【324218】2024八年级数学下册 专题6.1 反比例函数中的综合（压轴题专项讲练）（含解析）（新

专题6.1 反比例函数中的综合

【典例1】如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足 0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y 经过C、D两点．

（1）a的值为　　，b的值为　　；

（2）求k的值；

（3）点P在双曲线POQ上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶边的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点P、Q的坐标．

【 思路点拨】

（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；

（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；

（3）由（2）知k＝4可知反比例函数的解析式为y ，再由点P在双曲线y 上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x， ），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．

【 解题过程】

解：（1）∵a、b满足 0，

则 ，解得 ，

故答案是：﹣1；﹣2；

（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），

∵E为AD中点，

∴x_D＝1，

设D（1，t），

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴C（2，t﹣2）．

∴t＝2t﹣4．

∴t＝4．

∴D（1，4），

∵D（1，4）在双曲线y 上，

∴k＝xy＝1×4＝4．

（3）∵点P在双曲线y 上，点Q在y轴上，

∴设Q（0，y），P（x， ），

①当AB为边时：如图1所示：

若ABPQ为平行四边形，则 0，解得x＝1，此时P₁（1，4），Q₁（0，6）；

如图2所示：

若ABQP为平行四边形，则 x，解得x＝﹣1，此时P₂（﹣1，﹣4），Q₂（0，﹣6）；

②如图3所示：

当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；

∴ ，解得x＝﹣1，

∴P₃（﹣1，﹣4），Q₃（0，2）；

综上所述，P₁（1，4），Q₁（0，6）；P₂（﹣1，﹣4），Q₂（0，﹣6）；P₃（﹣1，﹣4），Q₃（0，2）．

1．（前进区一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y 和y 的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．8

【思路点拨】

连接AO、BO，得到△ABC的面积和△ABO的面积相等，然后借助反比例函数的几何意义求得△AOP和△BOP的面积，最后得到△ABC的面积．

【解题过程】

解：连接AO、BO，

∵AB∥x轴，

∴S_△ABC＝S_△ABO，

∵A点和B点分别在反比例函数y 和y 的图象上，

∴S_△AOP 1，S_△BOP 3，

∴S_△ABC＝S_△AOP+S_△BOP＝1+3＝4，

∴S_△ABO＝4，

故选：B．

2．（宁波模拟）如图△OAB，△BCD的顶点A，C在函数y （k＞0，x＞0）的图象上，点B，D在x轴正半轴上，AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，设△AOB，△CBD的面积分别为S₁，S₂，若S₁+S₂＝4，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．3

【思路点拨】

过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，得OM＝BM，BN＝DN，设OM＝a，AM＝b，则点A（a，b），点C（4a，CN），再由反比例系数k的几何意义得到S₁，S₂的表达式，最后由S₁+S₂＝4求得k的取值．

【解题过程】

解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

∵AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，

∴OM＝BM，BN＝DN，

设OM＝a，AM＝b，则点A（a，b），点C（4a，CN），

∵点A、C在反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象上，

∴ab＝4a•CN＝k，即CN b，

∴S₁ ，S₂ ，

∵S₁+S₂＝4，

∴k k＝4，

∴k ，

故选：C．

3．（费县一模）如图，点A，B在反比例函数 的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝2，3OC＝2OD，AC＝AE，则k的值为（　　）

A．8 B．9 C． D．

【思路点拨】

根据题意求得B（ k，1），进而求得A（ k，3），然后根据勾股定理得到3²＝（ k）²+1²，解方程即可求得k的值．

【解题过程】

解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，

∴四边形BDOE是矩形，

∴BD＝OE＝2，

把y＝2代入 ，求得x k，

∴B（ k，2），

∴OD k，

∵3OC＝2OD，

∴OC k，

∵AC⊥x轴于点C，

把x k代入 得，y＝3，

∴AE＝AC＝3，

∵OC＝EF k，AF＝3﹣2＝1，

在Rt△AEF中，AE²＝EF²+AF²，

∴3²＝（ k）²+1²，解得k＝±6 ，

∵在第一象限，

∴k＝6 ，

故选：C．

4．（姑苏区校级期中）如图，点B为反比例函数y （k＜0，x＜0）上的一点，点A（2k，0）为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数y 的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

先判断出△ABF≌△CAE（AAS），得出AF＝CE，BF＝AE，再判断出点C的横坐标，进而得出点C的纵坐标，再利用BF＝AE，求出点B的纵坐标，进而得出点B的横坐标，最用AF＝CE，建立方程求解即可得出结论．

【解题过程】

解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，

∴∠AEC＝∠BFA＝90°，

∴∠BAF+∠ABF＝90°，

由旋转知，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠CAE+∠BAF＝90°，

∴∠ABF＝∠CAE，

∴△ABF≌△CAE（AAS），

∴AF＝CE，BF＝AE，

∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点A（2k，0），

∴点E（4k，0），

∵点C在反比例函数y 的图象上，

∴C（4k， ），

∴CE ，

∵A（2k，0），E（4k，0），

∴AE＝2k﹣4k＝﹣2k，

∴BF＝﹣2k，

∵点B在反比例函数y 的图象上，

∴B（ ，﹣2k），

∴F（ ，0），

∴AF 2k，

∵AF＝CE，

∴ 2k ，

∴k ，

故选：D．

5．（十堰月考）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上， ．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数 的图象过点C．当△ACD面积为 时，k的值是（　　）

A． B．4 C．7 D．8

【思路点拨】

设OA＝3m，先求出直线AB的解析式，进一步求出D，C点坐标，再用两点之间的距离公式求出OC和DC的长，根据△ACD的面积为 ，得出△AOC的面积，根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值．

【解题过程】

解：设OA＝3m，

∵ ，

∴OB＝4m，

∴A（3m，0），B（0，4m），

设AB解析式：y＝kx+b，

代入A，B点坐标，

得 ，

解得k ，b＝4m，

∴AB解析式：y x+4m，

∵OD平分∠AOB，

∴OD的解析式：y＝x，

联立y x+4m与y＝x，

得x m，

∴D（ m， m），

设OA的垂直平分线交OA于点M，连接AC，

则M（ ，0），

∴C（ ， ），

∴OC ，CD ，

∵OC＝7CD，

∴S_△AOC＝7S_△ACD ，

∴ ，

∴k ．

故选：A．

6．（虎丘区校级模拟）如图，反比例函数y （x＞0）的图象经过点A（2，1），过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上，则B′点纵坐标为（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

利用待定系数法求得反比例函数的解析式，由点A的坐标可得AB＝2，OB＝1；设BB′交直线CD于点E，过点E作EG⊥BD于G，过B′作B′F⊥BD于点F，利用待定系数法求得直线OA，BB′的解析式和反比例函数的解析式，进而求得点B′的坐标，则点B′的纵坐标可求．

【解题过程】

解：设BB′交直线CD于点E，过点E作EG⊥BD于G，过B′作B′F⊥BD于点F，如图，

∵B与B′关于直线CD对称，

∴CD垂直平分BB′．

即E为BB′的中点，EB＝EB′．

∵EG⊥BD，B′F⊥BD，

∴EG∥B′F．

∴EG B′F．

∵直线OA经过点A（2，1），

∴直线OA的解析式为：y x．

∵CD⊥OA，BB′⊥CD，

∴BB′∥OA．

设直线BB′的解析式为y x+b，

∵B（0，1），

∴b＝1．

∴直线BB′的解析式为y x+1．

∵反比例函数y （x＞0）的图象经过点A（2，1），

∴反比例函数y ．

联立方程得： ．

解得： 或 ．

∴B′（ 1， ）．

故选：A．

7．（鹿城区校级二模）如图，点A是反比例函数y （k＞0）在第一象限内图象上的点，AB⊥y轴于点B，x轴正半轴上有一点C，AB＝AC＝k，连结OA，BC相交于D，若S_△COD﹣S_△ABD＝1，则k的值为　 　．

【思路点拨】

根据题目的条件求出A点的纵坐标，再求得△OBC的面积，根据△OBC与△OAB的面积关系列出k的方程解答便可．

【解题过程】

解：∵AB＝AC＝k，AB⊥y轴于点B，

∴A点横坐标为k，

当x＝k时，y ，

∴A（k，1），

过A点作AE⊥x轴于点E，则OB＝AE＝1，OE＝AB＝k，

∴CE ，

∴ ，

∵S_△COD﹣S_△ABD＝1，

∴S_△OBC﹣S_△OAB＝1，

∵ ，

∴ ，

解得k （舍）或k ．

8．（潍城区一模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣4，0），AB⊥x轴，反比例函数y （x＜0）的图象与AB交于点C，与OA交于点E，且AC＝4BC，S_△AOC＝20，则点E的坐标为　（ ， ）　．

【思路点拨】

根据点B的坐标为（﹣4，0）得出OB＝4，由AB⊥x轴，S_△AOC＝20求出AC长度，根据AC＝4BC得到点C、点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数以及直线AO的解析式，然后联立两解析式即可求解．

【解题过程】

解：∵B（﹣4，0），AB⊥OB，

∴点A横坐标为﹣4，OB＝4，

∵S_△AOC OB•AC 4•AC＝20，

∴AC＝10，

∵AC＝4BC，

∴BC AC＝2.5，

∴点C坐标为（﹣4，2.5），AB＝AC+BC＝12.5，点A坐标为（﹣4，12.5），

∴k＝﹣4×2.5＝﹣10．

∴y ，

设直线OA解析式为y＝mx，

将A（﹣4，12.5）代入y＝mx，

得﹣4m＝12.5，解得m ，

即y x．

解方程组 ，得 ，或 （不合题意舍去），

∴点E坐标为（ ， ）．

故答案为：（ ， ）．

9．（姑苏区模拟）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（4，3）在对角线OB上，反比例函数 的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是 ，则点B的坐标为　（5， ）　．

【思路点拨】

利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可．

【解题过程】

解：∵点D（4，3）在对角线OB上，

∴OB的解析式为：y x，

∵反比例函数 的图象经过C、D两点，

∴k＝12，

∴反比例函数的解析式为：y ，

∵点C在反比例函数图象上，

∴设点C坐标为（a， ），

∵四边形OABC为平行四边形，

∴BC∥OA，

∴点B的纵坐标为 ，

将y 代入y x，

解得：x ，

∴点B坐标为（ ， ），

∴BC a，

∵平行四边形OABC的面积是 ，

∴（ a） ，

解得：a 或a （舍去），

∴ 5， ，

∴点B坐标为：（5， ），

故答案为：（5， ）．

10．（徐汇区二模）如图，已知点A（0，8）和点B（4，8），点B在函数y （x＞0）的图象上，点C是AB的延长线上一点，过点C的直线交x轴正半轴于点E、交双曲线于点D．如果CD＝DE，那么线段CE长度的取值范围是　8≤CE＜8 　．

【思路点拨】

由题意可得AB∥x轴，利用待定系数法确定出反比例函数的解析式，过点D作DF⊥OA于点F，则得DF∥AB，利用梯形的中位线定理可得AF＝OF 4，则点D纵坐标可得，利用反比例函数解析式可求点D坐标；分两种情况得到线段CE的极值：当EC⊥x轴时，EC最小；当点E与点O重合时EC最大，利用点D坐标即可求得两种情况下的EC的值，结合已知条件即可得出结论．

【解题过程】

解：∵A（0，8），B（4，8），

∴AB∥x轴．

∵点B在双曲线y （x＞0）上，

∴8 ，

∴k＝32．

过点D作DF⊥OA于点F，如图，

则DF∥AB．

∵A（0，8），

∴OA＝8．

∵CD＝DE，

∴AF＝OF OA＝4，

∴点D的纵坐标为4，

∵点D在双曲线y 上，

∴x＝8，

∴D（8，4）．

当EC⊥x轴时，此时EC最小，EC＝OA＝8；

当点E与点O重合时，此时EC最大，

∵CD＝DE，

∴点C（16，8），

∴EC 8 ，

∵点E在x轴正半轴，

∴8≤CE＜8 ，

故答案为：8≤CE＜8 ．

11．（咸丰县模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，函数 的图象上A、B两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n）．

（1）求反比例函数 和直线AB的解析式；

（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．

【思路点拨】

（1）根据反比例函数系数k＝xy得出n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n²+n＝﹣2n²+10n3n²﹣9n＝0，解方程求得A、B的坐标，进而即可利用待定系数法求得函数的解析式；

（2）求得D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．

【解题过程】

解：（1）∵A、B两点在 的图象上，而A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n），

∴n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n²+n＝﹣2n²+10n3n²﹣9n＝0，

解得n₁＝0，n₂＝3

∵ 的图象与坐标轴没有交点，

∴n₁＝0舍去，

∴n＝3，

∴A（3，4），B（﹣2，﹣6），

∴k＝3×4＝12，

设直线AB的解析式为：y＝ax+b，

则 ，

解得：

∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，反比例函数解析式为： ；

（2）设直线AB交x轴于点D，则

当y＝0时，2x﹣2＝0，

∴x＝1，

∴D（1，0），

∴

∴△AOB的面积为5．

12．（市中区一模）已知正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y （x＞0，k＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y （x＞0，k＞0）的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若矩形OEPF和正方形OABC不重合部分（阴影）面积为S．（提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况）

（1）求B点的坐标和k的值；

（2）写出S关于m的函数关系式；

（3）当S＝3时，求点P的坐标．

【思路点拨】

（1）由正方形的性质可求B点坐标，再将B点代入函数y ，即可求k；

（2）分两种情况求：当点P在点B的左侧时，即0＜m＜3时，S＝3（3﹣m）＝9﹣3m；当点P在点B的右侧时，即m＞3时，S＝9 ；

（3）将S＝3代入（2）中所求表达式，即可求m的值．

【解题过程】

解：（1）∵正方形OABC的面积为9，

∴OA＝OC，

∴B（3，3），

∵B点在函数y （x＞0，k＞0）的图象上，

∴k＝9；

（2）当点P在点B的左侧时，即0＜m＜3时，

∵点P（m，n）是函数y 图象上的点，

∴mn＝9，

∵A（3，0），C（0，3），

∴S＝3（3﹣m）＝9﹣3m；

当点P在点B的右侧时，即m＞3时，

S＝（m﹣3）n＝9﹣3n，

∵n ，

∴S＝9 ；

（3）当点P在点B的左侧时，S＝9﹣3m＝3，

∴m＝2，

∴P（2， ）；

当点P在点B的右侧时，S＝9 3，

m ，

∴P（ ，2）；

综上所述：P点坐标为（2， ）或（ ，2）．

13．（信阳模拟）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB＝2 ．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y 上，说明理由．

【思路点拨】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；

（2）作DF⊥x轴于F，易证△ADF≌△BAO（AAS），利用全等三角形的性质可求出点D的坐标，利用k＝xy即可判断．

【解题过程】

解：（1）∵直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，

∴A（ ，0），B（0，b），

∴OA ，OB＝b，

∵AB²＝OA²+OB²，

∴（2 ）²＝（ ）²+b²，解得b＝4（负数舍去），

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4．

（2）由（1）可知OA＝2，OB＝4，

作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，

∵正方形ABCD，

∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，

∵∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠DAF．

在△ADF和△BAO中，

，

∴△ADF≌△BAO（AAS），

∴AF＝BO＝4，DF＝AO＝2，

∴点D的坐标为（6，2），

∵6×2＝12，

∴点D在双曲线y 上．

14．（吉林二模）如图，点P（3，2）在反比例函数y （x＞0）的图象上，过点P作PM∥x轴交反比例函数y 的图象于点M，作PN∥y轴交反比例函数y 的图象于点N，连接MN．

（1）求k的值；

（2）求△PMN的面积；

（3）连接OM，ON，直接写出△MON的面积．

【思路点拨】

（1）将点P（3，2）代入反比例函数y 可求出k的值；

（2）根据点P（3，2）在反比例函数y ，可得出OA＝PN＝2，OB＝PA＝3，由点M、点N在反比例函数y 的图象上，求出AM，BN，再求出PM、PN，利用三角形面积计算公式进行计算即可；

（3）根据面积之间的关系可得答案．

【解题过程】

解：（1）∵点P（3，2）在反比例函数y （x＞0）的图象上，

∴k＝3×2＝6＝S_矩形OAPB，

答：k的值为6；

（2）如图，延长PM、PN交x轴、y轴分别为M、N，

∵点P（3，2）

∴OB＝PA＝3，OA＝PB＝2，

∵点M、点N在反比例函数y 的图象上，OA＝2，OB＝3，

∴AM＝1，BN ，

∴PM＝PA﹣AM＝3﹣1＝2，PN＝PB﹣BN＝2 ，

∴S_△PMN 2 ，

答：△PMN的面积为 ；

（3）△MON的面积为 ．理由：

∵点M、点N在反比例函数y 的图象上，

∴S_△OAM＝S_△BON＝1，

∴S_△MON＝S_矩形OAPB﹣S_△OAM﹣S_△BON﹣S_△PMN

＝6﹣1﹣1 ，

答：△MON的面积是 ．

15．（姑苏区模拟）如图，已知点P在反比例函数y 上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B．连接AB，将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，交反比例函数图象于点D．

（1）若点P（2，4），求S_△APD；

（2）若CD＝1，S_△APD：S_△ADQ＝3：1，求反比例函数解析式．

【思路点拨】

（1）由P的坐标，根据题意即可求得AP＝AQ＝4，利用三角形面积公式即可求得S_△APD AP•AQ＝8；

（2）设P的坐标为（m，n），根据题意D（m+n，m﹣1），根据S_△APD：S_△ADQ＝3：1，即可得到 n² （mn﹣n），即n＝3（m﹣1），利用反比例函数系数k的几何意义得到mn＝（m+n）（m﹣1），整理得，n＝m²﹣m，从而得到m²﹣m＝3（m﹣1），即m²﹣4m+3＝0，求得m＝3，进而求得P为（3，6），利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．

【解题过程】

解：（1）由题意可知AP＝AQ＝4，

∵AP∥CQ，

∴S_△APD AP•AQ 8；

（2）设P的坐标为（m，n），

∵点P在反比例函数y 上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B，

∴OA＝BP＝m，PA＝n，

∵将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，

∴AQ＝PA＝n，CQ＝BP＝m，

∵CD＝1，

∴DQ＝m﹣1，

∴D（m+n，m﹣1），

∴S_△ADQ AQ•DQ n（m﹣1） ，

∵S_△APD：S_△ADQ＝3：1，

∴S_△APD （mn﹣n），

∵S_△APD AP•AQ n•n n²，

∴ n² （mn﹣n），即n＝3（m﹣1），

∵反比例函数图象过P、D点，

∴mn＝（m+n）（m﹣1），整理得，n＝m²﹣m，

∴m²﹣m＝3（m﹣1），即m²﹣4m+3＝0，

解得m＝3或m＝1，

∴当m＝3时，n＝6，

当m＝1时，n＝0（不合题意，舍去），

∴P（3，6），

∴k＝3×6＝18，

∴反比例函数的解析式为y ．

16．（寻乌县模拟）反比例函数 的图象经过矩形ABCD的顶点A、C，AC的垂直平分线分别交AB、CD于点P、Q；已知点B坐标为（1，2），矩形ABCD的周长为12．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接PC、AQ，判断四边形APCQ的形状，并说明理由．

【思路点拨】

（1）由题意可知A（1，k），C（ ，2），即可得出AB＝k﹣2，BC 1，根据矩形的周长得到关于k的方程，解方程即可求得k的值，从而求得反比例函数的解析式；

（2）根据全等得出MP＝MQ，推出四边形是平行四边形，再根据PQ⊥AC即可推出四边形是菱形．

【解题过程】

解：（1）由题意可知A（1，k），C（ ，2），

∴AB＝k﹣2，BC 1，

∵矩形ABCD的周长为12，

∴2（AB+BC）＝12，即2（k﹣2 1）＝12，

解得k＝6，

∴反比例函数的解析式为y ；

（2）四边形APCQ是菱形，

理由是：设PQ与AC的交点为M，

∵PQ是AC的垂直平分线，

∴AM＝MC，∠AMP＝∠CMQ＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PAM＝∠QCM，

在△APM和△CQM中

，

∴△APM≌△CQM（ASA）；

∴MP＝MQ，

又∵AM＝CM，

∴四边形APCQ是平行四边形，

又∵PQ⊥AC

∴平行四边形APCQ是菱形．

17．（信阳模拟）如图，在矩形OABC中，BC＝4，OC，OA分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC交于点E；过点E作EF⊥OB，交x轴于点F．反比例函数y （x＞0）的图象经过点E，且交BC于点D，已知S_△OEF＝5，CD＝1．

（1）求OF的长；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）将△OEF沿射线EB向右上方平移 个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点　不能　（填“能”或“不能”）落在反比例函数y （x＞0）的图象上．

【思路点拨】

（1）根据矩形的性质得出S_△OBF＝10，然后根据三角形面积即可求得OF；

（2根据垂直平分线的性质得出BF＝OF＝5，然后根据勾股定理求得CF，即可得出D（8，1），利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（3）求得EF平移后的中点的坐标，即可判断EF的对应线段E'F'的中点不能落在反比例函数y （x＞0）的图象上．

【解题过程】

解：（1）连接BF，

由矩形的性质可知，OE＝BE，

∴S_△BEF＝S_△OEF＝5，

∴S_△OBF＝10，

∴ OF•BC＝10，即 OF×4＝10，

∴OF＝5；

（2）∵OE＝BE，EF⊥OB，

∴BF＝OF＝5，

∴FC 3，

∴OC＝OF+CF＝8，

∵CD＝1，

∴D（8，1），

∵反比例函数y （x＞0）的图象经过点D，

∴k＝8×1＝8，

∴反比例函数的解析式为y ；

（3）∵B（8，4），

∴E（4，2），

∵F（5，0），

∴EF中点的坐标为（ ，1），

将△OEF沿射线EB向右上方平移 个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点为（ 1，1 ），即（ ， ），

∵ 8，

∴EF的对应线段E'F'的中点不能落在反比例函数y （x＞0）的图象上．

故答案为：不能．

18．（叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣2，﹣3），B（2m，y₁），C（3m，y₂），其中m＞0．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）当y₁﹣y₂＝2时，求m的值：

（3）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积是6，请求出点P坐标（横坐标用含m的式子表示）．

【思路点拨】

（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y ；

（2）由反比例函数图象上点的坐标特征得出y₁ ，y₂ ，再根据y₁﹣y₂＝2列出方程 2，解方程即可求出m的值；

（3）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是6，列出方程 • •PE＝6，求出PE＝12m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．

【解题过程】

解：（1）设反比例函数的解析式为y ，

∵反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣3），

∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，

∴反比例函数的解析式为y ；

（2）反比例函数的图象经过点B（2m，y₁），C（3m，y₂），

∴y₁ ，y₂ ，

∵y₁﹣y₂＝2，

∴ 2，

∴m ，

经检验，m 是原方程的解．

故m的值是 ；

（3）设BD与x轴交于点E．

∵点B（2m， ），C（3m， ），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，

∴D（2m， ），BD ．

∵三角形PBD的面积是6，

∴ BD•PE＝6，

∴ • •PE＝6，

∴PE＝12m，

∵E（2m，0），点P在x轴上，

∴点P坐标为（﹣10m，0）或（14m，0）．

19．（龙泉驿区期中）如图，点P是反比例函数y （k₁＞0，x＞0）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数y （k₂＜0且|k₂|＞k₁）的图象于E，F两点，连接OE，OF，EF．

（1）四边形PEOF的面积S₁＝　k₁﹣k₂　（用含k₁，k₂的式子表示）；

（2）设P点坐标为（2，3）．

①点E的坐标是（　2　，　 　），点F的坐标是（　 　，　3　）（用含k₂的式子表示）；

②若△OEF的面积为 ，求反比例函数y 的解析式．

【思路点拨】

（1）根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可解答；

（2）①根据PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，分别把P点的横纵坐标代入反比例函数y 即可求出E、F两点的坐标；

②先根据P点的坐标求出k₁的值，再由E、F两点的坐标用k₂表示出PE、PF的长，再用k₂表示出△PEF的面积，把（1）的结论代入求解即可．

【解题过程】

解：（1）∵点P是反比例函数y （k₁＞0，x＞0）图象上一动点，

∴S_矩形PBOA＝k₁，

∵E、F分别是反比例函数y （k₂＜0且|k₂|＞k₁）的图象上两点，

∴S_△OBF＝S_△AOE |k₂|，

∴四边形PEOF的面积S₁＝S_矩形PBOA+S_△OBF+S_△AOE＝k₁+|k₂|，

∵k₂＜0，

∴四边形PEOF的面积S₁＝S_矩形PBOA+S_△OBF+S_△AOE＝k₁+|k₂|＝k₁﹣k₂．

故答案为：k₁﹣k₂．

（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，

∴E、F两点的坐标分别为E（2， ），F（ ，3）；

故答案为：2， ； ，3；

②∵P（2，3）在y （k₁＞0，x＞0）图象上，

∴k₁＝6，

∵∴E、F两点的坐标分别为E（2， ），F（ ，3），

∴PE＝3 ，PF＝2 ，

∴S_△PEF （3 ）（2 ） ，

∴S_△OEF＝（k₁﹣k₂） （6﹣k₂） ，

∵k₂＜0，

∴k₂＝﹣3．

∴反比例函数y 的解析式为y ．

20．（南召县期中）已知，如图，点B坐标（2，4），过点B分别作BA⊥y轴于A，作BC⊥x轴于C，反比例函数y₁ （x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E．

（1）求反比例函数 （x＞0）的解析式；

（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小：

①求出此时点P的坐标；

②直接写出△PDE的周长的最小值为　 　．

【思路点拨】

（1）根据题意求得D的坐标，然后利用待定系数法求得即可；

（2）①作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为 x ；

②根据△PDE周长的最小值＝D′E+DE求得即可．

【解题过程】

解：（1）∵点B坐标（2，4），D为AB的中点，

∴D点的坐标为（1，4），

又∵D（1，4）在 （x＞0）的图象上，

∴k＝1×4＝4，

∴反比例函数的解析式为 （x＞0）．

（2）①作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于点P，连接PD．

此时△PDE的周长最小，

∵点D的坐标为（1，4），

∴点D′的坐标为（﹣1，4）．

∵E点在反比例函数上，当x＝2时，y 2，

∴E点的坐标为（2，2），

设直线D′E的解析式为y＝ax+b（a≠0）．

∵直线y＝ax+b（a≠0）经过D′（﹣1，4），E（2，2），

∴ ，

解得

∴直线D'E的解析式为 x ，

令x＝0，得 ，

∴点P的坐标为 ，

②△PDE周长的最小值＝D′E+DE ．

故答案为： ．

21．（浦东新区校级期末）如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数y （x＞0）的图象于点A，交函数y 的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y 于点C，连结AC．

（1）当点P的坐标为（2，0）时，求△ABC的面积．

（2）当点P的坐标为（t，0）时，求△ABC的面积．

【思路点拨】

（1）根据已知可知点P，点A，点B的横坐标相等，点B和点C的纵坐标相等求出这些点的坐标，从而求出AB，BC的长，然后求面积；

（2）仿照第（1）的思路用含t的式子，表示出AB，BC的长，即可解答．

【解题过程】

解：（1）∵P（2，0），BP⊥x轴，

∴x_P＝x_A＝x_B＝2，

把x＝2代入y 中得：y ，

∴A（2， ），

把x＝2代入y 中得：y＝2，

∴B（2，2），

∴AB ，

∵BC∥x轴，

∴y_C＝y_B，

把y＝2代入y 中得：2 ，

解得：x ，

∴C（ ，2），

∴BC ，

∴△ABC的面积 ，

答：△ABC的面积为 ；

（2）∵P（t，0），BP⊥x轴，

∴x_P＝x_A＝x_B＝t，

把x＝t代入y 中得：y ，

∴A（t， ），

把x＝t代入y 中得：y ，

∴B（t， ），

∴AB ，

∵BC∥x轴，

∴y_C＝y_B，

把y 代入y 中得： ，

解得：x ，

∴C（ ， ），

∴BC ，

∴△ABC的面积 ，

答：△ABC的面积为 ．

22．（蓬江区校级二模）如图①，已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），平行四边形ABCD的AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，反比例函数y 的图象经过C、D两点．

（1）求反比例函数解析式；

（2）如图②，延长DC，交x轴于点F，连接OC，在反比例函数y 的图象是否存在点P，使得S_△PCE＝S_△OCE？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）如图1，过点D作DF⊥y轴于点F，由△FDE≌△OAE（ASA），FD＝OA，设D（2，b），则C（4，b﹣4），根据反比例函数系数k＝xy得到2b＝4（b﹣4），解得b＝8，即可得到D（2，8），C（4，4），进而求得反比例函数为y ；

（2）求得直线AD的解析式，求得E的坐标，证得CE∥x轴，根据题意即可得出点P与点D重合，即可解决问题．

【解题过程】

解：（1）如图1，过点D作DF⊥y轴于点F，

∵点E为AD的中点，

∴AE＝DE．

又∵DF⊥y轴，∠AOE＝90°，

∴∠DFE＝∠AEO．

∵在△FDE与△OAE中，

，

∴△FDE≌△OAE（ASA），

∴FD＝OA，

∵点A（﹣2，0），B（0，﹣4），

∴FD＝OA＝2，OB＝4，

设D（2，b），则C（4，b﹣4），

∵反比例函数y 的图象经过C、D两点，

∴2b＝4（b﹣4），解得b＝8，

∴D（2，8），C（4，4），

∴k＝2×8＝16，

∴反比例函数为y ；

（2）存在，

设直线AD的解析式为y＝ax+b，

∵A（﹣2，0），D（2，8），

∴ ，解得 ，

∴直线AD为y＝2x+4，

令x＝0，则y＝4，

∴E（0，4），

∵C（4，4），

∴CE∥x轴，CE＝4，

∵S_△PCE＝S_△OCE，

∴P到直线CE的距离为4，

∴点P与点D重合，

∴P点的坐标为（2，8）．

23．（金华模拟）如图，过反比例函数y （k＞0，x＞0）图象上的点P作两坐标轴的垂线，垂足分别为A，B，与反比例函数y 相交于点E，F．

（1）若PE＝3AE，求k的值；

（2）当k＝6时， 是否是定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

（3）试用k的代数式表示△PEF面积．

【思路点拨】

（1）设AE的长为m，则PE的长为3m，由点E在反比例函数y 的图象上，可求出点E的坐标，进而可求出点P的坐标，根据k的几何意义解求k的值；

（2）当k＝6时，同样设AE的长为m，可表达点E的坐标，进而可以表达点P的坐标，进而可求出PE的长，即可求出 的值；

（3）设AE的长为m，则可表示点E，P，F的坐标，进而可求出PE和PF的长，进而可表达△PEF的面积．

【解题过程】

解：（1）设AE＝m，则PE＝3AE＝3m，

∴PA＝AE+PE＝4m，

∵点E在反比例函数y 的图象上，

∴E（m， ），

∴OA＝PB ，

∴P（4m， ），

∴点P在比例函数y （k＞0，x＞0）图象上，

∴k＝4m• 4．

（2） 的值为定值5，理由如下：

设AE＝m，

∴E（m， ），

∴OA＝PB ，

∴点P在比例函数y （x＞0）图象上，

∴P（6m， ），

∴PA＝6m，

∴PE＝PA﹣AE＝5m，

∴ 5．

（3）由（2）知，可设点E的坐标为（m， ），

∴OA＝PB ，

∴点P在比例函数y （k＞0，x＞0）图象上，

∴P（km， ），

∴PA＝km，

∴PE＝（k﹣1）m，

∵PB⊥x轴与点B，

∴F（km， ），

∴PF＝PB﹣FB ，

∴S_△PEF •PE•PF （k﹣1）m• ．