专题2.5 解一元二次方程——直接开平方法

一、单选题

1．若方程 可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

2．方程 的两个根是（    ）

A． ， B．

C． D． ，

3．一元二次方程 的解是（    ）

A． B． C． D． ，

4．已知关于 的一元二次方程 的一个根是0，则 的值为（    ）

A． B．1 C．1或 D．2

5．关于 的方程 的解是 ， ，（ ， ， 均为常数， ），则方程 的解是（    ）

A． ， B． ，

C． ， D． ，

6．给出一种运算：对于函数 ，规定 ．例如：若函数 ，则有 ．已知函数 ，则方程 的解是（    ）

A． ， B． ，

C． D． ，

7．若对于任意实数a，b，c，d，定义     ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（    ）

A． B． C．3 D．

8．已知一元二次方程 的两个解恰好分别是等腰三角形 的底边长和腰长，则 的周长为（    ）

A．10 B．10或8 C．9 D．8

9．若方程 中， 满足 和 ，则方程的根是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，AC⊥BC， ，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若 ， ，则BC＝（   ）

A． B．8 C． D．10

二、填空题

11．方程 的一个根为 ，则另一个根为x=___________．

12．方程 的解是______．

13．关于x的一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是______．

14．若一元二次方程 的两个根是 和 ，则 ______．

15．已知 的算术平方根为a，则关于x的方程 的根为____________．

16．已知 ，整式 的值是__________．

17．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x₁=-2，x₂=1(a、k均为常数，a≠0)．

（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是_______；

（2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为_______．

18．小刚在解关于 的方程 时，只抄对了 ，解出其中一个根是 ．他核对时发现所抄 的值比原方程的 值小1．则原方程的根为________．

三、解答题

19．用开平方法解下列方程：

(1) (2) ．

20．解下列方程：

（1） ； （2） ．

21．李老师在课上布置了一个如下的练习题：

若 ，求 的值．

看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：

解： ，① ，② ．③

晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．

22．先化简，再求值：(m+1)(m﹣1)﹣(2m+1)²+3m(m+2)，其中m²﹣1＝0．

23．嘉嘉和琪琪用图中的 、 、 、 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按 的顺序运算，则琪琪列式计算得： ．

（1）嘉嘉说-2，对-2按 的顺序运算，请列式并计算结果；

（2）嘉嘉说 ，对 按 的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求 ．

24．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：

如：解方程

解：原方程可变形，得

直接开平方并整理，得 , 我们称晓东这种解法为平均数法，

（1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程，

直接开平方并整理，得 ， #

上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____；

2. 请用平均数法解方程：

参考答案

1．C

【分析】若方程 可以直接用开平方法解，则 ，从而可得答案．

解：由题意知， ．

解得 ．

故选：C．

【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握能够用直接开平方法解的一元二次方程的特点是解本题的关键．

2．A

【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可求解．

解：方程 即 的两个根为 ， ，

故选：A．

【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解答的关键．

3．B

【分析】直接用开平方法解方程即可．

解： ，

开平方得： ，

∴ ．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确进行计算．

4．A

【分析】直接将0代入 求解即可．

解：∵关于 的一元二次方程 的一个根是0，

∴ ，

解得 ， ，

∵当 时 不是一元二次方程，

∴ ，

故选A．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题时注意 ．

5．B

【分析】可把方程 看作关于 的一元二次方程，从而得到 ， ，然后解两个一次方程即可．

解：把方程 看作关于 的一元二次方程，

而于 的方程 的解是 、 ， ， 均为常数， ，

所以 ， ，

所以 ， ．

故选：B．

【点拨】本题考查了解一元二次方程 直接开平方法：形如 或 的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

6．B

【分析】据题目中给出的运算求出 ，令 即可求出 的值．

解：由题意可知， ，令 即 ，

解得 ， ，

故选B．

【点拨】本题变相考查一元二次方程的解法，但在解一元二次方程之前需要先根据题意写出 再求解，理解题目中定义的新运算的意义是解题的关键．

7．D

【分析】根据新定义可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x²=3，再利用直接开平方法解方程即可．

解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1），

整理得：x²=3，

两边直接开平方得：x=± ，

故选：D．

【点拨】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．

8．A

【分析】先利用直接开平方法求解方程，再分两种情况解答即可．

解：解方程 ，得 ．

当腰长为4，底边长为2时，其周长为 ；

当腰长为2，底边长为4时，因为 ，所以此时不能构成三角形．

故选：A．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．

9．D

【分析】联立 和 ，前式减后式，可得 ，前式加后式，可得 ，将 、 代入原方程计算求出方程的根．

解：∵根据题意可得： ，

①－②＝ ，得 ，

①＋②＝ ，

∴解得： ， ．

将 、 、 代入原方程 可得，

∵ ，

∴

故选：D．

【点拨】本题考查解一元二次方程，联立关于 、 、 的方程组，由方程组推出 、 、 的数量关系是解题关键．

10．B

【分析】过 作 垂足分别为 由角平分线的性质可得： 利用 ， 可以求得 进而求得 ，利用面积公式列方程求解即可．

解：如图，过 作 垂足分别为

平分

，

设

， ，

（负根舍去）

故选：B．

【点拨】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．

11．

【分析】根据直接开平方法求解即可．

解：∵ 的一个根为 ，

∴另一个根为 ，

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

12．

【分析】先去分母，然后解一元二次方程即可．

解：

去分母得： ，

去括号得： ，即 ，

∴ ，

解得： ，

当 时， ，

∴ 是原分式方程的解，

故答案为： ．

【点拨】题目主要考查解分式方程的一般步骤，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，注意最后进行检验．

13． ##

【分析】根据非负数的性质，即可得出 ，从而求解．

解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，

∴ ，

∴ ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，以及非负数的性质，掌握一个数的平方为非负数是解题关键．

14．9

【分析】利用平方根的关系求出m的值后计算即可．

解：

∴ 和 是 的两个平方根，

∴ ，解得 ，

∴ ，

故答案为：9．

【点拨】本题主要考查直接开方法求二次方程的根及一个正数的两个平方根的特征，你能够熟练求出m的值是解题关键．

15．x₁=5，x₂=1．

【分析】先根据算术平方根求出a的值，在代入解一元二次方程即可．

解：∵ =9，

9的算术平方根是3，

∴a=3，

∴关于x的方程(x-a)²=4变为(x-3)²=4

∴x-3=±2

解得x₁=5，x₂=1．

故答案为：x₁=5，x₂=1．

【点拨】本题考查了算术平方根的求法和一元二次方程的解法，做题的关键是求出a的值．

16．

【分析】首先根据已知条件 求出 的值，再把所求代数式进行化简，最后将 的值代入即可求得答案．

解：∵

∴

∴

∴①当 时，原式

②当 时，原式

∴综上所述，整式的值为

故答案是：

【点拨】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，整式的化简求值．化简求值题是一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面．

17．     ，      ， ，

【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于 的一元二次方程，从而得到 或 ，然后解两个一元一次方程即可；

（2）把x₁=-2，x₂=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再将a和k的值代入a(x+3k) +2022=0，解一元二次方程即可．

解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于 的一元二次方程，

而关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x₁=-2，x₂=1，

∴ 或 ，

∴ ， ，

故答案为： ， ；

（2）将x₁=-2，x₂=1代入a(x+k)+2022=0，

得： ，

解得： ， ，

代入a(x+3k) +2022=0得 ，

即 ，

∴ 或 ，

∴ ， ，

故答案为： ， ．

【点拨】本题考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握换元法、直接开方法解一元二次方程的方法步骤并正确计算是解题的关键．

18．

【分析】先根据题意求出c的值，从而可得原方程，再利用直接开方法解方程即可得．

解：由题意得： 是关于x的方程 的一个根，

则 ，

解得 ，

所以原方程为 ，

即 ，

解得 ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了方程的根的定义、利用直接开方法解一元二次方程，依据方程的根的定义求出c的值是解题关键．

19．(1) (2)

【分析】（1）移项后两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

（1）解：移项得： ，

整理得：

开方解得： ；

（2）解：开方得： ，

解得： ．

【点拨】本题考查了解一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相应的运算法则．

20．（1） ，     （2） ，

【分析】（1）方程两边同除以2，再用直接开平方法即可得出x的值；

（2）直接开平方法即可得出x的值.

解：（1）方程两边除以2，得 ，

两边开平方，得 ，

即 ，或 ．

∴ ， ．

（2）两边开平方，得 ，

即 ，或 ，

∴ ， ．

【点拨】本题考查的是解一元二次方程—直接开平方法.

21．晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见分析．

【分析】根据 的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和 的非负性解答即可．

解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：

，

，

．

不论 为何值 都不等于 ，

．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略 的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．

22．2m﹣2，0或﹣4

【分析】根据乘法公式和整式的乘法对式子进行化简，然后代入求值即可．

解：原式＝m²﹣1﹣（4m²+4m+1）+3m²+6m

＝m²﹣1﹣4m²﹣4m﹣1+3m²+6m

＝2m﹣2，

∵m²﹣1＝0，

∴m＝±1，

当m＝1时，原式＝2﹣2＝0，

当m＝﹣1时，原式＝﹣2﹣2＝﹣4，

综上所述：原式的值为0或﹣4．

【点拨】本题考查整式的化简求值，准确掌握乘法公式是解题的关键，计算中注意符号问题．

23．（1） ， ；（2）嘉嘉出的数是1或3．

【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可；

（2）根据题意，可以得到关于x的方程，然后解方程即可．

解：（1）

.

（2）根据题意得

，

，

，

， .

为整数， 嘉嘉出的数是1或3.

【点拨】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出x的值．

24．（1）4；2；−1；−7．(2) x₁=4，x₂=−2

【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的□，@，☆，＃表示的数即可；

（2）根据题干中的“平均数法”解方程即可．

解：(1)解方程(x+2)(x+6)=5，

将原方程变形，得

[(x+4)−2][(x+4)+2]=5，

(x+4)²−2²=5，

∴(x+4)²=5+2²，

∴(x+4)²=9，

直接开平方并整理，得x₁=−1，x₂=−7．

故□，@，☆，＃表示的数分别为4，2，−1，−7．

故答案为：4；2；−1；−7．

（2）(x−3)(x+1)=5

原方程可变形，得[(x−1)−2][(x−1)+2]=5

整理，得(x−1)²−2²=5

(x−1)²=5+2²，即(x−1)²=9

直接开平方并整理，得x₁=4，x₂=−2

【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．