【324233】2024八年级数学下册 专题6.8 反比例函数的图象和性质（培优篇）（新版）浙教版

专题6.8 反比例函数的图象和性质（培优篇）（专项练习）

一、单选题

1．互不重合的两点 ， 皆落于反比例函数 图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时， 的值等于（　　）

A． B．1 C． D．7

2．已知 ， ， 在反比例函数 上，则 ， ， 的大小关系为 　　

A． B． C． D．

3．已知反比例函数 的图象上有两点A（a-3，2b），B(a，b-2)，且a<0，则 的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

4．若 ，则x的取值范围（   ）

A． B． 或 C． 或 D．以上答案都不对

5．如果点A₁（x₁，y₁）和点A₁（x₂，y₂）是双曲线上的两个点，且当时x₁＜x₂＜0时，y₁＜y₂，那么函数 和函数y=kx﹣k的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

6．如图平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上，反比例函数 的图象经过菱形对角线的交点 ，且与边 交于点 ，点 的坐标为 ，则 的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在直角坐标系中，以坐标原点 ， ， 为顶点的 ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点 ，且点 恰好在反比例函数 的图象上，则 的值为（    ）

A．36 B．25 C．16 D．9

8．已知反比例函数 的图象经过平移后可以得到函数 的图象，关于新函数 ，下列结论正确的是（    ）

A．当 时， 随 的增大而增大 B．该函数的图象与 轴有交点

C．该函数图象与 轴的交点为 D．当 时， 的取值范围是

9．如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数 的图象上，点C在反比例函数 （ ）的图象上， 轴， 轴，若 ， ，则k的值为（    ）

A．18 B．21 C．24 D．27

10．函数 和 在第一象限内的图象如图，点P是 的图象上一动点 轴于点C，交 的图象于点A， 轴于点D，交 的图象于点B．给出如下结论：

① 与 的面积相等；

② 与 始终相等；

③四边形 的面积大小不会发生变化；

④ ．

其中所有正确结论有（    ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．函数 的图象不经过第________象限．

12．函数 （a为常数）的图像上三点（—1， ），（ ， ），（ ， ），则函数值 、 、 的大小关系是________________．

13．已知在平面直角坐标系中，有两定点 、 ， 是反比例函数 图象上动点，当 为直角三角形时，点 坐标为________．

14．已知函数 是反比例函数，且当x＜0时，y随着x的增大而增大，则m的取值是_____．

15．如图，已知点A是一次函数 图象上一点，过点A作 轴的垂线 ， 是 上一点 在A上方 ，在 的右侧以 为斜边作等腰直角三角形 ，反比例函数 的图象过点 ， ，若 的面积为 ，则 的面积是______．

16．如图，已知点 是双曲线 在第一象限上的一动点，连接 ，以 为一边作等腰直角三角形 （ ），点 在第四象限，随着点 的运动，点 的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为______．

17．如图，已知 ， ， ，…， …是 轴上的点，且 ，分别过点 ， ， ，…， ，…作 轴的垂线交反比例函数 的图象于点 ， ， ，…， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，…，记 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ．则 ______．

18．如图，点A，B，C在反比例函数 的图象上，且直线AB经过原点，点C在第二象限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若△BOD的面积为9，则 =_____．

三、解答题

19．如图1，反比例函数 （ ）图象与直线 相交于点 ，点 是反比例函数图象上的动点，过点 作 轴于 ，交直线 于 ．设点 的横坐标为 ， 的面积为 ．已知当 时 取得最小值0．

（1）直接写出反比例函数的解析式；

（2）求 关于 的函数关系式：并在图2中画出 关于 的函数图象．

（3）直接写出不等式 的解集．

20．如图，已知直线 与双曲线y＝ 交于A，B两点，且点A的横坐标为4.

1. 求n的值；

2. 直接写出不等式 ＞ 的解集．

3. 过原点O的另一条直线l交双曲线y＝ 于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

21．已知反比例函数 图象经过一、三象限．

（1）判断点 在第几象限

（2）若点 ， 是反比例函数 图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系

（3）设反比例函数 ，已知 ，且满足当 时，函数 的最大值是 ；当 时，函数 的最小值是 ．求x为何值时， ．

22．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于第一象限内的点 和 ，与x轴交于点C．

1. 分别求出这两个函数的表达式；

2. ①观察图象，直接写出不等式 的解集；②请连接OA、OB，并计算△AOB的面积；

3. 是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

23．[探究函数 的图象与性质]

(1)函数 的自变量x的取值范围是；

(2)下列四个函数图象中函数 的图象大致是；

(3)对于函数 ，求当 时，y的取值范围．

请将下列的求解过程补充完整．

解：∵

∴ ．

∵ ，∴ ．

[拓展运用]

4. 若函数 ，则y的取值范围．

24．（1）探究新知：

如图，已知三角形ABC与三角形ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：

如图，点M、N在反比例函数 的图像是哪个，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F，试证明： ．

参考答案

1．C

【分析】由直线AB与第二象限角平分线垂直可知A、B关于直线 对称，即有 ， ，再根据两点均在反比例函数图象，可得 ，问题随之得解．

解：根据题意A、B关于直线 对称，

∴ ， ，

∵互不重合的两点 ， 皆落于反比例函数 图象上，

∴ ，

∴ ，

故选：C．

【点拨】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据A、B关于直线 对称，得出 ， ，是解答本题的关键．

2．A

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．

解：∵反比例函数y=- 中k=-a²＜0，

∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．

∵（-3，y₁），（-15，y₂），（2，y₃）在反比例函数y=- 上，

∴（-3，y₁），（-15，y₂）在第二象限，点（2，y₃）在第四象限，

∴y₃＜y₂＜y₁．

故选A．

【点拨】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

3．C

【分析】由a<0可得a-3<0，再根据反比例函数 的图象上有两点A(a-3，2b)，B(a，b-2)，继而可得2b<0且b-2<0，从而可得b<0，再由2b= ，b-2= ，得出a= ，a= ，继而根据a<0，可得 ，由此结合b<0即可求得答案.

解：∵a<0，∴a-3<0，

∵反比例函数 的图象上有两点A(a-3，2b)，B(a，b-2)，

∴2b= ，b-2= ，

∴2b<0且b-2<0，∴b<0，

∵2b= ，b-2= ，

∴a-3= ，a= ，

即a= ，a= ，

又a<0，

∴ ，

∴-1<b<2，

∴-1<b<0，

故选C.

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解不等式组等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.

4．C

【分析】在同一平面直角坐标系中作出反比例函数 与 、 的图象，观察图象可知，反比例函数 落在直线 下方且在直线 上方的部分所对应的x的取值，即为所求的x的取值范围．

解：作出函数 与 、 的图象，

由图象可知交点为 ，

当 或 时，有 ．

故选C．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质：

反比例函数 的图象是双曲线；

当 ，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；

当 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

5．C

【分析】由于当x₁＜x₂＜0时，y₁＜y₂，可判断反比例函数图象分布在第二、四象限，得到k＜0，然后根据一次函数性质判断y=kx﹣k的图象过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方．

解：∵当x₁＜x₂＜0时，y₁＜y₂，

∴ 的k＜0，

∴反比例函数图象分布在第二、四象限，

∴y=kx﹣k的图象过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方．

故选C．

【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，解题的关键是利用数形结合的思想求解．

6．A

【分析】根据菱形的性质求出点A坐标，将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点F坐标，然后根据S_△OBF＝ OB•FH求得即可．

解：∵四边形OBCD是菱形，

∴OA＝AC，

∵C（8，4），

∴A（4，2），

把点A（4，2）代入，反比例函数y＝ （x＞0）得， ，解得k＝8，

∴反比例函数的解析式为y＝ ；

过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，

在Rt△CNB中，x²﹣（8﹣x）²＝4²，

解得：x＝5，

∴点B的坐标为B（5，0），

设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），

∴ ，

解得： ，

∴直线BC的解析式为y＝ x﹣ ，

联立方程组得 ，解得： 或 ，

∴点F的坐标为F（6， ），

作FH⊥x轴于H，连接OF，

∴S_△OBF＝ OB•FH＝ ×5× ＝ ，

故选：A．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点、待定系数法确定反比例函数的解析式等知识，解题的关键是能够根据点C的坐标确定点B的坐标，从而确定直线的解析式．

7．A

【分析】过P分别作 轴、y轴的垂线，垂足分别为 ，如图，利用勾股定理计算出 ，根据角平分线的性质得 ，设 ，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入 中求出k的值．

解：过P分别作 轴、y轴的垂线，垂足分别为 ，如图所示，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，

∴ ，

∴ ，

设 ，则PC＝t，

∵ ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

把 代入 得 ．

故选：A．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．

8．C

【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数 当 或 时， 随 的增大而减小，且关于 对称；经过平移后得到 ，关于 对称，增减性不变．

解：A．当 时， 随 的增大而减小，本选项错误，不符合题意；

B．该函数的图象与 轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；

C．该函数图象与 轴的交点为 ，故本选项正确，符合题意；

D．当 时， 的取值范围是 ，故本选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点拨】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．

9．D

【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数 的代数式表示出来 ，并找出点 、 的坐标，根据题意即可得出 ， ，解方程组即可得出结论；

解：设 ，

在反比例函数 的图象上，

，

轴，且点 在反比例函数 的图象上，

， ．

轴，

， ，

又 ， ，

，

解得 或 （舍去），

故选： ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据线段间的关系找出关于 的方程组是解题的关键．

10．C

【分析】由于 是反比函数 上的点，可得出 故①正确；当P的横纵坐标相等时 ，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形 的面积为定值，故③正确；连接 ，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．

解：∵ 是反比函数 上的点，

，故①正确；

∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时， 在逐渐增大，而 在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时 ，故②错误；

∵P是 的图像上一动点，

∴矩形 的面积为4，

∴ ，故③正确；

连接 ，

    

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故④正确；

综上所述，正确的结论有①③④．

故选：C．

【点拨】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．

11．四

【分析】当 时， ， 的值一定是正，所以不可能经过第四象限．

解：当 时， ，

则 ，故不可能经过第四象限．

故答案为：四．

【点拨】本题考查了反比例函数图象的性质，由图象 平移是解决此题的关键．

12． < <

解：因为-a²-1=-(a²+1)＜0，所以在每一个象限内，y随着x的增大而增大，且当x＜0时的函数值一定大于x＞0时的函数值，所以y₃＜y₁＜y₂.

故答案为y₃＜y₁＜y₂.

点睛：本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数 （k是常数，且k≠0）的图象是双曲线，当k＞0时，双曲线分布在第一，三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线分布在第二，四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大.

13． 或

【分析】分类讨论：当∠PBC=90°时，则P点的横坐标为2，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点坐标为（2，1）；当∠BPC=90°，设P（x， ），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+2）²+（ ）²+（x-2）²+（ ）²=16，解得x= 或x=- （舍去），然后计算当x= 时，y= ，所以此时P点坐标为（ ， ）．

解：当∠PBC=90°时，P点的横坐标为2，把x=2代入y= 得y=1，所以此时P点坐标为（2，1）；

当∠BPC=90°，设P（x， ），PC²=（x+2）²+（ ）²，PB²=（x-2）²+（ ）²，

BC²=（2+2）²=16，

因为PC²+PB²=BC²，

所以（x+2）²+（ ）²+（x-2）²+（ ）²=16，

整理得x⁴-4x²+4=0，即（x²-2）²=0，

所以x= 或x=- （舍去），

当x= 时，y= ，

所以此时P点坐标为（ ， ），

综上所述，满足条件的P点坐标为（2，1）或（ ， ）．

故答案为（2，1）或（ ， ）．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

14．-3

【分析】根据函数 是反比例函数，可得出 ，在结合当x＜0时，y随着x的增大而增大，可得出 ，解一元二次方程及一元一次不等式即可得出结论.

解：根据题意得： ，

解得：m＝﹣3．

故答案是：﹣3．

【点拨】此题主要考查反比例函数定义及性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求．

15．

【分析】过 作 轴于 ，交 于 ，设 ，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得： ，设 ，则 ， ，因为 、 都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．

解：如图，过 作 轴于 ，交 于 ．

轴，

，

是等腰直角三角形，

，

设 ，则 ，

设 ，则 ， ，

， 在反比例函数的图象上，

，

解得 ，

，

，

，

，

．

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．

16． ．

【分析】设点B所在的反比例函数解析式为 ，分别过点A、B作AD⊥ 轴于 D，BE⊥ 轴于点E，由全等三角形的判定定理可知△AOD △OBE（ASA），故可得出 ，即可求得 的值．

解：设点B所在的反比例函数解析式为 ，分别过点A、B作AD⊥ 轴于 D，BE⊥ 轴于点E，如图：

∵∠AOE+∠DOB=90°，∠AOE+∠OAD=90°，

∴∠OAD=∠BOE，

同理可得∠AOD=∠OBE，

在△AOD和△OBE中， ，

∴△AOD △OBE（ASA），

∵点B在第四象限，

∴ ，即 ，

解得 ，

∴反比例函数的解析式为： ．

故答案为 ．

【点拨】本题考查动点问题，难度较大，是中考的常考知识点，正确作出辅助线，证明两个三角形全等是解题的关键．

17．

【分析】设 ， ， ，…， 对应的x值为 …B点对应y值为 …，根据比例函数 表示出y值，即可得到三角形面积规律，求解即可．

解：设 ， ， ，…， 对应的x值为 …B点对应y值为 ，由题意可得，

∵ ，

∴ … ，

∴ ， ， ， …

∴

∴

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数上点规律问题，解题的关键是找到三角形高的规律关系．

18．

【分析】过点A作AN⊥x轴于N，过点C作CM⊥x轴于M，则CM∥AN，设出A点坐标，B点与A点对称，可得B点坐标，进而可得直线AB解析式，联立反比例函数，可得A，C两点坐标，根据平行线分线段成比例可得出答案.

解：过点A作AN⊥x轴于N，过点C作CM⊥x轴于M，则CM∥AN，如图：

∵A点在反比例函数 的图象上，

∴设A点坐标为（a，- ），

∵直线AB经过原点，A，B两点在反比例函数 的图象上，

∴A，B两点关于原点对称，

∴B点（-a， ），

∴S_△BOD= ×OD×(- )=9，

∴OD=- ，∴D（ ，0），

设直线AD的解析式为y=kx+b，

∴ ，解得 ，

∴直线AD的解析式为 ，

将直线AD的解析式与反比例函数的解析式联立，组成方程组， ，

解得 或 ，

∴C点坐标为（ ，- ），A（a，- ），

又∵D（ a，0），

∴DM= =-a，MN=a- =- ，

∵CM∥AN，

∴

故答案为； .

【点拨】本题主要考查一次函数和反比例函数综合，考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握其性质是解题的关键.

19．（1） ；（2）①当 时， ；②当 时， ，图象见分析；（3） ．

【分析】（1）由当 时 取得最小值0可知：此时点P与点B重合，又因为点B在直线 上，所以点P的坐标为（4，2），由此求出反比例函数的解析式．

（2）分①当 时，②当 时两种情况讨论列出函数关系式，进而画出 关于 的函数图象.

（3）分别求出当y=1时，当y=2时，自变量的对应的值，再根据图象判断自变量的取值范围即可.

解：（1）∵当 时 取得最小值0，

∴此时点P与点B重合，

又∵点B在直线 上，

∴点P的坐标为（4，2），

把点P（4，2）代入 中，

解得：k=8，

∴反比例函数的解析式为 ；

（2）如下图：依题意知点

，

①当 时，

②当 时，

关于 的函数图象如下：

说明：图象中点 应为空心，不为空心的扣1分；另一支射线无论长短不扣分．

（3）由（1）知反比例函数的解析式为 ，

当y=1时，x=8，

当y=2时，x=4，

∴不等式 的解集为 ．

【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质与几何图形、不等式的灵活运用，综合性较强.熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.

20．(1)8；(2)0＜x＜4或x＜﹣4；(3)点P的坐标为：（2，4）或（8，1）

【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；

（2）不等式 ＞ 的解集即为反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围，由此求解即可；

（3）先证明四边形APBQ是平行四边形，得到S_△AOP＝ S_▱APBQ＝ ×24＝6＝S_梯形AMNP，设点P（x， ），则PN＝ ，ON＝x，然后分当点P在点A上方的曲线上和当点P在点A下方的曲线上，

两种情况讨论求解即可．

（1）解：把点A的横坐标4．代入直线 得，y＝2，

∴点A（4，2），

把点A（4，2）代入到 中得n＝8；

（2）解：由对称性可知点B（﹣4，﹣2）

∴不等式 ＞ 的解集为：0＜x＜4或x＜﹣4；

（3）解：如图：过点P作PN⊥x轴于N，过点A作AM⊥x轴与M，设点P（x， ），则PN＝ ，ON＝x，

由对称性得，OA＝OB，OP＝OQ，

∴四边形APBQ是平行四边形，

∴S_△AOP＝ S_▱APBQ＝ ×24＝6＝S_梯形AMNP，

①当点P在点A上方的曲线上，

（ +2）（4﹣x）＝6，

整理得，x²+6x﹣16＝0，

解得：x₁＝2，x₂＝﹣8（舍去），

当x＝2时，y＝ ＝4，

∴点P（2，4），

②当点P在点A下方的曲线上，

（ +2）（x﹣4）＝6，

整理得，x²-6x-16＝0，

解得：x₁＝8，x₂＝-2（舍去），

当x＝8时，y＝ ＝1，

∴点P（8，1），

因此符合条件的点P有两个，P₁（2，4），P₂（8，1）

∴点P的坐标为：（2，4）或（8，1）．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质与判定，待定系数法求函数解析式等等，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．

21．（1）第二象限；（2）a＞c＞b；（3）

【分析】（1）由反比例函数图象经过一三象限确定 的取值范围，从而判断点 所在象限；

（2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断；

（3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时 的值，从而列方程求解．

解：（1） 反比例函数 图象经过一、三象限，

， ，

点 在第二象限；

（2） 反比例函数 图象经过一、三象限，

在每一象限内 随 的增大而减小，

又 点 ， 在反比例函数 上，

可得 ，

解得：a＞c＞b，

， ， 的大小关系为：a＞c＞b；

（3） ，

反比例函数 位于第二、四象限，

在每一象限内 随 的增大而增大，

又 ，当 时，函数 的最大值是 ；当 时，函数 的最小值是 ，

当 时， ；当 时， ，

，

解得： （不合题意，舍去）或 ，

将 时， 代入 中，

，

， ，

若 ，

，

解得： ，

经检验 是原方程的解，

当 时， ．

【点拨】本题考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键．

22．(1)反比例函数的表达式是：y＝ ，一次函数表达式是：y＝﹣x+7；(2)①x＜0或1≤x≤6； ；(3)存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形

【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；

（2）①利用函数图象结合其交点得出不等式k₁x+b≥ 的解集；②如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于B，则 ，再根据 进行求解即可；

（3）利用平行四边形的性质结合当AP为边和AP为对角线两种情况分别得出答案即可．

（1）解：∵点A（1，6）在反比例函数y＝ 的图象上，

∴6＝ ，

解得：k₂＝6，

∴反比例函数的表达式是：y＝ ；

∵B（6，m）在反比例函数y＝ 的图象上，

∴m＝ ＝1，

∴B（6，1），

将点A（1，6），B（6，1）代入y＝k₁x+b，可得：

，

解得： ，

∴一次函数表达式是：y＝﹣x+7；

（2）解：①∵点A（1，6），B（6，1），

∴不等式k₁x+b≥ 的解集是：x＜0或1≤x≤6；

故答案为：x＜0或1≤x≤6；

②如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于B，

∴ ，

∵A（1，6），B（6，1），

∴OD=1，AD=6，OE=6，BE=1，

∴DE=5，

∵ ，

∴ ；

（3）解：∵C是直线AB与x轴的交点，

∴点C的坐标为（7，0），

如图3-1所示：当AP为边时，

∴AP∥OC， AP＝OC＝7，

∵A（1，6），

∴P点坐标为：（8，6）或（-6，6）；

当AP为对角线时，如图3-2所示，

∵AP与OC的中点坐标相同，

∴ ，

∴ ，

∴点P的坐标为（6，-6）；

综上所述存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．

23．(1) ；(2)C；(3)4，4；(4) 或

【分析】（1）分母上由未知数，根据分母不为零，求出取值范围即可；

（2）根据 中 以及反比例函数的性质， ，图象过一、三象限，进行判断即可．

（3）根据配方法进行作答即可；

（4）分 和 两种情况，利用（3）中的方法进行配方求解即可．

解：（1）函数 的自变量x的取值范围是 ；

故答案为： ；

（2）∵ 中 以及反比例函数的性质， ，图象过一、三象限可得：函数 的图象大致是C；

故答案为：C；

（3）解：∵

∴ ．

∵ ，

∴ ．

故答案为：4，4

（4）①当 时，

∵ ，

∴ ．

②当 时，

∵ ，

∴ ．

故答案为： 或 ．

【点拨】本题考查了函数的图象和性质，熟记函数的性质，准确理解和掌握题目中给出的求函数值的取值范围是解题的关键．

24．（1） ，见分析（2）见分析

【分析】(1) 分别作两个三角形公共边上的高，由面积相等，则高相等，又同一直线上的两高平行，得四边形CDFE为矩形，则AB与CD的位置关系得定；

(2) 连接MF、NE，先证明S△MEF=S△NEF，然后再运用(1) 中的结论得证

解：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，

则∠CGA=∠DHB=90°，CG∥DH．   

∵△ABC与△ABD的面积相等，

∴ CG=DH；

∴ 四边形CGHD为平行四边形．

∴ AB∥CD．

(2)证明：连接MF，NE   设点M的坐标为(x₁，y₁)，点N的坐标为(x₂，y₂)．  

∵点M，N在反比例函数 (k>0)的图像上，

∴ ．

∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，

∴ OE=y₁，OF=x₂．

∴ S△EFM=

S△EFN= ．

∴S△EFM =S△EFN．

所以由(1)中的结论可知：MN∥EF．

【点拨】此题由浅入深探究问题，体现了数学化归思想．是一类比较创新的题型．同学们要擅于归纳总结