专题2.4特殊的三角形大题专练（培优强化30题）
一、解答题
1．（浙江·余姚市梨洲中学八年级期中）已知：如图，在
中，
于点F，
于点G，D是
的中点，
于点E．求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得
，再根据等腰三角形“三线合一”可得
．
【详解】证明：如图，连接
，
．
，D是
的中点，
是
斜边上的中线，
．
同理，
，D是
的中点，
是
斜边上的中线，
．
．
又
，
．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
2．（浙江·杭州市第十五中学八年级期中）如图，
，
分别是
的中线和角平分线，
．
(1)若
的面积是20，且
，求
的长．
(2)若
，求
的度数．
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得
，三角形的面积公式即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出
，
．再利用角平分线定义即可得出
．
【详解】（1）解：
是
的中线，
．
，
的面积是20，且
，
，
，
；
（2）
是
的中线，
，
，
，
．
是
的角平分线，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出
是解题的关键．
3．（浙江·杭州市第十五中学八年级期中）如图，在等腰
中，
，
，
是
的高，
是
的角平分线，
与
交于点
．当
的大小变化时，
的形状也随之改变．．
(1)当
时，求
的度数；
(2)设
，
，求变量
与
的关系式；
(3)当
是等腰三角形时，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）根据等边对等角求出等腰
的底角度数，再根据角平分线的定义得到
的度数，再根据高的定义得到
，从而可得
；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到
与
的关系，即可得到结果；
（3）分①若
，②若
，③若
，三种情况，利用
，以及
；解出
即可得
的度数．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
平分
，
，
；
（2）
，
，，
，
由（1）可得：
，
，
，
即
与
的关系式为
；
（3）设
，
，
①若
，
则
，
而
，
，
则有：
，
由（2）知
，
，
解得：
，
；
②若
，
则
，
由①得：
，
，
，
，
解得：
，
；
③若
，
则
，
，
由①得：
，
，
，
，
解得：
，不符合题意，
综上：当
是等腰三角形时，
的度数为
或
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，高与角平分线的定义等知识，解题的关键关键是找到角之间的等量关系，利用方程思想以及分类讨论的思想解决问题．
4．（浙江·余姚市梨洲中学八年级期中）如图，在4
4
的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段
，在图③中已画出点A．按下列要求画图：
(1)在图①中，以格点为顶点，
为一边画一个等腰三角形
；
(2)在图②中，以格点为顶点，
为一边画一个直角三角形
；
(3)在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积=．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析，10
【分析】（1）根据勾股定理，结合网格结构．以B为圆心，
长为半径画圆，可以画出3个；以A为圆心，
长为半径画圆，可以画出2个；
（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作直角三角形
；
（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
【详解】（1）如图所示，
即为所要求作的三角形，
（2）如图所示，
即为所要求作的三角形，
（3）如图③，边长为
的正方形
的面积最大．
．
此时正方形的面积为
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图．熟记勾股定理，等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．
5．（浙江·杭州市采荷中学八年级期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．
(1)如图，在
中，
，
，求证：
是“奇妙三角形”；
(2)在
中，
，
，若
是“奇妙三角形”，求
的长．
【答案】(1)见解析
(2)
的长是6或8
【分析】（1）过点
作
于
，根据等腰三角形的性质求出
，根据勾股定理求出
，根据“奇妙三角形”的定义证明；
（2）分
边上的中线
等于
，
边上的中线
等于
两种情况，根据勾股定理计算．
【详解】（1）证明：过点
作
于
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
即
是“奇妙三角形”；
（2）解：如图2：当
边上的中线
等于
时，
，
当
边上的中线
等于
时，
，即
，
解得
．
综上所述，
的长是6或8．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是
，
，斜边长为
，那么
．
6．（浙江·杭州市采荷中学八年级期中）如图，
中，
是
边上的高线，
是一条角平分线，它们相交于点
．
(1)已知
，求
的度数；
(2)在（1）的条件下，已知
，
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，由题意可得
，
，再由
，即可求解；
（2）利用特殊的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：设
由题意可得：
，
，
∴
，
，
由三角形外角的性质可得
，
即
，解得
，
即
；
（2）由（1）得
，则
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
由勾股定理可得：
，
，
即
．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，含
直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形的有关性质．
7．（浙江省余姚市实验学校八年级期中）如图，在
中，
，
，点D是线段
上任意一点，连接
，作
，
交线段
于点E．
(1)若
，求
和
的度数；
(2)若
，求证：
．
【答案】(1)
，
；
(2)见解析．
【分析】（1）直接利用三角形内角和定理可求出
；然后根据平角的定义和等腰三角形的性质求出
和
，再根据三角形内角和定理求出
即可；
（2）求出
，利用
即可证明
．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
8．（浙江·杭州第十四中学附属学校八年级期中）如图1，
中，作
的角平分线相交于点O，过点O作
分别交
于E、F．
(1)①求证：
；
②若
的周长是25，
，试求出
的周长．
(2)如图2，若
的平分线与
外角
的平分线相交于点P，连接
，试探求
与
的数量关系式．
【答案】(1)①见解析；②16
(2)
【分析】（1）①由
平分
，可得
，再由
，可得
，从而得到
，即可得到结论；②证得
，再根据三角形的周长公式即可得到结论；
（2）延长
，作
，垂足分别为N，F，M，根据角平分线的性质先证的
，得出
，即可得出答案．
【详解】（1）解：①∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
②∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
∴
，
∴
，
∵
的周长是25，
，
∴
的周长
；
（2）延长
，作
，垂足分别为N，F，M，如图所示：
∵
平分
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质和判定、等腰三角形的判定和平行线的性质，正确作出辅助线是关键．
9．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）如图，
是等边三角形，P，Q分别是边
上的点，且
，
交于点O．
(1)求证：
；
(2)求
的度数；
(3)当
时，求
的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质得出
，由
即可证明
；
（2）由
，得到
，利用外角
，即可求出；
（3）作
，则
，根据勾股定理求出
发的长度，即可得答案．
【详解】（1）解：
是等边三角形，
，
在
和
中，
，
；
（2）
，
，
；
（3）如下图，作
，则
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是证明
．
10．（浙江·杭州市杭州中学八年级期中）如图，在
中，
、
分别是边
、
上的高线．
(1)如果
，那么
是等腰三角形，请说明理由；
(2)取F为
中点，连接点D，E，F得到
，G是
中点，求证：
；
(3)在（2）的条件下，如果
，求
的长度．
【答案】(1)理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明
，即可得证；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到
即可得证；
（3）证明
为等边三角形，利用斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边三角形的性质，利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）证明：在
中，
、
分别是边
、
上的高线，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
；
∴
是等腰三角形．
（2）在
中，
、
分别是边
、
上的高线，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
∴
为等腰三角形，
∵G是
中点，
∴
；
（3）解：∵
∴
，
∵
，
∴
，
∴
’
∴
，
∴
是等边三角形；
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，
的直角三角形以及利用勾股定理解三角形．本题综合性较强，解题的关键是熟练掌握斜边上的中线等于斜边上的一半，以及利用
证明三角形全等．
11．（浙江·杭州外国语学校八年级期中）如图，在
中，
是
边上的高线，
是
边上的中线，
于
，
．
(1)求证：
．
(2)已知
，求点
到线段
的距离．
【答案】(1)见解析
(2)点
到线段
的距离为3．
【分析】（1）连接
，根据直角三角形的性质得到
，根据等腰三角形的性质证明结论；
（2）作
于F，根据题意求出
，根据等腰三角形的性质求出
，根据勾股定理求出
即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接
，
在
中，点E是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，又
，
∴
；
（2）解：作
于F，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点
到线段
的距离为3．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
12．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）如图，已知
．
(1)用直尺和圆规，作出线段
的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）
(2)如果线段
的垂直平分线交
于点D，连结
，已知
，求
的度数．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】（1）分别以
为圆心，大于
的长为半径，画弧，两弧分别交于
，连接
，直线
即为所求；
（2）根据中垂线的性质，外角的性质和直角三角形两锐角互余进行计算即可．
【详解】（1）如图，直线
即为所求；
（2）解：∵
垂直平分线段
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【点睛】本题考查中垂线的作图以及中垂线的性质，外角的性质和直角三角形两锐角互余．熟练掌握中垂线的作图方法和中垂线的性质是解题的关键．
13．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）如图，在
中，
(1)当
时，求
的度数；
(2)当
的度数变化时，
的度数是否变化？如不变，求
的度数．
【答案】(1)
(2)当
的度数变化时，
的度数不变，
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到
，再根据三角形内角和定理得到
的度数；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到
，再根据三角形内角和定理得到
的度数．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
；
（2）
，
，
当
的度数变化时，
的度数不变化，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是求得
的度数．
14．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）已知
为直角三角形，
，作
，
平分
，点M、N分别为
、
的中点，且
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)请你连接
，并求线段
的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余，和对顶角相等即可得
，进而可得
；
（2）如图，连接
，根据等腰三角形三线合一可得
，再根据
是直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得
，进而可得
，即可得
；
（3）延长
交
于点
，连接
，根据勾股定理先求出
的长，再根据三角形面积可得
的长．根据三角形中位线定理可得
，再根据勾股定理即可求出
的长．
【详解】（1）证明∶∵
，
∵
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）证明：如图，连接
，
由（1）可知
是等腰三角形，
∵N为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
是直角三角形，
∵
是
的中点，
∴
．
∵
∴
，
∴
．
∵
平分
∴
，
∴
，
∴
；
（3）如图，延长
交
于点
，连接
，
∵
，
是
的中点，
∴
是
的中点，
∴
，
在
中，
；
∵
，
，
∴
，
∵
，
即：
，
∴
，
∴
，
∵
∴
∴
∴
∴
．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形．熟练掌握相关知识点是解题的关键．同时考查了角平分线和平行线的判定．本题综合性强，对学生的思维要求较高．
15．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）如图，在
中，
是
边上的高线，
是
边上的中线，
于G，
，连接
．
(1)求证：
；
(2)已知
，求
的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)19.5
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到：
，进而得到
，证明
，即可得证；
（2）根据
，求出
，利用勾股定理求出
，再利用面积公式求出
，利用中线平分面积，即可得解．
【详解】（1）证明：∵
是
边上的高线，
是
边上的中线，
∴
，
为
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是
边上的中线，
∴
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，三角形中线平分面积是解题的关键．
16．（浙江·八年级专题练习）如图1，
是等边三角形，
为
上两点，且
，延长
至点F，使
，连结
．
(1)如图2，当
两点重合时，求证：
．
(2)如图3，延长
交线段
于点G．
①求证：
．
②求
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到
，利用
，求出
，
，再求出
，即可得到结论；
（2）①如图，作
交
于H，连接
，得到
是等边三角形，推出
，再证明
，推出
；
②根据三角形全等的性质及三角形的外角性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
（2）①如图，作
交
于H，连接
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
②∵
，
∴
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
17．（浙江·宁波市镇海区骆驼中学八年级期中）如图，已知
中，
，
，
，P、Q是
边上的两个动点，其中点P从点A开始沿
方向运动，且速度为每秒
，点Q从点B开始沿
方向运动，且速度为每秒
，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求
的长；
(2)当点Q在边
上运动时，出发几秒钟后，
能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边
上运动时，求能使
成为等腰三角形的运动时间．
【答案】(1)
(2)出发
秒后，
能形成等腰三角形；
(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，
为等腰三角形．
【分析】（1）先求出
和
的长，则可求得
的长，然后利用勾股定理计算即可；
（2）用t分别表示出
和
，根据
为等腰三角形可得到
，则可得关于t的方程，解方程即可；
（3）用t分别表示出
和
，利用等腰三角形的性质可分
、
和
三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：当
时，则
，
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）解：由题意可知
，
，
∵
，
∴
，
当
为等腰三角形时，则有
，
即
，
解得
，
即出发
秒后，
能形成等腰三角形；
（3）解：①当
时，如图1所示，
则
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
秒；
②当
时，如图2所示，
则
，
∴
秒；
③当
时，如图3所示，
过B点作
于点E，
则
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
秒，
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，
为等腰三角形．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
18．（浙江·八年级专题练习）如图1，在
中，过点
作
，且
，连接
．
(问题原型)(1)若
，且
，过点
作的
的
边上的高
，易证
，从而得到
的面积为______．
(变式探究)(2)如图2，若
，
，用含
的代数式表示
的面积，并说明理由．
(拓展应用)(3)如图3，若
，
，则
的面积为______．
【答案】(1)
；(2)
，理由见解析；(3)
．
【分析】(1)如图1中，由
定理可证
，就有
．进而由三角形的面积公式得出结论；
(2)如图2中，过点
作
的垂线，与
的延长线交于点
，由
定理可证得
，就有
．进而由三角形的面积公式得出结论．
(3)如图3中，过点
作
与
，过点
作
交
延长线于点
，由等腰三角形的性质可以得出
，由条件可以得出
就可以得出
，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【详解】解：(1)∵在
中，
，
过点
作
且过点
作的
的
边上的高
，
∴
∴
∵
∴
．
在
与
中，
∴
，
∴
故答案为：
(2)
理由：过点
作
延长线于点
∴
∵
，
∵
∴
．
在
与
中，
∴
，
∴
(3)如图3中，∵
∴
．
过点
作
与
，过点
作
的延长线于点
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
∴
的面积为16．
故答案为：16
【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
19．（浙江·翠苑中学八年级期中）如图，在
中，
，点
为边
的中点，点
在线段
上，
于点
，连接
，
．已知
，
．
(1)求证：
．
(2)若
，求线段
的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得
，根据外角的性质可得
，
，根据等角对等边即可得证；
（2）根据
先求出
的长，再利用勾股定理求出
的长．
【详解】（1）证明：
，点
为边
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，含
的直角三角形，解题的关键是熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质进行求解．
20．（浙江·八年级专题练习）如图，在
中，
，
为斜边
上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将
逆时针旋转90°得到
，连接
为
中点．
(1)求证：
；
(2)用等式表示线段
三者之间数量关系，并说明理由
【答案】(1)见解析
(2)
，见解析
【分析】（1）证明
，推出
，可得结论；
（2）结论：
．延长
交
的延长线于点T．证明
，
，在
中，利用勾股定理，可得结论．
【详解】（1）如图，
∵以C为旋转中心，将
逆时针旋转90°得到
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）结论：
理由：延长
交
的延长线于点T．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
21．（浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在
中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点C出发，按C-A-B-C的路径运动（回到C点停止），且速度为每秒3个单位，设出发时间为t秒．
(1)求BC边上的高线AE的长与AC边上的高线BD的长；
(2)当
时,
求t的值；
(3)若
是等腰三角形，直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)4，
(2)
(3)2.6或
或
或
．
【分析】（1）如图，根据等腰三角形的性质可得
，然后再运用勾股定理可求得
，然后再根据
即可求得
；
（2）如图：过C作
于F，先求得
，进而求得
，最后根据速度、路程和时间的关系即可解答；
（2）分①CA=CP.②CA=AP，③AP =PC三种情形，分由等腰三角形的性质和勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：∵AB=AC=5，BC=6，BC边上的高线AE
∴
在
中，
∵
∴
,解得：
．
（2）解：如图：过C作
于F
同（1）的方法可得
在
中，
∴当
时，点P走过的路程为
∴
．
（3）解：①当
时且在AB上，如图：过点C作
于点E，
∵
∴
，
∵
，
∴由（2）可得，
由勾股定理可得：
∴
∴
；
当
时且在BC上，则有
∴
；
②如图，当
时，即点P与点B重合，
∴
∴
；
③如图，当
时，点P在
上，过点A作
于H
∵
，
∴
∴
，
由（1）可知：
，
∵点P在BC上
∴
，
，
∴
，解得
．
综上所述，满足条件的的值为2.6或
或
或
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，掌握运用分类讨论的思想是解答本题的关键．
22．（浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）已知在
中,
，点
为
边上的动点．
(1)如图1所示，
平分
，E、F分别为线段
，
上的动点．
①当
时，求
的最小值；
②点
在运动过程中，求
的最小值；
(2)如图2所示，P，Q分别为边BC，AB上的点，
，M为边
上的动点，M，E在运动过程中，请直接写出
的最小值．
【答案】(1)①６；②
；
(2)
．
【分析】（1）①作点E关于直线
的对称点
，如图
，由“两点之间，线段最短”可知，当
共线时，
最小，然后根据直角三角形的性质可得解；
②作点E关于直线
的对称点
，如图
，由“点到直线的距离，垂线段最短”可知，当
与
共线时，
的值最小，从而
的值最小，然后由等面积法求得答案；
（2）如图2所示，当点M、E分别为
与
的交点时，
的值最小，然后根据勾股定理求得答案．
【详解】（1）解：在
中,
，
，
①
平分
，
所在直线是
的对称轴，
，作点E关于直线
的对称点
，如图
，
点在
上，且
，
，
，
，
由“两点之间，线段最短”可知
当
共线时，
最小，且最小值为
的长，
，
，
的最小值为6；
②点
在运动过程中，作点E关于直线
的对称点
，如图
，
点在
上，且
，
，
由“点到直线的距离，垂线段最短”可知，
当
与
共线且
时，
的值最小，从而
的值最小，
此时
，
，
的最小值为
；
（2）解：作点P关于直线
的对称点
，点Q关于直线
的对称点
，如图２所示，
则
，
连接
，由“两点之间线段最短”可知：
当点M、E分别为
与
的交点时，
的值最小，
从而
的值最小，最小值为线段
的长，
此时，连接
，由对称性可知，
，
，
，
故在
中，
的最小值为
．
【点睛】此题考查了轴对称的性质、“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、勾股定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是把求直线同一侧的两点到直线上一点的距离之和的最小值，通过轴对称转化为直线两侧的两点，再利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求出最小值．
23．（浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在
中，
，点
分别在
边上，且
，
．
(1)求证：
是等腰三角形；
(2)当
时,
求
的度数；
(3)若
，判断
是何种三角形．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
；
(3)等边三角形，理由见详解．
【分析】（1）根据边角边证明
，即得
即可；
（2）由
与三角形的外角性质可得
，从而可以求解；
（3）由（2）知
，再根据已知可以判定
是等边三角形，从而可以判断
的形状．
【详解】（1）解：
，
，
在
和
中，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：
，
，
即
，
，
，
；
；
（3）解：
是等边三角形，理由如下：
由（2）知
，
又
，
，
，
，
又
，
是等边三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、等腰三角形与等边三角形的判定等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质是解答此题的关键．
24．（浙江·乐清市虹桥镇第一中学八年级期中）如图，在
中，
．
于点D，
．E为
边上一点（不与A，C重合），连结
，作
，垂足为F，交
于点G，连结
．分别记
，
，
为
．
(1)
的长为．
(2)当
时，求
的周长．
(3)当
时，
的长为．（直接给出答案）．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线得到
，再根据勾股定理解答即可；
（2）先根据等角的余角相等和角平分线的定义得到
，再根据
得到
，再根据全等三角形的判定和性质得到
，再由角平分线的性质得到
，然后由勾股定理得到
，进而求出
，然后根据三角形的周长公式及等量代换解答即可；
（3）先根据等腰三角形三线合一得到
，再根据等量代换得到
，然后根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：∵
．
于点D，
，
∴
，
，
∴
；
故答案为：
；
（2）解：设
与
相交于点O，
∵
，
∴
，
∵
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的周长
．
（3）解：∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
∵
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理，角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质．关键是根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答．
25．（浙江·乐清市虹桥镇第一中学八年级期中）如图，在
中，
，
cm，
cm，点P是从A点出发的动点，在三角形边上沿着
运动，速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒．
(1)当
秒时，CP的长为．
(2)是否存在t的值，使得时间为t秒时
的面积与时间为
秒时
的面积相等?
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10cm
(2)存在，
【分析】（1）利用勾股定理计算出
cm，然后计算出当
秒时，点P运动的路程，即可计算出此时CP的长；
（2）设
斜边BC上的高为h，根据面积公式可知当
时，可有
，然后计算出时间为t秒时BP的长与时间为
秒时CP的长即可获得答案．
【详解】（1）解：∵
cm，
cm，
∴
cm，
∴当
秒时，点P运动的路程为
cm，
∴
，
∴
cm．
故答案为：10cm；
（2）存在，理由如下：
设
斜边BC上的高为h，
根据面积公式，当
时，
可有
，即有
，
当时间为t秒时，
cm，
当时间为
秒时，
，
由题意，可得
，
解得
，
故当
秒时，
的面积与时间为
秒时
的面积相等．
【点睛】本题主要考查了动点问题、勾股定理以及三角形面积公式等知识，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
26．（浙江·金华市南苑中学八年级阶段练习）（1）如图1，线段
的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以
为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 个．
（2）如图1，如果
与直线l所成的锐角为60°，以
为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 个．
想一想：如图2，
中，
，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 条．
算一算：如图3，在
中，
，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．
【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义，两条边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论；
（2）同（1）原理，理论上可以画4个，但是
重合，由此即可得到答案；
想一想：分五种情况：①当
，②当
，③当
，④当
，⑤
时，于是得到结论；
算一算：如图3，当
，分三种情况：①当
时；②当
时；③当
时；如图4，当
时；如图5，当
时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，①
，②
；③
，④
，这样的等腰三角形能画4个．
故答案为：4；
（2）同（1）可知满足题意的点有4个，
∵
与直线l所成的锐角为60°，
∴
都是等边三角形，
∴
三点重合，
∴满足题意的点只有2个，
故答案为：2；
想一想：①当
，②当
，③当
，④当
，⑤
时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形，
∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条，
故答案为：5；
算一算：如图3，当
时，
∴
，
∴
，
∴①当
时，
；
②当
时，
；
③当
时，
；
如图4，①当
，
时，
∵
，
∴
，
∴
，
如图5所示，当
时，
∴
，
∴
综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为5°或20°或80°或140°或42.5°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与定义，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．
27．（浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级阶段练习）如图，点C是线段
上任意一点（点C与点A，B不重合），分别以
，
为边在直线
的同侧作等边三角形
和等边三角形
，
与
相交于点M，
与
相交于点N．连接
．证明：
(1)
；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到
，利用
即可证明
；
（2）证明
即可得到结论．
【详解】（1）证明：在等边三角形
和等边三角形
中，
，
∴
，即
∴
；
（2）∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
∴
∴
．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
28．（浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级阶段练习）在
中，
，点D是直线
上一点（不与B、C重合），以
为一边在
的右侧作
，使
，
，连接
．
(1)如图1，当点D在线段
上，如果
，则
____________度；
(2)设
，
．
①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________；
②如图2，当点D在线段
上移动，则
，
之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由．
③当点D在直线
上移动时，请直接写出
，
之间的数量关系
【答案】(1)
；
(2)①
，
；
②
；
③
或
．
【分析】（1）由“
”可证
，得
，可求
的度数；
（2）①由“
”可证
得出
，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“
”可证
得出
，再用三角形的内角和即可得出结论；
③分三种情况：点
在线段
的延长线上，在线段
上，在线段
的延长线上时，证明
，再转化角度即可完成证明．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
故答案为：90；
（2）①
，
理由如下：
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
故答案为：
，
；
②
，理由如下：
，
，
，
．
即
．
在
与
中，
，
，
．
．
，
，
，
，
故答案为：
．
③（Ⅰ）当点
在线段
的延长线上时，
．理由如下：
如图，
，
，
，
，
即
，
在
和
中，
，
，
，
．
，
，
，
．
（Ⅱ）当点
在线段
上时，
②已证明：
；
(Ⅲ)当点
在线段
的延长线上移动时，
．理由如下：
如图，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
即
，
综上可知：
或
．
故答案为：
或
．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明
是解题的关键．
29．（浙江杭州·八年级期中）已知，如图，
，E为垂足，
，
的中线
延长线交
于点G．
(1)求证：
；
(2)
，H为
上中点，连接
．求证：
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，说明
是等腰三角形，根据直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等进行等量代换，即可证明
．
（2）先证明
（AAS），说明
，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质即可证明
．
【详解】（1）
为
的中线
，
（2）
，
在
和
中
（AAS）
F为
中点，H为
中点
，
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握相关的性质，利用全等三角形的判定和性质找出相等的量和互余的量是解题的关键．
30．（浙江·乐清市荆山公学八年级阶段练习）如图，
△中，
，点D为
的中点，且
．点P在线段
上以a
cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段
上以b
cm/秒的速度由C点向A点运动，连结
．
(1)求证：
；
(2)在点P、Q运动过程中，当
≌
时，求
的值；
(3)设
的面积为
，
的面积为
，在点P、Q运动过程中，当点C、D关于直线
对称时，求
的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)1．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设
cm，
cm，
，
，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据点C、D关于直线
对称，得到
垂直平分
，求得
，根据直角三角形的性质得到
，求得
，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵点D为
的中点，
，
∴
，
∴
；
（2）解：设
cm，
cm，
，
，
∵
，点D为
的中点，
∴
，
，
∵
≌
，
∴
，
，
∴
，
解得
，
∴
；
（3）解：∵点C、D关于直线
对称，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理
，
∴
．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，正确地理解题意是解题的关键