专题2.4一元二次方程的解法（因式分解法）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（下城区期中）若x2＝﹣x，则（ ）
A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0
【分析】观察方程，先移项再因式分解即可解出x的值．
【解析】x2＝﹣x，
x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
所以A、B、C错误，
故选：D．
2．（永嘉县校级模拟）方程x（x﹣2）＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝4
【分析】先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．
【解析】∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故选：D．
3．（永嘉县校级模拟）方程5x2＝4x的解是（ ）
A．x＝0 B．x
C．x1＝0，x2
D．x1＝0或x2
【分析】利用提公因式法将方程化为x（5x﹣4）＝0，即可求解．
【解析】5x2＝4x，
5x2﹣4x＝0，
x（5x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2
，
故选：C．
4．（下城区期末）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】由已知等式知这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，再分别求解可得．
【解析】∵（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x＝1或x＝﹣2，
故选：C．
5．（萧山区期中）解方程
，较简便的解法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
【分析】根据方程的特点得出即可．
【解析】解方程
较简便的解法是因式分解法，
故选：D．
6．（丽水期中）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或
B．24 C．
D．24或
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝6，x2＝10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高＝2
，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．
【解析】x2﹣16x+60＝0，
（x﹣6）（x﹣10）＝0，
x﹣6＝0或x﹣10＝0，
所以x1＝6，x2＝10，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高
2
，此时三角形的面积
8×2
8
当第三边长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积
8×6＝24．
故选：D．
7．（武义县期末）已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．
B．
C．13 D．5
【分析】求出已知方程的解得到两直角边长，利用勾股定理求出斜边即可．
【解析】方程x2﹣5x+6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2或x＝3，
根据勾股定理得：斜边为
，
故选：A．
8．（鄄城县期末）解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
【分析】先移项得到（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，然后根据因式分解法解方程．
【解析】（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0
解得：x1
，x2＝1．
故选：D．
9．（晋江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
【分析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．
【解析】∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，
∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）
＝2（x+3）（x﹣5），
故选：C．
10．（菏泽二模）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．
【解析】∵函数y＝x3，方程y'＝9x，
∴3x2＝9x，
3x2﹣9x＝0，
3x（x﹣3）＝0，
3x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（嘉兴期末）一元二次方程x（x+1）＝2（x+1）的解是 x1＝﹣1，x2＝2 ．
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解析】方程整理得：x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣2）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
12．（永嘉县校级期中）方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是 x1＝4，x2＝﹣3 ．
【分析】直接利用因式分解法解方程即可．
【解析】∵（x﹣4）（x+3）＝0，
∴x﹣4＝0或x+3＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣3；
故答案为：x1＝4，x2＝﹣3．
13．（拱墅区期中）一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2﹣11x+30＝0的一个根，则这个三角形的周长是 22 ．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【解析】解方程x2﹣11x+30＝0得：x＝5或6，
当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5＝10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；
当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10＝22，
故答案为：22．
14．（建邺区校级期末）关于a的一元二次方程a2＝3a的解为 a1＝0，a2＝3 ．
【分析】先移项，然后通过提取公因式法对等式的左边进行因式分解并解方程．
【解析】由原方程，得
a（a﹣3）＝0，
则a＝0或a﹣3＝0，
解得a1＝0，a2＝3．
故答案是：a1＝0，a2＝3．
15．（开福区校级二模）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为 24 ．
【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故答案为：24．
16．（呼和浩特一模）若a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是 x＝0 ；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是 x＝0或x＝1 ．
【分析】第一个方程两边都除以a可得；第二个方程利用因式分解法求解可得．
【解析】∵a≠0，
∴方程两边都除以a，得：x+1＝1，
解得x＝0；
∵（x﹣1）（x+1）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x＝0或x＝1，
故答案为：x＝0，x＝0或x＝1．
17．（西城区校级月考）对于实数a、b、c、d，我们定义运算
ad﹣bc，例如：
2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若
4，则x＝ 2或4 ．
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x的值．
【解析】根据题中的新定义得：
x2﹣6（x﹣2）＝4，
即x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x＝4或2．
故答案为：2或4．
18．（天水模拟）等腰△ABC的腰和底边分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个不相等的解，则此三角形的周长为 7或8 ．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系列出不等式，确定是否符合题意．
【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得x1＝2，x2＝3，
当2为腰，3为底时，2﹣2＜3＜3+3，能构成等腰三角形，周长为2+2+3＝7；
当3为腰，2为底时，3﹣2＜3＜3+2，亦能构成等腰三角形，周长为3+3+2＝8．
故周长为7或8，
故答案为7或8．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（南京期末）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解析】（1）∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
（2）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
∴3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2
．
20．（定州市期中）根据要求解方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；
（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；
（3）（x+4）2＝7（x+4）（适当的方法）．
【分析】（1）直接求出Δ＝b2﹣4ac＝25，进而利用公式法解方程即可；
（2）直接利用配方法解方程得出答案；
（3）直接利用提取公因式法解方程得出答案．
【解析】（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝25＞0，
∴x
，
解得：x1＝﹣4，x2＝1；
（2）x2+4x﹣12＝0，
x2+4x＝12，
（x+2）2＝16，
则x+2＝±4，
解得：x1＝﹣6，x2＝2；
（3）（x+4）2＝7（x+4）
（x+4）[（x+4）﹣7]＝0，
则x+4＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣4．
21．（宜宾县校级月考）按要求解下列方程
①x2﹣6x＝1（公式法）
②
x2+x﹣2＝0（用配方法）
③3x2+16x+5＝0
④x2﹣4x+5＝0（因式分解法）
【分析】方程分别利用公式法，配方法，因式分解法求出解即可．
【解析】①方程整理得：x2﹣6x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1，
∵△＝36+5＝40，
∴x
3±
；
②方程整理得：x2+4x＝8，
配方得：x2+4x+4＝12，即（x+2）2＝12，
开方得：x+2＝±2
，
解得：x1＝﹣2+2
，x2＝﹣2﹣2
；
③分解因式得：（3x+1）（x+5）＝0，
可得3x+1＝0或x+5＝0，
解得：x1
，x2＝﹣5；
④方程整理得：x2﹣4x＝﹣5，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣1，即（x﹣2）2＝﹣1，
则此方程无解．
22．（东阳市模拟）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．
【分析】先移项得到（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解析】（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣2x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣2．
23．（昭通期中）等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是多少？
【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形三边关系判断是否构成三角形，继而可得答案．
【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得：x＝2或x＝3，
当2为腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；
当3为腰时，3+3＞2，可以构成三角形，周长为8．
24．（綦江区校级月考）阅读理解下列材料，然后回答问题：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1；
（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝﹣1，x4＝﹣2．
请观察上述方程的求解过程，试解方程x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0．
【分析】分x﹣1大于等于0与小于0两种情况，求出方程的解即可．
【解析】当x﹣1≥0，即x≥1时，方程化为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1；
当x﹣1＜0，即x＜1时，方程化为x2+2x﹣3＝0，即（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣3，
综上，方程的解为x＝1或﹣3．