【324231】2024八年级数学下册 专题6.6 反比例函数的图象和性质（基础篇）（新版）浙教版

专题6.6 反比例函数的图象和性质（基础篇）

一、单选题

1．反比例函数 的图象经过以下各点中的（　　）

A． B． C． D．

2．一次函数 和反比例函数 的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为（    ）

A． B． C． D．

3．若反比例函数 的图象位于第一第象限，则 的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系 中，反比例函数 图象经过点 ，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则点P在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数 图像上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐增大时， 的面积将（    ）

A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小

6．在反比例函数 的图象的每一支上， 都随 的增大而减小，且整式 是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．

7．已知点 、 是反比例函数 图象上的点，若 ，则下列一定成立的是（   ）

A． B． C． D．

8．如图， 、 是反比例函数 图象上两点，连接 、 ，则 的面积为（    ）

A．3 B． C．2 D．

9．如图，点A在x轴上，点C在y轴上，四边形 为矩形，双曲线 与 分别相交于点E，D，连接 ，四边形 的面积为6，则k等于（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

10．如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象，观察图象可得不等式 的解集为（    ）

A． B． 或 C． 或 D． 或

二、填空题

11．若反比例函数 的图象在第一、三象限，写出一个满足条件的 的值为__________．

12．已知函数 的图像经过点 ，那么k的值是____________．

13．反比例函数 的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是________．

14．如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作 轴于点B，若 的面积为7，则反比例函数的表达式为__________．

15．已知点 ， 在反比例函数 （ 是常数）的图象上，且 ，则 的取值范围是___________．

16．已知：点 ， ， 都在反比例函数 图象上 ，用“＜”表示 、 、 的大小关系是_____．

17．如图在平面直角坐如系中，O为坐标原点，点P是反比例函数 的图象上的一点，等边 的面积是18，则 ___________．

18．如图，双曲线 与 在第一象限内的图象依次是 和 设点 在图象 上， 垂直于 轴于点 ，交图象 于点 ， 垂直于 轴于 点，交图象 于点 ，则四边形 的面积为_______

三、解答题

19．已知关于x的反比例函数 的图象经过点 ．

(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)当 时，直接写出y的取值范围．

20．反比例函数 的图像经过点 、 ．

(1)求这个函数的解析式及 的值；

(2)请判断点 是否在这个反比例函数的图像上，并说明理由．

21．已知反比例函数 ，且当 时， 随 的增大而减小．

(1)若该函数图像经过点 ，求实数 的值；

(2)求实数 的取值范围及该函数图像经过的象限．

22．已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ， ．

1. 求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

2. 根据函数图象，直接写出不等式 的解集；

3. 若点C是点A关于x轴的对称点，连接 ， ，求 的面积．

23．已知一次函数 与反比例函数 ．

(1)当 时，求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，并直接写出不等式 的解集．

(2)圆圆说“无论k取何值，反比例函数图象和一次函数图象一定经过同一点”．你认为圆圆的说法正确吗？若不正确，请说明理由；若正确，请求出这个点的坐标．

24．数学爱好者小鸣同学对函数知识十分感兴趣，根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行探究，已知该函数的图象经过点 ， 两点．请解决以下问题：

1. 填空： ______， ______；

2. 将表中的空格补充完整，并在平面直角坐标系中描出表格中各点，画出该函数的图象；

	…				5	…
	…			3	1	…

3. 观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有：______．

①当 时， 随 的增大而减小；

②当 时，此时函数有最大值，最大值为3；

③当 时，自变量 的取值范围为 ；

④直线 与此函数有两个交点，则 ．

参考答案

1．C

【分析】利用反比例函数图象上的点的特征：横纵坐标之积等于 ，进行判断即可．

解：A、 ，不符合题意；

B、 ，不符合题意；

C、 ，符合题意；

D、 ，不符合题意；

故选C．

【点拨】本题考查反比例函数上的点的特点．熟练掌握反比例函数图象上的点的特征：横纵坐标之积等于 ，是解题的关键．

2．A

【分析】根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称即可求解．

解：一次函数 和反比例函数 的一个交点坐标为 ，

∴另一个交点坐标为 ，

故选：A．

【点拨】题目主要考查正比例函数与反比例函数图像的交点的特点，掌握两个交点关于原点对称是解题关键．

3．C

【分析】根据反比例函数的图象在第一象限，可得 ，解不等式即可求解．

解：∵反比例函数 的图象位于第一象限，

∴ ，

解得： ，

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，在 中，当 时，函数的图象在一、三象限，当 时，反比例函数的图象在二、四象限，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

4．A

【分析】根据反比例函数的增减性可得 ，从而可得反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点 的横坐标大于0即可得出答案．

解： 反比例函数 图象在每一个象限内， 随 的增大而减小，

，

这个反比例函数的图象位于第一、三象限，

又 反比例函数 图象经过点 ，且 ，

点 在第一象限，

故选：A．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．

5．C

【分析】根据反比例函数的性质可知， 的高随着点B的纵坐标逐渐增大而减小，由此可解．

解：根据反比例函数的增减性可知：反比例函数 图象y随x的增大而减小，

的高随着点B的纵坐标逐渐增大而减小，

又 不变，

的面积将逐渐减小．

故选C．

【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握：对于反比例函数 ，当 时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．

6．A

【分析】先根据反比例函数的性质得到 ，再根据完全平方式的特点 求得 ，进而求得 即可求解．

解：∵在反比例函数 的图象的每一支上， 都随 的增大而减小，

∴ ，则 ，

∵整式 是一个完全平方式，

∴ ，则 ，

∴ ，

∴该反比例函数的解析式为 ，

故选：A．

【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．

7．A

【分析】反比例函数 ， 为常数）中，当 时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大判定则可．

解：

解： ，

双曲线在第二，四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大，

又 ，

， 两点不在同一象限内，

；

故选：A．

【点拨】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．

8．B

【分析】根据反比例函数的坐标特征得到 ，解得 ；由反比例函数系数k的几何意义，根据 求得即可．

解：点 、 是函数 图象上的两点，

∴ ，

解得 ，

∴ 、 ，

作 轴于M， 轴于N，

．

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到 是解题的关键．

9．A

【分析】先用k的式子表示矩形 的面积，根据 得到 ，解方程即可解题．

解：连接 ，

∵点E，D在双曲线 上，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

即 ，

解得 ，

故选A．

【点拨】本题考查反比例函数的解析式，掌握反比例函数的比例系数几何意义是解题的关键．

10．C

【分析】根据图象进行分析即可得结果；

解：∵ ，

∴ ，

由图象可知，函数 和 分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为1和 ，

由图象可以看出当 或 时，函数 在 下方，即 ，

故选：C．

【点拨】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键．

11．0

【分析】反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的即可．

解：反比例函数 （1-m是常数，1-m≠0）的图象在第一，三象限，则1-m＞0，

所以答案为：0．

【点拨】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．

12．4

【分析】根据反比例函数的定义， ，将点代入即可求得k的值．

解：依题意：

把 代入 得：

解得：

故答案为：4．

【点拨】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，熟练掌握图像上的坐标与解析式的关系是解答的关键．

13． ##

【分析】根据反比例函数 的图象的一个分支在第二象限，可得 ，解不等式即可求解．

解： 反比例函数 的图象的一个分支在第二象限，

，

解得 ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．

14．

【分析】设反比例函数的表达式为 ，点 的坐标为 ，即可表示出点 和点 的坐标，那么 的面积就可以表示为 ，即可求解．

解：设反比例函数的表达式为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，

∴ 的面积可以表示为 ，

∵ 的面积为7，即 ，

解得 ，

∴反比例函数的表达式为 ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点 的坐标，是解决本题的关键．

15．

【分析】由于 的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．

解：由反比例函数 可知图象位于二、四象限，每个象限内 随 的增大而增大．

点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，

点 ， 不在同一象限，

则点 第四象限，点 在第二象限．

，

．

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．

16．

【分析】由 ，可知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即可．

解：∵反比例函数 中， ，

∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

，

∴点 位于第三象限，

，

，

∴点 ， 位于第一象限，

，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

17．18

【分析】过点P作 交x轴于点B，利用等边三角形的性质和反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．

解：过点P作 交x轴于点B，

等边 的面积是18，

，

点P是反比例函数 的图象上的一点，

，

又反比例函数在第一象限，则 ，

，

故答案为：18．

【点拨】本题考查等边三角形的性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

18． ##

【分析】根据反比例函数系数 的几何意义得到 ， ，然后利用四边形 的面积 进行计算．

解： 轴， 轴，

， ，

四边形 的面积 ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数系数 的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．

19．(1) ；(2)

【分析】（1）把点 代入反比例函数 中，求出m的值，即可得出这个函数的解析式；

（2）分别求出当 时，当 时y的值，从而得出y的取值范围．

（1）解：把点 代入反比例函数 ，得

，

解得： ，

∴ ；

（2）解：当 时， ，

当 时， ，

∵

∴反比例函数 ，在每一个象限内，y随x增大而增大，

∴当 时， y的取值范围为 ．

【点拨】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点，必能满足解析式．

20．(1) ， ；(2)在，理由见分析

【分析】（1）根据反比例函数图像与性质，将点 、 代入反比例函数 列方程求出 及 的值即可得到答案；

（2）如果点在反比例函数图像上，则将点的坐标代入解析式使等式成立；反之，点不在图像上，则等式不成立，即可得到答案．

（1）解： 反比例函数 的图像经过点 、 ，

，即反比例函数的解析式为 ，

；

（2）解：点 在这个反比例函数的图像上．

理由如下：

由（1）知反比例函数的解析式为 ，

将 代入解析式可知 ，

点 在这个反比例函数的图像上．

【点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法确定函数关系式、点在图像上等知识是解决问题的关键．

21．(1) ；(2) ，该函数图像经过第一、三象限

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据反比例函数的增减性得出 ，进而得出经过的象限，即可求解．

（1）解：∵该函数图像经过点 ，

∴ ，

解得： ．

（2）解：∵当 时， 随 的增大而减小，

∴ ．

∴ 的取值范围是 ．

∴该函数图像经过第一、三象限．

【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．

22．(1) ，图见分析；(2) 或 ；(3)

【分析】（1）根据反比例函数求点A、B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的表达式，最后求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，即可作出图象；

（2）根据图象直接写出不等式的解集即可；

（3）根据对称求出点C的坐标，再利用点A、B、C的坐标求出 的高和底，即可求出面积．

（1）解：∵点A、B在反比例函数 的图象上，

∴分别把 ， 代入 ，

解得： ， ，

所以 ， ，

∵点A、B在一次函数图象上，

∴分别把 ， 代入 ，

可得： ，

解得 ，

∴一次函数的解析式是： ，

一次函数的图象如图所示：

（2）解： ，即一次函数的图象在反比例函数图象的下方，

∴由图象可知： 或 ．

（3）解：∵点 与点C关于x轴对称，

∴点 ，

如图所示：

， 上的高是4，

∴ 的面积为： ．

【点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质、三角形面积公式是解题的关键．

23．(1) ， 或 ；(2)圆圆的说法正确，理由见分析

【分析】（1）解析式联立成 ．解方程求得交点坐标，然后根据函数的性质即可求得；

（2）一次函数解析式变形得到 ，即可得到一次函数 经过定点 ，而反比例函数也经过点 ，故可得到说法正确．

（1）解：当 时，一次函数解析式为 ，

联立得： ．

解得 ，

∴函数图象的交点坐标为 ， ，

∴不等式 的解集 或 ；

（2）解：圆圆的说法正确，理由如下：

∵一次函数 ，

∴当 时， ．

∴一次函数 经过定点 ，

此时，反比例函数 ，也经过定点 ，

所以，无论k取何值，反比例函数图象和一次函数图象一定经过同一点．这个点的坐标为 ．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．

24．(1) ， ；(2)见分析；(3)②③

【分析】（1）将 代入 可得a的值，将 代入 可得b的值；

（2）将x的值代入对应的解析式，求出y值，再描点连线即可画出函数图象；

（3）根据（2）中所画图象逐项判断即可．

（1）解：将 代入 ，可得 ，解得 ；

将 代入 ，可得 ，解得 ；

故答案为： ， ．

（2）解：由（1）知 ，

当 时， ，

当 时， ，

补全后的表格如下：

	…				5	…
	…	1		3	1	…

函数图象如下：

（3）解：由图可知，当 时， 随 的增大而增大，故①错误；

当 时，此时函数有最大值，最大值为3，故②正确；

当 时，自变量 的取值范围为 ，故③正确；

直线 与此函数有两个交点时，则 ，故④错误；

综上可知，正确的有②③，

故答案为：②③．

【点拨】本题考查分段函数，涉及一次函数、反比例函数、描点法画函数图象等知识点，解题的关键是画出函数图象，利用图象解决问题．