专题2.5因式分解法解一元二次方程-重难点题型

【知识点1 因式分解法概念】

当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程

转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

【题型1 因式分解法概念的应用】

【例1】（福州期中）如果二次三项式x²+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x²+px+q＝0的两个根为（　　）

A．x₁＝﹣3，x₂＝1 B．x₁＝﹣3；x₂＝﹣1

C．x₁＝3；x₂＝﹣1 D．x₁＝3；x₂＝1

【分析】根据已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．

【解答】解：∵二次三项式x²+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，

∴x+3＝0，x﹣1＝0，

解得：x₁＝﹣3，x₂＝1，

即方程x²+px+q＝0的两个根为x₁＝﹣3，x₂＝1，

故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，能根据题意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此题的关键．

【变式1-1】（晋江市一模）若x²﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x²﹣4px+6q可以分解为（　　）

A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）

C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）

【分析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．

【解答】解：∵x²﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，

∴2x²﹣4px+6q＝2（x²﹣2px+3p）

＝2（x+3）（x﹣5），

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解此题的关键．

【变式1-2】（晋江市期中）若方程x²﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x₁＝x₂＝m，则下列结论正确的是（　　）

A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根

C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根

【分析】解方程得到方程的根，然后根据方程有两个相等的实数根，于是得到结论．

【解答】解：∵x²﹣（m+n）x+mn＝0，

∴（x﹣m）（x﹣n）＝0，

∴x﹣m＝0，x﹣n＝0，

∴x₁＝m，x₂＝n，

∴方程x²﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x₁＝m，x₂＝n，

∵x₁＝x₂＝m，

∴n＝m且n是该方程的根，

故选：B．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式1-3】（浉河区校级月考）我们知道可以用公式x²+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）来分解因式解一元二次方程．

如：x²+6x+8＝0，方程分解为：　　＝0，

x²﹣7x﹣30＝0，方程分解为：　　＝0

爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：3x²﹣7x+2＝0 解：方程分解为：（x﹣2）（3x﹣1）＝0 从而可以快速求出方程的解．你利用此方法尝试解下列方程4x²﹣8x﹣5＝0

【分析】借助与题目中所给的方法可进行因式分解可求得两个填空的答案，同样的方法可对4x²﹣8x﹣5＝0进行因式分解，可求得答案．

【解答】解：

∵x²+6x+8＝（x+2）（x+4），x²﹣7x﹣30＝（x﹣10）（x+3），

∴x²+6x+8＝0可分解为（x+2）（x+4）＝0，x²﹣7x﹣30＝0可分解为（x﹣10）（x+3）＝0，

故答案为：（x+2）（x+4）；（x﹣10）（x+3）；

∵4x²﹣8x﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），

∴4x²﹣8x﹣5＝0可分解为（2x﹣5）（2x+1）＝0，

∴2x﹣5＝0或2x+1＝0，

∴x 或x ．

【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握二次三项式的因式分解是解题的关键．

【 知识点2 因式分解法解一元二次方程的步骤】

①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一

次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

【题型2用提公因式法解一元二次方程】

【例2】（揭西县月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．

【分析】利用因式分解法求解即可．

【解答】解：∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0，

∴（5x+4）（x﹣1）＝0，

则5x+4＝0或x﹣1＝0，

则 ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式2-1】（洪洞县期中）用分解因式解方程：（x+1）²＝2x+2（因式分解法）；

【分析】利用因式分解法求解即可；

【解答】解：∵（x+1）²﹣2（x+1）＝0，

∴（x+1）（x﹣1）＝0，

则x+1＝0或x﹣1＝0，

解得x₁＝﹣1，x₂＝1；

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式2-2】（建平县期末）用分解因式解方程：2y²+4y＝y+2

【分析】先变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；

【解答】解：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，

（y+2）（2y﹣1）＝0，

y+2＝0或2y﹣1＝0，

所以y₁＝﹣2，y₂ ；

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．

【变式2-3】（牡丹江期中）解用分解因式解方程：2（x﹣3）²＝x²﹣9．

【分析】利用因式分解法求解即可；

【解答】解：2（x﹣3）²＝（x+3）（x﹣3），

2（x﹣3）²﹣（x+3）（x﹣3）＝0．

（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，

∴x﹣3＝0或x﹣9＝0

∴x₁＝3，x₂＝9

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【题型3用乘法公式解一元二次方程】

【例3】（灵石县期末）解用分解因式解方程：4x²﹣（x﹣1）²＝0．

【分析】根据平方差公式可以解答此方程．

【解答】解：4x²﹣（x﹣1）²＝0

（2x﹣x+1）（2x+x﹣1）＝0

（x+1）（3x﹣1）＝0

∴x+1＝0，或3x﹣1＝0，

解得， ．

【点评】本题考查解二元一次方程，解题的关键是明确解二元一次方程的方法．

【变式3-1】（长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）²＝（1﹣2x）²．

【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：方程整理得：（x+3）²﹣（1﹣2x）²＝0，

分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，

可得4﹣x＝0或3x+2＝0，

解得：x₁＝4，x₂ ．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．

【变式3-2】（呼和浩特期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）²＝x²+6x+9．

【分析】利用因式分解法求解即可．

【解答】解：∵（2x﹣1）²＝x²+6x+9．

∴（2x﹣1）²﹣（x+3）²＝0，

因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，

∴3x+2＝0或x﹣4＝0，

∴x₁ ，x₂＝4．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式3-3】（台安县期中）解用分解因式解方程：（x+2）²﹣4（x﹣3）²＝0．

【分析】利用因式分解法求解即可．

【解答】解：∵（x+2）²﹣4（x﹣3）²＝0，

∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，

则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，

解得x₁ ，x₂＝8．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【题型4 用十字相乘法解一元二次方程】

【例4】（郫都区期中）解用分解因式解方程：x²﹣10x+16＝0；

【分析】十字相乘法因式分解，再求解即可；

【解答】解：x²﹣10x+16＝0，

因式分解得，（x﹣2）（x﹣8）＝0，

由此得，x﹣2＝0，x﹣8＝0，

所以，x₁＝2，x₂＝8；

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据题目要求的方法求解．

【变式4-1】（路北区期中）用因式分解法解方程：2x²+1＝3x

【分析】先移项，然后利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解．

【解答】解：2x²+1＝3x，

2x²﹣3x+1＝0，

（2x﹣1）（x﹣1）＝0，

解得x₁ ，x₂＝1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

【变式4-2】（河口区校级期中）用因式分解法解方程：（2y﹣1）²＝3（1﹣2y）+4．

【分析】直接利用十字相乘法解方程得出答案．

【解答】解：（2y﹣1）²＝3（1﹣2y）+4，

（2y﹣1）²+3（2y﹣1）﹣4＝0，

（2y﹣1+4）（2y﹣1﹣1）＝0，

解得：y₁ ，y₂＝1．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解题关键．

【变式4-3】（简阳市月考）用因式分解法解方程：x² 0

【分析】利用因式分解法把方程化为x 0或x 0，然后解一次方程即可．

【解答】解：（x ）（x ）＝0，

x 0或x 0，

所以x₁ ，x₂ ．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

【题型5 因式分解法解一元二次方程的应用】

【例5】（定陶区期末）已知方程x²﹣7x+10＝0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．9 B．12 C．12或9 D．不能确定

【分析】可先求得方程的两根，再根据等腰三角形的性质，结合三角形三边关系进行判断，再求得三角形的周长即可．

【解答】解：

解方程x²﹣7x+10＝0可得x＝2或x＝5，

∴等腰三角形的两边长为2或5，

当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、5、5，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为12；

当底为5时，则等腰三角形的三边长为5、2、2，2+2＜5，不满足三角形三边关系；

∴等腰三角形的周长为12，

故选：B．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及一元二次方程的解法，确定出等腰三角形的边长是解题的关键．

【变式5-1】（金乡县一模）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x²﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．2.5

【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4，再利用勾股定理计算出斜边＝5，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．

【解答】解：x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（x﹣4）＝0，

x﹣3＝0或x﹣4＝0，

所以x₁＝3，x₂＝4，

则直角三角形两直角边分别为3、4，

所以斜边 5，

所以该直角三角形斜边上的中线长 ．

故选：D．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．

【变式5-2】（枣庄期中）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x²﹣3x，则x＝　　．

【分析】由题意可以知道O是原点，且O是AB的中点，就有A、B表示的数互为相反数，就可以表示出A点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可．

【解答】解：∵O是原点，且是AB的中点，

∴OA＝OB，

∵B点表示的数是x，

∴A点表示的数是﹣x．

∵B是AC的中点，

∴AB＝BC，

∴（x²﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），

解得：x₁＝0，x₂＝6．

∵B异于原点，

∴x≠0，

∴x＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代数式表示出各个点表示的数是关键．

【变式5-3】（阳信县模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x²﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为　　．

【分析】利用因式分解法解方程得到x₁＝4，x₂＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．

【解答】解：x²﹣9x+20＝0，

（x﹣4）（x﹣5）＝0，

x﹣4＝0或x﹣5＝0，

∴x₁＝4，x₂＝5，

∵菱形一条对角线长为8，

∴菱形的边长为5，

∵菱形的另一条对角线长＝2 6，

∴菱形的面积 6×8＝24．

故答案为：24．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．

【题型6 新定义问题】

【例6】（汾阳市期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x²﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x²﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　）

A．x²﹣16＝0与x²＝25

B．（x﹣6）²＝0与x²+4x+4＝0

C．x²﹣7x＝0与x²+x﹣6＝0

D．（x+2）（x+8）＝0与x²﹣5x+4＝0

【分析】分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论．

【解答】解：A、方程x²﹣16＝0的实数根是±4，x²＝25的实数根是±5，

∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），

∴一元二次方程x²﹣16＝0与x²＝25为相似方程；

B、方程（x﹣6）²＝0的实数根是6，x²+4x+4＝0的实数根是﹣2，

∵6：6＝﹣2：﹣2，

∴一元二次方程（x﹣6）²＝0与x²+4x+4＝0为相似方程；

C、方程x²﹣7x＝0的实数根是0或7，x²+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，

∵0：7≠﹣3：2，

∴一元二次方程x²﹣7x＝0与x²+x﹣6＝0不是相似方程；

D、方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x²﹣5x+4＝0的实数根是1或4，

∵﹣2：﹣8＝1：4，

∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x²﹣5x+4＝0为相似方程；

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程，读懂题意，正确理解“相似方程”的定义是解题的关键．

【变式6-1】（南沙区一模）对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n ，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（　　）

A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8

【分析】根据定义，分x≥﹣2和x＜﹣2两种情况进行解方程，得出x的值．

【解答】解：当x≥﹣2时，x²+x﹣2＝10，

解得：x₁＝3，x₂＝﹣4（不合题意，舍去）；

当x＜﹣2时，（﹣2）²+x﹣2＝10，

解得：x＝8（不合题意，舍去）；

∴x＝3．

故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x≥﹣2和x＜﹣2两种情况进行解方程是解题的关键．

【变式6-2】对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）²﹣（a﹣b）²．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　　．

【分析】利用新定义得到[（m+2）+（m﹣3）]²﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]²＝24，整理得到（2m﹣1）²﹣49＝0，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]²﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]²＝24，

（2m﹣1）²﹣49＝0，

（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，

2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，

所以m₁＝﹣3，m₂＝4．

故答案为﹣3或4．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

【变式6-3】（新会区期末）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x²﹣6的解是　　．

【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．

【解答】解：x≥﹣x，即x≥0时，

x＝x²﹣6，

x²﹣x﹣6＝0，

（x﹣3）（x+2）＝0，

解得x₁＝3，x₂＝﹣2（舍去）；

x＜﹣x，即x＜0时，

﹣x＝x²﹣6，

x²+x﹣6＝0，

（x+3）（x﹣2）＝0，

解得x₃＝﹣3，x₄＝2（舍去）．

故方程max{x，﹣x}＝x²﹣6的解是x＝3或﹣3．

故答案为：3或﹣3．

【点评】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．