【324198】2024八年级数学下册 专题4.19 平面直角坐标系背景下的平行四边形（基础篇）（新版

专题4.19 平面直角坐标系背景下的平行四边形

（基础篇）

一、单选题

1．如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，点A的坐标为（2，5），点B的坐标为（8，0），把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为20，则点D的坐标为（　　）

A．（10，0） B．（12，0） C．（14，0） D．（16，0）

3．如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD中，顶点A(−3，2)，D(2，3)，B(−4，−3)，则顶点C的坐标为（    ）．

A． B． C． D．

4．如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(−3，0)，(0，−1)，(2，2)，则顶点D的坐标是（    ）

A． B． C． D．

5．如图， 三个顶点坐标是 、 、 ，那么顶点D的坐标是（    ）

A．(2，1) B．(2，2) C．(3，1) D．(3，2)

6．如图1，已知动点 在 的边上沿 的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位．连接 ，记点 的运动时间为 秒， 的面积为 ．如图2是 关于 的函数图像，则下列说法中错误的是（   ）

A．线段 的长为3 B． 的周长为16

C．线段 最小值为2.3 D． 的面积为12

7．如图，在平面直角坐标xOy系中，将折线AEB向右平移得到折线CFD，则折线AEB在平移过程中扫过的面积是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．如图，在平面直角坐标系中，□AOBC的顶点B在x轴上，OA=2，∠AOB =60°， OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是是（  ）

A． B．

C． D．

9．如图，已知 的顶点 ，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点G；③作射线 ，交边 于点H，则点H的坐标为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿 的方向运动，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ，则 与 的函数图像大致是(   )

1. B． C． D．

二、填空题

11．如图， 的顶点A，B，C的坐标分别是 ， ， ，则顶点D的坐标是_________．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD，A(3，2)，B(0，0)，C(4，0)，则点D的坐标为_____．

13．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△BCD的面积的大小关系为：S_△ABC_____S_△BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

14．如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点坐标分别为 直线 将 的面积分成相等的两部分，则 必过点_______（直接写出点的坐标）．

15．如图， 是以 的对角线AC为边的等边三角形，点C点E关于x轴对称．若C点的坐标是（2.5，2），则D点的坐标是______．

16．如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________

17．平面直角坐标系中，平行四边形 的边 在 轴的正半轴，点 ， ，直线 以每秒1个单位的速度向下平移，经过____________秒，该直线将平行四边形 面积平分．

18．如图①，在平行四边形ABCD中， ，点P沿B→C→D→A运动到点A处停止．设点P的运动路程为xcm， 的面积为ycm²，y与x之间的函数关系用图②来表示，则平行四边形ABCD的面积为________．

三、解答题

19．【材料阅读】小明偶然发现线段 的端点 的坐标为 ，端点 的坐标为 ，则这条线段 中点的坐标为 ．通过进一步探究，在平面直角坐标系中，以任意点 ， 为端点的线段中点坐标为 ．

（1）【知识运用】如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，点 在 轴上， 为坐标原点，点 的坐标为 ，则点 的坐标为______；

（2）【能力拓展】在直角坐标系中，有 ， ， 三点，另有一点 与点 ， ， 构成平行四边形，求点 的坐标．

20．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．

1. 若 经过平移后得到 ，已知点 的坐标为 ，则点 的坐标为_________；

2. 将 绕着点 按顺时针方向旋转 得到 ，请画出 ，并写出点 的坐标；

3. 是平面直角坐标系内一点，若以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个满足条件的 点坐标．

21．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在x轴上，直线 经过点B，并与y轴交于点 ，直线AD与BC相交于点 ；

(1)求直线AD的解析式；

(2)点P是线段BD上一点，过点P作 交AD于点E，若四边形AOPE为平行四边形，求E点坐标．

22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）．

(1)将△ABC向右平移4个单位长度后得到△ ，请画出△ ；

(2)在平移的过程中，求△ABC扫过的面积；

(3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

23．已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、 ．

1. 画出 关于坐标原点 成中心对称的 ；

2. 将 绕坐标原点 顺时针旋转 ，画出对应的 ；

3. 若以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出 的坐标　　．

24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足（a﹣3）²+|b﹣6|＝0，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S_四边形ABCD；

（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S_△MCD＝ S_{平行四边形}ABCD？若存在这样的点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．

参考答案

1．C

【分析】由平行四边形的性质得AE=CE，即点E是AC的中点，设C（a，b），利用中点坐标公式，进而求解C点坐标．

解：设C（a，b），

∵四边形ABCO为平行四边形，

∴AE=CE，即点E是AC的中点，

∵A（4，0），E（3，1），

∴ =3， =1，

解得：a=2，b=2，

∴C（2，2）．

故选：C．

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，中点坐标，掌握平行四边形对角线相互平分的性质是解题的关键．

2．B

【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，根据四边形ABDC的面积求得BD的长，即可求得D的坐标．

解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，

∵点A的坐标为（2，5），四边形ABDC的面积为20，

∴5BD＝20，

∴BD＝4，

∵点B的坐标为（8，0），

∴D（12，0），

故选：B．

【点拨】本题考查了坐标与图形的变换﹣平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．

3．A

【分析】设点C（x，y），由平行四边形的性质可得 ， ，即可求解．

解：设点C（x，y），

∵四边形ABCD是平行四边形，A(−3，2)，D(2，3)，B(−4，−3)，

∴ ， ，

∴x=1，y=-2，

∴点B（1，-2），

故选：A．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．

4．A

【分析】由平行四边形的性质可得AC与BD互相平分，由中点坐标公式可求解．

解：设点D（x，y），

∵▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(−3，0)，(0，−1)，(2，2)，

∴AC与BD互相平分，

∴ ， ，

解得：x=-1，y=3，

∴点D坐标为（-1，3），

故选：A．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．

5．B

【分析】由平行四边形的性质可得出答案．

解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3），

∴AB＝3，AB y轴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝3，

∵C（2，﹣1），

∴点C向上平移3个单位得到点D（2，﹣1＋3），

∴点D的坐标是（2，2），

故选：B．

【点拨】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质、点的平移规律等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．

6．C

【分析】动点 在平行四边形 中运动，根据动点的函数图像可知 ， ，依次即可求出答案．

解：如图所示，根据题意得，过点 作 于 ，

当 时， ， ，

∴ ，

当 时， ， ，即三角形面积不变，

∴点 运动到 上，

∴ ，即 ，

∴ ， 的周长是 ，面积是 ，

故 、 、 选项不符合题意，

当 时， 的值最小，

∴ ， 选项符合题意，

故选： ．

【点拨】本题主要考查动点的函数图形、平行四边形的性质，根据动点的移动规律和 图形的变化规律是解题的关键．

7．C

【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．

解：∵平移折线AEB，得到折线CFD，

∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，

∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD

=AO•EF+BO•EF

=EF（AO+BO）

=EF•AB

=[2-（-1）]×[1-（-1）]

=6．

故选：C．

【点拨】本题考查了坐标与图形-平移，掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．

8．D

【分析】过点P作 ，构造平行四边形和直角三角形，利用平行四边形的性质和 直角三角形的性质及勾股定理求解.

解：如图，过点P作 ，

， ， OP平分∠AOB，

， ，

四边形 是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

，

， ，

点P的坐标是 ，

故选：D．

【点拨】本题考查平行四边形和直角三角形的知识，涉及知识点：平行四边形的性质与判定，三角形外角的性质， 直角三角形中 所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题关键构造平行四边形和直角三角形．

9．A

【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOD中，AD= ，依据∠AHD=∠ADH，即可得到AH=AD= ，可得H（ ，2）．

解：∵ 的顶点 ，

∴AO=2，OD=1，

∴Rt△ADD中，AD= ，

由题可得，DG平分∠ADB，

∴∠ADH=∠FDH，

又∵AH∥DF，

∴∠AHD=∠FDH，

∴∠AHD=∠ADH，

∴AH=AD= ，

∴H（ ，2），

故选A．

【点拨】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解题的关键．

10．C

【分析】分三种情况进行讨论，当点E在BC上运动时，当点E在DC上运动时，当点E在AD上运动时，然后计算出函数关系式，再判断即可．

解：过点E作EH⊥AB，如图，

当点E在BC上运动时，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴

由题意得：BE=x，

∴

∴ ；

当点E在DC上运动时，此时 ，

∴ ；

当点E在AD上运动时，此时AE=20-x，

∴ ；

∴函数图像分为三段：第一段是从左向右上升，第二段平行于x轴，第三段从左向右下降，

故选：C

【点拨】本题主要考查的是动点问题的函数图象，分别得出点E在BC、CD、DA上运动时的图象是解题的关键．

11．

【分析】首先根据B、C两点的坐标确定线段BC的长，然后根据A点向右平移线段BC的长度得到D点，即可由A点坐标求得点D的坐标．

解：∵B，C的坐标分别是（−2，−2），（2，−2），

∴BC＝2−（−2）＝2＋2＝4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝4，

∵点A的坐标为（0，1），

∴点D的坐标为（4，1）．

故答案为：（4，1）．

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC的长，难度不大．

12．(7，2)

【分析】根据平行四边形的性质结合题干中图片即可解决．

解：根据题意可知 ，

∴ ， ，

∴点D的坐标为(7，2)．

故答案为：(7，2)．

【点拨】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．

13．＝

【分析】如图所示，连接AD，证明四边形ABCD是平行四边形即可得到答案．

解：如图所示，连接AD，

∵ ，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴S_△ABC=S_△BCD

故答案为：＝．

【点拨】本题主要考查了勾股定理与网格，平行四边形的性质与判定，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．

14．

【分析】根据平行四边形的中心对称可知，若直线 将 的面积分成相等的两部分，则直线 必过 的对称中心，即对角线交点．再根据平行四边形的对角线交点平分对角线，以及 ， ，计算得到直线 必过 ．

解：∵直线 将 的面积分成相等的两部分，

∴直线 必过 的对称中心，即对角线交点．

∵ ， ，

∴ 对角线交点即为BO的中点，即 ，

∴直线 必过 ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标计算，通过题意推导出该直线必过平行四边形的对角线交点，是解题的关键．

15．( ，0)

【分析】设CE和x轴交于H，由对称性可知CE=4，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=4，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．

解：设CE和x轴交于H，

∵点C与点E关于x轴对称，C点的坐标是(2.5，2)，

∴E的坐标为(2.5，-2)，

∴CH=2，CE=4，

∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，

∴AC=4，

∴AH=2 ，

∵OH=2.5，

∴AO=DH=2 - ，

∴OD=2 -2×(2 - )=5-2

∴D点的坐标是(5-2 ，0)，

故答案为：(5-2 ，0)．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．

16．

【分析】设 点的坐标为 ，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解．

解：设 点的坐标为 ，

∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，

∴ ，

解得 ，

∴ ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．

17．6

【分析】首先连接 ，交于点D，当 经过D点时，该直线可将平行四边形 的面积平分，然后计算出过D且平行直线 的直线解析式，从而可得直线 要向下平移，进而可得答案．

解：连接 ，交于点D，当 经过D点时，该直线可将平行四边形 的面积平分；

∵四边形 是平行四边形，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∵直线 平行于 ，

∴设 的解析式为 ，

∵过 ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的解析式为 ，

∴直线 要向下平移6个单位，

∴时间为6秒，

故答案为：6．

【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．

18． cm²

【分析】根据图象可知，点P到达点C时， 的面积为 cm²，即可得出平行四边形ABCD的面积．

解：根据图象可知，当x=4时，点P到达点C，此时， 的面积为 cm²，即 的面积为 cm²，

∴平行四边形ABCD的面积=2× 的面积=2× = （cm²）．

故答案为： cm²．

【点拨】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象性质，解答时注意研究动点到达临界点前后函数图象的变化．

19．（1） ．（2）点 的坐标为 或 或 ．

【分析】（1）直接根据题目所给的中点坐标公式代入值求解即可

（2）根据平行线四边形的性质分情况进行讨论求解即可.

解：（1）设H的坐标为（x，y）

∵F（4，3），O（0，0） 为 中点，

∴ ， ．

∴．H的坐标为（2， ）

（2）设D点的坐标为（m，n）

当 为对角线时， 的中点坐标为（2， ）．

∵A点的坐标为（-1，2）

∴

解得

∴此时D点的坐标为（5，3）

当 为对角线时，

同理求得D点的坐标为（-3，5）

当 为对角线时，

同理求得D点的坐标为（1，-1）

∴点 的坐标为（5，3）或（-3，5）或（1，-1）

【点拨】本题主要考查了中点坐标公式和平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

20．(1) (2)图见分析， (3) ， ， （写出一个即可）

【分析】（1）根据点C的变化特征，横坐标+5，纵坐标-3，得出答案即可；

（2）画出旋转后的图形，再写出坐标即可；

（3）过点A作BC的平行线，且与BC相等；过点B作AC的平行线，且与AC相等；过点C作AB的平行线，且与AB相等．写出一种即可．

解 ：(1)根据题意可知，向右平移5个单位，再向下平移3个单位，所以点 的坐标为（2，2）；

故答案为：（2，2）；

(2)如图， 即为所求．点 的坐标为 ；

(3)过点A作BC的平行线，且与BC相等，如图所示，点D的坐标是（-4，3）；

过点B作AC的平行线，且与AC相等，如图所示，点D的坐标是（0，-1）；

过点C作AB的平行线，且与AB相等，如图所示，点D的坐标是（-2，7）．

满足条件的 点坐标为 ， ， ．（写出一个即可）

【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内图形的平移和旋转，准确的画出变换后的图形是解题的关键．

21．(1) (2)

【分析】（1）把点 （0，7）代入 ，进而可求出点 的坐标，在将点A、点D代入一次函数即可求解．

（2）设E（m，3m＋12），根据平行四边形的性质可得P的坐标为（m＋4，3m＋12），把P的坐标代入直线BC的表达式即可求解．

（1）解：把点 （0，7）代入 ，

， ，

即直线BC的解析式 ，当 时， ，

点 坐标 ，设直线 的解析式为 ，

把 两点代入， ，解得 ，

直线 的函数解析式： ．

2. 设E（m，3m＋12），

，

P的坐标为（m＋4，3m＋12），

把P的坐标代入直线BC的表达式得：3m＋12＝－2（m＋4）＋7，

解得： ，

点 的坐标为 ．

【点拨】本题考查了待定系数法、平行四边形的性质、一次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．

22．(1)见分析 (2)24.5 (3)（1，0）或（﹣1，﹣4）或（﹣5，6）．

【分析】（ 1）分别将点A、B、C向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，得到点 、 、 ，然后顺次连接，写出各点坐标；

（2 ）根据扫过的面积等于平行四边形的面积+三角形的面积解答即可；

（ 3）根据平行四边形的性质画出图形，写出第四个顶点D的坐标．

（1）解：如图所示：△ 即为所求：

（2）解：△ABC扫过的面积＝

＝

＝24.5；

（3）解：以A，B，C为顶点的平行四边形如图：

∴顶点D的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）或（﹣5，6）．

【点拨】本题考查了根据平移变换作图以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．将△AOB的面积分成两个三角形的面积的和求解是解题的关键．

23．(1)见分析 (2)见分析 (3) 、 、

【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；

（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点 、 、 的坐标，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 的坐标；

（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．

解：（1）解：如图所示，△ 即为所求；

（2）解：如图所示， 即为所求；

（3）解： 的坐标 、 、 ．

故答案为： 、 、 ．

【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

24．（1） ，面积为24；（2）存在，M点坐标 或

【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得到A、B的坐标，然后根据平移方式即可得到C、D的坐标，由此即可求解；

（2）设M坐标为 ，则 ，求解即可．

解：（1）∵ ，

∴ ，

解得， ， ，

∴ ， ，

∵将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，

∴ ， ，   

S_{四边形ABCD=4×6=24}；        

（2）在y轴上存在一点M，使 S_{四边形ABCD}，

设M坐标为 ，

∴ ，          

解得 或

∴M点坐标 或 ．

【点拨】本题主要考查了坐标与图形，根据平移方式确定点的坐标，四边形面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．