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【324234】2024八年级数学下册专题6.9 反比例函数的应用（知识讲解）（新版）浙教版

时间：2025-01-15 21:44:07 作者：字数：18208字

专题6.9 反比例函数的应用（知识讲解）

【学习目标】

1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.

2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.

【要点梳理】

要点一、利用反比例函数解决实际问题

基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
一般步骤如下：

（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。

（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.

（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.

（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.

要点二、反比例函数在其他学科中的应用

当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；

【典型例题】

类型一、反比例函数与实际问题

1、教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：

分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
求出图中a的值；
李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？

【答案】(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；(2)a＝40；(3)李老师要在7：38到7：50之间接水

【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；

（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；

（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．

解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k₁x+b，

将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k₁x+b得，

解得k₁＝10，b＝20．

∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．

当8＜x≤a时，设y＝，

将（8，100）的坐标代入y＝，

得k₂＝800

∴当8＜x≤a时，y＝．

综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．

（2）将y＝20代入y＝，

解得x＝40，

即a＝40；

（3）当y＝40时，x＝＝20．

∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，

即李老师要在7：38到7：50之间接水．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．

举一反三：

【变式1】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

（1）求点对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

【答案】（1）20；（2）能，见解析

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值

（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论

解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，

∴ ，

∴ ．将x=45代入

将x=45代入得：

点对应的指标值为．

（2）设直线的解析式为，将、代入中，

得，解得．

∴直线的解析式为．

由题得 Shape34 ，解得．

∵ ，

∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.

【点拨】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。

【变式2】为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

药物燃烧时，y关于x的函数关系式为　　，自变量x的取值范围为　　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为　　．
研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过　　分钟后，员工才能回到办公室；
研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

【答案】(1)y x，0≤x≤8；y （x＞8）；(2)30；(3)有效，理由见解析

【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k₁x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y ，把点（8，6）代入即可；

（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；

（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．

（1）解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k₁x（k₁＞0）代入（8，6）为6＝8k₁_，

∴k₁ 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y （k₂＞0）代入（8，6）为6 ，

∴k₂＝48，

∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y （x＞8）；

（2）结合实际，令y 中y≤1.6得x≥30，

即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．

（3）把y＝3代入y x，得：x＝4，

把y＝3代入y ，得：x＝16，

∵16﹣4＝12，

所以这次消毒是有效的．

【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

类型二、利用反比例函数解决学科上的问题

2、已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

求这个反比例函数的解析式；
如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？

【答案】(1)函数的解析式为I= ；(2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．

【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I= ，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；

（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．

（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I= ，

∵图象经过（20，1.8），

∴1.8= ，

解得k=1.8×20=36，

∴I= ；

（2）解：∵I≤3，I= ，

∴ ≤3，

∴R≥12，

即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．

举一反三：

【变式1】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．

(1)求关于的函数解析式；

(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．

【答案】(1) ；(2)

【分析】（1）运用待定系数法求解即可；

（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．

解：（1）由题意设，

把，代入，得．

∴ 关于的函数解析式为．

（2）把代入，得．

∴小孔到蜡烛的距离为．

【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．

【变式2】为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．

求这个函数的表达式；
当气体体积为时，求气体压强的值；
若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围?

【答案】(1) ；(2)气体压强为；(3)体积V应不少于

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；

（2）把代入反比例函数解析式求解即可；

（3）把代入反比例函数解析式求解即可．

（1）解：设，

由图可得，反比例函数图象过，

，

解得，

∴反比例函数的解析式为；

（2）当时，

，

∴气体压强为；

（3）当时，

，

解得，

∴体积V应不少于．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．

【变式3】电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R₁， R₁与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R₁＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，

温馨提示：

①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

（1）求k，b的值；

（2）求R₁关于U₀的函数解析式；

（3）用含U₀的代数式表示m；

（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．

【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；

（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；

（3）由R₁＝ m＋240，，即可得到答案；

（4）把时，代入，进而即可得到答案．

解：（1）把（0，240），（120，0）代入R₁＝km＋b，得，解得：；

（2）∵ ，

∴ ；

（3）由（1）可知：，

∴R₁＝ m＋240，

又∵ ，

∴ = m＋240，即：；

（4）∵电压表量程为0~6伏，

∴当时，

答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．

【点拨】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．

类型三、反比例函数解决实际问题的综合应用

3、某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，然后把代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量，

知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

求可变电阻与人的质量之间的函数关系；
用含的代数式表示；
当电压表显示的读数为0.75伏时，求人的质量．

【答案】(1) ；(2) ；(3)70

【分析】（1）设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，直接用待定系数法求解即可；

（2）由题意可得，，再结合（1）的解析式，求解即可；

（3）将代入，计算即可．

（1）解：设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，

把（0，260），（130，0）代入得，

，

解得，

可变电阻与人的质量之间的函数关系为；

（2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压，

即可变电阻两端的电压之和，

，串联电路中电流处处相等，

，

定值电阻的阻值为40欧，，

，

整理得；

（3）当时，

【点拨】本题以物理中的电路问题为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式即代入求值，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．

举一反三：

【变式1】为了预防新冠病毒的传播，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m³）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．