专题2.5一元二次方程的应用（1）增长率问题（重难点培优）

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（大东区期末）某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（　　）

A．36（1﹣x）²＝48 B．36（1+x）²＝48

C．36（1﹣x）²＝48﹣36 D．48（1﹣x）²＝36

【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：36（1+x）²＝48．

故选：B．

2．（铁西区期末）某品牌足球2020年单价为200元，到2022年后，公司将该品牌足球的单价确定为162元，则2020年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）

A．10% B．19% C．20% D．30%

【分析】设2020年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，利用2022年该品牌足球的单价＝2020年该品牌足球的单价×（1﹣平均每年降低的百分率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解析】设2020年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，

依题意得：200（1﹣x）²＝162，

解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝1.9（不合题意，舍去）．

故选：A．

3．（余杭区一模）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　）

A．9%（1﹣x）²＝8% B．8%（1﹣x）²＝9%

C．9%（1+x）²＝8% D．8%（1+x）²＝9%

【分析】2018年年底保护区的覆盖率为8%（1+x），2019年为8%（1+x）（1+x），再由“2019年年底自然保护区覆盖率达到9%”可得方程．

【解析】设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得

1×8%×（1+x）²＝1×9%，

即8%（1+x）²＝9%．

故选：D．

4．（江津区模拟）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）

A．400（1+x）²＝1600

B．400[1+（1+x）+（1+x）²]＝1600

C．400+400x+400x²＝1600

D．400（1+x+2x）＝1600

【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1600，把相关数值代入即可．

【解析】∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x，

∴二月份的营业额为400×（1+x），

∴三月份的营业额为400×（1+x）×（1+x）＝400×（1+x）²，

∴可列方程为400+400×（1+x）+400×（1+x）²＝1600，

故选：B．

5．（松江区期末）某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元，若每次降价的百分率都是x，则可以列出方程（　　）

A．600（1﹣2x）＝486 B．600（1﹣x）²＝486

C．600（1﹣x%）²＝486 D．486（1+x）²＝600

【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）²为两次降价的百分率，600降至486就是方程的相等条件，列出方程求解即可．

【解析】设每次降价的百分率为x．由题意，得

600（1﹣x）²＝486，

故选：B．

6．（佛山期中）某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为（　　）

A．80（1+x） ²＝340

B．80+80（1+x）+80（1+2x）＝340

C．80（1+x）³＝340

D．80+80（1+x）+80（1+x） ²＝340

【分析】直接利用已知表示出二、三月份的产值进而得出等式求出答案．

【解析】设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为：

80+80（1+x）+80（1+x） ²＝340．

故选：D．

7．（上海期中）某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（　　）

A．100（1+x）²＝364

B．100+100（1+x）+100（1+x）²＝364

C．100（1+2x）＝364

D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝364

【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）²万元，根据该超市第一季度的总营业额是364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）²万元，

依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）²＝364．

故选：B．

8．（镇平县期中）近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2016年手机支付用户约为4.69亿人，连续两年增长后，2018年手机支付用户达到约5.83亿人，如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（　　）

A．4.69（1+x）＝5.83 B．4.69（1+2x）＝5.83

C．4.69（1+x）²＝5.83 D．4.69（1﹣x）²＝5.83

【分析】如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，那么2017年手机支付用户约为4.69（1+x）亿人，2018年手机支付用户约为4.69（1+x）²亿人，根据2018年手机支付用户达到约5.83亿人列出方程．

【解析】设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，依题意，得

4.69（1+x）²＝5.83．

故选：C．

9．（雨花区校级期末）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额1000万元，如果平均每月增长率为x元，则由题意列方程应为（　　）

A．200（1+x）²＝1000

B．200+200•2•x＝1000

C．200+200•3•x＝1000

D．200[1+（1+x）+（1+x）²]＝1000

【分析】根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．

【解析】由题意可得，

200+200（1+x）+200（1+x）²＝1000，

200[1+（1+x）+（1+x）²]＝1000，

故选：D．

10．（汝阳县期末）已知一株植物原高度为a米，两年后，该株植物高度为b米．若该株植物每年的高度平均增长率为x，则x满足的方程是（　　）

A．（1+x）² B．1+2x C．（1+x）² D．1+2x

【分析】利用两年后植物的高度＝植物的原高度×（1+每年的高度平均增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：a（1+x）²＝b，

即（1+x）² ．

故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（铁锋区期末）某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为　500（1+x）²＝720　．

【分析】利用第三个月进馆人次＝第一个月进馆人次×（1+平均增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：500（1+x）²＝720．

故答案为：500（1+x）²＝720．

12．（米易县期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　25%　．

【分析】设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解析】设每次降价的百分率为x，

依题意得：56（1﹣x）²＝31.5，

解得：x₁＝0.25＝25%，x₂＝1.75（不合题意，舍去）．

故答案为：25%．

13．（市南区期末）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，某种药品原价198元/瓶，经过连续两次降价后，现仅售78元/瓶，假定两次降价的百分率相同，设该种药品平均每次降价的百分率为x，则列出的关于x方程为　198（1﹣x）²＝78　．

【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意得：198（1﹣x）²＝78．

故答案为：198（1﹣x）²＝78．

14．（青岛期末）我国疫情防控工作进入了一个新的阶段﹣﹣“常态化”．戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店八月份销售口罩500包，八至十月份共销售口罩1820包，设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程为　500+500（1+x）+500（1+x）²＝1820　．

【分析】若设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为x，则九月份销售口罩500（1+x）包，十月份销售口罩500（1+x）²包，根据八至十月份共销售口罩1820包，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】若设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为x，则九月份销售口罩500（1+x）包，十月份销售口罩500（1+x）²包，

依题意得：500+500（1+x）+500（1+x）²＝1820．

故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）²＝1820．

15．（普洱期中）某商场在促销活动中，将原价25元的商品，连续两次降价后，现价为16元．则降价率为　20%　．

【分析】设降价率为x，利用经过连续两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解析】设降价率为x，

依题意得：25（1﹣x）²＝16，

解得：x₁＝0.2＝20%，x₂＝1.8（不合题意，舍去）．

故答案为：20%．

16．（南岗区校级期中）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是　10%　．

【分析】可先表示出第一次提价后的价格，那么第一次提价后的价格×（1+提价的百分率）＝121，把相应数值代入即可求解．

【解析】设平均每次提价的百分率为x，

根据题意，得100（1+x）²＝121．

解得x₁＝0.1＝10%，x₂＝﹣2.1（舍去）．

故答案是：10%．

17．（锡山区校级期中）某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为　10　．

【分析】根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】依题意，得：300（1+a%）²＝363，

解得：a₁＝10，a₂＝﹣210（舍去）．

故答案是：10．

18．（法库县期中）为保护环境，法库县掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是　10%　．

【分析】设这两年的绿地面积的平均增长率是x，利用经过两年时间后绿地的面积＝绿地的原面积×（1+这两年的绿地面积的平均增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】设这两年的绿地面积的平均增长率是x，

依题意得：（1+x）²＝1+21%，

解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝﹣2.1（不合题意，舍去）．

故答案为：10%．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（浦东新区校级期末）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．

（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；

（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？

【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．

【解析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，

依题意得：110（1+x）²＝185.9，

解得：x₁＝0.3＝30%，x₂＝﹣2.3（不合题意，舍去）．

答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．

（2）110+110×（1+30%）+185.9

＝110+143+185.9

＝438.9（万元）．

答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元

20．（六盘水期末）读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．所以学校图书馆周六面向社会开放．据统计，某校图书馆第一个月接待256人，第三个月接待576人，假设接待人数的月平均增长率相同．

（1）求接待人数的月平均增长率；

（2）因学校图书馆较小，每月接待不超过1000人时，能正常接待读者，在月平均增长率不变的条件下，图书馆第四个月能否正常接待读者？请说明理由．

【分析】（1）设接待人数的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据第四个月的进馆人次数＝第三个月的进馆人次数×（1+增长率），可求出第四个月的进馆人次数，再与1000进行比较后即可得出结论．

【解析】（1）设接待人数的月平均增长率是x，

依题意，得：256（1+x）²＝576，

解得：x₁＝0.5＝50%，x₂＝﹣2.5（不合题意，舍去）．

答：接待人数的月平均增长率是50%；

（2）能，理由如下：

576×（1+50%）＝864（人次），864＜1000，

∴能够接纳．

答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．

21．（紫金县月考）据媒体报道，我国2020年公民出境旅游总人数约6000万人次，2022年公民出境旅游总人数约8640万人次．若2021年、2022年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2023年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2023年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

【分析】（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，利用2022年公民出境旅游总人数＝2020年公民出境旅游总人数×（1+年平均增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用2023年公民出境旅游总人数＝2022年公民出境旅游总人数×（1+年平均增长率），即可预测出2023年我国公民出境旅游总人数约10368万人次．

【解析】（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，

依题意得：6000（1+x）²＝8640，

解得：x₁＝0.2＝20%，x₂＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．

（2）8640×（1+20%）

＝8640×1.2

＝10368（万人次）．

答：预测2023年我国公民出境旅游总人数约10368万人次．

22．（兰州期中）随着同学们对体育锻炼越加重视，某校在九年级第一学期的开学初、期中、期末三次体育测试中的满分人数逐渐增加，从开学初的96人满分，到期末时满分人数上升至150人．

（1）如果每次测试满分的人数增加的百分数相同，求这个百分数；

（2）已知测试满分50分，该校有390名学生，计划利用假期进行锻炼，使满分人数再增加20%，但有10名同学因身体原因只能得30分，那么其他同学平均成绩至少为多少分时，全校平均分不能低于46分？（体育成绩都是整数）

【分析】（1）设每次测试满分的人数增加的百分数为x，利用期末满分人数＝开学初满分人数×（1+增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设其他同学平均成绩为y分，根据全校平均分不低于46分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

【解析】（1）设每次测试满分的人数增加的百分数为x，

依题意得：96（1+x）²＝150，

解得：x₁＝0.25＝25%，x₂＝﹣2.25（不合题意，舍去）．

答：每次测试满分的人数增加的百分数为25%．

（2）设其他同学平均成绩为y分，

依题意得：50×150×（1+20%）+30×10+[390﹣150×（1+20%）﹣10]y≥46×390，

解得：y≥43.2，

答：其他同学平均成绩至少为43.2分．

23．（宜州区期中）在“乡村振兴”工作中，某养殖场从今年起采用“场内+农户”的养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，3月份和5月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，若该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同，鸡蛋的市场价格为15元/千克．

（1）求养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率；

（2）求养殖场6月份的鸡蛋产值（单位：万元）．

【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论；

（2）根据单价×6月份的鸡蛋产值＝单价×5月份的鸡蛋产值×（1+月平均增长率为x），然后由列式计算结论．

【解析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，

根据题意得，2.5（1+x）²＝3.6，

解得：x₁＝0.2，x₂＝﹣2.2（不合题意舍去），

答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；

（2）根据题意得，15×3.6×（1+20%）＝64.8（万元），

答：养殖场6月份的鸡蛋产值是64.8万元．

24．（青岛期中）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同．

（1）求这个增长率；

（2）求3月份的利润是多少万元？

【分析】（1）设这个增长率为x，则2月份获得利润20（1+x）万元，3月份获得利润20（1+x）²万元，根据3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用3月份的利润＝1月份的利润×（1+增长率）²，即可求出结论．

【解析】（1）设这个增长率为x，则2月份获得利润20（1+x）万元，3月份获得利润20（1+x）²万元，

依题意得：20（1+x）²﹣20（1+x）＝4.8，

整理得：25x²+25x﹣6＝0，

解得：x₁＝0.2＝20，x₂＝﹣1.2（不合题意，舍去）．

答：这个增长率为20%．

（2）20×（1+20%）²＝20×1.44＝28.8（万元）．

答：3月份的利润是28.8万元．