专题6.6
反比例函数的图象和性质（基础篇）
一、单选题
1．反比例函数
的图象经过以下各点中的（ ）
A．
B．
C．
D．
2．一次函数
和反比例函数
的一个交点坐标为
，则另一个交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若反比例函数
的图象位于第一第象限，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在平面直角坐标系
中，反比例函数
图象经过点
，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数
图像上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐增大时，
的面积将（ ）
A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小
6．在反比例函数
的图象的每一支上，
都随
的增大而减小，且整式
是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知点
、
是反比例函数
图象上的点，若
，则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，
、
是反比例函数
图象上两点，连接
、
，则
的面积为（ ）
A．3 B．
C．2 D．
9．如图，点A在x轴上，点C在y轴上，四边形
为矩形，双曲线
与
分别相交于点E，D，连接
，四边形
的面积为6，则k等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图是同一直角坐标系中函数
和
的图象，观察图象可得不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
二、填空题
11．若反比例函数
的图象在第一、三象限，写出一个满足条件的
的值为__________．
12．已知函数
的图像经过点
，那么k的值是____________．
13．反比例函数
的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是________．
14．如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作
轴于点B，若
的面积为7，则反比例函数的表达式为__________．
15．已知点
，
在反比例函数
（
是常数）的图象上，且
，则
的取值范围是___________．
16．已知：点
，
，
都在反比例函数
图象上
，用“＜”表示
、
、
的大小关系是_____．
17．如图在平面直角坐如系中，O为坐标原点，点P是反比例函数
的图象上的一点，等边
的面积是18，则
___________．
18．如图，双曲线
与
在第一象限内的图象依次是
和
设点
在图象
上，
垂直于
轴于点
，交图象
于点
，
垂直于
轴于
点，交图象
于点
，则四边形
的面积为_______
三、解答题
19．已知关于x的反比例函数
的图象经过点
．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当
时，直接写出y的取值范围．
20．反比例函数
的图像经过点
、
．
(1)求这个函数的解析式及
的值；
(2)请判断点
是否在这个反比例函数的图像上，并说明理由．
21．已知反比例函数
，且当
时，
随
的增大而减小．
(1)若该函数图像经过点
，求实数
的值；
(2)求实数
的取值范围及该函数图像经过的象限．
22．已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
，
．
求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据函数图象，直接写出不等式
的解集；若点C是点A关于x轴的对称点，连接
，
，求
的面积．
23．已知一次函数
与反比例函数
．
(1)当
时，求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，并直接写出不等式
的解集．
(2)圆圆说“无论k取何值，反比例函数图象和一次函数图象一定经过同一点”．你认为圆圆的说法正确吗？若不正确，请说明理由；若正确，请求出这个点的坐标．
24．数学爱好者小鸣同学对函数知识十分感兴趣，根据学习函数的经验，对函数
的图象和性质进行探究，已知该函数的图象经过点
，
两点．请解决以下问题：
填空：
______，
______；将表中的空格补充完整，并在平面直角坐标系中描出表格中各点，画出该函数的图象；
观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有：______．
|
… |
|
|
|
5 |
… |
|
… |
|
|
3 |
1 |
… |
①当
时，
随
的增大而减小；
②当
时，此时函数有最大值，最大值为3；
③当
时，自变量
的取值范围为
；
④直线
与此函数有两个交点，则
．
参考答案
1．C
【分析】利用反比例函数图象上的点的特征：横纵坐标之积等于
，进行判断即可．
解：A、
，不符合题意；
B、
，不符合题意；
C、
，符合题意；
D、
，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查反比例函数上的点的特点．熟练掌握反比例函数图象上的点的特征：横纵坐标之积等于
，是解题的关键．
2．A
【分析】根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称即可求解．
解：一次函数
和反比例函数
的一个交点坐标为
，
∴另一个交点坐标为
，
故选：A．
【点拨】题目主要考查正比例函数与反比例函数图像的交点的特点，掌握两个交点关于原点对称是解题关键．
3．C
【分析】根据反比例函数的图象在第一象限，可得
，解不等式即可求解．
解：∵反比例函数
的图象位于第一象限，
∴
，
解得：
，
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，在
中，当
时，函数的图象在一、三象限，当
时，反比例函数的图象在二、四象限，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据反比例函数的增减性可得
，从而可得反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点
的横坐标大于0即可得出答案．
解：
反比例函数
图象在每一个象限内，
随
的增大而减小，
，
这个反比例函数的图象位于第一、三象限，
又
反比例函数
图象经过点
，且
，
点
在第一象限，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
5．C
【分析】根据反比例函数的性质可知，
的高随着点B的纵坐标逐渐增大而减小，由此可解．
解：根据反比例函数的增减性可知：反比例函数
图象y随x的增大而减小，
的高随着点B的纵坐标逐渐增大而减小，
又
不变，
的面积将逐渐减小．
故选C．
【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握：对于反比例函数
，当
时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
6．A
【分析】先根据反比例函数的性质得到
，再根据完全平方式的特点
求得
，进而求得
即可求解．
解：∵在反比例函数
的图象的每一支上，
都随
的增大而减小，
∴
，则
，
∵整式
是一个完全平方式，
∴
，则
，
∴
，
∴该反比例函数的解析式为
，
故选：A．
【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．
7．A
【分析】反比例函数
，
为常数）中，当
时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，
随
的增大而增大判定则可．
解：
解：
，
双曲线在第二，四象限，在每个象限内，
随
的增大而增大，
又
，
，
两点不在同一象限内，
；
故选：A．
【点拨】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
8．B
【分析】根据反比例函数的坐标特征得到
，解得
；由反比例函数系数k的几何意义，根据
求得即可．
解：点
、
是函数
图象上的两点，
∴
，
解得
，
∴
、
，
作
轴于M，
轴于N，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到
是解题的关键．
9．A
【分析】先用k的式子表示矩形
的面积，根据
得到
，解方程即可解题．
解：连接
，
∵点E，D在双曲线
上，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
即
，
解得
，
故选A．
【点拨】本题考查反比例函数的解析式，掌握反比例函数的比例系数几何意义是解题的关键．
10．C
【分析】根据图象进行分析即可得结果；
解：∵
，
∴
，
由图象可知，函数
和
分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为1和
，
由图象可以看出当
或
时，函数
在
下方，即
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键．
11．0
【分析】反比例函数
（k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的即可．
解：反比例函数
（1-m是常数，1-m≠0）的图象在第一，三象限，则1-m＞0，
所以答案为：0．
【点拨】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
12．4
【分析】根据反比例函数的定义，
，将点代入即可求得k的值．
解：依题意：
把
代入
得：
解得：
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，熟练掌握图像上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
13．
##
【分析】根据反比例函数
的图象的一个分支在第二象限，可得
，解不等式即可求解．
解：
反比例函数
的图象的一个分支在第二象限，
，
解得
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
14．
【分析】设反比例函数的表达式为
，点
的坐标为
，即可表示出点
和点
的坐标，那么
的面积就可以表示为
，即可求解．
解：设反比例函数的表达式为
，点
的坐标为
，则点
的坐标为
，点
的坐标为
，
∴
的面积可以表示为
，
∵
的面积为7，即
，
解得
，
∴反比例函数的表达式为
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点
的坐标，是解决本题的关键．
15．
【分析】由于
的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
解：由反比例函数
可知图象位于二、四象限，每个象限内
随
的增大而增大．
点
，
在反比例函数
的图象上，且
，
点
，
不在同一象限，
则点
第四象限，点
在第二象限．
，
．
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
16．
【分析】由
，可知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即可．
解：∵反比例函数
中，
，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
，
∴点
位于第三象限，
，
，
∴点
，
位于第一象限，
，
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
17．18
【分析】过点P作
交x轴于点B，利用等边三角形的性质和反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．
解：过点P作
交x轴于点B，
等边
的面积是18，
，
点P是反比例函数
的图象上的一点，
，
又反比例函数在第一象限，则
，
，
故答案为：18．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
18．
##
【分析】根据反比例函数系数
的几何意义得到
，
，然后利用四边形
的面积
进行计算．
解：
轴，
轴，
，
，
四边形
的面积
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数系数
的几何意义：在反比例函数
图象中任取一点，过这一个点向
轴和
轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值
．
19．(1)
；(2)
【分析】（1）把点
代入反比例函数
中，求出m的值，即可得出这个函数的解析式；
（2）分别求出当
时，当
时y的值，从而得出y的取值范围．
（1）解：把点
代入反比例函数
，得
，
解得：
，
∴
；
（2）解：当
时，
，
当
时，
，
∵
∴反比例函数
，在每一个象限内，y随x增大而增大，
∴当
时，
y的取值范围为
．
【点拨】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点，必能满足解析式．
20．(1)
，
；(2)在，理由见分析
【分析】（1）根据反比例函数图像与性质，将点
、
代入反比例函数
列方程求出
及
的值即可得到答案；
（2）如果点在反比例函数图像上，则将点的坐标代入解析式使等式成立；反之，点不在图像上，则等式不成立，即可得到答案．
（1）解：
反比例函数
的图像经过点
、
，
，即反比例函数的解析式为
，
；
（2）解：点
在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
由（1）知反比例函数的解析式为
，
将
代入解析式可知
，
点
在这个反比例函数的图像上．
【点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法确定函数关系式、点在图像上等知识是解决问题的关键．
21．(1)
；(2)
，该函数图像经过第一、三象限
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的增减性得出
，进而得出经过的象限，即可求解．
（1）解：∵该函数图像经过点
，
∴
，
解得：
．
（2）解：∵当
时，
随
的增大而减小，
∴
．
∴
的取值范围是
．
∴该函数图像经过第一、三象限．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
22．(1)
，图见分析；(2)
或
；(3)
【分析】（1）根据反比例函数求点A、B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的表达式，最后求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，即可作出图象；
（2）根据图象直接写出不等式的解集即可；
（3）根据对称求出点C的坐标，再利用点A、B、C的坐标求出
的高和底，即可求出面积．
（1）解：∵点A、B在反比例函数
的图象上，
∴分别把
，
代入
，
解得：
，
，
所以
，
，
∵点A、B在一次函数图象上，
∴分别把
，
代入
，
可得：
，
解得
，
∴一次函数的解析式是：
，
一次函数的图象如图所示：
（2）解：
，即一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴由图象可知：
或
．
（3）解：∵点
与点C关于x轴对称，
∴点
，
如图所示：
，
上的高是4，
∴
的面积为：
．
【点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质、三角形面积公式是解题的关键．
23．(1)
，
或
；(2)圆圆的说法正确，理由见分析
【分析】（1）解析式联立成
．解方程求得交点坐标，然后根据函数的性质即可求得；
（2）一次函数解析式变形得到
，即可得到一次函数
经过定点
，而反比例函数也经过点
，故可得到说法正确．
（1）解：当
时，一次函数解析式为
，
联立得：
．
解得
，
∴函数图象的交点坐标为
，
，
∴不等式
的解集
或
；
（2）解：圆圆的说法正确，理由如下：
∵一次函数
，
∴当
时，
．
∴一次函数
经过定点
，
此时，反比例函数
，也经过定点
，
所以，无论k取何值，反比例函数图象和一次函数图象一定经过同一点．这个点的坐标为
．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
24．(1)
，
；(2)见分析；(3)②③
【分析】（1）将
代入
可得a的值，将
代入
可得b的值；
（2）将x的值代入对应的解析式，求出y值，再描点连线即可画出函数图象；
（3）根据（2）中所画图象逐项判断即可．
（1）解：将
代入
，可得
，解得
；
将
代入
，可得
，解得
；
故答案为：
，
．
（2）解：由（1）知
，
当
时，
，
当
时，
，
补全后的表格如下：
|
… |
|
|
|
5 |
… |
|
… |
1 |
|
3 |
1 |
… |
函数图象如下：
（3）解：由图可知，当
时，
随
的增大而增大，故①错误；
当
时，此时函数有最大值，最大值为3，故②正确；
当
时，自变量
的取值范围为
，故③正确；
直线
与此函数有两个交点时，则
，故④错误；
综上可知，正确的有②③，
故答案为：②③．
【点拨】本题考查分段函数，涉及一次函数、反比例函数、描点法画函数图象等知识点，解题的关键是画出函数图象，利用图象解决问题．