专题6.2反比例函数的图象与性质-重难点题型
【
知识点1
反比例函数的图象与性质】
1、图象:由两条曲线组成(双曲线)
2、性质:
函数 |
|
图象 |
所在象限 |
增减性 |
|
|
|
|
在同一象限内, |
|
|
|
在同一象限内, |
|
|
【例1】(南江县期末)函数y=﹣kx+k和函数y
在同一坐标系内的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】分两种情况讨论,当k>0时,分析出一次函数和反比例函数所过象限;再分析出k<0时,一次函数和反比例函数所过象限,符合题意者即为正确答案.
【解答】解:①当k>0时,y=﹣kx+k过一、二、四象限;y
过一、三象限;
②当k<0时,y=﹣kx+k过一、三、四象象限;y
过二、四象限.
观察图形可知只有A符合.
故选:A.
【变式1-1】(河北模拟)直线y=ax+b与双曲线
的图象如图所示,则a﹣b+c的结果( )
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法确定
【分析】根据一次函数和反比例函数图象和系数的关系即可求得a>0,b<0,c>0.
【解答】解:∵直线y=ax+b经过一、三、四象限,
∴a>0,b<0,
∵双曲线
的图象在一、三象限,
∴c>0,
∴a﹣b+c>0,
故选:A.
【变式1-2】(金平区校级期末)如图是三个反比例函数y
,y
,y
在x轴上方的图象,由此观察得到k1,k2,k3的大小关系为 k1<k2<k3 .
【分析】本题考查反比例函数与的图象特点.
【解答】解:读图可知:三个反比例函数y
的图象在第二象限;故k1<0;y
,y
在第一象限;且y
的图象距原点较远,故有:k1<k2<k3;综合可得:k1<k2<k3.故填k1<k2<k3.
【变式1-3】(伊川县期末)函数y=kx+b与y
(kb≠0)在同一坐标系中的图象可能是图中的( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系,由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号,进而可得k•b的符号,从而判断y
(kb≠0)的图象是否正确,进而比较可得答案.
【解答】解:A、函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则k<0,b>0,则kb<0,所以函数y
(kb≠0)的图象经过第二、四象限,故A选项不符合题意;
B、函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,则k<0,b<0,则kb>0,所以函数y
(kb≠0)的图象经过第一、三象限,故B选项不符合题意;
C、函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则k>0,b>0,则kb>0,所以函数y
(kb≠0)的图象经过第一、三象限,故C选项不符合题意;
D、函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,则k<0,b<0,则kb>0,所以函数y
(kb≠0)的图象经过第一、三象限,故D选项符合题意;
故选:D.
【题型2反比例函数的性质】
【例2】(淮北月考)对于反比例函数
,下列结论:①图象分布在第二、四象限;②当x>0时,y随x的增大而增大;③图象经过点(1,﹣2);④若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1<x2,则y1<y2,其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质,可以判断各个小题中的结论是否正确.
【解答】解:∵于反比例函数
,
∴该函数的图象分布在第二、四象限,故①正确;
当x>0时,y随x的增大而增大,故②正确;
当x=1时,y=﹣2,故③正确;
若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1<x2,则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1<y2,点A在第二象限,点B在第四象限时y1>y2,故④错误;
故选:A.
【变式2-1】(新泰市月考)已知函数
是反比例函数,且图象位于第一、三象限,则n= 2 .
【分析】由反比例函数的定义及反比例函数图象位于第一、三象限,即可得出关于n的一元二次方程及一元一次不等式,解之即可得出n的值.
【解答】解:∵函数
是反比例函数,且图象位于第一、三象限,
∴
,
∴n=2.
故答案为:2.
【变式2-2】(诸城市三模)反比例函数y
的图象在二、四象限,则一次函数y=ax+a的图象所在象限是( )
A.一、二、三 B.一、三、四 C.一、二、四 D.二、三、四
【分析】先根据反比例函数的增减性判断出a的符号,再根据一次函数的图象与系数的关系判断出次函数y=ax+a的图象经过的象限即可.
【解答】解:∵反比例函数y
的图象在二、四象限,
∴1﹣a<0,
∴a>1,
∴一次函数y=ax+a的图象经过一、二、三象限,
故选:A.
【变式2-3】(清涧县期末)已知函数y1
,y2
,当2≤x≤3时,函数y1的最大值是a,函数y2的最小值是a﹣4,求a和k的值.
【分析】由反比例函数的性质可得
a,
a﹣4,可求a的值和k的值.
【解答】解:∵y1
,y2
,2≤x≤3,
∴y1的值随x值的增大而减小,y2的值随x值的增大而增大.
∴当x=2时,y1的最大值为
a,
当x=2时,y2的最小值为
a﹣4,
∴﹣a=a﹣4,
解得a=2,
∴
k=4.
【知识点2 反比例函数图象的对称性】
(1)中心对称,对称中心是坐标原点
(2)轴对称:对称轴为直线
和直线
【题型3反比例函数图象的对称性】
【例3】(滨海县一模)如图,已知直线y=mx与双曲线y
的一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个交点坐标是 (﹣3,﹣4) .
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形,则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.
【解答】解:因为直线y=mx过原点,双曲线y
的两个分支关于原点对称,
所以其交点坐标关于原点对称,一个交点坐标为(3,4),另一个交点的坐标为(﹣3,﹣4).
故答案是:(﹣3,﹣4).
【变式3-1】(沂源县期末)若图中反比例函数的表达式均为
,则阴影面积为4的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义,反比例函数的性质以及三角形的面积公式,分别求出四个图形中阴影部分的面积,即可求解.
【解答】解:图1中,阴影面积为4;
图2中,阴影面积为
4=2;
图3中,阴影面积为2
4=4;
图4中,阴影面积为4
4=8;
则阴影面积为4的有2个.
故选:B.
【变式3-2】(兰州期末)如图,在直角坐标系中,正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行,点P(4a,a)是反比例函数y
(k>0)的图象上与正方形的一个交点,若图中阴影部分的面积等于16,则k的值为( )
A.16 B.1 C.4 D.﹣16
【分析】根据反比例函数的中心对称性得到正方形OABC的面积=16,则4a×4a=16,解得a=1(a=﹣1舍去),所以P点坐标为(4,1),然后把P点坐标代入y
即可求出k.
【解答】解:∵图中阴影部分的面积等于16,
∴正方形OABC的面积=16,
∵P点坐标为(4a,a),
∴4a×4a=16,
∴a=1(a=﹣1舍去),
∴P点坐标为(4,1),
把P(4,1)代入y
,得
k=4×1=4.
故选:C.
【变式3-3】(茶陵县模拟)如图,点P(3a,a)是反比例函数y
(k>0)与⊙O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则反比例函数的解析式为 y
.
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得,阴影部分的面积等于圆的面积的
,即可求得圆的半径,再根据P在反比例函数的图象上,以及在圆上,即可求得k的值.
【解答】解:设圆的半径是r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得:
πr2=10π
解得:r=2
.
∵点P(3a,a)是反比例函数y
(k>0)与⊙O的一个交点.
∴3a2=k.
r
∴a2
(2
)2=4.
∴k=3×4=12,
则反比例函数的解析式是:y
.
故答案是:y
.
【
知识点3
反比例函数比例系数
的几何意义】
如图,在反比例函数
上任取一点
,过这一点分别作
轴,
轴
的
垂线
,
与
坐标轴围成的矩形
的面积
【题型4反比例函数中k的几何意义】
【例4】(莫旗二模)如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1
(x>0)及y2
(x>0)的图象分别交于点A,B,连接OA,OB,已知△OAB的面积为3,则k1﹣k2= 6 .
【分析】由反比例函数的图象过第一象限可得出k1>0,k2>0,再由反比例函数系数k的几何意义即可得出S△OAP
k1,S△OBP
k2,根据△OAB的面积为2结合三角形之间的关系即可得出结论.
【解答】解:∵反比例函数y1
(x>0)及y2
(x>0)的图象均在第一象限内,
∴k1>0,k2>0.
∵AP⊥x轴,
∴S△OAP
k1,S△OBP
k2.
∴S△OAB=S△OAP﹣S△OBP
(k1﹣k2)=3,
解得:k1﹣k2=6.
故答案为:6
【变式4-1】(梓潼县模拟)如图,矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y
(k≠0,x>0)的图象上,若矩形ABCD的面积为10,则k的值为( )
A.10 B.4
C.3
D.5
【分析】设A点的坐标为(
)则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为:(
),即(
),进而可得出BC的长度.然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值.
【解答】设A(
),
∴AB
,
∵矩形的面积为10,
∴BC
,
∴矩形对称中心的坐标为:(
),即(
)
∵对称中心在
的图象上,
∴
,
∴mk﹣5m=0,
∴m(k﹣5)=0,
∴m=0(不符合题意,舍去)或k=5,
故选:D.
【变式4-2】(巴中)如图,平行于y轴的直线与函数y1
(x>0)和y2
(x>0)的图象分别交于A、B两点,OA交双曲线y2
于点C,连接CD,若△OCD的面积为2,则k= 8 .
【分析】解一:设A(m,
),则B(m,
),D(m,0),设C(n,
),由S△OCD
OD•yc
•m•
2,得出
2,即
.又S△OCD=S△OAD﹣S△ACD
k•
k=2,即可求出k=8.
解二:过点C作CE⊥x轴于E,根据反比例函数比例系数k的几何意义得出△OCE的面积为1,由△OCD的面积为2,得出点E为OD的中点.再证明点C是OA的中点,那么S△OAD=2S△OCD=4,进而求出k=8.
【解答】解一:设A(m,
),则B(m,
),D(m,0),设C(n,
),
∵S△OCD
OD•yc
•m•
2,
∴
2,
∴
.
又S△OCD=S△OAD﹣S△ACD
k
•
•(m﹣n)
k(1
)
k•
k,
∴
k=2,
∴k=8.
解二:如图,过点C作CE⊥x轴于E,
∵点C在双曲线y2
上,
∴S△OCE=1,
∵S△OCD=2,
∴S△ECD=S△OCE=1,
∴点E为OD的中点,
∵CE∥AD,
∴点C是OA的中点,
∴S△OAD=2S△OCD=4,
∵函数y1
(x>0)的图象过点A,AD⊥x轴,
∴k=8.
故答案为:8.
【变式4-3】(深圳模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y
(x>0)分别与边AB、边BC相交于点E、点F,且点E、点F分别为AB、BC边的中点,连接EF.若△BEF的面积为3,则k的值是 12 .
【分析】设B点的坐标为(a,b),根据中点求得E、F的坐标,再把E、F坐标代入反比例函数解析式,得k与a、b的关系式,再根据△BEF的面积为3,列出a、b的方程,求得ab,便可求得k.
【解答】解:∵四边形OCBA是矩形,
∴AB=OC,OA=BC,
设B点的坐标为(a,b),
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点,
∴E(
,b),F(a,
b),
∵E、F在反比例函数的图象上,
∴
k,
∵S△BEF=3,
∴
3,即
3,
∴ab=24,
∴k
ab=12
故答案为:12.
【题型5反比例函数图象上点的坐标特征】
【例5】(上城区一模)已知直线y=(a﹣2b)x与双曲线y
相交于点(
,﹣2),那么它们的另一个交点坐标是 (
,2) .
【分析】由直线y=(a﹣2b)x与双曲线y
相交于点(
,﹣2),即可得出函数解析式,再求另一个交点坐标.
【解答】解:方法一:∵直线y=(a﹣2b)x与双曲线y
,相交于点(
,﹣2),
∴a﹣2b
3,xy=3b+a
∴直线为y=﹣3x.
双曲线为y
.
解方程组:
,
解得:
,
.
∴另一个交点为(
,2).
故答案为:(
,2).
方法二:∵直线y=(a﹣2b)x是正比例函数,
∴直线y=(a﹣2b)x与双曲线y
的交点关于原点对称,
∵直线y=(a﹣2b)x与双曲线y
相交于点(
,﹣2),
∴它们的另一个交点坐标为:(
,2).
故答案为:(
,2).
【变式5-1】(自贡模拟)若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y
的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限,再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答.
【解答】解:∵在反比例函数y
中,k=﹣(a2+1)<0,
∴此函数图象在二、四象限,
∵﹣1<0,
∴点A(﹣1,y1)在第二象限,
∴y1>0,
∵3>2>0,
∴B(2,y2),C(3,y3)两点在第四象限,
∴y2<0,y3<0,
∵3>2,
∴y2<y3<0.
∴y1,y2,y3的大小关系为y1>y3>y2.
故选:B.
【变式5-2】(雁塔区校级模拟)若点A在反比例函数y
上,点A关于y轴的对称点B在反比例函数y
上,则k1+k2的值为 0 .
【分析】设A点坐标为(a,b),由点在反比例函数图象上点的特征可求得k1=ab,k2=﹣ab,进而可求解.
【解答】解:设A点坐标为(a,b),
∵点A在反比例函数y
上,
∴k1=ab,
∵点A关于y轴的对称点B在反比例函数y
上,
∴B(﹣a,b),
∴k2=﹣ab,
∴k1+k2=ab+(﹣ab)=0,
故答案为0.
【变式5-3】(浙江模拟)如图,在平面直角坐标系中,AB=AC=5,点B和点C的坐标分别为(﹣2,0),(4,0),反比例函数y
(x>0)的图象经过点A,且与AC相交于另一点D,作AE⊥BC于点E,交BD于点F,则点F的坐标为 (1,
) .
【分析】由AB=AC、AE⊥BC得到AE的长度和点A的坐标,再求出k的大小和直线AC的解析式,再求出点D的坐标,从而得到直线BD的解析式,最后再求出点F的坐标.
【解答】解:∵点B和点C的坐标分别为(﹣2,0),(4,0),
∴BC=6,OB=2,
∵AB=AC=5,AE⊥x轴,
∴BE=CE=3,
∴OE=BE﹣OB=1,AE=4,
∴A(1,4),
∴k=1×4=4,
∴反比例函数的解析式为y
,
设直线AC的解析式为y=kx+b,则
,解得:
,
∴直线AC的解析式为y
x
,
由
,得:
,
,
∴点D的坐标为(3,
),
设直线BD的解析式为y=mx+n,则
,解得:
,
∴直线BD的解析式为y
x
,
当x=1时,y
,
∴F的坐标为(1,
).
故答案为:(1,
).
【题型6反比例函数与一次函数的交点问题】
【例6】(新吴区期末)已知正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2
(k2≠0)的图象有一个交点的坐标为(3,﹣1),则关于x的不等式k1x
0的解集为 x<﹣3或0<x<3 .
【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质判断两个交点关于原点对称,然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出另一个交点的坐标.根据交点坐标和图象即可得出不等式的解集.
【解答】解:∵正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2
(k2≠0)的图象关于原点对称,
∴正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2
(k2≠0)的图象的交点关于原点对称,
∵一个交点的坐标为(3,﹣1),
∴另一个交点的坐标是(﹣3,1),如图,
则关于x的不等式k1x
0的解集为x<﹣3或0<x<3,
故答案为:x<﹣3或0<x<3.
【变式6-1】(安徽模拟)如图,直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y
(k≠0)交于点A(m,﹣1.5)和点B(﹣2,3),则不等式ax+b
的解集是 x≤﹣2或0<x≤4 .
【分析】由点A,B都在反比例函数图象上可得﹣1.5m=﹣2×3,从而求出m,然后根据图象交点求解.
【解答】解:∵点A,B都在反比例函数图象上,
∴﹣1.5m=﹣2×3,
∴m=4,
∴当x≤﹣2或0<x≤4时ax+b
.
故答案为:x≤﹣2或0<x≤4.
【变式6-2】(阿坝州)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y
(x>0)的图象交于A(m,6),B(n,3)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
【分析】(1)首先求出A、B两点坐标,再利用待定系数法即可解决问题;
(2)求得直线与x轴的交点,然后根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC求得即可.
【解答】解:(1)把A(m,6),B(n,3)两点坐标代入y
(x>0)可得m=2,n=4,
∴A(2,6),B(4,3),
∵一次函数y=kx+b的图象经过点A、B,
∴
,解得
,
∴一次函数的解析式为y
x+9.
(2)设直线与x轴的交点为C,
把y=0代入y
x+9,则
x+9=0,解得x=6,
∴C(6,0),
∴S△AOB=S△AOC﹣S△BOC
6
9.
【变式6-3】(凉州区校级二模)如图,一次函数的图象y=kx+b与反比例函数
的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.
(1)求一次函数y=kx+b与反比例函数
的表达式;
(2)请直接写出不等式
的解集.
【分析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值,从而得出反比例函数解析式;由勾股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标,由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;
(2)观察第一象限双曲线在直线下方的部分自变量的范围即可.
【解答】解:(1)∵点A(4,3)在反比例函数
的图象上,
∴k=4×3=12,
∴反比例函数解析式为
;
∵
,OA=OB,点B在y轴负半轴上,
∴点B(0,﹣5).
把点A(4,3)、B(0,﹣5)代入y=kx+b中,
得
,
解得:
,
∴一次函数的解析式为y=2x﹣5;
(2)令y=2x﹣5中y=0,则x
,∴D(
,0),
由图象可知,不等式
的解集为
x<4.







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