【324246】2024八年级数学下册专题6.21 反比例函数（折叠问题）（综合篇）（新版）浙教版

专题6.21 反比例函数（折叠问题）（综合篇）

一、单选题

1．矩形OABC在平面直角坐标系中如图，已知AB=10，BC=8，EB是C上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y= （k＞0）与AB相交于点F，则线段AF的长为（　　）

A． B． C．2 D．

2．如图，以矩形的长作轴，以宽作轴建立平面直角坐标系，，现作反比例函数交于点，交于点，沿折叠，点落在的点处，，则的值是（）

A．8 B．12 C．15 D．16

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B(10，8)，点D在BC边上，连接AD，把 ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．48

4．如图，已知矩形的边在x轴上，，，双曲线与矩形相交于点A，E，沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则k的值为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

5．如图，矩形的边分别在x轴、y轴上，，点B在第一象限，点D在边上，点E在边上，且，将沿折叠得，，反比例函数的图像恰好经过点，D，则（）

A． B．6 C． D．

二、填空题

6．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图像经过点，则的值为______．

7．如图，把面积为1的正方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，A、D和B、C关于y轴对称将C点折叠到y轴上的C′处，折痕为BP，现有一反比例函数的图象经过P点，则该反比例函数的解析式为____________________．

8．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，OC＝7，点B在第一象限，点D在边AB上，点E在边BC上，且∠BDE＝30°，将△BDE沿DE折叠得到△B′DE，若AD＝1，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点B′，D，则k的值为_____．

9．在平面直角坐标系中，将反比例函数的图像沿着x轴折叠，得到的图像的函数表达式是_________．

10．分别以矩形的边OA，OC所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点的坐标是(4，2)，将矩形折叠使点落在G(3，0)上，折痕为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为_______．

三、解答题

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）．若反比例函数y= （x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F．设直线EF的函数表达式为y=k₂x+b．

（1）反比例函数的表达式是；

（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k₂x+b＜的解集；

（3）若点P在直线BC上，将△CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是．

12．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，与AB相交于点E，且点B（4，2）．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）求四边形OAED的面积；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，若，求直线GH的函数关系式．

13．已知点A（a，m）在双曲线y= 上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．

（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，

①若t=1，直接写出点C的坐标；

②若双曲线y= 经过点C，求t的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线y= （x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣ （x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣ （x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．

14．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA= ．

（1）求边AB的长；

（2）求反比例函数的解析式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

15．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且D点的横坐标是它的纵坐标的2倍．

（1）求边AB的长；

（2）求反比例函数的解析式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

16．如图所示，矩形ABCO的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（8，n）在边AB上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，E，且OA＝2AB．

（1）AB的长是　　；

（2）求反比例函数的表达式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长．

17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，OA＝8，点D为对角线OB的中点，若反比例函数y＝在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F，与矩形边AB交于点E，反比例函数图象经过点D，且tan∠BOA＝，设直线EF的表达式为y＝k₂x+b．

（1）求反比例函数表达式；

（2）直接写出直线EF的函数表达式_______；

（3）当x＞0时，直接写出不等式k₂x+b＞的解集_____；

（4）将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕与x轴正半轴交于点H，与y轴正半轴交于点G，直接写出线段OG的长______．

18．如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E．

（1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式；

（2）求点D的坐标．

19．如图，反比例函数（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△A'BC，A'C交反比例函数于点P，连接BP，求直线A’C的解析式和△BCP的面积；

(3)在坐标平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．

参考答案

1．B

解：分析：首先根据折叠的性质得到BE=DE,AB=AD,∠ABE=∠ADE=90°，然后利用勾股定理求得OD的长，从而得到DC=OC−OD=10−6=4，设点E的坐标为则可以表示然后在Rt△ECD中，利用勾股定理解得k值后即可求得反比例函数的解析式，代入y=8后求得x的值即可求得AF．

详解：∵将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，

∴BE=DE,AB=AD,∠ABE=∠ADE=90°，

∵AB=10，BC=8，

∴AO=BC=8，AD=AB=10，

∴由勾股定理得：

∴DC=OC−OD=10−6=4，

设点E的坐标为

∴

在Rt△ECD中，

即：

解得：k=30，

∴反比例函数的解析式是

令y=8，

解得：

∴

故选B.

点睛：属于反比例函数综合题，考查折叠的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征等.

2．B

【分析】根据OG=3GC且OC=8可求得GC的长，根据折叠的性质得BE=EG，设CE=x，则BE=EG=4-x，在Rt 中根据勾股定理可求得CE的长，从而求得点E的坐标，即可求得答案．

解：∵OG=3GC，OC=8，

∴GC=2，

根据折叠的性质得BE=EG，

设CE=x，则BE=EG=4-x，

∵四边形是矩形，

∴ ，

在Rt 中，，即，

解得：，

∴点E的坐标为(8， )，

将(8， )代入，

∴ ，

故选：B．

【点拨】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，还考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理求得点E的坐标是解题的关键．

3．B

【分析】根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．

解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），

∴AE＝AB＝10，DE＝BD，

∵AO＝8，AE＝10，

∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，

设点D的坐标是（10，b），

则CD＝b，DE＝8﹣b，

∵CD²+CE²＝DE²，

∴b²+4²＝（8﹣b）²，

解得b＝3，

∴点D的坐标是（10，3），

∵反比例函数的图象经过点D，

∴k＝10×3＝30，

故选：B．

【点拨】本题考查了求反比例函数的解析式，同时也考查了矩形的翻折问题．须熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，轴对称的性质．其中求点D的坐标是解题的关键．

4．C

【分析】由矩形的性质和折叠可知，在中根据勾股定理可求，进而求出，在中，由勾股定理可求，，从而可设，，根据点A，E都在双曲线上，得出关于m的方程，然后求解即可．

解：∵四边形是矩形，，，

∴ ，， °，

∵ 是由翻折得到，

∴ ，，

设，

在中，，

∴ ，

在中，，

∴ ，

∴ ，，

设，则，

∵双曲线过A、E点，

∴ ，

解得，

∴ ，

故选：C．

【点拨】本题考查了矩形与折叠，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理等知识，求出是解题的关键．

5．C

【分析】作于F，设，在中，利用30度角的直角三角形的性质得到，再根据折叠的性质得，，在中，，接着计算出，，所以，代入反比例函数中即可求出的值．

解：作于F，如图，

设，

∵ ，

∴ ，

在中，

∵ ，

∴ ，，

∵将沿折叠得，

∴ ，，

在中，，

∴ ，，

∴ ，

∵反比例函数的图像恰好经过点，

∴ ，

解得，

故选：C．

【点拨】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象上的点的横纵坐标乘积为定值，即，也考查了矩形的性质和折叠的性质．

6．30

【分析】首先根据翻折变换的性质，可得 DE=BD；然后设点D的坐标是，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．

解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点

∴AE=AB= ， DE=BD，

∴OE=

设点D的坐标是，则CD=b，，

∵ ，

∴

解得：

∴点D的坐标是，

∵反比例函数的图象经过点D，

∴

故答案为：

【点拨】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，反比例函数图像上点的坐标特点，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．

7．y= ．

解：依题意知BC'=BC=1，OB= ，

∴C'的纵坐标为，∠OBC′=60°，

∴△C'BC为等边三角形，

所以∠PBC=30°

∴PC=BCtan30°=

∴P（，）

设该反比例函数的解析式为y= ，

则k=xy=

∴y= ．

考点：待定系数法求反比例函数解析式．

8．4

【分析】作BF⊥BC于F，如图，设D（k，1），在Rt△DBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据折叠的性质得EB′=BE= ，∠B′ED=∠BED=60°，则∠B′EF=60°，接着计算出，所以B′的坐标为，然后把点B′坐标代入中可求出k的值．

解：作BF⊥BC于F，如图，设D（k，1）

∵OC＝AB＝7，AD＝1，

∴BD＝6，

在Rt△DBE中，∵∠BDE＝30°，

∴∠BED＝60°，，

∵△BDE沿DE折叠得到△B′DE．

∴EB′＝BE＝2 ，∠B′ED＝∠BED＝60°，

在Rt△B′EF中，∠B′EF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴ ，

∴B′的坐标为（k﹣3 ，4），

∵点B′反比例函数的图象，

，

．

故答案为．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性质和折叠的性质．

9．．

【分析】根据关于x轴对称点的规律，可得反比例函数的解析式．

解：∵反比例函数的图像沿着x轴折叠，

∴ ，即．

故答案为：．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及关于x、y轴对称点的坐标的特点．如（a，b）关于x轴对称点的坐标（a，-b），关于y轴对称点的坐标（-a，b）．

10．3

【分析】设CE的长为a，利用折叠的性质得到EG=BE=4-a，ED=3-a，在Rt△EGD中，利用勾股定理可求得a的值，得到点E的坐标，即可求解．

解：过G作GD⊥BC于D，则点D(3，2)，

设CE的长为a，

根据折叠的性质知：EG=BE=4-a，ED=3-a，

在Rt△EGD中，，

∴ ，

解得：，

∴点E的坐标为( ，2)，

∵反比例函数的图象恰好经过点E，

∴ ，

故答案为：3．

【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象上点的特征，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

11．（1）y= ，（2）y=- x+5，x＜2或x＞8．（3）（8，3 -5）或（8，-3 -5）.

解：试题分析：（1）求出点A坐标代入y= 即可解决．

（2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下面，即可写出不等式的解集．

（3）如图作EM⊥OB于M，利用翻折不变性，设设PC=PN=x，利用△EMN∽△NBP得，求出x即可解决问题．

试题解析：（1）∵四边形OBCD是矩形，

∴OD=BC=4，OB=CD=8，

∵OA=OC，

∴点A坐标（4，2），

∵点A在反比例函数y= 上，

∴k₁=8，

∴反比例函数为y= ，

（2）∵点E、F在反比例函数图象上，

∴点E坐标（2，4），点F坐标（8，1），设直线EF为y=kx+b，则，

解得 Shape246 ，

∴直线EF为y=- x+5，

于图象可知不等式k₂x+b＜的解集为x＜2或x＞8．

（3）如图作EM⊥OB于M，

∵∠DOM=∠EMO=∠EDO=90°，

∴四边形DEMO是矩形，

∴EM=DO=4，

∵△EPN是由△EPC翻折得到，

∴EC=EN=6，PC=PN，∠ECP=∠ENP=90°，设PC=PN=x，MN= ，

∵∠ENM+∠PNB=90°，∠PNB+∠NPB=90°，

∴∠ENM=∠NPB，∵∠EMN=∠PBN，

∴△EMN∽△NBP，

∴ ，

∴x=9-3 ，

∴PB=BC-PC=4-（9-3 ）=3 -5．

当点P′在CB延长线上时，由△EMN′∽△N′BP′，设P′B=x，

∵ ，

∴ ，

∴x=3 +5，此时点P坐标（8，-3 -5）

故答案为（8，3 -5）或（8，-3 -5）

考点：反比例函数综合题.

12．（1）；（2）S=2．5；（3）解析式为

试题分析：（1）先根据点D为对角线OB的中点求出D点坐标，代入反比例函数得出结论；

（2）根据（1）中反比例函数的解析式求出E点坐标，根据S_四边形OAED=S_△_OAB-S_△_BDE即可得出结论；

（3）连接GF，先求出F点的坐标，再由图形翻折变换的性质得出OG=GF，根据勾股定理求出GF的长，进而得出G点坐标，根据GH= ，求出H点的坐标，利用待定系数法求出直线GH的函数关系式即可．

解：（1）∵B（4，2），点D为对角线OB的中点，∴D（2，1），

∵点D在反比例函数（k≠0）上，∴k=2×1=2，

∴反比例函数的关系式为：；

（2）∵反比例函数的关系式为，四边形OABC是矩形，B（4，2），

∴E（4，），∴BE=2- = ，

∵D（2，1），∴S_四边形OAED=S_△_OAB-S_△_BDE= ×4×2- × ×2=4- =2．5 ；

（3）设点F（a，2），H（b，0），

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，∴ =2，解得a=1，∴CF=1，

连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2-t，

在Rt△CGF中，，GF²=CF²+CG²，即t²=（2-t）²+1²，解得t= ，∴G（0，），

∵ ，∴OG²+OH²=GH²，即（）²+b²=（）²，解得b=2．5或b=-2．5（舍去），

∴H（2．5 ，0）．

设直线GH的解析式为y=kx+c（k≠0），

∵G（0，），H（2．5，0），

∴ Shape282 ，解得 Shape283 ，

∴直线GH的解析式为y= x+ ．

考点：反比例函数

13．（1）①C（1，3）．②t=﹣4 或2；（2）满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．

【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；

（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．

②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣ 上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣ 上，可得mn=﹣8.

解：（1）①如图1﹣1中，

由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，

∴C（1，3）；

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），

∵点C在y= 上，

∴t（t+2）=8，

∴t=﹣4 或2；

（2）如图2中，

①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），

∴m+n=0；

②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣ 上，

作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，

∴OB=OH，AB=D′H，

∵A（a，m），

∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），

∵D′在y=﹣ 上，

∴mn=﹣8，

综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．

【点拨】本题考查了反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．

14．（1）2；y= ，n= ；OG= ．

解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，

∴OA=4，

在Rt△AOB中，

∵tan∠BOA= ，

∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2；

（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），

∵点D为OB的中点，

∴点D（2，1）

∴ =1，

解得：k=2，

∴反比例函数解析式为y= ，

又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，

∴ =n，

解得n= ；

（3）如图，设点F（a，2），

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，

∴ =2，

解得a=1，

∴CF=1，

连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²，即t²=（2﹣t）²+1²，

解得t= ，

∴OG=t= ．

15．（1）D（2，1），（2） , , （3）

【分析】（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，可得三角形ODM与三角形OBA相似，根据D点的横坐标是它的纵坐标的2倍及E（4，n），求出AB的长即可；

（2）由D为OB的中点，以及B坐标求出D坐标，把D代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把E坐标代入反比例解析式求出n的值即可；

（3）由折叠的性质得到三角形OGH与三角形FGH全等，利用全等三角形的对应边相等得到OG＝FG，由F在反比例图象上，确定出F坐标，进而求出CF的长，在三角形CFG中，设OG＝FG＝x，可得CG＝2﹣x，利用勾股定理求出x的值，即为OG的长．

解：（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，

∵D点的横坐标是它的纵坐标的2倍，即OM＝2DM，

∴OA＝2AB，

∵E（4，n），即OA＝4，AE＝n，

∴AB＝2；

（2）∵D为OB中点，B（4，2），

∴D（2，1），

把D（2，1）代入y＝中，得1＝，即k＝2，

∴反比例函数解析式为y＝，

把E（4，n）代入反比例解析式得：n＝＝；

（3）设F（a，2），代入y＝，得2＝，解得a=1，

故F（1，2），

所以CF＝1，

由折叠得：△OGH≌△FGH，

∴OG＝FG，

∵OC＝AB＝2，

设OG＝FG＝x，得到CG＝2﹣x，

在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG²＝CG²+CF²，即x²＝（2﹣x）²+1，

整理得：4x＝5，

解得：x＝，

则OG＝．

【点拨】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定反比例解析式，以及折叠的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

16．（1）4；（2）y＝，n=1;(3)

【分析】（1）先求出OA＝8，进而求出AB；

（2）先求出点B坐标，进而求出点D坐标，再求出反比例函数解析式，即可得出结论；

（3）先求出点F坐标，设出点G的坐标，进而表示出CG，FG，最后用勾股定理即可得出结论．

解：（1）∵四边形OABC是矩形，且点E（8，n）在边AB上，

∴OA＝8，

∵OA＝2AB，

∴AB＝4，

故答案为4；

（2）由（1）知，OA＝8，AB＝4，

∴B（8，4），

∵点D是OB的中点，

∴D（4，2），

∵点D在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝4×2＝8，

∴反比例函数的解析式为y＝，

∵点E（8，n）在反比例函数图上

∴8n＝8，

∴n＝1；

（3）如图，连接FG，

由（2）知，反比例函数解析式为y＝，

∴点F（2，4），

∴CF＝2，

设点G的坐标为（0，m），

∴OG＝m，

∴CG＝OC﹣OG＝AB﹣OG＝4﹣m，

由折叠知，CF＝OG＝m

在Rt△FCG中，CG²+CF²＝FG²，

∴（4﹣m）²+4＝m²，

∴m＝，

∴OG＝．

【点拨】反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，待定系数法，中点坐标公式，勾股定理，求出点D的坐标是解本题的关键．

17．（1）y＝；（2）y＝﹣ x+5；（3）2＜x＜8；（4）．

【分析】（1）利用正切的定义计算出AB得到B点坐标为（8，4），根据中点坐标公式可得到D（4，2），然后利用待定系数法确定反比例函数表达式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可确定E、F坐标，然后利用待定系数法求直线EF的解析式即可；（3）在第一象限内，根据E、F坐标写出一次函数图象在反比例函数图象上上方所对应的自变量的范围即可；（4）连接GF，如图，设OG＝t，则CG＝4﹣t，利用折叠的性质得到GF＝OG＝t，则利用勾股定理得到2²+（4﹣t）²＝t²，然后解方程求出t即可得到OG的长．