专题6.4
反比例函数（培优篇）
一、单选题
1．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（ ）
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长l与边长a的关系
C．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
2．已知
，
，
在反比例函数
上，则
，
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
3．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图像于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．6 D．12
4．如图，一次函数y＝－2x＋4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线AB上运动(点P不与点A，B重合)，反比例函数y＝
的图象过点P，则k的最大值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，反比例函数y＝﹣
在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1、﹣2，在直线y＝x上求一点P，使PA+PB最小．则P点坐标为（ ）
A．P（
，
） B．P（
，
） C．P（1，1） D．P（
，
）
6．已知点P为反比例函数
的图象上一点，且点P
到坐标原点的距离为
，则符合条件的点P有（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
7．如图，点A，B在双曲线y=
(x＞0)上，点C
在双曲线
上，若
轴，
轴，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．4
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，顶点A、B的坐标分别是A（1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线y=
上，边AD与y轴相交于点E，S四边形BEDC=5S△ABE=10，则k的值是（
）
A．-16 
B．-9 C．-8 D．-12
9．如图直角三角板∠ABO＝30°，直角项点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝
图象上，顶点B在函数y2＝
的图象上，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，直线
分别与
轴、
轴交于C、D两点，与反比例函数
的图像相交于点
和点
，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，连结MN、OA、OB．下列结论：
①
；②
；③四边形
与四边形MNCA的周长相等；④
.其中正确的个数是（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．已知
是反比例函数，则a的值是______．
12．若函数
是反比例函数，则其表达式是______．
13．已知(m,n)是函数
与
的一个交点，则代数式
的值为__________
14．已知反比例函数的解析式为
，则最小整数k＝______．
15．如图，已知A，B两点均在函数
的图象上，OA⊥OB，且AB平行于
轴，则线段AB的长为____________．
16．如图．反比例函数
的图象与直线
交于点
，直线
与
轴交于点
，过点
作
轴的垂线
，交反比例函数的图象于点
，在平面内存在点
，使得以
，
，
，
四点为顶点的四边形为平行四边形，则点
的坐标是____．
17．将
代入反比例函数
中，所得函数值记为
，又将
代入原反比例函数中，所得函数值记为
，再将
代入原反比例函数中，所得函数值记为
，…，如此继续下去，则
______.
18．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）是第一象限内一点，连接OA，将OA绕点A逆时针旋转90°得到线段AB，若反比例函数
（x＞0）的图象恰好同时经过点A、B，则k的值为______．
三、解答题
19．如图，请用尺规作图法，在反比例函数
的图象上作出一点
，使
．（保留作图痕迹，不写作法）
20．某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)成反比例．又知当x＝0.65时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
21．如图，在平面直角坐标系
中，双曲线
与直线
交于点
．
（
）求直线和双曲线的解析式．
（
）直线
与
轴交于点
，点
是双曲线
上的一点，过点
作
轴于
，且
，直接写出点
的坐标．
22．如图，在平的直角坐标系中，直线
与
轴、
轴分别相交于点
、
，四边形
是正方形，曲线
在第一象限经过点
．求双曲线表示的函数解析式．
23．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于点C，A，点D为点B（﹣3，0）关于AC的对称点，反比例函数y＝
的图象经过点D．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）已知在y＝
的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求点M的坐标．
24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为BC边上的任意一点（点P与B、C不重合），且DQ⊥AP，垂足为Q，设AP=x，DQ=y．
（1）如果连接DP，那么△ADP的面积等于_________；
（2）当点P为BC上的一个动点时，线段DQ也随之变化，若
，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
参考答案：
1．D
解：A、根据题意，得
，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选项错误；
B、根据题意，得
，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
C、根据题意，得
，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
D、根据题意，得
，所以正方形的面积S与边长a的关系是反比例函数关系；故本选项正确．
故选D．
2．A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
解：∵反比例函数y=-
中k=-a2＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵（-3，y1），（-15，y2），（2，y3）在反比例函数y=-
上，
∴（-3，y1），（-15，y2）在第二象限，点（2，y3）在第四象限，
∴y3＜y2＜y1．
故选A．
【点拨】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．A
解：设反比例函数解析式为y=
，一次函数解析式为y=ax+b，将点A（1，12）代入y=
中，得k=12，∴反比例函数解析式为y=
，将点A（1，12）、B（6，2）代入y=ax+b中，得
，解得
，∴一次函数解析式为y=﹣2x+14．
设点P的坐标为（m，14﹣2m），则S四边形PMON=S矩形OCPD﹣S△OCM﹣S△ODN=S矩形OCPD﹣|k|=m（14﹣2m）﹣12=﹣2m2+14m﹣12=﹣2
+
，∴四边形PMON面积的最大值是
．
故选A．
点睛：本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是找出S四边形PMON关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，利用分割图形求面积法是解题的关键．
4．A
【分析】一次函数与反比例函数有交点，则-2x+4═
，只有一个交点，则△≥0.
解：将y=-2x+4代入y=
，得-2x+4═
，
整理得，2x2-4x+k=0，
∵两个函数图象只有一个公共点，
∴△=(-4)2-4×2•k≥0，
解得k≤2，
∴k的最大值为2.
故选A．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.
5．B
【分析】由题意可求点A、B的坐标，再根据对称，找出其中一点关于直线y＝x对称的点坐标，直线AC与直线y＝x交点就是所求的点P，组成方程组求解即可．
解：把A、B的横坐标分别为﹣1、﹣2分别代入反比例函数y＝﹣
得：
把A、B的纵坐标分别为4、2，
∴A（﹣1，4）B（﹣2，2），
由题意得：点B关于y＝x对称的点C，直线AC与直线y＝x的交点即为的P；
B（﹣2，2）关于y＝x对称的点C（2，﹣2），
设直线AC的关系式为y＝kx+b，由题意得：
解得：
，
∴直线AC的关系式为y＝﹣2x+2，
∵
的解为：
，
∴点P（
，
）
故选B．
【点拨】本题主要考查最短距离问题，这道题采用常规的思路，寻找对称点，根据对称点求解直线方程，再根据直线方程和对称轴的交点，得到最短距离的点.
6．C
【分析】设（x，
），再根据点P到原点的距离
是可得到关于x的方程，求出x的值即可．
解：设点P坐标为（x，
），
∵点P到原点的距离是
，
∴x2+（
）2=
，
解得：
，
．
故点P坐标为（3,1），（-3，-1），（1,3），（-1，-3）.
∴符合条件的点有4个．
故选C．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据点P在反比例函数的图象上得出关于x的方程是解答此题的关键．
7．B
【分析】依据点C在双曲线
上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，
），则B（4a，
），A（a，
），依据AC＝BC，即可得到
−
＝4a−a，进而得出a＝1，依据C（1，1），B（4，1），A（1，4），即可得到AC＝BC＝3，进而得到Rt△ABC中，AB＝
解：点C在双曲线y＝
上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，
），则B（4a，
），A（a，
），
∵AC＝BC，
∴
−
＝4a−a
解得a＝1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（4，1），A（1，4），
∴AC＝BC＝3，
∴Rt△ABC中，AB＝
，
故选B．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
8．D
解：试题解析：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
在△CDH和△ABO中，
，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=2，
设C（m+1，n），D（m，n+2），
则（m+1）n=m（n+2）=k，
解得n=2m，则D的坐标是（m，2m+2），
设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得
，
由①得：a=-b，代入②得：mb+b=2m+2，
即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，
则
，
∴y=-2x+2，
∴E（0，2），BE=4，
∴S△ABE=
×BE×AO=2，
∵S四边形BCDE=5S△ABE=5×
×4×1=10，
∵S四边形BCDE=S△ABE+S四边形BEDM=10，
即2+4×m=10，
解得：m=2，
∴n=2m=4，
∴|k|=（m+1）n=12．
∵双曲线图形在第二象限，
∴k=-12
故选D．
9．D
【分析】设AC＝a，则OA＝2a，OC＝
a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，即可求
的值．
解：设AB与x轴交点为点C，
Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝60°，
∵AB⊥OC，
∴∠ACO＝90°，
∴∠AOC＝30°，
设AC＝a，则OA＝2a，OC＝
a，
∴A（
a，a），
∵A在函数y1＝
的图象上，
∴k1＝
a×a＝
a2，
Rt△BOC中，OB＝2OC＝2
a，
∴BC＝
＝3a，
∴B（
a，﹣3a），
∵B在函数y2＝
的图象上，
∴k2＝﹣3a×
a＝﹣3
a2，
∴
＝
，
故选：D．
【点拨】此题考查反比例函数的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设AC＝a是解题的关键，由此表示出其他的线段求出k1与k2的值，才能求出结果.
10．C
解：分析：根据待定系数法求出直线和反比例函数的解析式，得到CD点的坐标，由此求出DM、AM、CN、NB的长，然后根据SAS得到
，然后根据M、N的求出MN的解析式，从而判断②，再根据①的结论和周长判断出③，最后根据三角形的面积判断④.
详解：∵直线
分别与
轴、
轴交于C、D两点，与反比例函数
的图像相交于点
和点
∴一次函数的解析式为y=-2x+5，反比例函数的解析式为：y=
∴C点为（
,0），D点为（0，5）
∴DM=2，AM=1，CN=1，NB=2
∵AM⊥y轴，BN⊥x轴
∴
，
故①正确；
由M（0，3），N（
，0），求得MN的解析式为：y=-2x+3，
∴
，故②正确；
∵四边形
的周长=BA+AD+DM+MN+NB=（BA+AD+MN）+DM+NB=（BA+AD+MN）+4
四边形MNCA的周长=AM+AB+BC+MN+NC=（BA+BC+MN）+AM+NC=（BA+AD+MN）+2
∴四边形
与四边形MNCA的周长不相等
故③不正确；
由OD=5，AM=1，可得
=
，由OC=
，NB=2，可得
=
=
，可知
，故④正确.
故选C.
点睛：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，注意灵活运用．
11．-1
解：根据反比例函数形式
可得
，
，解得
.
故答案为－1．
12．
解：根据反比例函数的定义得到
且
．由此求得k=0，然后代入即可得到函数解析式
．
故答案为
.
13．1
解：∵已知（m，n）是函数
与
的一个交点，∴
，
，∴mn=3，m-n=2，∴
=
=1．故答案为1．
14．1
解：根据反比例函数的意义，由反比例函数的解析式为
，可得2k－1＞0，然后解不等式求出k的取值范围
，再找出此范围中的最小整数为1．
故答案为1．
15．5
解：分析：先设点A（x1，
），点B（x2，
），然后根据OA⊥OB
得到OA的正比例函数的k值与OB正比例函数的k值的积为-1，根据AB平行于x轴得出A、B两点的纵坐标相等，列出两个方程解出即可.
详解：∵点A在y=
上，点B在y=
上，
∴设点A（x1，
），点B（x2，
）.
∵OA⊥OB，
∴
，①.
又∵AB平行于x轴，
∴
，②.
由①②解得：
或
.
∵
，
∴
，
∴AB的距离为：
.
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的综合.
16．
或
或
【分析】
将A点的坐标代入反比例函数解析式中求得k的值，然后将x=4代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点C的坐标；使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D的坐标即可．
解：把点
代入
，得
，
故该反比例函数的解析式为
，
∵点
，
轴，
∴把
代入反比例函数
，得
，
∴
①如图，当四边形A
为平行四边形时，
，且
．
∵
、
、
，
∴点
的横坐标为
，
，即
，故
，
∴
．
②如图，当四边形
为平行四边形时，
，且
．
∵
、
、
，
∴点
的横坐标为
，
，即
，故
，
∴
．
③如图，当四边形
为平行四边形时，
，且
，
∵
、
、
，
∴
，即
，故
；
，即
，故
，
∴
．
综上所述，符合条件的点
的坐标是
或
或
．
【点拨】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．
17．2
【分析】根据题意将x值依次代入
中，得y1，y2，y3，y4，发现y值的变化规律是三个数字为一个循环，将2018除以3得672余2，则
为一个循环的第2个数即可求解.
解：
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
……
∴y的值是三个数值
为一个循环，
∵2018÷3=672…2，
∴
=2
故答案为：2
【点拨】本题考查反比例函数的定义，按照题目规则计算y值从而得到数字循环规律是解答此题的关键.
18．
【分析】先作辅助线构造全等三角形，利用旋转的性质证明
，利用全等三角形性质表示出B点坐标，将点A、B代入反比例函数得出方程就可解出m，进而求出k值．
解：过点A作
轴，
过点B作
，如图
由旋转的性质得，
，
在
和
中，
，
，
则
点A，B都在反比例函数图像上，
解得
或
（舍去）
将A代入
，
解得
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定和待定系数法求反比例函数解析式，牢固掌握以上知识点并学会作辅助线是做出本题的关键．
19．见分析
【分析】设点P(x,y)，由点P在
上可得xy=4，由OP=
可得
，即可求得x=2，y=2，然后过A(2,0)作x轴的垂线，与反比例函数图象相交于点P，则点P即为所求.
解：如图所示：过点A(2,0)作x轴的垂线，交反比例函数图象于点P，则点P即为所求.
【点拨】本题综合考查了尺规作图，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式和勾股定理得出点P的坐标是解决此题的关键.
20．(1)
y＝
；(2)
当电价调至0.6元/度时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
【分析】（1）因为本年度新增用电是y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例关系，所以y
，根据当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度可确定k的值；
（2）设当电价为x元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%，根据某地上年度电价为0.8元/度，全年用电1亿度，每度电成本0.3元，可列方程求解．
解：（1）∵本年度新增用电是y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例关系，∴y
．
∵当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度，∴0.8
，解得：k=0.2，∴y
；
（2）设当电价为x元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%，根据题意得：
（0.8﹣0.3）（1+20%）=（
1）（x﹣0.3）
解得：x=0.6或x=0.5＜0.55（舍去）．
答：当电价为0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，关键是设出函数解析式，代入自变量确定的函数值，确定函数式．第二问根据本年度电力部门的收益将比上年度增加20%列方程求解．
21．（1）
或
（2）
或
【分析】（1）分别将A点坐标代入
和
，即可确定双曲线和直线的解析式；（2）由
，则当
时，
，
，所以
．然后对P点在一、三象限,运用两点间的距离公式和
的关系进行分类讨论，即可完成解答.
解：（
）点
代入
中，
，
有
，
，
，
，
∴
或
．
（
）∵
，
当
时，
，
，
∴
．
当
在第一象限中，
∵
，
∴
，
∴
，
即点
．
当
在第三象限中心
，
∴
的横坐标时
，则
，
∴
．
综上：
或
．
【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合题，特别是第二问确定B点坐标和对P点位置进行分类讨论是解答本题的关键.
22．
．
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，先由直线y=﹣2x+2与x轴，y轴相交于点A、B求出OB及OA的长，再由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，故可得出D点坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式．
解：过点D作DE⊥x轴于点E．
∵直线y=﹣2x+2与x轴，y轴相交于点A、B，∴当x=0时，y=2，即OB=2；当y=0时，x=1，即OA=1．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∴∠BAO+∠DAE=90°．
∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAO=∠ADE．
∵∠AOB=∠DEA=90°，∴△AOB≌△DEA，∴DE=AO=1，AE=BO=2，∴OE=3，DE=1，∴点D的坐标为（3，1）把（3，1）代入y=
中，得：k=3，故反比例函数的解析式为：y=
．
【点拨】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质、正方形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
23．（1）证明见分析；（2）反比例函数解析式为y＝
；（3）点M的坐标为（0，
）．
【分析】（1）由直线解析式可得A（0，4），C（2，0），利用勾股定理求得AB＝5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AD＝AB＝5，CD＝CB＝5，即可证得AB＝BC＝CD＝DA，得证四边形ABCD为菱形.
（2）由四边形ABCD为菱形.可求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式.
（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质可得到N的横坐标，代入反比例函数解析式求出N纵坐标，从而求得M的坐标.
解：（1）∵直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于点C，A，
∴A（0，4），C（2，0），
∴AB＝
＝5，BC＝5，
∵D为B点关于AC的对称点，
∴AD＝AB＝5，CD＝CB＝5，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD为菱形.
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
而AD＝5，A（0，4），
∴D（5，4），
把D（5，4）代入y＝
得k＝5×4＝20，
∴反比例函数解析式为y＝
.
（3）∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AB∥NM，AB＝NM，
∴MN是AB经过平移得到的，
∵点M是点B在水平方向向右平移3个单位长度，
∴点N的横坐标为3，代入y＝
中，得：y＝
，
∴点M的纵坐标为
﹣4＝
，
∴点M的坐标为（0，
）．
【点拨】本题考查了反比例函数综合题、菱形的判定以及平行四边形的性质，掌握坐标与图形的关系是解题关键.
24．（1）
xy；（2）y=
（2<x<2
）
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求得结论；（2），根据
，把AB=2，DA=2，PA=x，DQ=y代入得出
，
．根据点P在BC上移到C点时，PA最长，求出此时PA的长即可得出x的取值范围．
解：（1）∵DQ⊥AP，垂足为Q， AP=x，DQ=y，
∴S△ADP=
AP•DQ=
xy；
故答案为
xy；
（2）∵AB=2，∴DA=2，
∵PA=x，DQ=y，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵点P在BC上移到C点时，PA最长，此时PA=
=2
，
又∵P是BC边上与B、C不重合的任意一点，
∴x的取值范围是；2＜x＜2
．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的实际应用，关键是能根据已知比例式求出函数关系式．