专题6.4反比例函数六大模型
【模型1一点一垂线模型】
模型特征：如过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点（含原点）构成的三角形面积等于
;
模型示例：
【例1】如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y
（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（ ）
A．越来越小 B．越来越大
C．不变 D．先变大后变小
【分析】设点P（x，
），作BC⊥PA可得BC＝OA＝x，根据S△PAB
PA•BC
•
•x＝3可得答案．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，
则BC＝OA，
设点P（x，
），
则S△PAB
PA•BC
•
•x＝3，
当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，
故选：C．
【变式1-1】如图，点A、B在反比例函数y
的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【分析】根据三角形面积公式得到S△AOM
S△AOC，S△ACM＝4S△BCN，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△AOM
|k|，然后利用k＜0去绝对值求解．
【解答】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上，
∴S△AOM
|k|，
∵OM＝MN＝NC，
∴AM＝2BN，
∴S△AOM
S△AOC，S△ACM＝4S△BCN，S△ACM＝2S△AOM，
∵四边形AMNB的面积是3，
∴S△BCN＝1，
∴S△AOM＝2，
∴|k|＝4，
∵反比例函数y
的图象在第二四象限，
∴k＝﹣4，
故选：D．
【变式1-2】如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y
（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（ ）
A．
B．
C．2 D．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k＝6，a＝3，再利用待定系数法求出直线OM的解析式为y
x，然后确定C点坐标，再根据三角形面积公式求解．
【解答】解：把P（2，3），M（a，2）代入y
得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3，
设直线OM的解析式为y＝mx，
把M（3，2）代入得3m＝2，解得m
，
所以直线OM的解析式为y
x，当x＝2时，y
2
，
所以C点坐标为（2，
），
所以△OAC的面积
2
．
故选：B．
【变式1-3】如图，点A在双曲线y
的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．
【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝OD
b，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得
（a+2a）×b
a
b+4
2a
b，整理可得ab
，即可得到k的值．
【解答】解：连DC，如图，
∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴
△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而点D为OB的中点，
∴BD＝OD
b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴
（a+2a）×b
a
b+4
2a
b，
∴ab
，
把A（a，b）代入双曲线y
，
∴k＝ab
．
故答案为：
．
【模型2一点两垂线模型】
模型特征：过反比例函数图像上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于
.
模型示例：
【例2】双曲线
与
在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如果设直线AB与x轴交于点C，那么△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知△AOC的面积
，△COB的面积
，从而求出结果．
【解答】解：设直线AB与x轴交于点C．
∵AB∥y轴，
∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．
∵点A在双曲线y
的图象上，∴△AOC的面积
5
．
点B在双曲线y
的图象上，∴△COB的面积
3
．
∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积
1．
故选：A．
【变式2-1】如图，函数y
（x＞0）和
（x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，△PAB的面积为
．
【分析】设点P（x，
），则点B（
，
），A（x，
），得到BP，AP的长，最后求得△ABP的面积．
【解答】解：设点P（x，
），则点B（
，
），A（x，
），
∴BP＝x
，AP
，
∴S△ABP
，
故答案为：
．
【变式2-2】如图，是反比例函数y
和y
（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为
．
【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab＝4，即可得出答案．
【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴
cd
ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故答案为：4．
【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y
和y
的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为
．
【分析】由直线l∥x轴，得到AM⊥y轴，BM⊥y轴，于是得到S△AOM
|k|，S△BOM
4＝2，求得S△AOM＝1，即可得到结论．
【解答】解：∵直线l∥x轴，
∴AM⊥y轴，BM⊥y轴，
∴S△AOM
|k|，S△BOM
4＝2，
∵S△AOB＝3，
∴S△AOM＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【模型3两曲一平行模型】
模型特征：两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点构成或坐标轴围成的图形面积，结合k的几何意义求解.
模型示例：
【例3】如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y
（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为
．
【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y
的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．
【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．
设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），
∵点B、E在反比例函数y
的图象上，
∴k＝6t＝2（t﹣2），
解得t＝﹣1，k＝﹣6．
故答案为﹣6．
【变式3-1】若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数
的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为
；点E的坐标为
．
【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；
（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y
（x＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．
【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．
∴B点坐标为：（1，1），
设反比例函数的解析式为y
；
∴xy＝k＝1，
设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），
代入反比例函数y
（x＞0）得：1＝（1+a）a，又a＞0，
解得：a
．
∴点E的坐标为：（
，
）．
【变式3-2】如图，A、B两点在双曲线y
上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（ ）
A．4 B．4.2 C．4.6 D．5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，根据S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，可求S1+S2的值．
【解答】解：如图，
∵A、B两点在双曲线y
上，
∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，
∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，
∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6
故选：C．
【变式3-3】如图，在反比例函数y
（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3＝（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．无法确定
【分析】根据反比例函数的几何意义可知图中所构成的阴影部分的面积和正好是从点P1向x轴，y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积．
【解答】解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，
），（4，
）．
∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3＝2﹣1
1.5．
故选：B．
【模型4两点一垂线模型】
模型特征：过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于
.
模型示例：
【例4】如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y
相交于A，C两点，点A的横坐标为﹣4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①k
；②不等式kx
的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由点A为函数图象交点及点A横坐标可得k的值，由反比例函数的对称性可得点C的坐标，由S△AOC＝S△AOB+S△BOC可得△ABC的面积．
【解答】解：将x＝﹣4代入y
得y
2，
∴点A坐标为（﹣4，2），
将（﹣4，2）代入y＝kx得2＝﹣4k，
解得k
，
∴①正确．
由反比例函数及正比例函数的对称性可得点C坐标为（4，﹣2），
∴当﹣4＜x＜0或x＞4时，kx
，
∴②正确．
∵S△AOC＝S△AOB+S△BOC
OB•yA
OB•（﹣yC）
BO（yA﹣yC）
（2+2）＝8，
∴③错误．
故选：C．
【变式4-1】如图所示，一次函数y＝kx（k＜0）的图象与反比例函数y
的图象交于A，B两点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为
．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得△BOC的面积，由于y＝kx（k＜0）的图象与反比例函数y
的图象均关于原点对称，可得出OA＝OB，即可得出△AOC与△BOC的面积相等，进而即可求得△ABC的面积．
【解答】解：∵BC⊥y轴于点C，
∴S△COB
|﹣4|＝2，
∵正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y
的图象均关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△AOC＝S△COB＝2，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝2+2＝4，
故答案为：4．
【变式4-2】如图，过点O的直线与反比例函数y
的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为
．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC
|k|
，由于对称性可知：△AOC与△BOC的面积相等，从而可求出答案．
【解答】解：∵点A反比例函数y
的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴S△AOC
|k|
，
∵过点O的直线与反比例函数y
的图象交于A、B两点，
∴OA＝OB，
∴S△BOC＝S△AOC
∴S△ABC＝2S△ACO
，
故答案为：
．
【变式4-3】如图，函数y＝x与y
的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，连接BC，若S△ABC＝3，则k＝
．
【分析】设A（a，a）（a＞0），利用A点和B点关于原点对称得到B（﹣a，﹣a），再利用三角形面积公式得到S△ABC
•a•2a＝a2＝3，解得a
，然后把A（
，
）代入y
中可求出k的值．
【解答】解：设A（a，a）（a＞0），
∵函数y＝x与y
的图象的中心对称性，
∴B（﹣a，﹣a），
∴S△ABC
•a•2a＝a2＝3，
∴a
，
∴A（
，
），
把A（
，
）代入y
得k
3．
故答案为：3．
【模型5两点两垂线模型】
模型特征：反比例函数与正比例函数的两个交点的连线及由交点向不同坐标轴所作两条垂线围成的图形（或两交点及由交点向同一坐标轴所作两条垂线的垂足构成的图形的面积等于2
.
模型示例：
【例5】如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y
的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为
．
【分析】根据反比例函数的k的几何意义，可得S△ABO，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知O是BD的中点，即可求出△ABD的面积．
【解答】解：∵点A在反比例函数y
上，且AB⊥x轴，
∴
2，
∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且CD⊥x轴，
∴O是BD的中点，
∴S△ABD＝2S△ABO＝4．
故答案为：4．
【变式5-1】如图，一次函数y＝kx与反比例函数
上的图象交于A，C两点，AB∥y轴，BC∥x轴，若△ABC的面积为4，则k＝
．
【分析】设AB交x轴于点D，由正比例函数与反比例函数的对称性可得DO为△ABC中位线，从而可得S△ABC＝4S△ADO，进而求解．
【解答】解：设AB交x轴于点D，
由反比例函数系数的几何意义可得S△ADO的面积为
，
由函数的对称性可得点O为AC中点，即DO为△ABC中位线，
∴
，
∴S△ABC＝4S△ADO＝2|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式5-2】如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y
的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为
．
【分析】由反比例函数的对称性可知OA＝OC，OB＝OD，则S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案．
【解答】解：∵A、C是两函数图象的交点，
∴A、C关于原点对称，
∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，
又∵A点在反比例函数y
的图象上，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD
1
，
∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4
2，
故答案为：2．
【变式5-3】如图，直线分别与反比例函数y
和y
的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是
．
【分析】过点A作AF⊥y轴，垂足于点F；过点B作BE⊥y轴，垂足为点E．依据△APF≌△BPE，即可得出S△APF＝S△BPE．进而得到S四边形ABCD＝S四边形ACOF+S四边形EODB＝5．
【解答】解：过点A作AF⊥y轴，垂足于点F；过点B作BE⊥y轴，垂足为点E．
∵点P是AB中点．
∴PA＝PB．
又∵∠APF＝∠BPE，∠AFP＝∠BEP＝90°，
∴△APF≌△BPE．
∴S△APF＝S△BPE．
∴S四边形ABCD＝S四边形ACOF+S四边形EODB＝|﹣2|+|3|＝5．
故答案为：5．
【模型6两点和一点模型】
模型特征：反比例函数与一次函数的交点和原点（或坐标轴上一点）所构成的 三角形的面积，若两交点分别在两个分支上，用加法.
模型示例：
【例6】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y
的图象交于A，B两点，则S△AOB＝（ ）
A．
B．
C．
D．6
【分析】把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b即可求出函数的解析式，由一次函数解析式求出D的坐标，求出△AOD和△BOD的面积，即可求出答案．
【解答】解：把A（﹣4，1）代入y
的得：k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式是y
，
∵B（1，m）代入反比例函数y
得：m＝﹣4，
∴B的坐标是（1，﹣4），
把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b得：
，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，
∴一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3；
把x＝0代入一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3得：y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），
∴S△AOB＝SAOD+S△BOD
3×（1+4）
．
故选：A．
【变式6-1】如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数
的图象于点B，A，点C在x轴上，且
．若S△BCA＝12，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．﹣6 D．6
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据题意得到OA＝OB，OE＝CE，即可得到S△OBE
S△BCO
S△ABC＝3，利用反比例函数系数k的几何意义，即可求得k的值．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A、B在反比例函数
的图象上，直线AB经过原点，
∴OA＝OB
AB，
∵
，S△BCA＝12，
∴OB＝BC，S△BCO
S△BCA＝6，
∵BE⊥OC，
∴OE＝CE，
∴S△OBE
S△BCO＝3，
∵BE⊥x轴于E，
∴S△OBE
|k|，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：C．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y
与直线y
交于A，B，x轴的正半轴上有一点C使得∠ACB＝90°，若△OCD的面积为25，则k的值为
．
【分析】设点A坐标为（3a，4a），由反比例函数与正比例函数的对称性可得点B坐标，由直角三角形的性质可得点C坐标，求出BC所在直线解析式，从而求出点D坐标，由S△OCD
OC•OD求解．
【解答】解：设点A坐标为（3a，4a），
由反比例函数图象与正比例函数图象的对称性可得点B坐标为（﹣3a，﹣4a），
∴OA＝OB
5a，
∵∠ACB＝90°，O为AB中点，
∴OC＝OA＝OB＝5a，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
将（﹣3a，﹣4a），（5a，0）代入y＝kx+b得
，
解得
，
∴y
x
a，
∴点D坐标为（0，
a），
∴S△OCD
OC•OD
5a
a＝25，
解得a＝2或a＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，8），
∴k＝6×8＝48．
故答案为：48．
【变式6-3】如图，正比例函数y
x与反比例函数y
的图象交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面积为10，则该反比例函数的解析式是 ．
【分析】设点A为（a，
a），利用S△ACB
OC×（yA+|yB|）＝10，构建方程即可解决问题．
【解答】解：设点A为（a，
a），
则OA
a，
∵点C为x轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为20，
∴OA＝OB＝OC
a，
∴S△ACB
OC×（yA+|yB|）
（
a）×（
a）＝10，
解得，a＝±
（舍弃正值），
∴点A为（
，2
），
∴k
2
6，
∴反比例函数的解析式是y
，
故答案为：y
．