【324249】2024八年级数学下册 专题6.24 反比例函数（对称性问题）（巩固篇）（新版）浙教版

专题6.24 反比例函数（对称性问题）（巩固篇）

反比例函数图象是中心对称图形，同时也是轴对称图形，其对称中心是坐标原点，其对称轴是y=x和y=-x，近些年，此知识点成了中考中的热点，更是压轴题的常考点，这些题型不仅利用双曲线的对称性，还综合了关于某直线对称和特殊四边形的对称性问题，为此，本专题精选部分有代表性的题型供师生选择使用。

一、单选题

1．点 在反比例函 的图象上，则下列说法正确的是（     ）

A． B．函数的图象关于 对称

C．函数的图象经过点 D．函数的图象关于原点对称

2．如图，反比例函数图象 的表达式为 （ ），图象 与图象 关于直线 对称，直线 与 交于 ， 两点，当 为 中点时，则 的值为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，点A(3，5)关于原点O的对称点为点C，过点C作y轴的平行线，与反比例函数y （0＜k＜15）的图像交于点D，连接AD，CD，AD与x轴交于点B(﹣2，0)，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心都在反比例函数 （ ， ）的图象上，若矩形ABCD的面积为8．则k的值为（   ）

A．8 B．4 C．3 D．2

5．如图，在平面直角坐标系中， 为正方形 的对称中心， ， 分别在 轴和 轴上，双曲线 经过 、 两点，则正方形 的边长为（    ）

A． B．3 C． D．4

6．如图，点A，B是双曲线 上两点，且A，B关于原点O中心对称， 是等腰三角形，底边 轴，过点C作 轴交双曲线于点D，若 ，则k的值是（　　）

A．﹣7 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣10

7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于关于原点对称的 两点，将直线 向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点 ，如果 的面积为48，则平移后的直线的函数表达式是（ ）

A． B． C． D．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是（　　）

A．3 B．3 C．6 D．6

9．如图在平面直角坐标系中反比例函数 与直线y=-x交于点A，过点A作AE //y轴交x轴于点E，点O关于AE对称点为点B，点C为y轴上一点，且 ，连接BC与直线OA交于点D，若以AD为边的正方形面积为 ，则k的值为（     ）

A．-7 B．-6 C．-5 D．-4

10．如图，四边形 是平行四边形，对角线 在 轴上，位于第一象限的点 和第二象限的点 分别在双曲线 和 的一支上，过点 ，点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 和 ，有以下结论：① ；② ；③阴影部分面积是 ；④若四边形 是菱形，则图中曲线关于 轴对称．其中正确的结论是（    ）  

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④

二、填空题

11．如图在平面直角坐标系中，周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上．点B，在反比例函数y＝ 位于第一象限的图象上．则k的值为___．

12．如图，反比例函数 的图像过点 ，过点 作 轴于点 ，直线 垂直线段 于点 ，点 关于直线 的对称点 恰好在反比例函数的图像上，则 的值是__________．

13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y₁＝ （x＞0）的图象与y₂＝ （x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y₁＝ （x＞0）和y₂＝ （x＞0）的图象上．若OB＝AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为_____．

14．如图，矩形 的顶点 ， 在 轴上，且关于 轴对称，反比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图象分别与 ， 交于点 ， ，若 ， ，则 等于____．

15．如图，直线y＝﹣ x+3与x，y轴交于A、B两点，以AB为边在第一象限作矩形ABCD，矩形的对称中心为点M，若双曲线 （x＞0）恰好过点C、M，则k＝_____．

16．如图，在平面直角坐标系中，点A(−2，3)，点B与点A关于直线x=1对称，过点B作反比例函数y= (x>0)的图像．

（1）m=________；

（2）若对于直线y=kx−5k+4，总有y随x的增大而增大，设直线y=kx−5k+4与双曲线y= (x>0)交点的横坐标为t，则t的取值范围是_______．

17．如图，点A在双曲线 上，点B在直线 上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形 是菱形时，有以下结论：

①      ②当 时，

③      ④

则所有正确结论的序号是_____________．

18．如图，点D是矩形OABC的对称中心，E是边AB上一点，反比例函数 的图像经过点D、E，且 ，则k的值是______．

三、解答题

19．已知一次函数 和反比例函数 的图象交于P，Q两点．

(1)若一次函数图象过 ，且 ，求反比例函数的表达式；

(2)若P，Q关于原点成中心对称，当 时， 总有 ，求n的取值范围．

20．如图，已知点 在双曲线 上，点 、 在双曲线 上， 轴．

(1)当 ， ， 时，求此时点 的坐标；

(2)若点 、 关于原点 对称，试判断四边形 的形状，并说明理由

21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．点A的坐标为 ，点 的坐标为 ．

(1)求一次函数和反比例函数的关系式；

(2)若点 是点 关于 轴的对称点，求 的面积；

(3)将直线 向上平移5个单位得到直线 ，当函数值 时，直接写出 的取值范围．

22．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，且 ， ．

(1)求一次函数的表达式；

(2)求反比例函数的表达式和点A，B的坐标；

(3)若点F是点D关于x轴的对称点，求 的面积．

23．如图，菱形 的点B在y轴上，点C坐标为 ，双曲线 的图象经过点A．

(1)菱形 的边长为 　 　；

(2)求双曲线的函数关系式；

(3)点B关于点O的对称点为D点，过点D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，将线段 绕点A逆时针旋转 得线段 ，若点Q恰好在双曲线上，求点Q的坐标．

24．如图1，在平面直角坐标系中，在 中， ， ， ，顶点A在第一象限，点B，C在x轴的正半轴上，（C在B的右侧）， 可沿x轴左右移动， 与 关于AC所在直线对称．

1. 当 时，直接写出点A和点D坐标．

2. 判断（1）中的A，D是否在同一个反比例函数图象上，说明理由，如果不在，试问OB多长时，点A，D在同一个反比例函数 的图象上，求 的值．

3. 如图2，当点A，D在同一个反比例函数图象上，把四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为 ，过点 的反比例函数 的图象与BA的延长线交于点P，当 是以 为底边的等腰三角形，求 的值．

参考答案

1．D

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对A、C进行判断；根据反比例函数的性质对B、D进行判断．

解：A．点 在反比例函数 的图象上，则 ，故错误；

B．函数的图象关于 对称，故错误；

C．函数图象经过点 或 ，故错误；

D．函数图象关于原点成中心对称，故正确，

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 的图象是双曲线；当 ，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

2．A

【分析】由对称性可得函数l₂的解析式为： ，令 ，组成一元二次方程，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，由根与系数的关系可得出m＋n＝2，mn＝ ，再结合点A是OB的中点，可得出m和n的值，由此可得出结论．

解：由对称性可得函数l₂的解析式为： ，

令 ，整理得，k₂x₂−2k₂x＋k₁＝0，

设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，

则m和n是k₂x₂−2k₂x＋k₁＝0的两根，

由根与系数的关系可得出m＋n＝2①，mn＝ ，

∵点A是OB的中点，

∴2m＝n②，

由①②可知，m＝ ，n＝ ，

∴mn＝ ，故A正确．

故选：A．

【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，求出函数l₂的解析式是解题关键．

3．C

【分析】根据点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，可得C（﹣3，﹣5），从而得到D点横坐标是﹣3，然后求出直线AB的解析式，进而求出点D的坐标，即可求解．

解：∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，

∴C（﹣3，﹣5），

∵CD//y轴，

∴D点横坐标是﹣3，

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

把B（﹣2，0），A（3，5）代入得， ，

解得k＝1，b＝2，

∴直线AB的解析式为y＝x+2，

把x＝﹣3代入y＝x+2＝﹣1，

∴D（﹣3，﹣1），

∵反比例函数y （0＜k＜15）的图像过点D，

∴k＝3，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像和性质是解题的关键．

4．B

【分析】设A点（a， ），根据矩形的性质求得对称中心的纵坐标，再由反比例函数求得对称中心的横坐标，从而可以求得矩形的长和高，由面积便可解答；

解：设A点（a， ），则矩形对称中心的纵坐标为： ，

∵矩形对称中心坐标在函数 上，

∴ ，

∴对称中心横坐标为： ，

∴矩形的长为：2×（2a-a）=2a，矩形的高为： ，

∴2a× =8，k=4，

故选： B．

【点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数的解析式；掌握矩形的性质是解题关键．

5．C

【分析】过点C作CE⊥y轴于E，设点A的坐标为（m，0），点B的坐标为（0，n），先证明△BEC≌△AOB得到 ， ，则点C的坐标为（n，m+n），从而求出点P的坐标为（ ），再由点C、P都在反比例函数 上，得到 ，从而求出m、n的值，由此即可得到答案．

解：过点C作CE⊥y轴于E，

设点A的坐标为（m，0），点B的坐标为（0，n），

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AB，∠ABC=90°，

∴∠EBC+∠ABO=∠ABO+BAO=90°，

∴∠EBC=∠OAB，

又∵∠BEC=∠AOB=90°，

∴△BEC≌△AOB（AAS），

∴ ， ，

∴点C的坐标为（n，m+n）

∵点P是正方形ABCD的对称中心，

∴点P为AC的中点，

∴点P的坐标为（ ），

∵点C、P都在反比例函数 上，

∴ ，

∴ 或 ，

∴ ，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

6．C

【分析】过点B作 于点H，记 与y轴的交点为点E，则 ，由 是等腰三角形得到 ，由A、B关于点O中心对称得到点E是 的中点，则 ，即有 ，设 ，则 ，得到点A、点C和点D的坐标，再由 的面积求得k的值．

解：如图，过点B作 于点H，记 与y轴的交点为点E，则 ，

∵ 是等腰三角形， 轴，

∴ ，

∵A、B关于点O中心对称，

∴点E是 的中点，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ， ，

∴点 ，点 ，点 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

解得： ，

故选：C．

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，中心对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质设出点A的坐标．

7．D

【分析】先求出A(-6，3)，B(6，-3)，设直线 向上平移后与y轴交于点D，连接AD，BD，设平移后的解析式为： ，由 ，列出方程，即可求解．

解：联立 ，得： ，解得：x=±6，

∴A(-6，3)，B(6，-3)，

设直线 向上平移后与y轴交于点D，连接AD，BD，则 ，

设平移后的解析式为： ，

令x=0代入 ，得：y=b，

∴D(0，b)，

∴ ，即： b×6+ b×6=48，解得：b=8．

∴平移后的直线的函数表达式是： ．

故选D．

【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，构造 ，是解题的关键．

8．D

【分析】先证得△BPC和△APG都是等边三角形，过点F作FH⊥ 轴于点H，连接AC和BF，设菱形的边长为 ，求得点A（ ， ），点F（ ， ），再列方程求解即可．

解：∵菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，且∠APO=120°，

∴AP∥CE∥FG，∠APG=∠ECG=60°，DC=DG，

∴∠DCG=∠DGC=∠APG=60°，∠BCP=∠DGC=60°，

△BPC和△APG和△CDG都是等边三角形，

过点F作FH⊥ 轴于点H，连接AC和BF，则BF∥ 轴，

设菱形的边长为 ，则AP=2a，PC=a，AC= ，

∴GN= ，FH= ，

∵点P（1，0），

∴点A（ ， ），点F（ ， ），

∵点A，F在反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象上，

∴ ，

解得 ，

∴点A（ ， ），

∴ ，

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

9．A

【分析】设点 ，根据题意以及 分别求得 的坐标，进而求得 的解析式，根据BC与直线OA交于点D，求得交点坐标，从而求得 的长度，根据以AD为边的正方形面积为 ，求得 ，进而求得 的值．

解： 点在 上，设点 则 ， ，

，

，

，则 ，

设直线 的解析式为 ，

则 ，

解得 ，

直线 的解析式为 ，

BC与直线OA交于点D，

解得：

，

以AD为边的正方形面积为 ，则 ，

即 ，

解得 ，

，

，

，

．

故选A

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数解析式，设点的坐标是解题的关键．

10．C

【分析】①作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S_△AOB=S_△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON；②再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S_△AOM= |k₁|= OM•AM，S_△CON= |k₂|= ON•CN，所以有 ；③由S_△AOM= |k₁|，S_△CON= |k₂|，得到S_阴影部分=S_△AOM+S_△CON= （|k₁|+|k₂|）= （k₁-k₂）；④若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k₁|=|k₂|，即k₁=-k₂，根据反比例函数的性质得两双曲线关于y轴对称．

解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴S_△AOB=S_△COB，

∴AE=CF，

∴OM=ON，故①正确；

∵S_△AOM= |k₁|= OM•AM，S_△CON= |k₂|= ON•CN，

∴ ，故②正确；

∵S_△AOM= |k₁|，S_△CON= |k₂|，

∴S_阴影部分=S_△AOM+S_△CON= （|k₁|+|k₂|），故③错误；

若OABC是菱形，则OA=OC，

而OM=ON，

∴Rt△AOM≌Rt△CON，

∴AM=CN，

∴|k₁|=|k₂|，

∴k₁=-k₂，

∴两双曲线关于y轴对称，故④正确；

综上分析可知，①②④正确，故C正确．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

11． .

【分析】分析题意，要求k的值，结合图形只需求出点B的坐标即可；设y轴与BC的交点为M，连接OB，根据周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合可知OB=2，BM=1，OM⊥BC；

接着，利用直角三角形勾股定理求出OM的值，结合点B在反比例函数位于第一象限的图象上，可以得到点B的坐标；代入函数解析式即可.

解：

如图，连接OB

∵周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，

∴正六边形ABCDEF的边长为2，

∴OB＝2，BM＝1，

∵OM⊥BC，

∴OM＝

点B在反比例函数y＝ 位于第一象限的图象上，

点B的坐标为（1， ）．

将点（1， ）代入y＝ 中，得k＝ ．

故故答案为k＝

【点拨】本题考查了正多边形性质，锐角三角函数，反比例函数的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出B的坐标．

12．

【分析】设直线l与y轴交于点M，点 关于直线 的对称点 ，连接MB′，根据一次函数解析式确定∠PMO=45°及M点坐标，然后根据A点坐标分析B点坐标，MB的长度，利用对称性分析B′的坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式，然后将B′坐标代入解析式，从而求解.

解：直线l与y轴交于点M，点 关于直线 的对称点 ，连接MB′

由直线 中k=1可知直线l与x轴的夹角为45°，

∴∠PMO=45°，M（0，b）

由 ，过点 作 轴于点

∴B（0,2）,MB=b-2

∴B′（2-b，b）

把点 代入 中

解得：k=-4

∴

∵ 恰好在反比例函数的图像上

把B′（2-b，b）代入 中

解得： （负值舍去）

∴

故答案为：

【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，轴对称的性质，函数图像上点的坐标特征，用含b的代数式表示B′点坐标是解题的关键．

13．（3+ ，﹣1+ ）

【分析】如图，正确作出辅助线，先判断出△COD≌△OBE，进而判断出点C在双曲线y₁＝ 上，设出点B的坐标，得出点C的坐标，进而求出点H坐标，即可得出点A的坐标，利用点A，C都在y₁＝ 上，建立方程即可得出结论．

解：如图，

作正方形ABOC，过点C作CD⊥y轴于D，过点E作BE⊥y轴于E，

∴∠ODC＝∠BEO＝90°，OB＝OC，∠COD+∠BOE＝90°，

∵∠COD+∠OCD＝90°，

∴∠OCD＝∠BOE，

∴△COD≌△OBE，

∴CD＝OE＝2，OD＝BE，S_△COD＝S_△OBE，

∵反比例函数y₁＝ （x＞0）的图象与y₂＝ （x＞0）的图象关于x轴对称，

∴k₁+k₂＝0，

∴点C在双曲线y₁＝ 上，

设B（m，﹣2）（m＞0），

∴C（2，m），

∴k₁＝2m

连接BC交OA于H，

则CH＝BH，OH＝AH，

∴H（ ， ），

∴A（m+2，m﹣2），

∴k₁＝（m+2）（m﹣2）

∴（m+2）（m﹣2）＝2m，

∴m＝1+ 或m＝1﹣ （舍），

∴m+2＝3+ ，m﹣2＝﹣1+ ，

∴A（3+ ，﹣1+ ），

故答案为：（3+ ，﹣1+ ）．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合题，注意检验结果是否符合实际.

14．8

【分析】设出点B坐标，根据函数关系式分别表示各点坐标，根据割补法表示△BEF的面积，构造方程即可．

解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（-a，0）

∵矩形ABCD和点E、F、C分别在反比例函数 和 的图象上

∴点

∴矩形ABCD面积为：

∵k₁+2k₂=0, ，

∴ ，

∴ ，

∴

∴

∵S_△BEF=5

解得k₁=8

故答案为：8

【点拨】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点坐标表示相关各点，应用面积法构造方程．

15．14

【分析】先由直线y=- x+3与x，y轴交于A、B两点，求出A（6，0），B（0，3），根据△BEC∽△AOB，求出BE=2CE，设CE=x，则BE=2x，得到C（a，2a+3），由矩形的对称中心为点M，得出M为AC的中点，根据中点坐标公式得出M（ ， ），再根据双曲线 （x＞0）过点C、M，得到a（2a+3）= · ，解方程求出a的值，进而得到k．

解：过点C作CE⊥y轴于点E．

∵y=- x+3，

∴x=0时，y=3；

y=0时，- x+3=0，解得x=6，

∴A（6，0），B（0，3）．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴∠EBC+∠ABO=90°，

∵CE⊥y轴，

∴∠CEB=∠AOB=90°，

∴∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠BAO= EBC，

∴△BEC∽△AOB，

∴ ，

∴BE=2CE，

设CE=x，则BE=2x，

∴C（a，2a+3），

∵矩形ABCD的对称中心为点M，

∴M为AC的中点，

∴M（ ， ）．

∵双曲线 （x＞0）过点C、M，

∴a（2a+3）= · ，

解得a₁=2，a₂= （不合题意舍去），

∴k=a（2a+3）=2（2×2+3）=14．

故答案为14．

【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，中点坐标公式，难度适中．求出M点的坐标是解题的关键．

16．     12    

【分析】（1）根据轴对称的性质求得B(4，3)），再利用待定系数法即可求解；

（2）先求得直线y=kx−5k+4过定点C(5，4)，且y随x的增大而增大，可得过C点垂直x轴和垂直y轴的两直线之间为一次函数图象，即可求交点横坐标t的取值范围．

解：（1）∵点A(−2，3)，点B与点A关于直线x＝1对称，

∴B(4，3)），

将B(4，3)代入y= ，

解得，m=12．

（2）∵对于直线y=kx−5k+4，总有y随x的增大而增大，

∴k>0，

∵y=kx−5k+4=(x−5)k+4，

∴当x=5时y=4，

∴直线y=kx−5k+4过定点C(5，4)，当y=4时，即4= ，

解得t=3，

∴3<t<5，

故答案为：12，3<t<5．

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，一次函数的性质，关键是熟练运用一次函数的性质．

17．②③

【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出 ，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出 ，当 时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点 代入直线 ，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算 ，继而判断④错误．

解： 直线 ，

当 时， ，

，

，

四边形 是菱形，

，

A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D，

在 中， ，

，故①错误；

在双曲线 上，

，

，

当 时， ，故②正确；

，

，

点B在直线 上，

，

，

，故③正确；

，故④错误；

综上，正确结论的序号是②③，

故答案为：②③．

【点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

18．-2

【分析】设点 ，由题意易得 ，然后过点D作DH⊥x轴于点H，交OE于点G，进而可得△ODE的面积等于梯形AEDH，最后问题可求解．

解：设点 ，

∵点D是矩形OABC的对称中心，

∴ ，

过点D作DH⊥x轴于点H，交OE于点G，如图所示：

由反比例函数k的几何意义可得： ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

故答案为-2．

【点拨】本题主要考查矩形的性质、反比例函数k的几何意义及等积法，熟练掌握矩形的性质、反比例函数k的几何意义及等积法是解题的关键．

19．(1) ；(2)

【分析】（1）把 代入 可得 ，与 ，构成方程组可解 的值；

（2）设 ， ，代入解析式可解 ，由 ，可得 ，解不等式可得n的取值范围．

（1）解：∵若 的图象过

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴反比例函数的表达式为 ；

（2）解：∵P，Q关于原点成中心对称，

∴设 ， ，

把 ， 代入 可得

，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

当 时， ，此方程无解，没有交点；

当 时，

∵当 时，总有 ，

∴

∴ ，

此时 ．

综上所述， ．

【点拨】本题考查反比例函数和一次函数的综合，中心对称的性质．解题关键是利用交点坐标代入解析式可得方程组，不等式．

20．(1) ；(2)四边形 是平行四边形，理由见分析

【分析】（1）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，根据 构建方程即可解决问题；

（2）只要证明 ，即可解决问题．

（1）解： ， ，

， ，

设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，

由 得： ，

解得： ，

此时点 的坐标为 ．

（2）解：四边形 是平行四边形，理由如下：

设点 的坐标为 ．

点 、 关于原点 对称，

点 的坐标为 ，

轴，且点 、 在双曲线 上，

点 ，点 ，

， ，

，

又 ，

四边形 是平行四边形．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定等知识，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

21．(1)一次函数解析式 ，反比例函数解析式 ；(2) ；(3) 或 ．

【分析】（1）把点A的坐标 代入反比例函数的解析式求出m，再求出点B的坐标，把点A、点B的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论；

（2）根据（1）一次函数的解析式求得点C的坐标，由轴对称的性质求得点 的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；

（3）求得直线 的解析式，解方程组，求得两个交点的坐标，根据图象得出 的取值范围．

（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

把 、 代入 得， ，

解得 ，

，

∴一次函数解析式 ，反比例函数解析式 ；

（2）解：令 ，则 ，

∴ ，

∵点 是点 关于 轴的对称点，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（3）解：∵将直线 向上平移5个单位得到直线 ，

∴ ，

联立， ，解得 或 ，

∴两交点坐标分别为 ， ，

当函数值 时，观察图象得 或 ．

【点拨】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．

22．(1) ；(2) ， ， ；(3)8

【分析】（1）先求出 与坐标轴的交点，再根据 ，求出 ，进而得到一次函数的表达式；

（2）过 作 轴，设 ， ，用勾股定理求得 的值，求出点 的坐标，把函数列成方程组求出 点横坐标，代入反比例函数求出纵坐标；

（3）根据 ，求出 的面积即可．

解：（1）令 ， ， ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴一次函数的表达式： ；

（2）过A作 轴，

设 ， ，

∵A在 上，

∴ ，

在 中，根据勾股定理得 ，

，

解得 （舍去）， ，

∵点 在第二象限，

∴ ，

∴ ，

∴反比例函数的表达式： ；

∵ ，

∴ ， ，

∵点B在第四象限，

∴ ；

（3）令 ， ，

∴ ，

∵点F是点D关于x轴的对称点，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∴ 的面积是8．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

23．(1)13；(2) ；(3)

【分析】（1）连接 交 于J．根据菱形的性质可得 ，从而得到 ，再由勾股定理，即可求解；

（2）求出点A的坐标，即可求解；

（3）过点A作 于T，过点Q作 于R．根据点B关于点O的对称点为D点，可得点 ，从而得到 ，再证明 ，可得 ，从而得到点Q的横坐标，即可求解．

（1）解：如图1中，连接 交 于J．

∵四边形 是菱形，

∴ ，

∵点C坐标为 ，

∴ ，

∴ ，

∴菱形 的边长为13，

故答案为：13．

（2）解：∵点C坐标为 ，

∴ ，

把 代入 中，得到 ，

∴双曲线的解析式为 ．

（3）解：如图中，过点A作 于T，过点Q作 于R．

由（1）得： ，

∴点 ，

∵点B关于点O的对称点为D点，

∴点 ，

∵ ，直线l垂直于y轴，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴点Q的横坐标为 ，

∴点Q落在双曲线上，

∴ ．

【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

24．(1) ， ；(2)不在，理由见分析， ；(3)

【分析】（1）过点D作 轴与点E，由 ， ， ，可得点A的坐标，由勾股定理求得 ，再求得 ， ， ，即可得到点D的坐标；

（2）由 得到点 在反比例函数 上，由点 ， 得到点 在反比例函数 上，得到A，D不在同一个反比例函数图象上，由 ， ， 求得 ，即可得到答案；

（3）由 平移到 ，点 在反比例函数 的图象上，得 ，求得 ，由 是以 为底边的等腰三角形得 ，由两点间距离公式即可求得m的值，进而求得 的值．

（1）解：过点D作 轴与点E，

∵ ， ， ，

∴点A的坐标是 ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴

∵ 与 关于AC所在直线对称，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ,

∴ ， ，

∴ ，

∴ ；

（2）∵点 ， ,

∴点 在反比例函数 上，

∵点 ， ,

∴点 在反比例函数 上，

∴A，D不在同一个反比例函数图象上，

∵ ， ， ，

解得 ，

此时 ，

∴当 时，点A，D在同一个反比例函数 的图象上，

即 ；

（3）设四边形ABCD向右平移m个单位长度，

由（2）知点 ，

∴ 平移到 ，

∵点 在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∵点 ，

∴点P的横坐标为3，

∴ ，

∵ 是以 为底边的等腰三角形，

∴ ，

∴ ，

由两点间距离公式可得，

∴ ，

解得 或 （舍去），

∴ ．

即 的值是 ．

【点拨】此题考查了反比例函数的图象和性质，图形的平移，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键．