专题6.1
反比例函数中的综合
【典例1】如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足
0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y
经过C、D两点．
（1）a的值为 ，b的值为 ；
（2）求k的值；
（3）点P在双曲线POQ上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶边的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点P、Q的坐标．
【
思路点拨】
（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；
（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（3）由（2）知k＝4可知反比例函数的解析式为y
，再由点P在双曲线y
上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，
），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
【
解题过程】
解：（1）∵a、b满足
0，
则
，解得
，
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4），
∵D（1，4）在双曲线y
上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
（3）∵点P在双曲线y
上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，
），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则
0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则
x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴
，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．
1．（前进区一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y
和y
的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【思路点拨】
连接AO、BO，得到△ABC的面积和△ABO的面积相等，然后借助反比例函数的几何意义求得△AOP和△BOP的面积，最后得到△ABC的面积．
【解题过程】
解：连接AO、BO，
∵AB∥x轴，
∴S△ABC＝S△ABO，
∵A点和B点分别在反比例函数y
和y
的图象上，
∴S△AOP
1，S△BOP
3，
∴S△ABC＝S△AOP+S△BOP＝1+3＝4，
∴S△ABO＝4，
故选：B．
2．（宁波模拟）如图△OAB，△BCD的顶点A，C在函数y
（k＞0，x＞0）的图象上，点B，D在x轴正半轴上，AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，设△AOB，△CBD的面积分别为S1，S2，若S1+S2＝4，则k的值为（ ）
A．2 B．
C．
D．3
【思路点拨】
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，得OM＝BM，BN＝DN，设OM＝a，AM＝b，则点A（a，b），点C（4a，CN），再由反比例系数k的几何意义得到S1，S2的表达式，最后由S1+S2＝4求得k的取值．
【解题过程】
解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
∵AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，
∴OM＝BM，BN＝DN，
设OM＝a，AM＝b，则点A（a，b），点C（4a，CN），
∵点A、C在反比例函数y
（k＞0，x＞0）的图象上，
∴ab＝4a•CN＝k，即CN
b，
∴S1
，S2
，
∵S1+S2＝4，
∴k
k＝4，
∴k
，
故选：C．
3．（费县一模）如图，点A，B在反比例函数
的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝2，3OC＝2OD，AC＝AE，则k的值为（ ）
A．8 B．9 C．
D．
【思路点拨】
根据题意求得B（
k，1），进而求得A（
k，3），然后根据勾股定理得到32＝（
k）2+12，解方程即可求得k的值．
【解题过程】
解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD＝OE＝2，
把y＝2代入
，求得x
k，
∴B（
k，2），
∴OD
k，
∵3OC＝2OD，
∴OC
k，
∵AC⊥x轴于点C，
把x
k代入
得，y＝3，
∴AE＝AC＝3，
∵OC＝EF
k，AF＝3﹣2＝1，
在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，
∴32＝（
k）2+12，解得k＝±6
，
∵在第一象限，
∴k＝6
，
故选：C．
4．（姑苏区校级期中）如图，点B为反比例函数y
（k＜0，x＜0）上的一点，点A（2k，0）为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数y
的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】
先判断出△ABF≌△CAE（AAS），得出AF＝CE，BF＝AE，再判断出点C的横坐标，进而得出点C的纵坐标，再利用BF＝AE，求出点B的纵坐标，进而得出点B的横坐标，最用AF＝CE，建立方程求解即可得出结论．
【解题过程】
解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∴∠AEC＝∠BFA＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
由旋转知，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠CAE，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴AF＝CE，BF＝AE，
∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点A（2k，0），
∴点E（4k，0），
∵点C在反比例函数y
的图象上，
∴C（4k，
），
∴CE
，
∵A（2k，0），E（4k，0），
∴AE＝2k﹣4k＝﹣2k，
∴BF＝﹣2k，
∵点B在反比例函数y
的图象上，
∴B（
，﹣2k），
∴F（
，0），
∴AF
2k，
∵AF＝CE，
∴
2k
，
∴k
，
故选：D．
5．（十堰月考）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，
．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数
的图象过点C．当△ACD面积为
时，k的值是（ ）
A．
B．4 C．7 D．8
【思路点拨】
设OA＝3m，先求出直线AB的解析式，进一步求出D，C点坐标，再用两点之间的距离公式求出OC和DC的长，根据△ACD的面积为
，得出△AOC的面积，根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值．
【解题过程】
解：设OA＝3m，
∵
，
∴OB＝4m，
∴A（3m，0），B（0，4m），
设AB解析式：y＝kx+b，
代入A，B点坐标，
得
，
解得k
，b＝4m，
∴AB解析式：y
x+4m，
∵OD平分∠AOB，
∴OD的解析式：y＝x，
联立y
x+4m与y＝x，
得x
m，
∴D（
m，
m），
设OA的垂直平分线交OA于点M，连接AC，
则M（
，0），
∴C（
，
），
∴OC
，CD
，
∵OC＝7CD，
∴S△AOC＝7S△ACD
，
∴
，
∴k
．
故选：A．
6．（虎丘区校级模拟）如图，反比例函数y
（x＞0）的图象经过点A（2，1），过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上，则B′点纵坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】
利用待定系数法求得反比例函数的解析式，由点A的坐标可得AB＝2，OB＝1；设BB′交直线CD于点E，过点E作EG⊥BD于G，过B′作B′F⊥BD于点F，利用待定系数法求得直线OA，BB′的解析式和反比例函数的解析式，进而求得点B′的坐标，则点B′的纵坐标可求．
【解题过程】
解：设BB′交直线CD于点E，过点E作EG⊥BD于G，过B′作B′F⊥BD于点F，如图，
∵B与B′关于直线CD对称，
∴CD垂直平分BB′．
即E为BB′的中点，EB＝EB′．
∵EG⊥BD，B′F⊥BD，
∴EG∥B′F．
∴EG
B′F．
∵直线OA经过点A（2，1），
∴直线OA的解析式为：y
x．
∵CD⊥OA，BB′⊥CD，
∴BB′∥OA．
设直线BB′的解析式为y
x+b，
∵B（0，1），
∴b＝1．
∴直线BB′的解析式为y
x+1．
∵反比例函数y
（x＞0）的图象经过点A（2，1），
∴反比例函数y
．
联立方程得：
．
解得：
或
．
∴B′（
1，
）．
故选：A．
7．（鹿城区校级二模）如图，点A是反比例函数y
（k＞0）在第一象限内图象上的点，AB⊥y轴于点B，x轴正半轴上有一点C，AB＝AC＝k，连结OA，BC相交于D，若S△COD﹣S△ABD＝1，则k的值为 
．
【思路点拨】
根据题目的条件求出A点的纵坐标，再求得△OBC的面积，根据△OBC与△OAB的面积关系列出k的方程解答便可．
【解题过程】
解：∵AB＝AC＝k，AB⊥y轴于点B，
∴A点横坐标为k，
当x＝k时，y
，
∴A（k，1），
过A点作AE⊥x轴于点E，则OB＝AE＝1，OE＝AB＝k，
∴CE
，
∴
，
∵S△COD﹣S△ABD＝1，
∴S△OBC﹣S△OAB＝1，
∵
，
∴
，
解得k
（舍）或k
．
8．（潍城区一模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣4，0），AB⊥x轴，反比例函数y
（x＜0）的图象与AB交于点C，与OA交于点E，且AC＝4BC，S△AOC＝20，则点E的坐标为 （
，
） ．
【思路点拨】
根据点B的坐标为（﹣4，0）得出OB＝4，由AB⊥x轴，S△AOC＝20求出AC长度，根据AC＝4BC得到点C、点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数以及直线AO的解析式，然后联立两解析式即可求解．
【解题过程】
解：∵B（﹣4，0），AB⊥OB，
∴点A横坐标为﹣4，OB＝4，
∵S△AOC
OB•AC
4•AC＝20，
∴AC＝10，
∵AC＝4BC，
∴BC
AC＝2.5，
∴点C坐标为（﹣4，2.5），AB＝AC+BC＝12.5，点A坐标为（﹣4，12.5），
∴k＝﹣4×2.5＝﹣10．
∴y
，
设直线OA解析式为y＝mx，
将A（﹣4，12.5）代入y＝mx，
得﹣4m＝12.5，解得m
，
即y
x．
解方程组
，得
，或
（不合题意舍去），
∴点E坐标为（
，
）．
故答案为：（
，
）．
9．（姑苏区模拟）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（4，3）在对角线OB上，反比例函数
的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是
，则点B的坐标为 （5，
） ．
【思路点拨】
利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可．
【解题过程】
解：∵点D（4，3）在对角线OB上，
∴OB的解析式为：y
x，
∵反比例函数
的图象经过C、D两点，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为：y
，
∵点C在反比例函数图象上，
∴设点C坐标为（a，
），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴点B的纵坐标为
，
将y
代入y
x，
解得：x
，
∴点B坐标为（
，
），
∴BC
a，
∵平行四边形OABC的面积是
，
∴（
a）
，
解得：a
或a
（舍去），
∴
5，
，
∴点B坐标为：（5，
），
故答案为：（5，
）．
10．（徐汇区二模）如图，已知点A（0，8）和点B（4，8），点B在函数y
（x＞0）的图象上，点C是AB的延长线上一点，过点C的直线交x轴正半轴于点E、交双曲线于点D．如果CD＝DE，那么线段CE长度的取值范围是 8≤CE＜8
．
【思路点拨】
由题意可得AB∥x轴，利用待定系数法确定出反比例函数的解析式，过点D作DF⊥OA于点F，则得DF∥AB，利用梯形的中位线定理可得AF＝OF
4，则点D纵坐标可得，利用反比例函数解析式可求点D坐标；分两种情况得到线段CE的极值：当EC⊥x轴时，EC最小；当点E与点O重合时EC最大，利用点D坐标即可求得两种情况下的EC的值，结合已知条件即可得出结论．
【解题过程】
解：∵A（0，8），B（4，8），
∴AB∥x轴．
∵点B在双曲线y
（x＞0）上，
∴8
，
∴k＝32．
过点D作DF⊥OA于点F，如图，
则DF∥AB．
∵A（0，8），
∴OA＝8．
∵CD＝DE，
∴AF＝OF
OA＝4，
∴点D的纵坐标为4，
∵点D在双曲线y
上，
∴x＝8，
∴D（8，4）．
当EC⊥x轴时，此时EC最小，EC＝OA＝8；
当点E与点O重合时，此时EC最大，
∵CD＝DE，
∴点C（16，8），
∴EC
8
，
∵点E在x轴正半轴，
∴8≤CE＜8
，
故答案为：8≤CE＜8
．
11．（咸丰县模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，函数
的图象上A、B两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n）．
（1）求反比例函数
和直线AB的解析式；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．
【思路点拨】
（1）根据反比例函数系数k＝xy得出n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n2+n＝﹣2n2+10n3n2﹣9n＝0，解方程求得A、B的坐标，进而即可利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）求得D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
【解题过程】
解：（1）∵A、B两点在
的图象上，而A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n），
∴n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n2+n＝﹣2n2+10n3n2﹣9n＝0，
解得n1＝0，n2＝3
∵
的图象与坐标轴没有交点，
∴n1＝0舍去，
∴n＝3，
∴A（3，4），B（﹣2，﹣6），
∴k＝3×4＝12，
设直线AB的解析式为：y＝ax+b，
则
，
解得：
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，反比例函数解析式为：
；
（2）设直线AB交x轴于点D，则
当y＝0时，2x﹣2＝0，
∴x＝1，
∴D（1，0），
∴
∴△AOB的面积为5．
12．（市中区一模）已知正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y
（x＞0，k＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y
（x＞0，k＞0）的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若矩形OEPF和正方形OABC不重合部分（阴影）面积为S．（提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况）
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）写出S关于m的函数关系式；
（3）当S＝3时，求点P的坐标．
【思路点拨】
（1）由正方形的性质可求B点坐标，再将B点代入函数y
，即可求k；
（2）分两种情况求：当点P在点B的左侧时，即0＜m＜3时，S＝3（3﹣m）＝9﹣3m；当点P在点B的右侧时，即m＞3时，S＝9
；
（3）将S＝3代入（2）中所求表达式，即可求m的值．
【解题过程】
解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴OA＝OC，
∴B（3，3），
∵B点在函数y
（x＞0，k＞0）的图象上，
∴k＝9；
（2）当点P在点B的左侧时，即0＜m＜3时，
∵点P（m，n）是函数y
图象上的点，
∴mn＝9，
∵A（3，0），C（0，3），
∴S＝3（3﹣m）＝9﹣3m；
当点P在点B的右侧时，即m＞3时，
S＝（m﹣3）n＝9﹣3n，
∵n
，
∴S＝9
；
（3）当点P在点B的左侧时，S＝9﹣3m＝3，
∴m＝2，
∴P（2，
）；
当点P在点B的右侧时，S＝9
3，
m
，
∴P（
，2）；
综上所述：P点坐标为（2，
）或（
，2）．
13．（信阳模拟）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB＝2
．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y
上，说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（2）作DF⊥x轴于F，易证△ADF≌△BAO（AAS），利用全等三角形的性质可求出点D的坐标，利用k＝xy即可判断．
【解题过程】
解：（1）∵直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，
∴A（
，0），B（0，b），
∴OA
，OB＝b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴（2
）2＝（
）2+b2，解得b＝4（负数舍去），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4．
（2）由（1）可知OA＝2，OB＝4，
作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，
∵正方形ABCD，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAF．
在△ADF和△BAO中，
，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF＝BO＝4，DF＝AO＝2，
∴点D的坐标为（6，2），
∵6×2＝12，
∴点D在双曲线y
上．
14．（吉林二模）如图，点P（3，2）在反比例函数y
（x＞0）的图象上，过点P作PM∥x轴交反比例函数y
的图象于点M，作PN∥y轴交反比例函数y
的图象于点N，连接MN．
（1）求k的值；
（2）求△PMN的面积；
（3）连接OM，ON，直接写出△MON的面积．
【思路点拨】
（1）将点P（3，2）代入反比例函数y
可求出k的值；
（2）根据点P（3，2）在反比例函数y
，可得出OA＝PN＝2，OB＝PA＝3，由点M、点N在反比例函数y
的图象上，求出AM，BN，再求出PM、PN，利用三角形面积计算公式进行计算即可；
（3）根据面积之间的关系可得答案．
【解题过程】
解：（1）∵点P（3，2）在反比例函数y
（x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6＝S矩形OAPB，
答：k的值为6；
（2）如图，延长PM、PN交x轴、y轴分别为M、N，
∵点P（3，2）
∴OB＝PA＝3，OA＝PB＝2，
∵点M、点N在反比例函数y
的图象上，OA＝2，OB＝3，
∴AM＝1，BN
，
∴PM＝PA﹣AM＝3﹣1＝2，PN＝PB﹣BN＝2
，
∴S△PMN
2
，
答：△PMN的面积为
；
（3）△MON的面积为
．理由：
∵点M、点N在反比例函数y
的图象上，
∴S△OAM＝S△BON＝1，
∴S△MON＝S矩形OAPB﹣S△OAM﹣S△BON﹣S△PMN
＝6﹣1﹣1
，
答：△MON的面积是
．
15．（姑苏区模拟）如图，已知点P在反比例函数y
上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B．连接AB，将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，交反比例函数图象于点D．
（1）若点P（2，4），求S△APD；
（2）若CD＝1，S△APD：S△ADQ＝3：1，求反比例函数解析式．
【思路点拨】
（1）由P的坐标，根据题意即可求得AP＝AQ＝4，利用三角形面积公式即可求得S△APD
AP•AQ＝8；
（2）设P的坐标为（m，n），根据题意D（m+n，m﹣1），根据S△APD：S△ADQ＝3：1，即可得到
n2
（mn﹣n），即n＝3（m﹣1），利用反比例函数系数k的几何意义得到mn＝（m+n）（m﹣1），整理得，n＝m2﹣m，从而得到m2﹣m＝3（m﹣1），即m2﹣4m+3＝0，求得m＝3，进而求得P为（3，6），利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
【解题过程】
解：（1）由题意可知AP＝AQ＝4，
∵AP∥CQ，
∴S△APD
AP•AQ
8；
（2）设P的坐标为（m，n），
∵点P在反比例函数y
上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B，
∴OA＝BP＝m，PA＝n，
∵将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，
∴AQ＝PA＝n，CQ＝BP＝m，
∵CD＝1，
∴DQ＝m﹣1，
∴D（m+n，m﹣1），
∴S△ADQ
AQ•DQ
n（m﹣1）
，
∵S△APD：S△ADQ＝3：1，
∴S△APD
（mn﹣n），
∵S△APD
AP•AQ
n•n
n2，
∴
n2
（mn﹣n），即n＝3（m﹣1），
∵反比例函数图象过P、D点，
∴mn＝（m+n）（m﹣1），整理得，n＝m2﹣m，
∴m2﹣m＝3（m﹣1），即m2﹣4m+3＝0，
解得m＝3或m＝1，
∴当m＝3时，n＝6，
当m＝1时，n＝0（不合题意，舍去），
∴P（3，6），
∴k＝3×6＝18，
∴反比例函数的解析式为y
．
16．（寻乌县模拟）反比例函数
的图象经过矩形ABCD的顶点A、C，AC的垂直平分线分别交AB、CD于点P、Q；已知点B坐标为（1，2），矩形ABCD的周长为12．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接PC、AQ，判断四边形APCQ的形状，并说明理由．
【思路点拨】
（1）由题意可知A（1，k），C（
，2），即可得出AB＝k﹣2，BC
1，根据矩形的周长得到关于k的方程，解方程即可求得k的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）根据全等得出MP＝MQ，推出四边形是平行四边形，再根据PQ⊥AC即可推出四边形是菱形．
【解题过程】
解：（1）由题意可知A（1，k），C（
，2），
∴AB＝k﹣2，BC
1，
∵矩形ABCD的周长为12，
∴2（AB+BC）＝12，即2（k﹣2
1）＝12，
解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y
；
（2）四边形APCQ是菱形，
理由是：设PQ与AC的交点为M，
∵PQ是AC的垂直平分线，
∴AM＝MC，∠AMP＝∠CMQ＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PAM＝∠QCM，
在△APM和△CQM中
，
∴△APM≌△CQM（ASA）；
∴MP＝MQ，
又∵AM＝CM，
∴四边形APCQ是平行四边形，
又∵PQ⊥AC
∴平行四边形APCQ是菱形．
17．（信阳模拟）如图，在矩形OABC中，BC＝4，OC，OA分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC交于点E；过点E作EF⊥OB，交x轴于点F．反比例函数y
（x＞0）的图象经过点E，且交BC于点D，已知S△OEF＝5，CD＝1．
（1）求OF的长；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）将△OEF沿射线EB向右上方平移
个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点 不能 （填“能”或“不能”）落在反比例函数y
（x＞0）的图象上．
【思路点拨】
（1）根据矩形的性质得出S△OBF＝10，然后根据三角形面积即可求得OF；
（2根据垂直平分线的性质得出BF＝OF＝5，然后根据勾股定理求得CF，即可得出D（8，1），利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（3）求得EF平移后的中点的坐标，即可判断EF的对应线段E'F'的中点不能落在反比例函数y
（x＞0）的图象上．
【解题过程】
解：（1）连接BF，
由矩形的性质可知，OE＝BE，
∴S△BEF＝S△OEF＝5，
∴S△OBF＝10，
∴
OF•BC＝10，即
OF×4＝10，
∴OF＝5；
（2）∵OE＝BE，EF⊥OB，
∴BF＝OF＝5，
∴FC
3，
∴OC＝OF+CF＝8，
∵CD＝1，
∴D（8，1），
∵反比例函数y
（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数的解析式为y
；
（3）∵B（8，4），
∴E（4，2），
∵F（5，0），
∴EF中点的坐标为（
，1），
将△OEF沿射线EB向右上方平移
个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点为（
1，1
），即（
，
），
∵
8，
∴EF的对应线段E'F'的中点不能落在反比例函数y
（x＞0）的图象上．
故答案为：不能．
18．（叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣2，﹣3），B（2m，y1），C（3m，y2），其中m＞0．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y1﹣y2＝2时，求m的值：
（3）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积是6，请求出点P坐标（横坐标用含m的式子表示）．
【思路点拨】
（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y
；
（2）由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1
，y2
，再根据y1﹣y2＝2列出方程
2，解方程即可求出m的值；
（3）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是6，列出方程
•
•PE＝6，求出PE＝12m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
【解题过程】
解：（1）设反比例函数的解析式为y
，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函数的解析式为y
；
（2）反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（3m，y2），
∴y1
，y2
，
∵y1﹣y2＝2，
∴
2，
∴m
，
经检验，m
是原方程的解．
故m的值是
；
（3）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，
），C（3m，
），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，
），BD
．
∵三角形PBD的面积是6，
∴
BD•PE＝6，
∴
•
•PE＝6，
∴PE＝12m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣10m，0）或（14m，0）．
19．（龙泉驿区期中）如图，点P是反比例函数y
（k1＞0，x＞0）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数y
（k2＜0且|k2|＞k1）的图象于E，F两点，连接OE，OF，EF．
（1）四边形PEOF的面积S1＝ k1﹣k2 （用含k1，k2的式子表示）；
（2）设P点坐标为（2，3）．
①点E的坐标是（ 2 ， 
），点F的坐标是（ 
， 3 ）（用含k2的式子表示）；
②若△OEF的面积为
，求反比例函数y
的解析式．
【思路点拨】
（1）根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可解答；
（2）①根据PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，分别把P点的横纵坐标代入反比例函数y
即可求出E、F两点的坐标；
②先根据P点的坐标求出k1的值，再由E、F两点的坐标用k2表示出PE、PF的长，再用k2表示出△PEF的面积，把（1）的结论代入求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵点P是反比例函数y
（k1＞0，x＞0）图象上一动点，
∴S矩形PBOA＝k1，
∵E、F分别是反比例函数y
（k2＜0且|k2|＞k1）的图象上两点，
∴S△OBF＝S△AOE
|k2|，
∴四边形PEOF的面积S1＝S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE＝k1+|k2|，
∵k2＜0，
∴四边形PEOF的面积S1＝S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE＝k1+|k2|＝k1﹣k2．
故答案为：k1﹣k2．
（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，
∴E、F两点的坐标分别为E（2，
），F（
，3）；
故答案为：2，
；
，3；
②∵P（2，3）在y
（k1＞0，x＞0）图象上，
∴k1＝6，
∵∴E、F两点的坐标分别为E（2，
），F（
，3），
∴PE＝3
，PF＝2
，
∴S△PEF
（3
）（2
）
，
∴S△OEF＝（k1﹣k2）
（6﹣k2）
，
∵k2＜0，
∴k2＝﹣3．
∴反比例函数y
的解析式为y
．
20．（南召县期中）已知，如图，点B坐标（2，4），过点B分别作BA⊥y轴于A，作BC⊥x轴于C，反比例函数y1
（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E．
（1）求反比例函数
（x＞0）的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小：
①求出此时点P的坐标；
②直接写出△PDE的周长的最小值为 
．
【思路点拨】
（1）根据题意求得D的坐标，然后利用待定系数法求得即可；
（2）①作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为
x
；
②根据△PDE周长的最小值＝D′E+DE求得即可．
【解题过程】
解：（1）∵点B坐标（2，4），D为AB的中点，
∴D点的坐标为（1，4），
又∵D（1，4）在
（x＞0）的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为
（x＞0）．
（2）①作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于点P，连接PD．
此时△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（1，4），
∴点D′的坐标为（﹣1，4）．
∵E点在反比例函数上，当x＝2时，y
2，
∴E点的坐标为（2，2），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b（a≠0）．
∵直线y＝ax+b（a≠0）经过D′（﹣1，4），E（2，2），
∴
，
解得
∴直线D'E的解析式为
x
，
令x＝0，得
，
∴点P的坐标为
，
②△PDE周长的最小值＝D′E+DE
．
故答案为：
．
21．（浦东新区校级期末）如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数y
（x＞0）的图象于点A，交函数y
的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y
于点C，连结AC．
（1）当点P的坐标为（2，0）时，求△ABC的面积．
（2）当点P的坐标为（t，0）时，求△ABC的面积．
【思路点拨】
（1）根据已知可知点P，点A，点B的横坐标相等，点B和点C的纵坐标相等求出这些点的坐标，从而求出AB，BC的长，然后求面积；
（2）仿照第（1）的思路用含t的式子，表示出AB，BC的长，即可解答．
【解题过程】
解：（1）∵P（2，0），BP⊥x轴，
∴xP＝xA＝xB＝2，
把x＝2代入y
中得：y
，
∴A（2，
），
把x＝2代入y
中得：y＝2，
∴B（2，2），
∴AB
，
∵BC∥x轴，
∴yC＝yB，
把y＝2代入y
中得：2
，
解得：x
，
∴C（
，2），
∴BC
，
∴△ABC的面积
，
答：△ABC的面积为
；
（2）∵P（t，0），BP⊥x轴，
∴xP＝xA＝xB＝t，
把x＝t代入y
中得：y
，
∴A（t，
），
把x＝t代入y
中得：y
，
∴B（t，
），
∴AB
，
∵BC∥x轴，
∴yC＝yB，
把y
代入y
中得：
，
解得：x
，
∴C（
，
），
∴BC
，
∴△ABC的面积
，
答：△ABC的面积为
．
22．（蓬江区校级二模）如图①，已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），平行四边形ABCD的AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，反比例函数y
的图象经过C、D两点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图②，延长DC，交x轴于点F，连接OC，在反比例函数y
的图象是否存在点P，使得S△PCE＝S△OCE？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）如图1，过点D作DF⊥y轴于点F，由△FDE≌△OAE（ASA），FD＝OA，设D（2，b），则C（4，b﹣4），根据反比例函数系数k＝xy得到2b＝4（b﹣4），解得b＝8，即可得到D（2，8），C（4，4），进而求得反比例函数为y
；
（2）求得直线AD的解析式，求得E的坐标，证得CE∥x轴，根据题意即可得出点P与点D重合，即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）如图1，过点D作DF⊥y轴于点F，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE．
又∵DF⊥y轴，∠AOE＝90°，
∴∠DFE＝∠AEO．
∵在△FDE与△OAE中，
，
∴△FDE≌△OAE（ASA），
∴FD＝OA，
∵点A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴FD＝OA＝2，OB＝4，
设D（2，b），则C（4，b﹣4），
∵反比例函数y
的图象经过C、D两点，
∴2b＝4（b﹣4），解得b＝8，
∴D（2，8），C（4，4），
∴k＝2×8＝16，
∴反比例函数为y
；
（2）存在，
设直线AD的解析式为y＝ax+b，
∵A（﹣2，0），D（2，8），
∴
，解得
，
∴直线AD为y＝2x+4，
令x＝0，则y＝4，
∴E（0，4），
∵C（4，4），
∴CE∥x轴，CE＝4，
∵S△PCE＝S△OCE，
∴P到直线CE的距离为4，
∴点P与点D重合，
∴P点的坐标为（2，8）．
23．（金华模拟）如图，过反比例函数y
（k＞0，x＞0）图象上的点P作两坐标轴的垂线，垂足分别为A，B，与反比例函数y
相交于点E，F．
（1）若PE＝3AE，求k的值；
（2）当k＝6时，
是否是定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）试用k的代数式表示△PEF面积．
【思路点拨】
（1）设AE的长为m，则PE的长为3m，由点E在反比例函数y
的图象上，可求出点E的坐标，进而可求出点P的坐标，根据k的几何意义解求k的值；
（2）当k＝6时，同样设AE的长为m，可表达点E的坐标，进而可以表达点P的坐标，进而可求出PE的长，即可求出
的值；
（3）设AE的长为m，则可表示点E，P，F的坐标，进而可求出PE和PF的长，进而可表达△PEF的面积．
【解题过程】
解：（1）设AE＝m，则PE＝3AE＝3m，
∴PA＝AE+PE＝4m，
∵点E在反比例函数y
的图象上，
∴E（m，
），
∴OA＝PB
，
∴P（4m，
），
∴点P在比例函数y
（k＞0，x＞0）图象上，
∴k＝4m•
4．
（2）
的值为定值5，理由如下：
设AE＝m，
∴E（m，
），
∴OA＝PB
，
∴点P在比例函数y
（x＞0）图象上，
∴P（6m，
），
∴PA＝6m，
∴PE＝PA﹣AE＝5m，
∴
5．
（3）由（2）知，可设点E的坐标为（m，
），
∴OA＝PB
，
∴点P在比例函数y
（k＞0，x＞0）图象上，
∴P（km，
），
∴PA＝km，
∴PE＝（k﹣1）m，
∵PB⊥x轴与点B，
∴F（km，
），
∴PF＝PB﹣FB
，
∴S△PEF
•PE•PF
（k﹣1）m•
．