专题2.6解一元二次方程——配方法及其应用
【学习目标】
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程的解法---配方法
在比较大小中
二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；
1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；
2、把常数项移到等号的右边；
3、方程两边都除以二次项系数；
4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
特别说明：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好．
【典型例题】
类型一、解一元二次方程➽➼配方法➽➼纠错与运算
1．（河北廊坊·九年级校考期末）嘉嘉解方程
的过程如图14所示．
在嘉嘉解方程过程中，是用_____________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____________步开始出现错误；
请你用不同于（1）中的方法解该方程．
【答案】(1)配方法；二 (2)
，
【分析】（1）根据配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
（1）解：在嘉嘉解方程过程中，是用配方法来求解的；
从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法；二
（2）解：
，
∴
，
∴
，
解得：
，
．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（河北邯郸·九年级统考期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次系数化为
，得
…第一步
移项，得
…第二步
配方，得
，即
…第三步
由此，可得
…第四步
所以，
，
…第五步
小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误．
(2)请给出正确的解题过程
【答案】(1)三 (2)解题过程见详解
【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；
（2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加
，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解．
（1）解：第三步中，
的一次项系数是
，根据完全平方公式可知常数项应该是
，即左右两边同时加
即可，
∴第三步出错，
故答案为：三．
（2）解：
二次系数化为
，
移项，
配方，
，即
直接开方，
∴原方程的解为：
，
．
【点拨】本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键．
【变式2】（河北邯郸·九年级校考阶段练习）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程
的求根公式时，对于
的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程
变形为：
……第一步
……第二步
……第三步
，……第四步
……第五步
嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当
时，方程
的求根公式是______；
(2)用配方法解方程：
．
【答案】(1)四，
； (2)
．
【分析】（1）观察嘉淇同学解方程的步骤，找出出错的地方，写出正确的求根公式即可；
（2）方程利用配方法求出解即可．
解：（1）由于a≠0，方程
变形为：
……第一步
……第二步
……第三步
，……第四步
……第五步
∴嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当
时，方程
的求根公式是
．
故答案为：四，
（2）
，
移项得：x2﹣2x＝24，
配方得：
，即
，
开方得：
，
解得：
．
【点拨】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键．
2．（辽宁鞍山·九年级统考期末）用适当的方法解方程
； (2)
．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
（1）解：
移项，得，
，
配方，得：
，
∴
，
解得：
，
；
（2）解：
∴
，
解得：
，
．
【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（八年级课时练习）用配方法解下列方程：
． (2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．
（1）解：
，
，
即
，
∴
，
解得：
；
（2）解：
，
，
即
，
∴
，
解得
．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【变式2】（八年级课时练习）用配方法解下列方程：
． (2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解；
（1）解：
，
将二次项系数化为1，得，
，
，
即
，
∴
，
解得：
；
（2）解：
，
将二次项系数化为1，得，
，
，
即
，
∴
，
解得：
．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
类型二、解一元二次方程➽➼配方法的应用➽➼求最值
3．（全国·九年级期中）先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式
的最小值．
原式
．
∵
，
∴当
时，
有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
求代数式
的最小值；若
，当
_______时，
有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；当
，
，
分别为
的三边时，且满足
时，判断
的形状并说明理由．
【答案】(1)3 (2)1，大，-2 (3)直角三角形，见分析
【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式．
（2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式．
（3）先因式分解，判断字母
，
，
三边的关系，再判定三角形的形状．
（1）解：
；
∴
的最小值是3．
（2）
，
，
，
∴当
的时，
有最大值
．
故答案为：1，大，
．
（3）
，
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
，
，
，
解得
，
，
．
∵
，
∴
是直角三角形．
【点拨】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题．
举一反三：
【变式】（全国·九年级专题练习）我们知道
，所以代数式
的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用
来求一些多项式的最小值．
例如，求
的最小值问题．
解：∵
，
又∵
，∴
，∴
的最小值为
．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
探究：
；求
的最小值．比较代数式：
与
的大小．
【答案】(1)
，1 (2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．
（1）解：
．
（2）
，
∵
，
∴当
即
时，
原式有最小值
．
（3）
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．
类型三、解一元二次方程➽➼配方法的应用➽➼证明
4．（江西吉安·九年级校考阶段练习）试说明无论
，
为何值，代数式
的值总是非负数，并求出当
，
取何值时，这个代数式的值最小．
【答案】
，
【分析】先用拆项法把
化为
的形式，再配成完全平方决定代数式的值，再根据
，
时，代数式的值最小，求出
、
．
解：
；
，
，
无论
，
为何值，代数式的值总是非负数；
当
，
时，代数式的值最小，
，
．
【点拨】本题考查了配方法的综合应用、偶次方具有非负性，掌握配方法的综合应用，其中偶次方具有非负性是解题关键．
举一反三：
【变式】（广东梅州·九年级校考阶段练习）求证：无论
取何值，代数式
的值恒大于
．
【答案】见分析
【分析】直接将
转化成
即可．
解：∵
，
∴无论
取何值，
的值均大于
．
【点拨】本题考查了完全平方公式，正确将
转化成
是解题的关键．
类型四、解一元二次方程的解➽➼配方法的应用➽➼图形✭✭几何动点问题
5．（江西九江·九年级统考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式
最小值．
解：
∵无论x取何实数，总有
．
∴
，即
的最小值是
．
即无论x取何实数，
的值总是不小于
的实数．
问题：
已知
，求证y是正数；知识迁移：如图，在
中，
，
，
，点P在边
上，从点A向点C以
的速度移动，点Q在
边上以
的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设
的面积为
，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，
【答案】(1)见分析 (2)t=
，S最大值=
【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．
（2）先求s，再利用配方求最值即可．
解：（1）证明：（1）
．
∵
．
∴
．
∴
．
∴y是正数．
（2）解：∵
，
，
．
∴
．
∵
．
∴当
时，S有最大值，最大值为
．
【点拨】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．
举一反三：
【变式】（湖北恩施·八年级校考阶段练习）已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a＋b＋1）是完全平方数．
【答案】证明见分析
【分析】由勾股定理得
，再根据质数的性质得出
，再求出用a表示b的式子，代入式子2（a+b+1）变形，得出结论．
解：∵a、b为直角三角形的直角边，c为斜边，
∴
，
∵
>0，
∴b-c<b+c，
又∵a，b，c都是整数，a为质数，
∴
，
解得①-②得
，
∴
则2（a+b+1）=2（a+
+1）=
=
，
∴2（a+b+1）是完全平方数．
【点拨】本题考查了勾股定理，质数的性质，配方法．关键是根据勾股定理，质数的性质将等式变形，得出a、b之间的关系式，最后用配方法将
配成完全平方形式．
类型五、解一元二次方程根➽➼配方法✭✭中考真题
6．（湖北荆州·统考中考真题）已知：
是不等式
的最小整数解，请用配方法解关于
的方程
．
【答案】
，
【分析】先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可
解：∵
；
∴
；
∴
；
∴
；
∵
是不等式
的最小整数解，
∴
；
∴关于
的方程
；
∴
；
∴
；
∴
；
∴
，
．
【点拨】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程
的实数根．
【答案】
．
【分析】首先把方程化为一般形式为2x2-9x-34=0，然后变形为
，然后利用配方法解方程．
解：原方程化为一般形式为
，
，
，
，
，
所以
，．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【变式2】（江苏无锡·统考中考真题）解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
;（2）
是方程的解.
【分析】(1)利用配方法进行求解即可；(2)方程两边同时乘以(x-2)(x+1)，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.
解：(1)x2-2x=5，
x2-2x+1=5+1，
(x-1)2=6，
x-1=±
，
∴
；
(2)方程两边同时乘以(x-2)(x+1)，得
x+1=4(x-2)，
解得：x=3，
检验：当x=3时，(x-2)(x+1)≠0，
所以x=3是原方程的解.
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握相关解法是解题的关键.解分式方程时注意要进行检验.
7．（四川达州·中考真题）选取二次三项式
中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：
；
②选取二次项和常数项配方：
，
或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出
的两种不同形式的配方；
（2）已知
，求
的值．
【答案】（1）答案解析；（2）1．
【分析】（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可．
（2）根据配方法的步骤把
变形为
，再根据偶次幂的非负性质得到
，求出x，y的值，即可得出答案．
解：（1）
，
或
．
（2）∵
，
∴
，即
．
∴
，解得
．
∴
．
举一反三：
【变式】（湖南湘潭·统考中考真题）阅读材料：用配方法求最值．
已知
，
为非负实数，
，
，当且仅当“
”时，等号成立．
示例：当
时，求
的最小值．
解：
，当
，即
时，
的最小值为6．
（1）尝试：当
时，求
的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，
年的保养、维护费用总和为
万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=
）？最少年平均费用为多少万元？
【答案】（1）3；（2）10，2.5．
【分析】（1）首先根据
，可得
，然后应用配方法，即可求出答案．
（2）首先根据题意，求出年平均费用，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．
解：（1）∵
=
≥
=3，
∴当
，即x=1时，y的最小值为3；
（2）年平均费用=
=
≥
=2+0.5=2.5，∴当
，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．
【点拨】本题考查了配方法的应用，最值问题，是一道综合体，解答此题的关键是读懂题意，按照要求做题．