②，共2个，

故选：B．

【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性比较强，难度较大．

4．A

【分析】先确定对称点坐标为（-1，-3），将其代入反比例函数中求得k=3，得到函数解析式，根据函数的性质解答.

解：点关于y轴的对称点坐标为（-1，-3），

将（-1，-3）代入，得k= ，

∴反比例函数解析式为，

∵k=3>0，

∴在每个象限内y随着x的增大而减小，故A错误；

当x=1时，y=3，故B正确；

当时，，故C正确；

解方程组，得 Shape418 或 Shape419 ，

故函数图像与直线的交点是（，）和（- ，- ），

故D正确，

故选：A.

【点拨】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，轴对称的性质，反比例函数的性质，函数图象交点问题.

5．A

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=- ，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（- ，t），于是利用PB=PB′得t-2=|- |= ，然后解方程可得到满足条件的t的值．

解：如图，

∵点A坐标为（-2，2），

∴k=-2×2=-4，

∴反比例函数解析式为y=- ，

∵OB=AB=2，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∵PQ⊥OA，

∴∠OPQ=45°，

∵点B和点B′关于直线l对称，

∴PB=PB′，BB′⊥PQ，

∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，

∴B′P⊥y轴，

∴点B′的坐标为（- ，t），

∵PB=PB′，

∴t-2=|- |= ，

整理得t²-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），

∴t的值为．

故选A．

【点拨】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．

6．C

【分析】过A作 ,连接OC、OE，根据点A与点B关于原点对称，∠ACB=90°，AC平分∠BAD得出，从而得出三角形AEC的面积与三角形AOE的面积相等，设，根据E是AD的中点得出得出三角形OAE的面积等于四边形AFGE的面积建立等量关系求解．

解：过A作 ,连接OC，连接OE：

∵点A与点B关于原点对称，∠ACB=90°

∴

又∵AC平分∠BAD

∴

设，根据E是AD的中点得出:

∴

解得：

故答案选：C．

【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，有一定的难度．将三角形AEC的面积转化与三角形AOE的面积相等是解题关键．

7．A

【分析】根据题意画出图形，①将代入得，从而可判断①正确；②令时，，即关于时的对称点为，从而可判断②正确；③根据图形分析可得C右侧图与x轴间距离小于4，但y轴左侧与x轴距离大于4，从而可判断③错误；④由图像即可判断④错误．

解：由图像C与反比例函数关于对称可得如下图，

①当时，，故①正确；

②当时，，即关于时的对称点为，故②正确；

③如图：与之间距离小于2，即C与x轴间距离小于4（C右侧图），但y轴左侧与x轴距离大于4，故③错误；

④当时，，则；当时，，则；

∴当x₁＞0＞x₂时，y₂＞y₁故④错误．

故答案为：A．

【点拨】本题考查了反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．

8．

【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AD=AB=10，DE=BE；然后设点E的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长度，进而求出k的值，再把F点的纵坐标代入解析式可求得F点的坐标，即可求得BF的长．

解：∵△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，

∴AD=AB=10，DE=BE，

∵AO=8，AD=10，

∴OD= =6，

∴CD=10-6=4，

设点E的坐标是（10，b），

则CE=b，DE=10-b，

∵CD²+CE²=DE²，

∴4²+b²=（8-b）²，

解得b=3，

∴点E的坐标是（10，3），

设反比例函数y= ，

∴k=10×3=30，

∴反比例函数解析式为y= ，

∵F点纵坐标为8，

∴8= ，解得x= ，即AF= ，

∴BF=AB-AF=10- = ，

故答案为．

【点拨】（1）此题主要考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

（2）此题还考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

9．

【分析】连接、交于点，作轴于点，设线段，得，由菱形和菱形关于点成中心对称结合可得点和点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求，最后求得．

解：连接、交于点，作轴于点，

设，

，

，，

菱形和菱形关于点成中心对称，点，在轴的正半轴上，

轴，，

，

，，

点，，，

点和点在反比例函数图象上，

，

解得：（舍或，

，，

，

故答案为：．

【点拨】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形三边关系、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用菱形的性质表达出点和点的坐标．

10．①②

【分析】①若k＝4，则计算S_△OEF＝，故命题①正确；

②若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；

③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；

④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式，求出k＝1，故命题④错误．

解：命题①正确．理由如下：

∵k＝4，

∴E（，3），F（4，1），

∴CE＝4− ＝，CF＝3−1＝2．

∴S_△OEF＝S_矩形AOBC−S_△AOE−S_△BOF−S_△CEF

＝S_矩形AOBC− OA•AE− OB•BF− CE•CF＝4×3− ×3× − ×4×1− × ×2＝12−2−2− ＝，故命题①正确；

命题②正确．理由如下：

∵ ，

∴E（，3），F（4，），

∴CE＝4− ＝，CF＝3− ＝．

如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝；

在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝，连接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN²＝EN²−EM²= ，

∴MN＝，

∴BN＝OB−OM−MN＝4− − ＝．

在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF²＝BN²＋BF²= ，

∴NF＝．

∴NF＝CF，

又EN＝CE，

∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，

故命题②正确；

命题③错误．理由如下：

由题意，得点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命题③错误；

命题④正确．理由如下：

设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．

设直线EF的解析式为y＝ax＋b，

则，解得 Shape575 ，

∴y＝ x＋3m＋3．

令x＝0，得y＝3m＋3，

令y＝0，得x＝4m＋4，

∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）．

如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．

在Rt△ADE中，AD＝OD−OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；

在Rt△MEG中，MG＝OG−OM＝（4m＋4）−4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．

∴DE•EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，

∴k＝12m＝1，故命题④错误．

综上所述，正确的命题是：①②，

故答案为：①②．

【点拨】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较大，正确的计算能力是解决问题的关键．

11．②④

【分析】作轴于点，轴于点，①由，，得到；②由平行四边形的性质求得点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得系数的值．③当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称．

解：作轴于，轴于，如图，

① ，，

，

而，，

，故①错误；

② 四边形是平行四边形，点坐标为，点坐标为，的坐标为．

．

又点位于上，

．故②正确；

③当，

四边形是矩形，

不能确定与相等，

而，

不能判断，

不能确定，故③错误；

④若是菱形，则，

而，

，

两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，故④正确．

故答案是：②④．

【点拨】本题属于反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

12．

【分析】先根据反比例函数的性质可得直线的解析式为，从而可得，再根据等腰直角三角形的判定可得是等腰直角三角形，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，由此可得，，，从而可得，最后利用面积减去面积即可得．

解：反比例函数的图象关于所在的直线对称，

直线的解析式为，

，

，，

，

是等腰直角三角形，

（等腰三角形的三线合一），

设点的坐标为，点的坐标为，

，，，

，即，

则四边形的面积为，

，

故答案为：．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰直角三角形的三线合一等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．

13． m=3 ≤b≤ ．

【分析】（1）由题可得m（m+1）=（m+3）（m-1），解这个方程就可求出m的值;

(2) 由于点A关于直线y=kx+b的对称点点A₁始终在直线OA上，因此直线y=kx+b必与直线OA垂直，只需考虑两个临界位置（A₁在x轴上、B₁在x轴上）对应的b的值，就可以求出b的取值范围．

解：（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y= 的图象上．

∴m（m+1）=（m+3）（m-1）．

解得：m=3．

(2) ①当点B₁落到x轴上时，如图1，

设直线OA的解析式为y=ax，

∵点A的坐标为（3，4），

∴3a=4，即a= ．

∴直线OA的解析式为y= x．

∵点A₁始终在直线OA上，

∴直线y=kx+b与直线OA垂直．

∴ k=-1．

∴k=- ．

由于BB₁∥OA，因此直线BB₁可设为y= x+c．

∵点B的坐标为（6，2），

∴ ×6+c=2，即c=-6．

∴直线BB₁解析式为y= x-6．

当y=0时， x-6=0．则有x= ．

∴点B₁的坐标为（，0）．

∵点C是BB₁的中点，

∴点C的坐标为（，）即（，1）．

∵点C在直线y=- x+b上，

∴- × +b=1．

解得：b= ．

②当点A₁落到x轴上时，如图2，

此时，点A₁与点O重合．

∵点D是AA₁的中点，A（3，4），A₁（0，0），

∴D（，2）．

∵点D在直线y=- x+b上，

∴- × +b=2．

解得：b= ．

综上所述：当线段A₁B₁与x轴有交点时，则b的取值范围为 ≤b≤ ．

故答案为 ≤b≤ ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,中点坐标公式等知识，本题还考查了分类讨论的思想方法，是一道好题．

14． 4或

【分析】（1）设矩形的两边为、，利用反比例函数的几何意义得到，再根据勾股定理得到，根据完全平分公式变形得到，则可计算出，从而得到矩形的周长；

（2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，利用三角形面积公式得到，再根据对称轴的性质得垂直平分，，接着证明垂直平分得到，所以，则；当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，证明四边形为正方形得到，，则可计算出，而，于是得到．

解：（1）设矩形的两边为、，则，

矩形的对角线，

，

矩形的周长为，

故答案为；

（2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，

矩形的面积，

而，

，

点与点关于对称，

垂直平分，，

，

垂直平分，

，

；

当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，

点与点关于对称，

，，

为等腰直角三角形，

平分，

四边形为正方形，

，，

，

而，

，

综上所述，的面积为4或，

故答案为4或．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意义和轴对称的性质；灵活运用矩形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．

15．

【分析】过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，），从而求出反比例函数的解析式，易求D（3，0），，待定系数法求出DE的解析式为，联立反比例函数与一次函数即可求点Q的坐标．

解：过点P作x轴垂线PG，连接BP，

∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，

∴BP＝2，G是CD的中点，

∴CG=1，CP=2，

∴PG＝ = ，

∴P（2，），

∵P在反比例函数上，

∴k＝2 ，

∴ ，

∵OD=OC+CD=3,BE=2BP=4,

∴D（3，0），E（4，），

设DE的解析式为y＝mx＋b，

∴ ，

∴ Shape838 ，

∴ ，

联立方程 Shape840 解得

∵Q点在第一象限，

∴ 点横坐标为，

故答案为：．

【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．

16．（1），；（2）

【分析】（1）根据题意由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；

（2）根据题意设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标，进而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．

解：（1）∵反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点E（4，1），

∴k=4×1=4，

∴反比例函数的表达式为．

又∵点D（m，2）在反比例函数的图象上，

∴2m=4，解得：m=2．

（2）如图，设OG=x，则CG=OC-OG=2-x，

∵点D（2，2），

∴CD=2．

在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2-x，CD=2，DG=OG=x，

∴CD²+CG²=DG²，即4+（2-x）²=x²，

解得：x=2，

∴点G（0，2）．

∴点F的坐标为（2，0）．

设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，

∴则有，解得．

∴折痕FG所在直线的函数关系式为．

【点拨】本题考查一次函数的性质以及反比例函数的性质，待定系数法，矩形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

17．（1）在，理由见分析；（2）；（3）存在，E点坐标为：，F的坐标为： .

【分析】（1）分别过点A、B作AP⊥x轴，BG⊥y轴，垂足分别为P、G，根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理分别求出A、B的坐标，再将A、B坐标分别代入其解析式中，再利用A、D关于y轴对称求出D点坐标，去判断是否满足解析式即可；

（2）过点B作BH⊥OD，垂足为H，利用A、B坐标求出AB所在直线的解析式，即可求出C点坐标，利用30°所对的直角边是斜边的一半可求出BH的长，然后求△OBC和△OBD的面积从而求出四边形BCOD的面积；

（3）利用E、F所在的图像分别设出其坐标，再分别过E、F作x轴，y轴的平行线交于点M利用△EFM是直角三角形并证明其中一个角是30°，再用E、F坐标表示出EM和FM的长度利用即可求出E、F的坐标.

解：（1）分别过点A、B作AP⊥x轴，BG⊥y轴，垂足分别为P、G

∵ 是等腰直角三角形，，

∴∠AOP=∠BOG=30°

∴AP= AO=1，BG= OB=1

根据勾股定理：

∵点A在第二象限，点B在第一象限

∴点A坐标为，点B的坐标为：

∵点A在反比例函数图象上，B在反比例函数图象上，

将A、B坐标分别代入其对应解析式得：

Shape869

解得： Shape870

∴点A在反比例函数图象上，B在反比例函数图象上

∵A、D关于y轴对称

∴点D的坐标为

将代入反比例函数，解得：

故点D在的图象上.

（2）过点B作BH⊥OD，垂足为H

设直线AB的解析式为：y=kx＋b

将A、B坐标代入得：

Shape878

解得： Shape879

∴直线AB的解析式为：

将x=0代入得：

∴C点坐标为：

即OC=

∵ 沿y轴折叠得，

∴∠DOC=∠AOC=60°，OD=OA=2

∴∠BOH=∠DOC－∠GOB=30°

∴BH= BO=1

∴S_△_BOC= OC·BG= ，S_△_BOD= OD·BH=

∴S_四边形BCOD= S_△_BOC＋S_△_BOD=

（3）存在，

∵E、F分别在反比例函数和图像上，I为x轴正半轴上一点，

设E点坐标为，点F的坐标为

分别过E、F作x轴，y轴的平行线交于点M

∴EM= ，FM=

∵EF∥OB，EM∥x轴，EM∥y轴，∠BOI=90°－∠BOC=60°

∴∠FEM=∠BOI=60°

∴∠EFM=30°

∴EM= EF=1，

∴ Shape900

解得：，

将，分别代入其对应解析式中，

，

∴E点坐标为：，F的坐标为：

【点拨】此题考查的是（1）用待定系数法求反比例函数解析式和30°所对的直角边是斜边的一半及勾股定理；（2）利用坐标求面积；（3）利用坐标表示线段长度；此题难度较大，找到等量关系列方程及利用坐标表示出各个线段的长度是解决此题的关键.

18．（1）K1= ，K2= （2）①算出D（），在图像上②N（0，）③ （3）12,48，30,66

试题分析：（1）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，由已知条件即可求得AE、OD、BF和OF的长，结合点A和点B所处象限即可得到点A、B的坐标，这样即可求得k₁和k₂的值了；

（2）①由点A的坐标可得点D的坐标，将点D的坐标代入中检验即可得出结论；

②如图2，延长DB交y轴于点N，此时|BN-DN|的值最大，由B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，再由解析式即可求得直线BD与y轴的交点N的坐标了；

③由AB的坐标求出直线AB的解析式，由此求出点C的坐标，再过点B作y轴的垂线，过点D作x轴的垂线，利用两垂线与两坐标轴围成一个矩形结合已知条件即可求出四边形OCBD的面积了；

（3）如图3，两个反比例函数图象的分支的对称轴分别是直线l₁和l₂，它们与x轴相交形成的锐角度数都是45°，由图可知，当△AOB绕点O顺时针旋转60°和240°时，AB与l₂平行，当旋转150°和330°时，AB和l₁平行，由此结合旋转速度为5°/秒即可求得对应的时间了.

解：（1）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，

∴∠AEO=∠BFO=90°，

∵∠AOC=60°，

∴∠AOE=30°，∠BOF=30°，

∴AE：OE：OA=BF：OF：OB=1∶ ∶2，

又∵∵OA=OB=2，

∴AE=BF=1，OE=OF= ，

∴点A、B的坐标分别为和，

∴ ，；

（2）①∵点D和点A 关于y轴对称，

∴点D的坐标为，

∴ ，

∴点D在的图象上；

②延长DB交y轴于点N，此时|BN-DN|的值最大，

设直线BD的解析式为，则由B、D的坐标可得： Shape926 ，

解得：，

∴BD的解析式为：，

∴点N的坐标为；

③设直线AB的解析式为，

∵点A、B的坐标分别为和，

∴ Shape933 ，解得 Shape934 ，

∵直线AB与y轴相交于点C，

∴点C的坐标为，

如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，过点D作DQ⊥x轴于点Q，FB与DQ相交于点P，

∵点B、D的坐标分别为，，

∴S_四边形OCBD=S_矩形OFPQ-S_△_CFB-S_△_BDP-S_△_ODQ

= ；

（3）如图3，由题意可知，两个反比例函数图象的分支的对称轴分别是直线l₁和l₂，它们与x轴相交形成的锐角度数都是45°，

由图结合∠AOC=60°可知，当△AOB绕点O顺时针旋转60°和240°时，AB与l₂平行，当旋转150°和330°时，AB和l₁平行，

又∵△AOB绕点O旋转的速度为5°/秒，

∴60÷5=12（秒），150÷5=30（秒），240÷5=48（秒），330÷5=66（秒），

∴当△AOB绕点O旋转12秒、30秒、48秒和66秒时，AB和两个反比例函数图象的一个分支的对称轴平行.

【点拨】本题的解题要点是：（1）解第1小题时，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，从而可构造出两个含30°角的直角三角形，这样由已知条件即可求得点A、B的坐标，使问题得到解决；（2）解第2题第②问的关键是要明白“当点B、D、N在同一直线上时，|BN-DN|的值最大”，由此延长DB与y轴相交，交点即为所求的点N.

19．（1）（2）不在；（3）

【分析】（1）设，则，在中，由勾股定理可得，即可得D的坐标，再根据矩形的性质，可得，可得E的坐标；

（2）过作于M，易得与的长，进而可得k的值，根据题意，可得答案；

（3）根据题意，分三种情况讨论，可得在平面直角坐标系中存在的坐标，进而可得答案．

解：（1）∵ ，

设，则，

在中，，

∵

∴

解得，

∴

∵四边形是矩形

∴

∵

∴

（2）如图，过作于M

∵

∴ ，，

∵

∴ ，

又∵

∴点不在这个反比例函数的图象上

（3）当时，

∴

有三种情况如图：

①把线段先向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位，端点E落在处，；

②把线段先向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位，端点F落在处，；

③把线段DF先向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位，端点D落在处，．

综上所述，在平面直角坐标系中存在使得以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，平行四边形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．

20．(1)反比例函数的表达式为，直线的解析式为；(2) 为等腰三角形时，点的坐标为或；(3)当线段与轴有交点时，的取值的最大值为

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；

（2）设，表示出，，，根据为等腰三角形，则或或，分别建立方程求解即可得出答案；

（3）由于点A关于直线的对称点点始终在直线上，因此直线必与直线垂直，当点落到x轴上时，n的取值的最大，根据，求出点的坐标，再将的中点坐标代入，即可求得n的最大值．

解：（1）反比例函数的图象经过点和点，

，

，，

反比例函数的表达式为，

设直线的解析式为，

，，

，

解得： Shape1032 ，

直线的解析式为；

（2）设，

则，

，

为等腰三角形，

或或，

当时，，

，

解得：，

；

当时，，

，

此方程无解；

当时，，

，

解得：，，

或（舍去）；

综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或；

（3）当点落到轴上时，的取值的最大，如图，

设直线的解析式为，

点的坐标为，

，即．

直线的解析式为

点始终在直线上，

直线与直线垂直．

．

，

由于，因此直线可设为．

点的坐标为，

，即．

直线解析式为．

当时，则有．

点的坐标为．

的中点坐标为 Shape1105 即，

点在直线上，

．

解得：．

故当线段与轴有交点时，的取值的最大值为．

【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质、轴对称的性质、中点坐标公式等知识，分类讨论思想是本题解题的关键．

21．（1）m=3，k=12；（2）y x+2或y x﹣2；（3）．

【分析】（1）由题可得m（m+1）=（m+3）（m﹣1）=k，解这个方程就可求出m、k的值．

（2）由于点A、点B是定点，可对线段AB进行分类讨论：AB是平行四边形的边、AB是平行四边形的对角线，再利用平行四边形的性质、中点坐标公式及直线的相关知识就可解决问题．

（3）由于点A关于直线y=kx+b的对称点点A₁始终在直线OA上，因此直线y=kx+b必与直线OA垂直，只需考虑两个临界位置（A₁在x轴上、B₁在x轴上）对应的b的值，就可以求出b的取值范围．

解：（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y 的图象上，∴m（m+1）=（m+3）（m﹣1）=k．

解得：m=3，k=12，∴m、k的值分别为3、12．

（2）设点M的坐标为（m，0），点N的坐标为（O，n）．

①若AB为平行四边形的一边．

Ⅰ．点M在x轴的正半轴，点N在y轴的正半轴，连接BN、AM交于点E，连接AN、BM，如图1．

∵四边形ABMN是平行四边形，∴AE=ME，NE=BE．

∵A（3，4）、B（6，2）、M（m，0）、N（0，n），∴由中点坐标公式可得：

xE ，yE ，∴m=3，n=2，∴M（3，0）、N（0，2）．

设直线MN的解析式为y=kx+b．

则有

解得： Shape1122 ，∴直线MN的解析式为y x+2．

Ⅱ．点M在x轴的负半轴，点N在y轴的负半轴，连接BM、AN交于点E，连接AM、BN，如图2，同理可得：直线MN的解析式为y x﹣2．

②若AB为平行四边形的一条对角线，连接AN、BM，设AB与MN交于点F，如图3．

同理可得：直线MN的解析式为y x+6，此时点A、B都在直线MN上，故舍去．

综上所述：直线MN的解析式为y x+2或y x﹣2．

（3）①当点B₁落到x轴上时，如图4．

设直线OA的解析式为y=ax．

∵点A的坐标为（3，4），∴3a=4，即a ，∴直线OA的解析式为y x．

∵点A₁始终在直线OA上，∴直线y=kx+b与直线OA垂直，∴ k=﹣1，∴k ．

由于BB₁∥OA，因此直线BB₁可设为y x+c．

∵点B的坐标为（6，2），∴ 6+c=2，即c=﹣6，∴直线BB₁解析式为y x﹣6．

当y=0时， x﹣6=0．则有x ，∴点B₁的坐标为（，0）．

∵点C是BB₁的中点，∴点C的坐标为（ Shape1138 ）即（，1）．

∵点C在直线y x+b上，∴ b=1．

解得：b ．

②当点A₁落到x轴上时，如图5．

此时，点A₁与点O重合．

∵点D是AA₁的中点，A（3，4），A₁（0，0），∴D（，2）．

∵点D在直线y x+b上，∴ b=2．

解得：b ．

综上所述：当线段A₁B₁与x轴有交点时，则b的取值范围为．

故答案为．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、轴对称的性质、中点坐标公式[若点A（a，b）、B（c，d），则线段AB的中点坐标为（）等知识，本题还考查了分类讨论的思想方法，是一道好题．

22．（1）证明：设E（x₁，y₁）,F(x₂，y₂)，△AOE和△FOB的面积分别为S₁、S₂，

由题意得，

∴ ，　

∴S₁＝S₂　，即△AOE和△FOB的面积相等.

（2）由题意知：E、F两点坐标分别为E（，3）、F（4，）

S_△_ECF＝ EC·CF＝（4－）（3－）

S_△_EDF＝S_矩形AOBC－S_△_AOE－S_△_ECF＝12－ k－ k－S_△_ECF

S＝S_△_OEF－S_△_ECF＝12－k－2 S_△_ECF

＝12－k－2× （4－）（3－）

S＝ k²+k，

当k=6时，S有最大值3．

（3）存在符合条件的点F，它的坐标为（4，）

解：（1）分别用点E，F的坐标表示出△AOE与△FOB的面积，再用S₁＝S₂，进行求解；

（2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可；

（3）由（2）点F的纵坐标已求，利用折叠以及相似求得点F的横坐标即可得出答案．

23．(1) ；(2)① ② 的坐标为或或

【分析】将点代入可得，直线的表达式为，把点代入得，故；

连接，过作轴于，由，知是等腰直角三角形，，根据点与点关于直线对称得，故点的坐标为；

设，又，分三种情况，由平行四边形对角线互相平分列方程可解得答案．

解：（1）将点代入得：，

，

直线的表达式为，

把点代入，得：，

，

将代入得：，

；

（2）①连接，过作轴于，如图：

，

是等腰直角三角形，

，

由点与点关于直线对称，知 ≌ ，

，即，

，

点的坐标为；

以点为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：

设，又，

Ⅰ 若是对角线，则的中点重合，

Shape1225 ，

解得，

；

Ⅱ 若为对角线，则的中点重合；

Shape1232 ，

解得，

；

Ⅲ 若为对角线，则的中点重合，

Shape1239 ，

解得，

，

综上所述，的坐标为或或．

【点拨】本题考查反比例函数，一次函数的综合应用，涉及待定系数法，轴对称，平行四边形等知识，解题的关键是方程思想的应用．

24．(1) ；(2) ；(3)证明见分析．

【分析】（1）设，，利用点A和点B的纵坐标相等，以及矩形面积为8，即可求出k的值；

（2）求出直线的函数解析式为：，进一步可求出，再求出，，即可求出；

（3）表示出，进一步求出，，利用，，即可证明．

（1）解：设，，

根据题意可知： Shape1264 ，整理可得：．

（2）解：∵ ，

∴ ，

∵点E在，且点B和点E的横坐标相等，

∴ ，即，

设直线的函数解析式为：，将和代入可得：

Shape1275 ，解得： Shape1276 ，

故直线的函数解析式为：，

令，可得：，

∴ ，

∵ ，即，

∴ ，

∵点C的横坐标和点B的横坐标相等，

∴ ，

∴ ．

（3）证明：∵ ，点G与点О关于点C对称，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形是平行四边形．

【点拨】本题考查反比例函数，一次函数的综合，平行四边形的判定，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定定理，结合图形找出点的坐标之间的联系．

25．(1) ；(2)① 为直角三角形，理由见分析；②点P的坐标为或或或．

【分析】（1）设点B的坐标为，则点，则，即可求解；

（2）①点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C，故轴，即可求解；②过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解．

（1）解：设点B的坐标为，则点，则：

，

解得（负值已舍去），

故点B的坐标为，

将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶ ，

解得∶ ；

（2）解：① 为直角三角形，理由∶

设点，则点，

∵点A、C的横坐标相同，

∴ 轴，

∴点B关于y轴的对称点为C，

∴ 轴，

∴ ，

∴ 为直角三角形；

②由①得∶ ，

则的面积，

解得（负值已舍去），

∴点B的坐标为，C的坐标为，

将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶ ，解得，

∴反比例函数表达式为 ①；

过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，

同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求．

∵ ，

∴设直线m的表达式为，

将点C的坐标代入，解得，

故直线m的表达式为 ②，

根据图形的对称性，则直线n的表达式为 ③，

联立①②并解得∶

Shape1339 或 Shape1340 ，

联立①③并解得∶

Shape1341 或 Shape1342 ，

∴点P的坐标为或或或．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强．

数学专题反比例折叠函数

【324247】2024八年级数学下册 专题6.22 反比例函数（折叠问题）（培优篇）（新版）浙教版

【324247】2024八年级数学下册专题6.22 反比例函数（折叠问题）（培优篇）（新版）浙教版