专题2.4
一元二次方程的应用（二）
【典例1】2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元．
（1）若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？
（2）该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加
a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加
a%．
①用含有a的代数式填表（不需化简）：
-
9月份的售价（元）
9月份销量
“天问一号”模型
90
“嫦娥五号”模型
②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加
a%，求a的值．
【
思路点拨】
（1）设8月份该店售出的“天问一号”模型x个，“嫦娥五号”模型y个，利用总价＝单价×数量，结合“该店在8月份售出这两款模型共200个，销售总额为56000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出8月份该店售出的“天问一号”和“嫦娥五号”模型的数量；
（2）①根据关键描述语“9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加
a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加
a%”计算；
②利用总价＝单价×数量，结合该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加
a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
【
解题过程】
解：（1）设8月份该店售出的“天问一号”模型x个，“嫦娥五号”模型y个，
根据题得：
．
解得：
．
答：销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是400个与200个；
（2）①∵9月份，“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，“天问一号”模型的销量比8月份增加
a%，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加
a%，
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1
a%）个，“嫦娥五号”模型的销量为200（1
a%）个，
“嫦娥五号”模型的售价为100（1﹣a%）；
故答案为：100（1﹣a%）；400（1
a%）；200（1
a%）；
②依题意得：90×400（1
a%）+100（1﹣a%）×200（1
a%）＝（90×400+100×200）（1
a%），
整理得：3a2﹣30a＝0．
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
1．（开封期末）随着人们购物方式观念的转变，网络购物给人们生活带来了方便．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件40元销售，每月可卖出600件，通过市场调查发现，每件小商品售价每上涨1元，销售件数减少10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，每件商品售价应定为多少元？这时电商每月能售出商品多少件？
【思路点拨】
设每件商品售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，每月的销售量为600﹣10（x﹣40）＝（1000﹣10x）件，利用每月销售该商品获得的总利润＝每件的销售利润×每月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（1000﹣10x）中即可求出每月的销售量．
【解题过程】
解：设每件商品售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，每月的销售量为600﹣10（x﹣40）＝（1000﹣10x）件，
依题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
当x＝50时，1000﹣10x＝1000﹣10×50＝500；
当x＝80时，1000﹣10x＝1000﹣10×80＝200．
答：当每件商品售价定为50元时，电商每月能售出商品500件；当每件商品售价定为80元时，电商每月能售出商品200件．
2．（镇江期末）某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双240元，如果一次性购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于160元．一位顾客购买这样的运动鞋支付了3600元，求这位顾客购买了多少双鞋？
【思路点拨】
利用总价＝单价×数量可求出购买10双鞋所需费用，由该值小于3600可得出购买数量超过10，设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的售价为（300﹣6x）元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合单价不能低于160元，即可得出这位顾客购买了20双鞋．
【解题过程】
解：∵240×10＝2400（元），2400＜3600，
∴购买数量超过10．
设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的单价为240﹣6（x﹣10）＝（300﹣6x）元，
依题意得：x（300﹣6x）＝3600，
整理得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30．
当x＝20时，300﹣6x＝300﹣6×20＝180＞160，符合题意；
当x＝30时，300﹣6x＝300﹣6×30＝120＜160，不符合题意，舍去．
答：这位顾客购买了20双鞋．
3．（泰兴市期末）某服装厂生产一批服装，成本为180元/件．当销售单价为200元/件时，月销售量为2000件，经市场调研发现，销售单价每涨1元，月销售量将减少2件．根据物价部门的规定，这批服装的利润率不得超过100%，若该服装厂这个月销售总额为540000元，则销售单价为多少元/件？
【思路点拨】
设销售单价为x元/件，则月销售量为（2400﹣2x）件，利用销售总额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合利润率不得超过100%，即可得出销售单价为300元/件．
【解题过程】
解：设销售单价为x元/件，则月销售量为2000﹣2（x﹣200）＝（2400﹣2x）件，
依题意得：x（2400﹣2x）＝540000，
整理得：x2﹣1200x+270000＝0，
解得：x1＝300，x2＝900．
∵成本为180元/件，且这批服装的利润率不得超过100%，
∴售价不得超过360元/件，
∴x2＝900不符合题意，舍去．
答：销售单价为300元/件．
4．（长安区校级期末）某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．
（1）求该饮品的售价；
（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．
【思路点拨】
（1）设该饮品的售价为x元，则每杯的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）杯，利用每天的毛利润＝每杯的销售利润×每天的销售量﹣每天的其他费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件销售品的利润率不得高于成本的80%，即可得出该饮品的售价为30元；
（2）利用该店每月（按30天计算）的捐款金额＝每天的销售量×1×30，即可求出结论．
【解题过程】
解：（1）设该饮品的售价为x元，则每杯的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）杯，
依题意得：（x﹣20）（180﹣3x）﹣300＝600，
整理得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50．
又∵每件销售品的利润率不得高于成本的80%，
∴x＝30．
答：该饮品的售价为30元．
（2）（180﹣3×30）×1×30
＝（180﹣90）×1×30
＝90×1×30
＝2700（元）．
答：该店每月（按30天计算）的捐款金额为2700元．
5．（晋中期末）2021年12月9日，在神舟十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空间站首次太空授课活动．在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神舟载人飞船”模型作为奖品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量．
【思路点拨】
利用总价＝单价×数量可求出购买10个“神舟载人飞船”模型的费用，由该值小于900可得出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量超过10个，设学校购买了“神舟载人飞船”模型的数量为x个，则每个“神舟载人飞船”模型的价格为（45﹣0.5x）元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每个模型最低单价不低于30元，即可得出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量．
【解题过程】
解：∵40×10＝400（元），400＜900，
∴学校购买“神舟载人飞船”模型的数量超过10个．
设学校购买了“神舟载人飞船”模型的数量为x个，则每个“神舟载人飞船”模型的价格为40﹣0.5（x﹣10）＝（45﹣0.5x）元，
依题意得：（45﹣0.5x）x＝900，
整理得：x2﹣90x+1800＝0，
解得：x1＝30，x2＝60．
当x＝30时，45﹣0.5x＝45﹣0.5×30＝30，符合题意；
当x＝60时，45﹣0.5x＝45﹣0.5×60＝15＜30，不符合题意，舍去．
答：学校购买“神舟载人飞船”模型的数量为30个．
6．（沙坪坝区校级期末）随着人们对健康生活的追求，有机食品越来越受到人们的喜爱和追捧，某商家打算花费40000元购进一批有机绿色农产品存放于冷库．实际购买时供货商促销，可以在标价基础上打8折购进这批产品，结果实际比计划多购进400千克．
（1）实际购买时，该农产品多少元每千克？
（2）据预测，该农产品的市场价格在实际购买价的基础上每天每千克上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品，每天需要支出各种费用合计为280元，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．则将这批农产品存放多少天后一次性全部出售，该公司可获得利润19600元？
【思路点拨】
（1）设该农产品标价为x元/千克，则实际价格为0.8x元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合实际比计划多购进400千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入0.8x中即可求出结论；
（2）设存放a天后一次性卖出可获得19600元，利用利润＝销售单价×销售数量﹣冷库存放这批农产品所需费用﹣进货总成本，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设该农产品标价为x元/千克，则实际价格为0.8x元/千克，
依题意得：
400，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
∴0.8x＝0.8×25＝20．
答：实际购买时该农产品20元/千克．
（2）设存放a天后一次性卖出可获得19600元，
依题意得：（20+0.5a）（
8a）﹣280a﹣40000＝19600，
化简得：a2﹣140a+4900＝0，
解得：a1＝a2＝70．
答：存放70天后一次性出售可获利19600元．
7．（尤溪县开学）2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的成本是200元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的成本降低到162元/个．
（1）若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
【思路点拨】
（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设平均下降率为x，
依题意，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（216.2﹣m﹣162×110%）＝（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1120．
整理，得m2﹣28m+180＝0．
解得m1＝10，m2＝18．
∵为了减少库存，
∴m＝18，
答：单价应降低18元．
8．（九龙坡区期末）某商城在2022年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想销售这种商品平均每天的销售额为1280元，求每个商品应降价多少元？
【思路点拨】
（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个，利用销售总额＝销售单价×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要保证每个商品的售价不低于进价，即可得出每个商品应降价4元．
【解题过程】
解：（1）设商城每次降价的百分率为x，
依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：商城每次降价的百分率为10%．
（2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个，
依题意得：（20﹣y）（40+10y）＝1280，
整理得：y2﹣16y+48＝0，
解得：y1＝4，y2＝12．
当y＝4时，20﹣y＝20﹣4＝16＞14，符合题意；
当y＝12时，20﹣y＝20﹣12＝8＜14，不符合题意，舍去．
答：每个商品应降价4元．
9．（沙坪坝区校级开学）春节期间，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元．
（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？
（2）第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，商家见第一批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克17元的价格出售，售出了8a千克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克16元的基础上还降低了0.1a元，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2980元，求a的值．
【思路点拨】
（1）设水蜜桃的进价是每千克x元，则苹果的进价是每千克1.2x元，利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出水蜜桃的进价；
（2）利用销售利润＝销售单价×销售数量﹣进货成本，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设水蜜桃的进价是每千克x元，则苹果的进价是每千克1.2x元，
依题意得：（16﹣x）×100+（20﹣1.2x）×50＝1800，
解得：x＝5．
答：水蜜桃的进价是每千克5元；
（2）17×8a+（16﹣0.1a）×（300﹣8a﹣20）﹣5×300＝2980，
整理得：0.8a2﹣20a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值是25．
10．（黔江区期末）火锅是重庆人民钟爱的美食之一．解放碑某火锅店为抓住“十一”这个商机，于九月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每桌贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元？
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌．为了更好的了解市场，火锅店决定从第二周开始，对A，B套餐的销售价格都进行调整，其中A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，发现销售量比第一周增加了
a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了
a%，发现销售量比第一周增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元．求a的值．
【思路点拨】
（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，根据5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，
依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售价是120元．
（2）依题意得：（120﹣20）（1
a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1
a%）＝48000，
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
11．（莆田期末）某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（0＜x＜10）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？
【思路点拨】
（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出y关于x的函数解析式；
（2）利用该商场在销售这种榴莲中获得的总利润＝每千克的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让顾客得到更大的实惠，即可得出这种榴莲每千克应降价7元．
【解题过程】
解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，60），（4，70）代入y＝kx+b得：
，
解得：
，
∴y关于x的函数解析式为y＝5x+50（0＜x＜10）．
（2）依题意得：（40﹣x﹣20）（5x+50）＝1105，
整理得：x2﹣10x+21＝0，
解得x1＝3，x2＝7．
又∵要让顾客得到更大的实惠，
∴x＝7．
答：这种榴莲每千克应降价7元．
12．（平度市校级开学）为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为6万元，经过市场调研发现，每台售价为8万元时，月销售量为120台；每台售价为9万元时，月销售量为110台．假定该设备的月销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得低于10万元，如果该公司想获得240万元的月利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
【思路点拨】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣6）万元，销售数量为（﹣10x+200）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其不小于10的值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将x＝8时，y＝120；x＝9时，y＝110代入y＝kx+b，得
，
解得：
，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+200；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，
则每台设备的利润为（x﹣6）万元，销售数量为（﹣10x+200）台，
根据题意得：（x﹣6）（﹣10x+200）＝240．
整理，得：x2﹣26x+144＝0，
解得：x1＝8，x2＝18．
∵此设备的销售单价不得低于10万元，
∴x＝18．
答：该设备的销售单价应是18万元/台．
13．（本溪期末）某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每件T恤衫的成本价是45元，当100＜x≤500件（x为正整数）时，服装厂如果想获得8000元利润，求一次批发多少件时所获利润为8000元？
【思路点拨】
（1）分0＜x≤100、100＜x≤500及x＞500三种情况考虑，当0＜x≤100且x为正整数时，y＝80；当100＜x≤500且x为正整数时，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式；当x＞500且x为正整数时，y＝60；
（2）由（1）可知：当100＜x≤500且x为正整数时，y
x+85，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）当0＜x≤100且x为正整数时，y＝80；
当100＜x≤500且x为正整数时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（100，80），（500，60）代入y＝kx+b得：
，
解得：
，
∴此时y与x的函数关系式为y
x+85；
当x＞500且x为正整数时，y＝60．
故y与x的函数关系式为y
．
（2）当100＜x≤500且x为正整数时，y
x+85．
依题意得：（y﹣45）x＝8000，
即（
x+85﹣45）x＝8000，
整理得：x2﹣800x+160000＝0，
解得：y1＝y2＝400．
答：一次批发400件时所获利润为8000元．
14．（大渡口区模拟）某脐橙种植园的脐橙有线上和线下两种销售方式．已知去年12月份该脐橙种植园在线上、线下的销售价格分别为10元/千克、8元/千克．12月份一共销售了3000千克，总销售额为26000元．
（1）去年12月份该脐橙种植园在线上、线下销售脐橙各多少千克？
（2）元旦后是脐橙销售旺季．今年1月份，为了促销，该脐橙种植园决定在去年12月份基础上将在线上、线下的销售价格都降低
，预计在线上、线下的销售量将在去年12月份的基础上分别增长3m%、25%，要使1月份该脐橙的总销售额达到30000元，求m的值．
【思路点拨】
（1）设去年12月份该脐橙种植园在线上销售脐橙x千克，线下销售脐橙y千克，利用总销售额＝销售单价×销售数量，结合12月份一共销售了3000千克且总销售额为26000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总销售额＝销售单价×销售数量，结合要使1月份该脐橙的总销售额达到30000元，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设去年12月份该脐橙种植园在线上销售脐橙x千克，线下销售脐橙y千克，
依题意得：
，
解得：
．
答：去年12月份该脐橙种植园在线上销售脐橙1000千克，线下销售脐橙2000千克．
（2）依题意得：10（1
m%）×1000（1+3m%）+8（1
m%）×2000×（1+25%）＝30000，
整理得：1.5m2﹣150m＝0，
解得：m1＝100，m2＝0（不合题意，舍去）．
答：m的值为100．
15．（沙坪坝区校级开学）新春佳节期间，家家户户需购置大量年货，其中零食和水果是必需品．某小区商贩大批购进旺旺大礼包和沙田柚，已知购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元．
（1）请求出每个旺旺大礼包和沙田柚的进价．
（2）年前该商贩将旺旺大礼包进价提高60%出售，沙田柚售价每个8元，每天可销售沙田柚50个，年后需求量下降，该商贩决定在年前售价的基础上降价促销以增加销量，尽可能多地减少库存，若旺旺大礼包每降价2元，每天销量在40个的基础上增加10个，年后沙田柚打7.5折出售，每天销量在年前基础上增加10个，若要使年后每天利润达到780元，则旺旺大礼包售价需降低多少元出售？
【思路点拨】
（1）设每个旺旺大礼包的进价为x元，沙田柚的进价为y元，根据“购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个旺旺大礼包和沙田柚的进价；
（2）设每个旺旺大礼包降低m元出售，则每天的销量为（40+5m）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要尽可能多地减少库存，即可得出旺旺大礼包售价需降低4元出售．
【解题过程】
解：（1）设每个旺旺大礼包的进价为x元，沙田柚的进价为y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：每个旺旺大礼包的进价为25元，沙田柚的进价为4元．
（2）设每个旺旺大礼包降低m元出售，则每天的销量为40
10＝（40+5m）个，
依题意得：（25×60%﹣m）（40+5m）+（8×75%﹣4）×（50+10）＝780，
整理得：m2﹣7m+12＝0，
解得：m1＝3，m2＝4．
又∵要尽可能多地减少库存，
∴m＝4．
答：旺旺大礼包售价需降低4元出售．
16．（渝中区校级开学）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．
（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．
【思路点拨】
（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，根据“一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价；
（2）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：今年2月第一周每个冰墩墩的进价为120元，每个雪容融的进价为80元．
（2）依题意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，
整理得：m2+114m﹣1240＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣124（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．
17．（北碚区校级期末）某画室的同学们，将自己创作的画作制成了精美的书签套盒，并在网上进行售卖，备受欢迎，某商店老板了解后决定购进一批该书签在店内销售．经过对接，画室给出的进价是10元/盒．
（1）据调查，商店老板计划首月销售1680盒，每盒售价12元，经过首月试销售，老板发现单盒书签每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望书签月销量不低于1620盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，生产原料价格上调，故每盒书签进价提高了
，售价比（1）中的最高售价减少了5a元，月销量比（1）中最低销量1620盒增加了810a，于是月销售利润达到了3564元，求a的值．
【思路点拨】
（1）设每盒的售价为x元，则月销量为（1920﹣20x）盒，根据月销量不低于1620盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）利用月销售利润＝每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为1680﹣20（x﹣12）＝（1920﹣20x）盒，
依题意得：1920﹣20x≥1620，
解得：x≤15．
答：每盒售价最高为15元．
（2）依题意得：[15﹣5a﹣10×（1
）]×（1620+810a）＝3564，
整理得：25a2+35a﹣8＝0，
解得：a1
，a2
（不合题意，舍去）．
答：a的值为
．
18．（巴南区期末）“创文工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创建全国文明城区工作已进入关键阶段．我区某校拟整修学校食堂，现需在某地砖供应商处购买大小相同，材质不同的A、B两种型号的防滑地砖共600块，且计划采购地砖的费用不超过32000元，已知A型号地砖的售价是每块80元，B型号地砖的售价是每块40元．
（1）最多能购买A型号地砖多少块？
（2）为了支持我区创文工作，该地砖供应商将A型号地砖的售价降低a%，B型号地砖的售价降低10%．由于该地砖供应商降低了售价，该校实际购买时，A型号地砖的购买量在（1）中A型号地砖的最大购买量的基础上增加了2a%，B型号地砖的购买量相应减少，这样，该校购买的600块A、B两种型号的防滑地砖的总费用比原计划的最高费用还节省了10%，求a的值．
【思路点拨】
（1）设购买A型号地砖x块，根据“采购地砖的费用不超过3200元”列不等式求解即可；
（2）根据“两种地砖的总费用为28800元”列方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）设购买A型号地砖x块，
由题意得80x+40（600﹣x）≤32000，
解得x≤200，
答：最多能购买A型号地砖200块；
（2）由题意得，80（1﹣a%）•200（1+2a%）+40（1﹣10%）•[600﹣200（1+2a%）]＝32000×90%，
整理得，a2﹣5a﹣500＝0，
解得a1＝25，a2＝﹣20（舍去），
答：a的值为25．
19．（北碚区校级开学）某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买5千克牛轧糖和4千克雪花酥，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥．
（1）求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？
（2）已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升m元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了
m千克，雪花酥销量上升
m千克，但牛轧糖的销量仍高于雪花酥，销售总额比12月多出250元，求m的值．
【思路点拨】
（1）设每千克牛轧糖的价格为x元，雪花酥的价格为y元，根据“用800元可购买5千克牛轧糖和4千克雪花酥，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出牛轧糖、雪花酥每千克的价格；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合1月份的销售总额比12月多出250元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合调整价格后牛轧糖的销量仍高于雪花酥，即可得出m的值为10．
【解题过程】
解：（1）设每千克牛轧糖的价格为x元，雪花酥的价格为y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：每千克牛轧糖的价格为80元，雪花酥的价格为100元．
（2）依题意得：（80+m）（50
m）+100（30
m）﹣（80×50+100×30）＝250，
整理得：m2﹣60m+500＝0，
解得：m1＝10，m2＝50．
又∵50
m＞30
m，
∴m
，
∴m＝10．
答：m的值为10．
20．（开州区期末）“思路创新，黄土成金”，在“精准扶贫、精准脱贫”总体安排下，我区某镇开创性引进新品种经济作物—翠冠桃，并打造了集桃花观赏、爱心认购、入园采摘于一体的“大宝寨”翠冠桃基地．去年、今年翠冠桃产量连续喜获丰收，该基地翠冠桃销售采用入园采摘和园外销售两种模式．
（1）去年该基地翠冠桃产量为60吨，全部售出，其中入园采摘销售量不超过园外销售量的3倍，求该基地入园采摘销售量至多多少吨？
（2）该种植基地去年翠冠桃入园采摘销售均价为8元/千克，园外销售均价为5元/千克，入园采摘销售量正好为（1）中的最大值，今年由于加大宣传、新苗挂果等原因入园采摘销售均价在去年的基础上上涨a%，园外销售均价也上涨
a%，入园采摘量在去年的基础上增加了15吨，园外销售量在去年的基础上上升了
a%，今年销售完毕后，基地决定从销售总额中投入11400a元引进晚熟青脆李，打造“桃李满园，果香留仙”特色品牌基地，这样投资后的剩余总销售额正好与去年销售总额持平，求a的值（其中a＜50）．
【思路点拨】
（1）设该基地入园采摘销售量为x吨，则园外销售量为（60﹣x）吨，根据入园采摘销售量不超过园外销售量的3倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）利用总销售额＝销售单价×销售数量，结合从销售总额中投入11400a元引进晚熟青脆李后的剩余总销售额正好与去年销售总额持平，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合a＜50即可得出a的值为25．
【解题过程】
解：（1）设该基地入园采摘销售量为x吨，则园外销售量为（60﹣x）吨，
依题意得：x≤3（60﹣x），
解得：x≤45．
答：去年该基地入园采摘销售量至多45吨．
（2）依题意得：8（1+a%）×（45+15）×1000+5（1
a%）×（60﹣45）×1000（1
a%）﹣11400a＝8×45×1000+5×（60﹣45）×1000，
整理得：8a2﹣5000a+120000＝0，
即a2﹣625a+15000＝0，
解得：a1＝25，a2＝600．
又∵a＜50，
∴a2＝600舍去，
∴a＝25．
答：a的值为25．