专题6.23
反比例函数（对称性问题）（基础篇）
反比例函数图象是中心对称图形，同时也是轴对称图形，其对称中心是坐标原点，其对称轴是y=x和y=-x，近些年，此知识点成了中考中的热点，更是压轴题的常考点，这些题型不仅利用双曲线的对称性，还综合了关于某直线对称和特殊四边形的对称性问题，为此，本专题精选部分有代表性的题型供师生选择使用。
一、单选题
1．已知点
关于y轴的对称点
在反比例函数
的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3 B．
C．﹣3 D．﹣
2．如图，A，B是函数y=
（m＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC
x轴，AC
y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若点
关于
轴的对称点
恰好在反比例函数
的图象上，则
的值为（ ）
A．6 B．
C．
D．
4．如图，
是反比例函数
在第一象限内的图象，且经过点A（1，2）．
关于x轴对称的图象为
，那么
的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设A，B是反比例函数
的图象上关于原点对称的两点，AD平行于y轴交x轴于D，BC平行于x轴交y轴于C，设四边形ABCD的面积S，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知点
在反比例函数
的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（﹣3，0）和点B（0，2）都在坐标轴上，若反比例函数y＝
的图象经过矩形AOBC的对称中心，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1.5 D．﹣1.5
8．如图，边长为8的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB
x轴，BC
y轴，反比例函数
与
的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
9．如图，在平面直角坐标系中，
为
的对称中心，
，
轴交
轴于点
，点
的坐标点为
，反比例函数
的图像经过点
．将
沿
轴向上平移，使点
的对应点
落在反比例函数的图像上，则平移过程中线段
扫过的面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．
10．已知一个函数中，两个变量x与y的部分对应值如下表：
X |
… |
﹣2﹣ |
… |
﹣2+ |
… |
|
… |
|
… |
Y |
… |
﹣2+ |
… |
﹣2﹣ |
… |
|
… |
|
… |
﹣1如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是( )
A．x轴 B．y轴 C．直线x=1 D．直线y=x
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，若点
与点
关于原点对称，则经过
的反比例函数解析式是______．
12．如图，点
是矩形
的对称中心，
，
，若反比例函数
的图象经过点
，交
于点
，则点
的坐标为______．
13．已知点
、点
是同一个反比例函数
图象上的两点．若点
与
关于原点对称，则m的值为______．
14．如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作
轴于点B，若
的面积为7，则反比例函数的表达式为__________．
15．如图，点
是矩形
的对称中心，点
，
，经过点
的反比例函数的图象交
于点
，则点
的坐标为______．
16．已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数
的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
17．已知A、B两点分别在反比例函数
和
的图像上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为______．
18．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数
的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为3，则k的值为_______
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图像与反比例函数
的图像相交于
，
两点．
(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图像；
(2)结合图像，请直接写出不等式
的解集；
(3)点C与点B关于原点对称，求
的面积．
20．如图，反比例函数
与正比例函数
交于点A，点A是点B关于y轴的对称点，点B的坐标为
．
(1)求
的值；
(2)若将正比例函数
的图象向下平移2个单位长度得到函数
，求此函数的表达式．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点
，
，
，点D为点B关于
所在直线的对称点，反比例函数
的图像经过点D．
(1)求证：四边形
为菱形；
(2)求反比例函数的表达式．
22．在平面直角坐标系中，设函数：
（
是常数，
，
）与函数，
（
是常数，
）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．若点B的坐标为
．
(1)求
，
的值；
(2)当
时，直接写出x的取值范围．
23．如图，反比例函数
与一次函数
交于
两点．
(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出关于x的不等式
的解集；
(3)若点A关于x轴的对称点为点D，求
的面积．
24．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数
的图像并探究该函数的性质．
X |
… |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
Y |
… |
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
… |
列表，写出表中a，b的值：
__________，
_________；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；
观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________．
①函数
的图像关于y轴对称；
②当
时，函数
有最小值，最小值是
；
③在自变量x的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大；
④函数
与x轴必有两个交点；
已知函数
的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式
的解集．
参考答案
1．A
【分析】根据对称的性质得到点
，代入解析式即可求出k．
解：∵点
与点
关于y轴的对称，
∴点
，
∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
故选：A．
【点拨】此题考查了关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，利用待定系数法求反比例函数的解析式．
2．B
【分析】根据A、B两点在曲线上可设A、B两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．
解：设点A（x，y），则点B（-x，-y），
∴xy=m，
∴AC=2y，BC=2x，
∴
，
故选：B．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．
3．D
【分析】根据对称性求出点
的坐标，把点
的坐标代入反比例函数
可求出k的值．
解：∵点
与点
关于x轴对称，
∴点
，
又∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
故选：D．
【点拨】本题考查轴对称的坐标变化，反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解决问题的关键．
4．D
【分析】写出点A(1,2) 关于x轴对称的点的坐标(1,-2)，求出经过这点的反比例函数的解析式．
解：点A(1,2) 关于x轴对称的点的坐标为(1,-2)，
设
的解析式为
，
则
，
，
∴
(x>0)．
故选D．
【点拨】本题考查了关于x轴对称点的坐标和反比例函数，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数解析式，是解决此类问题的关键．
5．C
【分析】根据反比例函数y＝
中k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S＝
|k|即可解答．
解：设点A的坐标为（x，y），点A在反比例函数解析式上，
∴点B的坐标为（-x，-y），k=xy=（-x）（-y）=-
，
∵AD平行于y轴，BC平行于x轴，
∴OD=|x|，AD=|y|，OC=|y|，BC=|x|，
∴S=△ADO+S△DOC+S△BCO
=
|xy|+
|xy|+
|xy|
=
×
+
×
+
×
=
．
故选：C．
【点拨】此题主要考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
6．D
【分析】将点的坐标代入求解，根据坐标关于原点的对称规律直接求解即可．
解：将
代入
，则
，那么
，
则点
关于原点对称的点的坐标
故选：D
【点拨】此题考查反比例函数上的点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的点的坐标规律．
7．D
【分析】先求出矩形的中心点，然后根据待定系数法即可求得．
解：∵点A（-3，0）和点B（0，2）都在坐标轴上，
∴矩形AOBC的中心点为（
，1），
∵反比例函数y＝
的图象经过矩形AOBC的对称中心，
∴k=
，
故选：D．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求得矩形的中心点是解题的关键．
8．C
【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积．
解：根据题意：观察图形可得,图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O旋转90度，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半，
且AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数
与
的图象均与正方形ABCD的边相交，
而边长为8的正方形面积为64，
所以图中的阴影部分的面积是32．
故选：C．
【点拨】本题主要通过橄榄形面积的计算来考查反比例函数图象的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．
9．D
【分析】根据O为▱ABCD的对称中心，AD=5，AD∥x轴交y轴于点E，点A的坐标为（-2，2），可求点C、D的坐标，进而求出反比例函数的关系式，由平移可求出点
的坐标，知道平移的距离，即平行四边形的底，再根据面积公式求出结果．
解：∵AD=5，AD∥x轴交y轴于点E，点A的坐标为（-2，2），
∴DE=5-2=3，OE=2，
∴D（3，2），
把
代入反比例函数的关系式得，k=2×3=6，
∵O为▱ABCD的对称中心，点A的坐标为（-2，2），
∴点C的坐标为（2，-2），当x=2时，y=
，
∴点
（2，3）
∴C
=CF+F
=2+3=5，
上的高是是
∴平行四边形AC
N的面积为
平移过程中线段
扫过的面积为
故选：D．
【点拨】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质及面积，将点的坐标转化为线段的长是常用的方法，将AC平移后扫过的面积就是平行四边形AC
N的面积是关键．
10．D
【分析】根据题意可得y与x的函数关系式，进一步即可进行判断.
解：由表格中的数据可得y与x的函数关系式为：
，其图象是双曲线，是轴对称图形，对称轴是直线：y=x和y=－x.
故选：D.
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质以及函数解析式的确定，解题的关键是正确求得反比例函数的解析式、熟练掌握反比例函数的图象与性质.
11．
【分析】根据关于原点对称的坐标特点列式求出
、
的值，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可．
解：∵点
与点
关于原点对称，
∴
，
，
解得
，
，
∴
即
，
设
，
∴
，
∴反比例函数解析式是
．
故选：
．
【点拨】本题考查了关于原点对称的坐标特点和利用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握关于原点对称的坐标特点和待定系数法是解题的关键．
12．
【分析】根据矩形的性质得到
，
，将
代入
，求出反比例函数的解析式，再计算
时的x值即可得到点
的坐标．
解：∵点
是矩形
的对称中心，
，
，
∴
，
，
将
代入
，得
，
∴
，
当
时，
，
解得
，
∴
的坐标为
，
故答案为：
．
【点拨】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，正确理解矩形的性质得到点
的坐标是解题的关键．
13．
【分析】关于原点对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由此求解．
解：
与
关于原点对称，
，
，
，
，
点
在反比例函数
的图象上，
，
解得
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与中心对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
14．
【分析】设反比例函数的表达式为
，点
的坐标为
，即可表示出点
和点
的坐标，那么
的面积就可以表示为
，即可求解．
解：设反比例函数的表达式为
，点
的坐标为
，则点
的坐标为
，点
的坐标为
，
∴
的面积可以表示为
，
∵
的面积为7，即
，
解得
，
∴反比例函数的表达式为
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点
的坐标，是解决本题的关键．
15．
【分析】先求得
点的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把
代入解析式即可求得点
的坐标．
解：
点
是矩形
的对称中心，
点
是矩形
的对角线
的中点，
又
，
，
点
的坐标为
．
反比例函数
的图象经过点
，
，
，
把
代入得，
，
点
的坐标为
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点
的坐标是解题的关键．
16．y=
【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数
的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．
解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)，
∴A′(2，m)，
∵点A′在正比例函数
的图象上，
∴m=
×2，
解得：m=1，
∴A(−2，1)，
设这个反比例函数的表达式为y=
，
∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上，
∴k=-2×1=-2，
∴这个反比例函数的表达式为y=
，
故答案为：y=
．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
17．
##0.125
【分析】先设A、B的坐标，然后把A、B的坐标代入函数关系式，列出方程组，解方程组即可．
解：根据题意设A（a，b），则B（a，－b），则有：
，
所以
＝0，
即8m－1＝0，
解得
．
故答案为
．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴，y轴对称的点的坐标．根据题意得
＝0，即8m－1＝0是解题的关键．
18．3
【分析】连接OC，由C是线段AB的中点，可得
，然后根据比例系数k的几何意义即可求得答案.
解：如图，连接OC，
∵C是线段AB的中点，
∴
，
∵
，
，
∴
.
故答案为：3.
【点拨】本题主要反比例函数的比例系数k的几何意义、与中线有关的三角形的面积关系，熟记反比例函数的比例系数k的几何意义是解题的关键.
19．(1)
，一次函数的图像见分析；(2)
或
；(3)
【分析】（1）将点
，点
代入
中得
解得，
，则点A的坐标为：
，点B的坐标为
，将点
和
代入
中得
，解得，
，即可得一次函数解析式为：
；
（2）观察函数图像，即可得不等式
的解集是
或
；
（3）根据点C与点B关于原点对称得点C的坐标为
，根据网格和勾股定理得
，
，
，可得
，即
是直角三角形，即可得．
（1）解：将点
，点
代入
中，
解得，
，
则点A的坐标为：
，点B的坐标为
，
将点
和
代入
中，
，
解得，
，
即一次函数解析式为：
，
函数图像如下：
（2）解：观察函数图像，不等式
的解集是
或
；
（3）解：∵点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为
，
三角形
如图所示，
∵
，
，
，
∴
，
即
是直角三角形，
∴
．
【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数，函数与不等式，三角形的面积，勾股定理，关于原点对称，解题的关键是掌握反比例函数，一次函数，函数与不等式，勾股定理．
20．(1)
；(2)
．
【分析】（1）先求出
，再将
代入
，得
；
（2）求出正比例函数解析式为
，再利用平移的规律解答即可．
（1）解：∵点A和点B关于y轴对称，
，
∴
，
把
代入
，得
．
（2）解：把
代入
，得
，
∴直线的表达式为
，
∵
是由
向下平移2个单位长度得到，
∴
．
【点拨】本题考查反比例函数和一次函数的综合，点关于y轴对称的性质，一次函数的平移，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，点关于y轴对称的性质以及一次函数的平移．
21．(1)证明见分析；(2)
【分析】（1）根据
，
，
即可得
，
，根据D点为B点关于
所在直线的对称点得
，
，可得
，即可得；
（2）根据四边形
为菱形，得
，根据
，
得
，把
代入
得
，即可得．
解：（1）证明：∵
，
，
，
∴
，
，
∵D点为B点关于
所在直线的对称点，
∴
，
，
∴
，
∴四边形
为菱形；
（2）解：∵四边形
为菱形，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
把
代入
得
，
∴反比例函数的表达式为
．
【点拨】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
22．(1)
的值为2，
的值为2；(2)
【分析】（1）求得A的坐标，分别代入
（
是常数，
，
）与函数
（
是常数，
），即可求得
，
的值；
（2）根据图象即可求得．
解：（1）∵点
，
∴点
，
把
代入
得
，
把
代入
得
，
∴
的值为2，
的值为2
（2）由图象可知：
【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象，求出点的坐标，进而求出关系式．
23．(1)
；图象见分析；(2)
或
；(3)6
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用两点法画出函数图象，即可求解；
（2）由图象可知，关于x的不等式
的解集为
或
，即可；
（3）根据点A关于x轴的对称点为点D，可得
，再由三角形的面积公式，即可求解．
（1）解：∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
∴
，
∴
．
把A、B的坐标代入
得∶
，
解得
，
∴一次函数表达式为
，
在网格中画出一次函数的图象如图：
（2）解：由图象可知，关于x的不等式
的解集为
或
；
（3）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
24．(1)
；
；图见分析；(2)①②；(3)
或
【分析】（1）已知解析式，代入x的值，即可算出对应的y值，即可得出答案；
（2）结合图像即可分析函数的对称性、增减性、最值、交点问题；
（3）结合图像分析不等式与函数的关系，即可得出结论．
（1）
函数
，
令
，可得
，
故
；
令
，可得
，
故
，
故答案为：
；
．
描点、连线，在画出该函数的图像如下：
（2）由函数的图像可得：
①函数
的图像关于
轴对称，①正确；
②当
时，函数
有最小值，最小值是
，②正确；
③自变量
时，函数
的值随自变量
的增大而增大；自变量
时，函数
的值随自变量
的增大而减小，③错误；
④由于
恒成立，故函数的图像与
轴不可能有交点，④错误，
故答案为：①②．
（3）不等式
表现在图像上，
即函数
的图像比函数
的图像低，
因此观察图像可得到
的解集为：
或
．
【点拨】本题考查了新函数的研究方法，在学习一次函数，反比例函数以及二次函数时的通用方法是本题解题的关键．