【324235】2024八年级数学下册 专题6.10 反比例函数的应用（基础篇）（新版）浙教版

专题6.10 反比例函数的应用（基础篇）

一、单选题

1．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即： 阻力 阻力臂=动力 动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 和 ，则动力 （单位： ）关于动力臂 （单位： ）的函数解析式正确的是（   ）

A． B． C． D．

2．港珠澳大桥桥隧全长55千米，其中主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过时，汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为（    ）

A． B． C．v=29．6t D．

3．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温 和时间 的关系如图所示，水温从100℃降到50℃所用的时间是（    ）

A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟

4．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 和 ，则这一杠杆的动力 和动力臂 之间的函数图象大致是（    ）

1. B． C． D．

5．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为（　　）

A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟

6．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m³）一定的污水处理池，池的底面积S（m²）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是

A． B． C． D．

7．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线 （k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（    ）

A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃

8．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m²）的反比例函数，其图象如图所示，当压强不超过400 Pa时，木板的面积应（    ）

A．不大于1.5 m² B．不小于1.5 m²

C．不大于 m² D．不小于 m²

9．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ）

A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V

C．当 时， D．当 时，

10．在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压 一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积 与电路中总电阻 是反比例关系，电流 与 也是反比例关系，则 与 的函数关系是（　　）

A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对

二、填空题

11．列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间 与行驶的平均速度 之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在 内到达，则速度至少需要提高到__________ ．

12．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当 时，y与x是正比例函数关系；当 时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是______．

13．近视镜镜片焦距 （米）是镜片度数 （度）的某种函数，下表记录了一些数据：

（度）	…					…
（米）	…					…

利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为 度时，镜片焦距为______米．

14．如图，每个台阶的高和宽分别是1和2，台阶凸出的角的顶点记作 （其中 为1～8的整数），函数 的图象为曲线 ．若曲线 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则 的取值范围为______．

15．青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在 （千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时．

16．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则用电器的可变电阻应不小于______Ω．

17．你吃过兰州拉面吗？实际上做拉面的过程渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 是面条粗细（横截面积） 的反比例函数，假设其图象如图所示，则 与 之间的函数表达式为________．

18．某蔬菜生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内的温度 随时间 （小时）变化的函数图象，其中 段是双曲线 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：

（1）恒温系统在这天保持大棚内的温度 的时间有______小时；

（2） ______；

（3）当棚内温度不低于 时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长______小时．

三、解答题

19．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位： ）变化时，气体的密度 （单位： ）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当 时， ．

1. 求密度 关于体积V的函数解析式；

2. 若 ，求二氧化碳密度 的变化范围．

20．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．

（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_______分钟时学生的注意力更集中．

（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．

（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？

21．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度 （微克/ml）与注射时间 天之间的函数关系如图所示（当 时， 与 是正比例函数关系；当 时， 与 是反比例函数关系）．

（1）根据图象求当 时， 与 之间的函数关系式；

（2）当 时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始?

22．为了做好新冠肺炎疫情期间开学工作，我区某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟？

23．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中 为线段， 为双曲线的一部分）．

1. 线段 函数关系式是　　，双曲线 的函数关系式是　　．

2. 一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？

24．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：

桌面所受压强P（Pa）	400	500	800	1000	1250
受力面积S（ ）	0.5	0.4	a	0.2	0.16

1. 根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式及a的值．

2. 如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．

参考答案

1．C

【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量代入得出函数关系式．

解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．

小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，

∴动力F（单位：N）关于动力臂L（单位：m）的函数解析式为：1500×0.4=FL，

则F= ．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．

2．D

【分析】先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．

解：由主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过知行驶的路程为29.6千米，得到汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为

故选：D

【点拨】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．

3．A

【分析】首先求出反比例函数的解析式，然后把y＝50代入反比例解析式求得x后，减去7即可求得时间．

解：设反比例函数关系式为：y＝ ，

将（7，100）代入y＝ 得， ，解得k＝700，

∴y＝ ，

将y＝50代入y＝ ，解得x＝14；

∴水温从100℃降到50℃所用的时间是14﹣7＝7分钟，

故选：A．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用题，解题关键是求出反比例函数解析式．

4．A

【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力 关于动力臂 的函数关系式，从而确定其图象即可．

解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为 和 ，

∴动力 关于动力臂 的函数解析式为： ，

即 ，是反比例函数，故A选项符合题意．

故选：A．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．

5．C

【分析】分0≤x≤6和x＞6两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两个函数解析式中求出y=8时，x的值，从而得到有效消毒时间．

解：当0≤x≤6时，设y=mx，

将点（6，16）代入，得：16=6m，解得m= ，

∴y= ；

当x＞6时，设y= ，

将点（6，16）代入，得：16= ，

解得：n=96，

∴y= ；

综上，y= ；

当0≤x≤6时，若y=8，则 x=8，

解得x=3；

当x＞6时，若y=8，则 ，

解得x=12；

∴12-3=9（分钟），

故室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为9分钟．

故选：C．

【点拨】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．

6．C

解：试题分析：∵V=Sh（V为不等于0的常数），∴ （h≠0），S是h的反比例函数．

根据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．

故选C．

7．C

【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可．

解：∵点B（12，18）在双曲线 上，

∴ ，

解得：k=216．

当x=16时，y= =13.5，

所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．

故选：C．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．

8．B

【分析】设反比例函数关系式为 ，将点 代入，即可得出反比例函数解析式，再将 时，求S的值即可得出答案．

解：设反比例函数关系式为 ，将点 代入，得，

，

解得： ，

反比例函数关系式为 ，

当 时， ，

当压强不超过400 Pa时，木板的面积应不小于1.5 m²，

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是将实际转化为函数问题是解题的关键．

9．C

【分析】将将 代入 求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．

解：设 ，将 代入可得 ，故A错误；

∴蓄电池的电压是36V，故B错误；

当 时， ，该项正确；

当当 时， ，故D错误，

故选：C．

【点拨】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．

10．B

【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得 ，即可得到答案．

解：由油箱中油的体积 与电路中总电阻 是反比例关系，设 为常数 ，

由电流 与 是反比例关系，设 为常数 ，

，

（ 为常数 ，

与 的函数关系是正比例函数，

故选：B．

【点拨】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．

11．240

【分析】由设 再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把 h代入函数解析式求解 的值，结合图象上点的坐标含义可得答案.

解：由题意设

把 代入得：

当 h时， ，

所以列车要在 内到达，则速度至少需要提高到 ，

故答案为： .

【点拨】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.

12．

【分析】根据函数图像求得正比例函数和反比例函数，进而根据题意求得 时的自变量x的取值范围．

解：根据题意设 时，正比例函数为 ， 时，反比例函数为 ，将点 代入，得

，

当 时，当 时，

当 时，当 时，

根据函数图像可知，则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是

故答案为：

【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键．

13．

【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解；

解：根据表格数据可得，100×1= 250×0.4 =400×0.25=500×0.2=100，

所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例，

所以y关于x的函数关系式是：y= ，

将x=200代入解析式y= ，

得y= = 0.5，

故答案为：0.5.

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键.

14．

【分析】先求出各点的坐标，再求得经过各点时k的值，根据题意即可求解．

解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，

∴T₁（-16，1），T₂（-14，2），T₃（-12，3），T₄（-10，4），T₅（-8，5），T₆（-6，6），T₇（-4，7），T₈（-2，8），

∵L过点T₁，

∴k=-16×1=-16，

若曲线L过点T₂（-14，2），T₇（-4，7）时，k=-14×2=-28，

若曲线L过点T₃（-12，3），T₆（-6，6）时，k=-12×3=-36，

若曲线L过点T₄（-10，4），T₅（-8，5）时，k=-40，

若曲线L过点T₈（-2，8）时，k=-16，

∵曲线L使得T₁～T₈这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，

∴-36＜k＜-28，

故答案为：-36＜k＜-28．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．

15．

【分析】设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为 ，把点 代入求出函数表达式，即可求解．

解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为 ，

把点 代入得： ，

解得： ，

∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为 ，

当 时， （小时），

当 时， （小时），

（小时），

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了求反比例函数的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．

16．3.6##

【分析】由函数解析式即可求出电流不能超过10A，得出电器的可变电阻R应控制范围．

解：设电流I与电阻R之间的函数解析式为 ，

由图象知，反比例函数的图像过点 ，

∴ ，

解得 ，

∴这个反比例函数解析式为 ，

∵限制电流不能超过10A，

∴ ，

∴ ，

∴用电器的可变电阻应不小于3.6Ω．

故答案为：3.6．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解决此题的关键．

17．

【分析】设反比例函数图象设解析式为 ，根据反比例函数图象经过点 ，利用待定系数法求解即可.

解：设反比例函数图象设解析式为 ，

由图得，反比例函数上一点坐标为 ，

∴ ，

又题中实际意义需 ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键．

18．     10     216     12.5

【分析】（1）根据图像即可直接读出；

（2）由 段是双曲线 的一部分，且点 ，将点B代入即可求解；

（3）温度在 时处于曲线BC段，根据该反比例函数即可求出此时对应的时间，设倾斜线段解析式为 由点 与点 求出解析式，再求出y=16时对应的时刻 这两个时刻间的时间即为所求．

解：（1）由图知，t = 12-2 =10（小时）

（2） 点 在 上，

（3）把y=16代入 ，得

设 （0<x<2） ，把点（0，14）、（2，18）代入，得

，解得

把y=16代入 ，解得

该蔬菜能够快速生长的时长为13.5-1=12.5（小时）

【点拨】本题考查一次函数、反比例函数的解析式与图像的综合运算根据图像上的点求出函数解析式是解题关键．

19．(1) ；(2)

【分析】（1）用待定系数法即可完成；

（2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度 的变化范围．

（1）解：∵密度 与体积V是反比例函数关系，

∴设 ，

∵当 时， ，

∴ ，

∴ ，

∴密度 关于体积V的函数解析式为： ；

（2）解：观察函数图象可知， 随V的增大而减小，

当 时， ，

当 时， ，

∴当 时，

即二氧化碳密度 的变化范围是 ．

【点拨】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．

20．（1）5；（2） ； ．（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．

【分析】（1）（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；

（3）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．

解：（1）（2）设线段AB所在的直线的解析式为y₁＝k₁x＋30，

把B（10，50）代入得，k₁＝2，

∴AB解析式为：y₁＝2x＋30（0≤x≤10）．

设C、D所在双曲线的解析式为y₂＝ ，

把C（20，50）代入得，k₂＝1000，

∴曲线CD的解析式为：y₂＝ （x≥20）；

当x₁＝5时，y₁＝2×5＋30＝40，

当x₂＝30时，y₂＝ ，

∴y₁＞y₂

∴第5分钟注意力更集中．

故答案为：5；

（3）当 时， ．

．

∴ ．

∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．

21．（1） ；（2）体内抗体浓度不高于140微克/ml是从注射药物第40天开始

【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；

（2）结合所求解析式，把 代入求出答案．

解：（1）设当 时， 与 之间的函数关系式是 ，

图象过 解得： ，

y与 之间的函数关系式是 ；

（2）当 时， ，解得： ，

体内抗体浓度不高于140微克/ml是从注射药物第40天开始．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确求出函数解析式．

22．（1） ；（2）31.5分钟

【分析】(1)首先根据题意，已知药物释放过程中， y与x的函数关系式为 ；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 ( ，k为常数)，将数据代入用待定系数法可得y与x的函数关系式；

(2)将y=8分别代入两个函数解析式，求出x的值，进一步求解可得答案．

解：（1）当0≤x≤15时，设y=ax（a≠0）；

当x>15时，设y= （k≠0）．

将（15，20）代入y=ax，

20=15a，解得：a= ，

∴y= x（0≤x≤15）．

将（15，20）代入y= ，

20= ，解得：k=300，

∴y= （x>15），

∴ ；

（2）把y=8代入y= x得，x=6；

把y=8代入y= 得，x=37.5，

37.5-6=31.5（分钟）．

答：有效消毒时间是31.5分钟．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，注意分段函数后面要带上相应的自变量范围，正确理解题意，熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．

23．(1) ， ；(2)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题

【分析】（1）根据图象信息即可得到结论，利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；

（2）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．

（1）解：设线段 函数关系式为 ，

把点 和 代入得：

，

解得： ，

∴线段 函数关系式为 ；

设双曲线 的函数关系式是 ，

把点 代入得： ，

解得： ，

∴双曲线 的函数关系式是 ；

（2）解：当 时，对于 ，有

，解得： ，

对于 ，有

，

解得： ，

∴学生注意力达到所需状态的时间为 ，

∵ ，

∴教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．

24．(1) ，0.25；(2)这种摆放方式不安全，理由见分析

【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；

（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．

（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，

设压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式为 ，

把（400，0.5）代入得： ，

解得：k=200，

∴压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式为 ，

当P=800时， ，

∴a=0.25；

（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：

由图可知S=0.1×0.2=0.02（ ），

∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为 ，

∵10000>2000，

∴这种摆放方式不安全．

【点拨】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．