专题6.2反比例函数的图象与性质-重难点题型

【 知识点1 反比例函数的图象与性质】

1、图象：由两条曲线组成（双曲线）

2、性质：

函数		图象	所在象限	增减性
			三象限	在同一象限内， 随 的增大而减小
			四象限	在同一象限内， 随 的增大而增大
	越大，函数图象越远离坐标原点

【题型1反比例函数的图象】

【例1】（南江县期末）函数y＝﹣kx+k和函数y 在同一坐标系内的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．

【解答】解：①当k＞0时，y＝﹣kx+k过一、二、四象限；y 过一、三象限；

②当k＜0时，y＝﹣kx+k过一、三、四象象限；y 过二、四象限．

观察图形可知只有A符合．

故选：A．

【变式1-1】（河北模拟）直线y＝ax+b与双曲线 的图象如图所示，则a﹣b+c的结果（　　）

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定

【分析】根据一次函数和反比例函数图象和系数的关系即可求得a＞0，b＜0，c＞0．

【解答】解：∵直线y＝ax+b经过一、三、四象限，

∴a＞0，b＜0，

∵双曲线 的图象在一、三象限，

∴c＞0，

∴a﹣b+c＞0，

故选：A．

【变式1-2】（金平区校级期末）如图是三个反比例函数y ，y ，y 在x轴上方的图象，由此观察得到k₁，k₂，k₃的大小关系为　k₁＜k₂＜k₃　．

【分析】本题考查反比例函数与的图象特点．

【解答】解：读图可知：三个反比例函数y 的图象在第二象限；故k₁＜0；y ，y 在第一象限；且y 的图象距原点较远，故有：k₁＜k₂＜k₃；综合可得：k₁＜k₂＜k₃．故填k₁＜k₂＜k₃．

【变式1-3】（伊川县期末）函数y＝kx+b与y （kb≠0）在同一坐标系中的图象可能是图中的（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y （kb≠0）的图象是否正确，进而比较可得答案．

【解答】解：A、函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0，所以函数y （kb≠0）的图象经过第二、四象限，故A选项不符合题意；

B、函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0，所以函数y （kb≠0）的图象经过第一、三象限，故B选项不符合题意；

C、函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，则kb＞0，所以函数y （kb≠0）的图象经过第一、三象限，故C选项不符合题意；

D、函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0，所以函数y （kb≠0）的图象经过第一、三象限，故D选项符合题意；

故选：D．

【题型2反比例函数的性质】

【例2】（淮北月考）对于反比例函数 ，下列结论：①图象分布在第二、四象限；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（1，﹣2）；④若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在图象上，且x₁＜x₂，则y₁＜y₂，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．

【解答】解：∵于反比例函数 ，

∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；

当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；

当x＝1时，y＝﹣2，故③正确；

若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在图象上，且x₁＜x₂，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y₁＜y₂，点A在第二象限，点B在第四象限时y₁＞y₂，故④错误；

故选：A．

【变式2-1】（新泰市月考）已知函数 是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则n＝　2　．

【分析】由反比例函数的定义及反比例函数图象位于第一、三象限，即可得出关于n的一元二次方程及一元一次不等式，解之即可得出n的值．

【解答】解：∵函数 是反比例函数，且图象位于第一、三象限，

∴ ，

∴n＝2．

故答案为：2．

【变式2-2】（诸城市三模）反比例函数y 的图象在二、四象限，则一次函数y＝ax+a的图象所在象限是（　　）

A．一、二、三 B．一、三、四 C．一、二、四 D．二、三、四

【分析】先根据反比例函数的增减性判断出a的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系判断出次函数y＝ax+a的图象经过的象限即可．

【解答】解：∵反比例函数y 的图象在二、四象限，

∴1﹣a＜0，

∴a＞1，

∴一次函数y＝ax+a的图象经过一、二、三象限，

故选：A．

【变式2-3】（清涧县期末）已知函数y₁ ，y₂ ，当2≤x≤3时，函数y₁的最大值是a，函数y₂的最小值是a﹣4，求a和k的值．

【分析】由反比例函数的性质可得 a， a﹣4，可求a的值和k的值．

【解答】解：∵y₁ ，y₂ ，2≤x≤3，

∴y₁的值随x值的增大而减小，y₂的值随x值的增大而增大．

∴当x＝2时，y₁的最大值为 a，

当x＝2时，y₂的最小值为 a﹣4，

∴﹣a＝a﹣4，

解得a＝2，

∴ k＝4．

【知识点2 反比例函数图象的对称性】

（1）中心对称，对称中心是坐标原点

（2）轴对称：对称轴为直线 和直线

【题型3反比例函数图象的对称性】

【例3】（滨海县一模）如图，已知直线y＝mx与双曲线y 的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是　（﹣3，﹣4）　．

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y 的两个分支关于原点对称，

所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．

故答案是：（﹣3，﹣4）．

【变式3-1】（沂源县期末）若图中反比例函数的表达式均为 ，则阴影面积为4的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．

【解答】解：图1中，阴影面积为4；

图2中，阴影面积为 4＝2；

图3中，阴影面积为2 4＝4；

图4中，阴影面积为4 4＝8；

则阴影面积为4的有2个．

故选：B．

【变式3-2】（兰州期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（4a，a）是反比例函数y （k＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k的值为（　　）

A．16 B．1 C．4 D．﹣16

【分析】根据反比例函数的中心对称性得到正方形OABC的面积＝16，则4a×4a＝16，解得a＝1（a＝﹣1舍去），所以P点坐标为（4，1），然后把P点坐标代入y 即可求出k．

【解答】解：∵图中阴影部分的面积等于16，

∴正方形OABC的面积＝16，

∵P点坐标为（4a，a），

∴4a×4a＝16，

∴a＝1（a＝﹣1舍去），

∴P点坐标为（4，1），

把P（4，1）代入y ，得

k＝4×1＝4．

故选：C．

【变式3-3】（茶陵县模拟）如图，点P（3a，a）是反比例函数y （k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为　y 　．

【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的 ，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．

【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：

πr²＝10π

解得：r＝2 ．

∵点P（3a，a）是反比例函数y （k＞0）与⊙O的一个交点．

∴3a²＝k．

r

∴a² （2 ）²＝4．

∴k＝3×4＝12，

则反比例函数的解析式是：y ．

故答案是：y ．

【 知识点3 反比例函数比例系数 的几何意义】

如图，在反比例函数 上任取一点 ，过这一点分别作 轴， 轴

的 垂线 ， 与 坐标轴围成的矩形 的面积

【题型4反比例函数中k的几何意义】

【例4】（莫旗二模）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y₁ （x＞0）及y₂ （x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k₁﹣k₂＝　6　．

【分析】由反比例函数的图象过第一象限可得出k₁＞0，k₂＞0，再由反比例函数系数k的几何意义即可得出S_△OAP k₁，S_△OBP k₂，根据△OAB的面积为2结合三角形之间的关系即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y₁ （x＞0）及y₂ （x＞0）的图象均在第一象限内，

∴k₁＞0，k₂＞0．

∵AP⊥x轴，

∴S_△OAP k₁，S_△OBP k₂．

∴S_△OAB＝S_△OAP﹣S_△OBP （k₁﹣k₂）＝3，

解得：k₁﹣k₂＝6．

故答案为：6

【变式4-1】（梓潼县模拟）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y （k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（　　）

A．10 B．4 C．3 D．5

【分析】设A点的坐标为（ ）则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：（ ），即（ ），进而可得出BC的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值．

【解答】设A（ ），

∴AB ，

∵矩形的面积为10，

∴BC ，

∴矩形对称中心的坐标为：（ ），即（ ）

∵对称中心在 的图象上，

∴ ，

∴mk﹣5m＝0，

∴m（k﹣5）＝0，

∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝5，

故选：D．

【变式4-2】（巴中）如图，平行于y轴的直线与函数y₁ （x＞0）和y₂ （x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y₂ 于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝　8　．

【分析】解一：设A（m， ），则B（m， ），D（m，0），设C（n， ），由S_△OCD OD•y_c •m• 2，得出 2，即 ．又S_△OCD＝S_△OAD﹣S_△ACD k• k＝2，即可求出k＝8．

解二：过点C作CE⊥x轴于E，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出△OCE的面积为1，由△OCD的面积为2，得出点E为OD的中点．再证明点C是OA的中点，那么S_△OAD＝2S_△OCD＝4，进而求出k＝8．

【解答】解一：设A（m， ），则B（m， ），D（m，0），设C（n， ），

∵S_△OCD OD•y_c •m• 2，

∴ 2，

∴ ．

又S_△OCD＝S_△OAD﹣S_△ACD

k • •（m﹣n）

k（1 ）

k•

k，

∴ k＝2，

∴k＝8．

解二：如图，过点C作CE⊥x轴于E，

∵点C在双曲线y₂ 上，

∴S_△OCE＝1，

∵S_△OCD＝2，

∴S_△ECD＝S_△OCE＝1，

∴点E为OD的中点，

∵CE∥AD，

∴点C是OA的中点，

∴S_△OAD＝2S_△OCD＝4，

∵函数y₁ （x＞0）的图象过点A，AD⊥x轴，

∴k＝8．

故答案为：8．

【变式4-3】（深圳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y （x＞0）分别与边AB、边BC相交于点E、点F，且点E、点F分别为AB、BC边的中点，连接EF．若△BEF的面积为3，则k的值是　12　．

【分析】设B点的坐标为（a，b），根据中点求得E、F的坐标，再把E、F坐标代入反比例函数解析式，得k与a、b的关系式，再根据△BEF的面积为3，列出a、b的方程，求得ab，便可求得k．

【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，

∴AB＝OC，OA＝BC，

设B点的坐标为（a，b），

∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，

∴E（ ，b），F（a， b），

∵E、F在反比例函数的图象上，

∴ k，

∵S_△BEF＝3，

∴ 3，即 3，

∴ab＝24，

∴k ab＝12

故答案为：12．

【题型5反比例函数图象上点的坐标特征】

【例5】（上城区一模）已知直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y 相交于点（ ，﹣2），那么它们的另一个交点坐标是　（ ，2）　．

【分析】由直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y 相交于点（ ，﹣2），即可得出函数解析式，再求另一个交点坐标．

【解答】解：方法一：∵直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y ，相交于点（ ，﹣2），

∴a﹣2b 3，xy＝3b+a

∴直线为y＝﹣3x．

双曲线为y ．

解方程组： ，

解得： ， ．

∴另一个交点为（ ，2）．

故答案为：（ ，2）．

方法二：∵直线y＝（a﹣2b）x是正比例函数，

∴直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y 的交点关于原点对称，

∵直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y 相交于点（ ，﹣2），

∴它们的另一个交点坐标为：（ ，2）．

故答案为：（ ，2）．

【变式5-1】（自贡模拟）若点A（﹣1，y₁），B（2，y₂），C（3，y₃）在反比例函数y 的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₁＞y₃＞y₂ C．y₂＞y₃＞y₁ D．y₃＞y₂＞y₁

【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．

【解答】解：∵在反比例函数y 中，k＝﹣（a²+1）＜0，

∴此函数图象在二、四象限，

∵﹣1＜0，

∴点A（﹣1，y₁）在第二象限，

∴y₁＞0，

∵3＞2＞0，

∴B（2，y₂），C（3，y₃）两点在第四象限，

∴y₂＜0，y₃＜0，

∵3＞2，

∴y₂＜y₃＜0．

∴y₁，y₂，y₃的大小关系为y₁＞y₃＞y₂．

故选：B．

【变式5-2】（雁塔区校级模拟）若点A在反比例函数y 上，点A关于y轴的对称点B在反比例函数y 上，则k₁+k₂的值为　0　．

【分析】设A点坐标为（a，b），由点在反比例函数图象上点的特征可求得k₁＝ab，k₂＝﹣ab，进而可求解．

【解答】解：设A点坐标为（a，b），

∵点A在反比例函数y 上，

∴k₁＝ab，

∵点A关于y轴的对称点B在反比例函数y 上，

∴B（﹣a，b），

∴k₂＝﹣ab，

∴k₁+k₂＝ab+（﹣ab）＝0，

故答案为0．

【变式5-3】（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，AB＝AC＝5，点B和点C的坐标分别为（﹣2，0），（4，0），反比例函数y （x＞0）的图象经过点A，且与AC相交于另一点D，作AE⊥BC于点E，交BD于点F，则点F的坐标为　（1， ）　．

【分析】由AB＝AC、AE⊥BC得到AE的长度和点A的坐标，再求出k的大小和直线AC的解析式，再求出点D的坐标，从而得到直线BD的解析式，最后再求出点F的坐标．

【解答】解：∵点B和点C的坐标分别为（﹣2，0），（4，0），

∴BC＝6，OB＝2，

∵AB＝AC＝5，AE⊥x轴，

∴BE＝CE＝3，

∴OE＝BE﹣OB＝1，AE＝4，

∴A（1，4），

∴k＝1×4＝4，

∴反比例函数的解析式为y ，

设直线AC的解析式为y＝kx+b，则

，解得： ，

∴直线AC的解析式为y x ，

由 ，得： ， ，

∴点D的坐标为（3， ），

设直线BD的解析式为y＝mx+n，则

，解得： ，

∴直线BD的解析式为y x ，

当x＝1时，y ，

∴F的坐标为（1， ）．

故答案为：（1， ）．

【题型6反比例函数与一次函数的交点问题】

【例6】（新吴区期末）已知正比例函数y₁＝k₁x（k₁≠0）与反比例函数y₂ （k₂≠0）的图象有一个交点的坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式k₁x 0的解集为　x＜﹣3或0＜x＜3　．

【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质判断两个交点关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出另一个交点的坐标．根据交点坐标和图象即可得出不等式的解集．

【解答】解：∵正比例函数y₁＝k₁x（k₁≠0）与反比例函数y₂ （k₂≠0）的图象关于原点对称，

∴正比例函数y₁＝k₁x（k₁≠0）与反比例函数y₂ （k₂≠0）的图象的交点关于原点对称，

∵一个交点的坐标为（3，﹣1），

∴另一个交点的坐标是（﹣3，1），如图，

则关于x的不等式k₁x 0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3，

故答案为：x＜﹣3或0＜x＜3．

【变式6-1】（安徽模拟）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y （k≠0）交于点A（m，﹣1.5）和点B（﹣2，3），则不等式ax+b 的解集是　x≤﹣2或0＜x≤4　．

【分析】由点A，B都在反比例函数图象上可得﹣1.5m＝﹣2×3，从而求出m，然后根据图象交点求解．

【解答】解：∵点A，B都在反比例函数图象上，

∴﹣1.5m＝﹣2×3，

∴m＝4，

∴当x≤﹣2或0＜x≤4时ax+b ．

故答案为：x≤﹣2或0＜x≤4．

【变式6-2】（阿坝州）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y （x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

（2）求得直线与x轴的交点，然后根据S_△AOB＝S_△AOC﹣S_△BOC求得即可．

【解答】解：（1）把A（m，6），B（n，3）两点坐标代入y （x＞0）可得m＝2，n＝4，

∴A（2，6），B（4，3），

∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A、B，

∴ ，解得 ，

∴一次函数的解析式为y x+9．

（2）设直线与x轴的交点为C，

把y＝0代入y x+9，则 x+9＝0，解得x＝6，

∴C（6，0），

∴S_△AOB＝S_△AOC﹣S_△BOC 6 9．

【变式6-3】（凉州区校级二模）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．

（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数 的表达式；

（2）请直接写出不等式 的解集．

【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，从而得出反比例函数解析式；由勾股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（2）观察第一象限双曲线在直线下方的部分自变量的范围即可．

【解答】解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数 的图象上，

∴k＝4×3＝12，

∴反比例函数解析式为 ；

∵ ，OA＝OB，点B在y轴负半轴上，

∴点B（0，﹣5）．

把点A（4，3）、B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，

得 ，

解得： ，

∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；

（2）令y＝2x﹣5中y＝0，则x ，∴D（ ，0），

由图象可知，不等式 的解集为 x＜4．