专题6.5
反比例函数的图象和性质（知识讲解）
【学习目标】
1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的图象和性质
1、
反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与
轴、
轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：
若点(
)在反比例函数
的图象上，则点(
)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；在反比例函数
(
为常数，
)
中，由于
，所以两个分支都无限接近但永远不能达到
轴和
轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由
的符号决定的：当
时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当
时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当
时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，
值随
值的增大而减小；
（2）如图2，当
时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，
值随
值的增大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数
的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出
的符号.
要点二：反比例函数
(
)中的比例系数
的几何意义
过双曲线
(
)上任意一点作
轴、
轴的垂线，所得矩形的面积为
.
过双曲线
(
)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为
.
特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、反比例函数的图象
【题型一】判断（画）反比例函数图象
1、已知一次函数
（
，
为常数，
）的图像如图所示，则正比例函数
和反比例函数
在同一坐标系中的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一次函数
（
，
为常数，
）的图像判定
，确定图像分布，判断即可．
解：根据一次函数
（
，
为常数，
）的图像判定
，
∴
的图像分布在二四象限，反比例函数
的图像分布在二四象限，
故选D．
【点拨】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k，m的关系是解题的关键．
【变式】反比例函数
．
画出反比例函数的图象；
观察图象，当
时，写出
的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2)
或
．
【分析】（1）列表、描点、连线画出函数图象即可；
（2）根据图象即可求解．
（1）解：反比例函数
．
列表：
x |
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
y |
|
|
|
|
4 |
2 |
1 |
|
描点、连线，反比例函数的图象如图，
；
（2）解：由图象可知，当
时，自变量x的取值范围是
或
．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
【题型二】已知反比例函数图象，求其解析式
2、如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点
．
求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围．
若
，求自变量t的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置确定自变量的取值范围即可．
（2）先求出
时对应的
的值，再根据反比例函数图像特征写出
时，自变量x的相应的取值范围．
（1）解：设反比例函数的解析式为
，
将
代入
，得
，
∴该曲线所表示的函数的解析式
；
（2）把
代入
得，
，
由图像得，当
时，
．
【点拨】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及从点入手思考自变量的取值范围．
【变式】把下列函数的解析式与其图象对应起来．
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D
【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论．
解：（1）
的图象在一，三象限，对应着图象B；
（2）
的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A；
（3）
的图象在二，四象限，对应着图象C；
（4）
的图象关于y轴对称，且函数值为负，在x轴方下方，对应着图象D．
【点拨】本题考查了反比例函数的选择，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【题型三】反比例函数图象的对称性➽➼求坐标
3、如图，正比例函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
，点B．
______，
______，点B的坐标为______；结合图象直接写出不等式
的解集．
【答案】(1)2，2，
；(2)
或
【分析】（1）把点
代入
，
,可求出正比例函数
和反比例函数
的解析式，根据中心对称得到点
；
（2）观察图象可得：不等式
的解集即为一次函数图像在反比例函数图像下方的自变量的取值范围，由此即可求解；
（1）解：把点
代入
，得：
，
把点
代入
，得：
，
∵
关于原点中心对称，则
故答案为：2，2，
；．
（2）观察图象得：不等式
的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围，
∴不等式
的解集为
或
【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，图像法求不等式解集，准确利用待定系数法求出两个函数解析式是解题的关键．
【变式】如图，在平面直角坐标系
中，双曲线
经过点
，
．直线
，
分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接
，
，
，
．求证：四边形
是矩形．
【分析】将点A代入
中求出k，再将点B代入
中，求出点B坐标，求出
，
的长，根据对称性得到
，即可证明结论．
解：将
代入
中，得：
，
∴
，将
代入
中，
∴
，即
，
∴
，
，
∴
，
由反比例函数对称性可得：
，
，
即
，
∴四边形
是矩形．
【点拨】本题考查了反比例函数图像上的点，对称性，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是求出
和
的长，熟练运用矩形的判定定理．
【题型四】反比例函数图象分布➽➼求参数取值范围
4、已知反比例函数
的图象位于第一、三象限．
求k的取值范围；
若
，反比例函数的图象过点
，求m的值．
【答案】(1)
；(2)1
【分析】（1）根据反比例函数图象位于第一、三象限即可得到
，由此进行求解即可；
（2）直接把点
代入
中进行求解即可．
解：（1）由题意，
，
解得：
；
（2）∵
，
∴反比例函数的表达式为
，
把点
代入
，得：
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象与其比例系数之间的关系，求反比例函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图象与比例系数之间的关系．
【变式】已知反比例函数
的图象的左支如图6-3所示，它经过点
．
判断k是正数还是负数．
求这个反比例函数的表达式．
补画这个反比例函数图象的另一支．
【答案】(1)负数；(2)
；(3)见解析
【分析】（1）由图像上的点第二象限，可以判断k的取值；
（2）把点B的坐标代入解析式，求k的值，写出解析式；
（3）利用图像的对称性，取四个点，找到它们的中心对称点，用平滑曲线作出另一分支．
解：（1）因为反比例函数
的图象的一支在第二象限，所以图象上的点的横坐标与纵坐标异号，即
．
（2）将图象上点B的横坐标
，纵坐标2分别代入表达式
，得
，解得
．
所以所求的反比例函数的表达式是
．
（3）在已知图象上分别取一些点作出它们关于原点中心对称的点，然后用光滑曲线把它们依次连结，这样就得到反比例函数
的图象中的另一分支．
【点拨】本题考查反比例函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键．
类型二、反比例函数的增减性
【题型一】判断反比例函数的增减性
5、已知反比例函数
，当
时，
.
求y关于x的函数表达式；
当
且
时，求自变量x的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得当
时，
，根据反比例函数的性质即可求解．
（1）解：∵反比例函数
，当
时，
.
∴
∴
,
（2）当
时，
，
∵
的图象在第二、四象限，
∴当
且
时，
或
．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，判断反比例函数的增减性，掌握反比例数的图象的性质是解题的关键．
【变式】已知反比例函数y＝
（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）
求k的值；
此函数图象在象限，在每个象限内，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）
判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为．
【答案】(1)k=6；(2)一、三；减小；(3)点B（﹣1，6）不在这个函数的图象上，理由见解析；(4)﹣6＜y＜﹣2
【分析】（1）利用待定系数法求出k的值即可；
（2）利用反比例函数的性质进而得出答案；
（3）利用函数图象上点的坐标特点得出即可；
（4）利用x的取值范围，得出y得取值范围即可．
（1）解：∵点A（2，3）在反比例函数y=
的图象上，
∴k=2×3=6；
（2）解：∵k=6＞0，
∴此函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
故答案为：一、三；减小；
（3）解：∵k=6，
∴反比例函数的解析式为y=
，
∵当x=-1时，y=
=-6，
∴点B（-1，6）不在这个函数的图象上；
（4）解：当-3＜x＜-1时，x=-3时，y=-2；x=-1时，y=-6，
则y的取值范围为：-6＜y＜-2．
故答案为：-6＜y＜-2．
【点拨】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的性质等知识，熟练应用相关性质是解题关键．
【题型二】判断图象所在象限
6、已知反比例函数
，且当
时，
随
的增大而减小．
若该函数图像经过点
，求实数
的值；求实数
的取值范围及该函数图像经过的象限．
【答案】(1)
；(2)
，该函数图像经过第一、三象限
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的增减性得出
，进而得出经过的象限，即可求解．
（1）解：∵该函数图像经过点
，
∴
，
解得：
．
（2）解：∵当
时，
随
的增大而减小，
∴
．
∴
的取值范围是
．
∴该函数图像经过第一、三象限．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式】反比例函数的图象过点
．
求反比例函数y与自变量x之间的关系式，它的图象在第几象限内？
y随x的减小如何变化？
试判断点
，
是否在此函数图象上？
【答案】(1)反比例函数y与自变量x之间的关系式为
，它的图象在第二、四象限；(2)在每一象限内，y随x的减小而减小；(3)点
，
都不在此函数图象上
【分析】（1）设
，则把
代入求出k即可得到反比例函数y与自变量x之间的关系式，然后根据反比例函数的性质判断它的图象在第几象限内；
（2）根据反比例函数的性质求解；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
（1）解：设
，
把
代入
，
∴
，
∴反比例函数y与自变量x之间的关系式为
，
它的图象在第二、四象限；
（2）解：在每一象限内，y随x的减小而减小；
（3）解：因为当
，
，
，
所以点
，
都不在此函数图象上．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式
（k为常数，
）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．也考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
【题型三】由反比例函数的增减性求参数取值范围
7、已知反比例函数
如果这个函数的图象经过点
，求k的值；如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）将点
代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定
，进而可得k的取值范围．
解：（1）1）把点（k，—1）代入
，得
，
∴
．
（2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，
∴
解得：
．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【变式】已知反比例函数
（k为常数）．
若函数图象在第二、四象限，求k的取值范围；
若
时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据反比例函数
的图象在第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；
（2）根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可得出结论．
（1）解：∵反比例函数
的图象在第二、四象限，
∴
，
解得：
，
∴k的取值范围是
；
（2）解：∵若
时，y随x的增大而减小，
∴
，
解得：
，
∴k的取值范围是
．
【点拨】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
【题型四】比较反比例函数自变量（因变量）的大小
8、已知反比例函数
的图象经过点
.
求这个反比例函数的表达式；
若
，
是这个反比例函数图象上的两个点，请比较
，
的大小．
【答案】(1)
；；(2)
．
【分析】（1）把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解；
（2）根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值
随
的增大而增大解答．
（1）解：（1）把
代入
，
得
，
解得：
．
∴这个反比例函数的解析式为
；
（2）
．理由如下：
∵
，
∴在每一个象限内，函数值
随
的增大而增大．
∵点
，
都在第四象限，且
，
∴
．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．需要熟练掌握反比例函数图象的性质是解决问题的关键．
【变式】已知反比例函数
（k为常数，
）．
若该反比例函数的图象与直线
有一个交点为
，求k的值；在（1）的条件下，设点
为该反比例函数图象上的一点，且
，请比较
与
的大小关系．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）先求出
，得到
，再将其代入反比例函数解析式即可得出答案；
（2）当
时，
，而
，即可得出答案．
（1）解：由题意得，
，
∴
，
将
代入
，得
．
解之，得
．
（2）解：当
时，
，
而
，
∴
．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
类型三、反比例函数比例系数与面积关系
【题型一】由反比例函数比例系数求特殊图形面积
9、如图，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，
在函数
的图象上（点
的横坐标大于点
的横坐标），点
的坐示为
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，连接
，
．
（1）求
的值．
（2）若
为
中点，求四边形
的面积．
【答案】（1）8；（2）10．
【分析】（1）将点
的坐标为
代入
，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点
的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
解：（1）将点
的坐标为
代入
，
可得
，
的值为8；
（2）
的值为8，
函数
的解析式为
，
为
中点，
，
，
点
的横坐标为4，将
代入
，
可得
，
点
的坐标为
，
．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的系数
的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
【变式】如图，反比例函数
和一次函数
的图象都经过点
和点
．
（1）
_________，
_________；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出
时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数
的图象上一点，过点P作
轴，垂足为M，则
的面积为_________．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【分析】（1）把A(1,4)代入
求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出
时x的取值范围；
（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为
，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
解：（1）把x=1,y=4代入
得，
4=
，
解得m=4
∴
当y=2时，2=
解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入
得
解得
∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1<x<2
（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为
，
∴OM=a，PM=
,
∴S△POM=
【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
【题型二】由面积求反比例函数比例系数（解析式）
10、如图，反比例函数
的图象经过点
．过点A作
轴于点B，
的面积为2．求：
k和b的值；
求
所在直线的解析式．
【答案】(1)
，
；(2)
【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到
，求出k得到反比例函数解析式，然后把
代入反比例函数解析式可求出b；
（2）利用待定系数法求直线
的解析式．
解：（1）∵
轴，
∴
，
解得
，
∴反比例函数解析式为
，
把
代入
得
；
（2）由（1）得
，
设直线
的解析式为
，
把
代入得
，解得
，
所以直线
的解析式为
．
【点拨】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数
（k为常数，
）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数
，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于
．
【变式】如图，在平面直角坐标系
中，函数
（其中
）的图象经过平行四边形
的顶点A，函数
（其中
）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，
的面积为6．
求k的值；
求直线
的解析式．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据点C的横坐标是2求出C点坐标，再由平行四边形得出
轴，根据三角形的面积公式求出
的长，故可得出A点坐标，进而可得出k的值；
（2）根据四边形
是平行四边形可知
，故可得出
，再利用待定系数法求出直线
的解析式即可．
（1）解：∵点C的横坐标是2，
∴
，
，
∴
，
∵四边形
是平行四边形，
∴
轴，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
∴点A的坐标为
，
∴
；
（2）解：∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
则
，
∴
，
∴直线
的解析式为
．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．