专题2.5 一元二次方程（满分100）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

评卷人	得分

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（雨山区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．4（x+2）＝25 B．2x²+3x﹣1＝0 C．ax²+bx+c＝0 D． 4

【思路点拨】

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．

【解题过程】

解：A．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；

B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D．该方程是分式方程，故本选项不符合题意．

故选：B．

2．（安庆一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）

A．x²﹣2021x＝0 B．（x+1）²＝0 C．x²+4＝2x D．x²+2＝3x

【思路点拨】

求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．

【解题过程】

解：A、方程x²﹣2021x＝0，

∵Δ＝2021²﹣4×1×0＝4084441＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；

B、∵方程（x+1）²＝0，

∴x₁＝x₂＝﹣1，

∴方程有两个相等的实数根，不故本选项不符合题意；

C、方程整理得x²﹣2x+4＝0，

∵Δ＝4﹣4×1×4＝4﹣16＝﹣12＜0，

∴方程没有实数根，故本选项符合题意；

D、方程整理得x²﹣3x+2＝0，

∵Δ＝（﹣3）²﹣4×1×2＝1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．

故选：C．

3．（瓦房店市期末）目前电影《长津湖》票房已突破57亿元．第一天票房约4.1亿元，三天后票房累计总收入达8.22亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（　　）

A．4.1（1+x）＝8.22

B．4.1（1+x）²＝8.22

C．4.1+4.1（1+x）²＝8.22

D．4.1+4.1（1+x）+4.1（1+x）²＝8.22

【思路点拨】

设增长率为x，根据第一天的票房收入及前三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解题过程】

解：根据题意知4.1+4.1（1+x）+4.1（1+x）²＝8.22，

故选：D．

4．（泉州期末）已知实数a是一元二次方程x²+x﹣8＝0的根，则a⁴+a³+8a﹣1的值为（　　）

A．62 B．63 C．64 D．65

【思路点拨】

把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．

【解题过程】

解：∵a是一元二次方程x²+x﹣8＝0的一个根，

∴a²+a﹣8＝0

∴a²+a＝8，

∴a⁴+a³+8a﹣1＝a²（a²+a）+8a﹣1＝8a²+8a﹣1＝64﹣1＝63，

故选：B．

5．（南平模拟）已知方程x²+2x﹣8＝0的解是x₁＝2，x₂＝﹣4，那么方程（x+1）²+2（x+1）﹣8＝0的解是（　　）

A．x₁＝1，x₂＝5 B．x₁＝1，x₂＝﹣5

C．x₁＝﹣1，x₂＝5 D．x₁＝﹣1，x₂＝﹣5

【思路点拨】

把方程（x+1）²+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用方程x²+2x﹣8＝0的解是x₁＝2，x₂＝﹣4得到x+1＝2或x+1＝﹣4，然后解一次方程即可．

【解题过程】

解：把方程（x+1）²+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，

∵方程x²+2x﹣8＝0的解是x₁＝2，x₂＝﹣4，

∴x+1＝2或x+1＝﹣4，

解得x＝1或x＝﹣5，

∴方程（x+1）²+2（x+1）﹣8＝0的解为x₁＝1，x₂＝﹣5．

故选：B．

6．（兴化市模拟）已知一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）

A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c

【思路点拨】

利用根的判别式的意义得到Δ＝b²﹣4ac＝0，再把b＝﹣（a+c）代入得到（a+c）²﹣4ac＝0，所以a＝c，b＝﹣2a，由于a≠0，则a≠b，从而可对各选项进行判断．

【解题过程】

解：∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ＝b²﹣4ac＝0，

∵a+b+c＝0，

即b＝﹣（a+c），

∴（a+c）²﹣4ac＝0，

∴（a﹣c）²＝0，

∴a﹣c＝0，即a＝c，

∴b＝﹣2a，

而a≠0，

∴a≠b．

故选：C．

7．（任城区一模）已知a、b、5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且a、b是关于x的一元二次方程x²﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）

A．3 B．7 C．3或7 D．﹣3或7

【思路点拨】

讨论：当a＝5或b＝5，则把x＝5代入方程得k＝3，当a＝b时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）²﹣4（k+2）＝0，解得k＝7，解此时方程得到a＝b＝3，利用三角形三边的关系可判断k＝7符合条件．

【解题过程】

解：当a＝5或b＝5，

把x＝5代入方程x²﹣6x+k+2＝0得25﹣30+k+2＝0，

解得k＝3，

当a＝b时，Δ＝（﹣6）²﹣4（k+2）＝0，

解得k＝7，

此时方程为x²﹣6x+9＝0，

解方程得a＝b＝3，

则a+b＞5，

所以k＝7符合条件，

综上所述，k的值为3或7．

故选：C．

8．（余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0与cx²+bx+a＝0，且ac≠0，a≠c．下列说法正确的是（　　）

A．若方程ax²+bx+c＝0有两个相等的实数根，则方程cx²+bx+a＝0没有实数根

B．若方程ax²+bx+c＝0的两根符号相同，则方程cx²+bx+a＝0的两根符号也相同

C．若5是方程ax²+bx+c＝0的一个根，则5也是方程cx²+bx+a＝0的一个根

D．若方程ax²+bx+c＝0和方程cx²+bx+a＝0有一个相同的根，则这个根必是x＝1

【思路点拨】

利用根的判别式与根与系数的关系判断即可．

【解题过程】

解：A、若方程程ax²+bx+c＝0有两个相等的实数根，

则有b²﹣4ac＝0，可得方程cx²+bx+a＝0也有两个相等的实数根，不符合题意；

B、若方程ax²+bx+c＝0的两根符号相同，即 0，

则方程cx²+bx+a＝0的两根符号也相同，符合题意；

C、把x＝5代入方程得：25a+5b+c＝0，

而25c+5b+a不一定为0，即x＝5不一定是方程cx²+bx+a＝0的一个根，不符合题意；

D、若方程ax²+bx+c＝0和方程cx²+bx+a＝0有一个相同的根，

则有ax²+bx+c＝cx²+bx+a，即（a﹣c）x²＝a﹣c，

由a≠c，得到x²＝1，即x＝±1，不符合题意．

故选：B．

9．（毕节市期末）已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²﹣（2m+3）x+m²＝0的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值为（　　）

A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3

【思路点拨】

根据根与系数关系得出：x₁+x₂＝2m+3，x₁x₂＝m²，代入 中，求出m的值，再进行检验即可．

【解题过程】

解：∵x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²﹣（2m+3）x+m²＝0的两个不相等的实数根，

∴x₁+x₂＝2m+3，x₁x₂＝m²，

∴ 1，

解得：m＝3或m＝﹣1，

把m＝3代入方程得：x²﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）²﹣4×1×9＞0，此时方程有解；

把m＝﹣1代入方程得：x²+x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．

故选：D．

10．（汉阳区校级月考）已知m，n是方程x²﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m³+5n² 4的值是（　　）

A．57 B．58 C．59 D．60

【思路点拨】

将代数式的次数化为一次，然后将m，n的值代入求解即可．

【解题过程】

解：∵m，n是方程x²﹣4x+2＝0的两根，

∴ ①或 ②，

∵m，n是方程x²﹣4x+2＝0的两根，

∴m²﹣4m+2＝0，

∴m²＝4m﹣2，

同理可得：

n²＝4n﹣2，

∴2m³+5n² 4

＝2m²•m+5（4n﹣2） 4

＝2m（4m﹣2）+20n﹣10 4

＝8m²﹣4m+20n﹣10 4

＝8（4m﹣2）﹣4m+20n﹣10 4

＝28m﹣16+20n﹣10 4

＝28m+20n 22，

将①代入上式可得：

28（2 ）+20（2 ） 22

＝56+28 40﹣20 22

＝74+8 8（2 ）

＝58，

将②代入上式，同理可得：

原式＝58，

故选：B．

评卷人	得分

二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

11．（九龙坡区校级月考）若关于x的方程（k﹣1）x^|k|+1+6x﹣7＝0是一元二次方程，则k＝　﹣1　．

【思路点拨】

根据二次项次数不等于0，未知数最高次数是2可列出关于k的关系式，计算即可．

【解题过程】

解：由题意得： ，

∴k＝﹣1．

12．（雨山区校级月考）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，这个团队有　10　人．

【思路点拨】

设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出90张名片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解题过程】

解：设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，

依题意得：x（x﹣1）＝90，

整理得：x²﹣x﹣90＝0，

解得：x₁＝10，x₂＝﹣9（不合题意，舍去），

∴这个团队有10人．

故答案为：10．

13．（余杭区月考）关于x的方程ax²﹣2bx﹣3＝0（ab≠0）两根为m，n，且（2am²﹣4bm+2a）（3an²﹣6bn﹣2a）＝54，则a的值为　 　．

【思路点拨】

由方程的解得出am²﹣2bm＝3，an²﹣2bn＝3，将其代入（2am²﹣4bm+2a）（3an²﹣6bn﹣2a）＝54，得2（3+a）（9﹣2a）＝54，解之可得答案．

【解题过程】

解：∵关于x的一元二次方程ax²﹣2bx﹣3＝0两个根为m，n，

∴am²﹣2bm＝3，an²﹣2bn＝3，

∵（2am²﹣4bm+2a）（3an²﹣6bn﹣2a）＝54，

∴2（am²﹣2bm+a）[3（an²﹣2bn）﹣2a]＝54，

即2（3+a）（9﹣2a）＝54，

解得a＝0或a ，

∵a，b均为非零实数，

∴a ，

故答案为： ．

14．（昌江区校级期末）若实数x满足2x²+5x 1＝0，则x² 　7　．

【思路点拨】

把1写成4与﹣3的和，利用完全平方公式构造关于（x ）的二次方程，利用整体的思想先求解，再求x² 的值．

【解题过程】

解：∵2x² 5x 1＝0，

∴2x²+4 5x 3＝0，

∴2（x²+2 ）+5（x ）﹣3＝0．

∴2（x ）²+5（x ）﹣3＝0．

∴[2（x ）﹣1][（x ）+3]＝0．

∴x 或x 3．

∴（x ）² 或（x ）²＝9．

∴x²+2 或x²+2 9．

∴x² （不合题意舍去）或x² 7．

故答案为：7．

15．（昌江区校级期末）已知关于x的一元二次方程（3a²+4）x²﹣18ax+15＝0有两个实根x₁，x₂，则下列结论正确的有　①②④　．

①a 或a ；② ；③|x₁﹣x₂| ；④ 为定值．

【思路点拨】

由判别式大于等于0求解a的范围判断A；利用根与系数的关系计算判断B，C，D．

【解题过程】

解：由Δ＝（﹣18a）²﹣60（3a²+4）＝144a²﹣240≥0，解得a 或a ，故①正确：

x₁十x₂ ，x₁x₂ ，

则 a，故②正确；

|x₁﹣x₂| ，故③错误；

5，故④正确•

∴结论正确的有①②④．

故答案为：①②④．

评卷人	得分

三．解答题（本大题共8小题，满分55分）

16．（武侯区校级月考）解方程：

（1）2（x+1）² 0；

（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2；

（3）x（x+3）＝5（x+3）；

（4）（2x+1）²﹣3（2x+1）﹣28＝0．

【思路点拨】

（1）移项，方程两边除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）整理后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（4）设2x+1＝a，得出方程a²﹣3a﹣28＝0，求出a的值，再求出x即可．

【解题过程】

解：（1）2（x+1）² 0，

2（x+1）² ，

（x+1）² ，

开方得：x+1 ，

解得：x₁ ，x₂ ；

（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2，

整理得：x²﹣2x＝1，

配方得：x²﹣2x+1＝1+1，

（x﹣1）²＝2，

开方得：x﹣1 ，

解得：x₁＝1 ，x₂＝1 ；

（3）x（x+3）＝5（x+3），

x（x+3）﹣5（x+3）＝0，

（x+3）（x﹣5）＝0，

x+3＝0或x﹣5＝0，

解得：x₁＝﹣3，x₂＝5；

（4）（2x+1）²﹣3（2x+1）﹣28＝0，

设2x+1＝a，则原方程化为a²﹣3a﹣28＝0，

解得：a＝7或﹣4，

当a＝7时，2x+1＝7，解得：x＝3；

当a＝﹣4时，2x+1＝﹣4，解得：x ；

所以原方程的解是：x₁＝3，x₂ ．

17．（鄞州区校级期末）已知a，b是一元二次方程x²﹣2021x﹣1＝0的两个根，解方程组 ．

【思路点拨】

将方程组中的两个方程相减可得（ 1）（x﹣y）＝0，再由a+b＝2021，ab＝﹣1，可知 1≠0，所以x＝y，再求解方程组即可．

【解题过程】

解：∵a，b是一元二次方程x²﹣2021x﹣1＝0的两个根，

∴a+b＝2021，ab＝﹣1，

，

①﹣②，得（ 1）（x﹣y）＝0，

当x＝y时，①得（ ）x＝x+2021，

∴ x＝x+2021，

∴x ，

∴方程组的解为 ．

当x≠y时， 1＝0，

∴ 1＝0，

∴a﹣b﹣1＝0，

∵2021﹣2b﹣1＝2022﹣2b≠0，

∴方程组的解为 ．

18．（章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．

（1）请说明方程x²﹣3x+2＝0是倍根方程；

（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？

（3）若一元二次方程ax²+bx+c＝0（b²﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是　2b²＝9ac　．（直接写出结果）

【思路点拨】

（1）利用因式分解法解方程得到x₁＝2，x₂＝1，然后根据“倍根方程”可判断方程x²﹣3x+2＝0是倍根方程；

（2）利用因式分解法解方程得x₁＝2，x₂ ，再利用“倍根方程”的定义得到 2×2或 2，从而得到m、n的关系式；

（3）设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t ，t•2t ，然后消去t得到a、b、c的关系．

【解题过程】

解：（1）（x﹣2）（x﹣1）＝0，

x﹣2＝0或x﹣1＝0，

∴x₁＝2，x₂＝1，

∴方程x²﹣3x+2＝0是倍根方程；

（2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0，

∴x₁＝2，x₂ ，

当 2×2时，n＝﹣4m，即4m+n＝0；

当 2时，n＝﹣m，即m+n＝0；

综上所述，m、n的关系式为4m+n＝0或m+n＝0．

（3）∵一元二次方程ax²+bx+c＝0（b²﹣4ac≥0）是倍根方程，

∴设方程的两根分别为t，2t，

根据根与系数的关系得t+2t ，t•2t ，

∴t ，

∴2（ ）² ，

∴2b²＝9ac．

故答案为：2b²＝9ac．

19．（仁寿县模拟）先阅读理解下面的例题，再解答问题：

例：解一元三次方程x³﹣x＝0

∵x（x²﹣1）＝0即x（x+1）（x﹣1）＝0

由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得

x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0

∴x₁＝0x₂＝﹣1x₃＝1

根据以上解答过程，请你完成下列两个一元三次方程的解答：

（1）解一元三次方程x³﹣2x²﹣x+2＝0；

（2）解一元三次方程x³﹣6x²+11x﹣6＝0．

【思路点拨】

（1）方程按第一二项、三四项分组，分组后分解因式，利用“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”求解；

（2）方程的11x拆分成9x与2x的和，这样方程按x³、6x²、9x与2x、6进行分组，分组后分解因式，利用“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”求解．

【解题过程】

解：（1）x³﹣2x²﹣x+2＝0，

x²（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

（x﹣2）（x²﹣1）＝0，

（x﹣2）（x+1）（x﹣1）＝0，

∴x﹣2＝0或x+1＝0或x﹣1＝0．

∴x₁＝2，x₂＝﹣1，x₃＝1．

（2）x³﹣6x²+11x﹣6＝0，

x³﹣6x²+9x+2x﹣6＝0，

x（x²﹣6x+9）+2（x﹣3）＝0，

x（x﹣3）²+2（x﹣3）＝0，

（x﹣3）[x（x﹣3+2）]＝0，

（x﹣3）（x²﹣3x+2）＝0，

（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）＝0，

∴x﹣3＝0或x﹣2＝0或x﹣1＝0．

∴x₁＝3，x₂＝2，x₃＝1．

20．（千山区月考）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．

（1）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；

（2）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．

【思路点拨】

若设BC＝x米，则AB＝（51﹣3x）米．

（1）根据矩形围栏ABCD的面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长25米，即可得出栅栏BC的长为10米；

（2）矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米，根据矩形围栏ABCD的面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出原方程没有实数根，即矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．

【解题过程】

解：若设BC＝x米，则AB＝（49+1+1﹣3x）＝（51﹣3x）米．

（1）依题意得：x（51﹣3x）＝210，

整理得：x²﹣17x+70＝0，

解得：x₁＝7，x₂＝10．

当x＝7时，51﹣3x＝51﹣3×7＝30＞25，不合题意，舍去；

当x＝10时，51﹣3x＝51﹣3×10＝21＜25，符合题意．

答：栅栏BC的长为10米．

（2）矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米，理由如下：

依题意得：x（51﹣3x）＝240，

整理得：x²﹣17x+80＝0．

∵Δ＝（﹣17）²﹣4×1×80＝﹣31＜0，

∴原方程没有实数根，

∴矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．

21．（九龙坡区校级期中）某电商公司推出A、B两种类型的超薄全面屏电视机，已知售出2台A型电视机，3台B型电视机的销售额为35500元：售出1台A型电视机，2台型电视机的销售额为20500元．

（1）求每台A型电视机和B型电视机的售价分别是多少元；

（2）该电商公司在8月实行“满减促销”活动，活动方案为：单台电视机满4000元减500元，满9000元减1500元（每台电视机只能参加一次最高满减活动）结果8月A型电视机的销量是B型电视机的 ，9月该电商公司加大促销活动力度，每台A型电视机按照8月满减后的售价再降 a%，销量比8月增加2a%；每台B型电视机按照8月满减后的售价再降a%，销量比8月销量增加 a%，结果9月A和B的销售总额比8月A和B的销售总额多 a%，求a的值．

【思路点拨】

（1）设每台A型电视机的售价为x元，每台B型电视机的售价为y元，根据“售出2台A型电视机，3台B型电视机的销售额为35500元：售出1台A型电视机，2台型电视机的销售额为20500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每台A型电视机和B型电视机的售价；

（2）设8月B型电视机的销售量为m台，则A型电视机的销售量为 m，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合9月A和B的销售总额比8月A和B的销售总额多 a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．

【解题过程】

解：（1）设每台A型电视机的售价为x元，每台B型电视机的售价为y元，

依题意得： ，

解得： ．

答：每台A型电视机的售价为9500元，每台B型电视机的售价为5500元．

（2）设8月B型电视机的销售量为m台，则A型电视机的销售量为 m，

依题意得：（9500﹣1500）×（1 a%）×（1+2a%） m+（5500﹣500）×（1﹣a%）×（1 a%）m＝[（9500﹣1500） m+（5500﹣500）m]×（1 a%），

整理得：0.5a²﹣5a＝0，

解得：a₁＝10，a₂＝0（不合题意，舍去）．

答：a的值为10．

22．（红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．

（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为 cm？

（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm²？

（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm²？

【思路点拨】

（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为 cm，根据勾股定理列式求解即可；

（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm²，由三角形的面积公式列式并求解即可；

（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．

【解题过程】

解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为 cm，

则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），

∵AB＝6cm，BC＝8cm

∴PB＝（6﹣x）（cm），

∵在△ABC中，∠B＝90°

∴由勾股定理得：（6﹣x）²+（2x）²＝6

化简得：5x²﹣12x+30＝0

∵△＝（﹣12）²﹣4×5×30＝144﹣600＜0

∴点P，Q之间的距离不可能为 cm．

（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm²，由题意得：

（6﹣x）•2x＝8

解得：x₁＝2，x₂＝4

检验发现x₁，x₂均符合题意

∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm²．

（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上

设经过m秒，0＜m≤4，依题意有

（6﹣m）（8﹣2m）＝1

∴m²﹣10m+23＝0

解得；m₁＝5 （舍），m₂＝5

∴m＝5 符合题意；

②点P在线段AB上，点Q在射线CB上

设经过n秒，4＜n≤6，依题意有

（6﹣n）（2n﹣8）＝1

∴n²﹣10n+25＝0

解得n₁＝n₂＝5

∴n＝5符合题意；

③点P在射线AB上，点Q在射线CB上

设经过k秒，k＞6，依题意有

（k﹣6）（2k﹣8）＝1

解得k₁＝5 ，k₂＝5 （舍）

∴k＝5 符合题意；

∴经过（5 ）秒，5秒，（5 ）秒后，△PBQ的面积为1cm²．

23．（茶陵县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．

（1）当t＝4时，求△APQ的面积．

（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．

【思路点拨】

（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP＝4cm，AQ＝4cm，利用面积公式求解；

（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2tcm，CQ＝2tcm，

进而表示出AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣t）cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．

【解题过程】

解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s，

当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，

∴AP＝4cm，AQ＝4cm，

∴S_△APQ 4×4＝8（cm²）．

（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．

根据题意得： S_△ABC 12×8＝24cm²，

当0＜t＜6 时如图1：

S_△APQ （12﹣2t）（8﹣t）＝24，

整理得t²﹣14t+24＝0，

解得t＝12（舍去）或t＝2．

当6＜t＜8 时如图2：

S_△APQ （2t﹣12）（8﹣t）＝24，

整理得t²﹣14t+72＝0，

Δ＜0，无解．

当t＞8时如图3：

S_△APQ （2t﹣12）（t﹣8）＝24，

整理得t²﹣14t+24＝0，

解得t＝12或t＝2（舍去）．

综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．