【324088】2024八年级数学下册 专题2.4 解一元二次方程——直接开平方法（知识讲解）（新版）

专题2.4解一元二次方程——直接开平方法

（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
2．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
【要点梳理】

直接开平方法解一元二次方程

1. 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如 的方程，根据平方根的定义可解得 ；

2. 直接开平方法适用于解形如 或 形式的方程，可以利用直接开平方法；

3. 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；

4. 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

【典型例题】

类型一、解一元二次方程➽➼直接开平方法

1．用开平方法解下列方程：

1. ； (2) ； (3) ； (4) ．

【答案】(1) (2) (3)

4. 

【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程；

（2）利用直接开平方法解一元二次方程；

（3）利用直接开平方法解一元二次方程；

（4）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解．

（1）解： ，

，

即 ；

（2）解： ，

即 ，

∴ ，

即 ；

（3）解： ，

即 ，

∴ ，

即 ；

（4）解： ，

∴ ，

∴ ，

解得： ．

【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

举一反三：

【变式1】解方程：

1. (2)

【答案】(1) ， (2) ，

【分析】（1）用开平方法解一元二次方程即可

（2）用开平方法解一元二次方程即可

解：（1）∵ ，

∴ ，

∴ ，

（2）∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

【点拨】此题考查了用开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决此题的关键．

【变式2】求下列各式中的x：

1. ； (2) ．

【答案】(1) (2) ，

【分析】（1）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可；

（2）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可．

解：（1）∵ ，

∴二次项系数化1，可得： ，

方程两边开平方，可得： ；

（2）∵ ，

∴ ，

∴ ，

解得： ， ．

【点拨】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，熟练掌握并学会灵活变形是解题关键．

2．解方程：

1. (2) ．

【答案】(1) ， (2) ，

【分析】（1）先移项，写成 的形式，然后利用数的开方解答．

（2）方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．

（1）解：移项得， ，

开方得， ，

解得 ， ．

（2）方程两边直接开方得：

，或 ，

∴ ，或 ，

解得： ， ．

【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】解方程

1. (2)

【答案】(1) (2) ，

【分析】（1）首先移项、方程两边同乘以 ，然后方程两边开立方，计算即可；

（2）首先去分母、移项，然后方程两边开平方，计算即可．

（1）解：

移项、可得： ，

方程两边同乘以 ，可得： ，

方程两边开立方，可得： ，

∴ ；

（2）解：

去分母，可得： ，

移项，可得： ，

方程两边开平方，可得： ，

于是得： 或 ，

∴ ， ．

【点拨】本题考查了解一元二次方程、立方根的定义、平方根的定义，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．

【变式2】解下列方程：

1. (2x﹣3)²=9 (2)(3x﹣1)²=(x+1)²．

【答案】(1)x₁=3，x₂=0； (2)x₁=1，x₂=0

【分析】（1）直接开方即可求解；（2）直接开方即可求解．

解：(1)直接开平方，得：2x-3=±3，

∴2x-3=3或2x-3=-3，

∴x₁=3，x₂=0；

(2)直接开平方，得：3x-1=x+1，或3x-1=-(x+1)，

∴2x=2，或4x=0，

解得：x₁=1，x₂=0．

【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方根的含义是解答本题的关键．

类型二、解一元二次方程➽➼直接开平方法➽➼应用

3．我们把形如x²=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．

如x²=9，（3x﹣2）²=25， …都是完全平方方程．

那么如何求解完全平方方程呢？

探究思路：

我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．

如：解完全平方方程x²=9的思路是：由（+3）²=9，（﹣3）²=9可得x₁=3，x₂=﹣3．

解决问题：

（1）解方程：（3x﹣2）²=25．

解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．

解：根据乘方运算，得3x﹣2=5  或  3x﹣2=　　．

分别解这两个一元一次方程，得x₁= ，x₂=﹣1．

（2）解方程 ．

【答案】（1）﹣5；（2）x₁= ，x₂= ．

【分析】（1）根据乘方运算求解；

（2）根据题意给出的思路即可求出答案．

解：（1）3x﹣2=﹣5，

（2）根据乘方运算，

得

∴x₁= ，x₂= ．

【点拨】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正理解题意.

举一反三：

【变式】嘉嘉和琪琪用图中的 、 、 、 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按 的顺序运算，则琪琪列式计算得： ．

（1）嘉嘉说-2，对-2按 的顺序运算，请列式并计算结果；

（2）嘉嘉说 ，对 按 的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求 ．

【答案】（1） ， ；（2）嘉嘉出的数是1或3．

【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可；

（2）根据题意，可以得到关于x的方程，然后解方程即可．

解：（1）

.

（2）根据题意得

，

，

，

， .

为整数， 嘉嘉出的数是1或3.

【点拨】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出x的值．

4．提出问题：

我们把形如 （其中a是常数且 ）这样的方程叫做x的完全平方方程．

如： ， ， …都是完全平方方程．

那么如何求解完全平方方程呢？

探究思路：

我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．

如：解完全平方方程 的思路是：由 ， ，可得 ， ．

解决问题：

1. 填空：解方程： ．

解题思路：我们只要把 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．

解：根据乘方运算，得 或 _______．

分别解这两个一元一次方程，得 _____， ______．

2. 解方程 ．

【答案】(1)－5， ， (2) ，

【分析】（1）根据乘方运算求解即可；

（2）根据题中给出的解题思路求解即可．

（1）解：∵ ， ，又∵ ，解得 ，解得 故答案为：－5， ， ．

（2）（2）解：两边同时除以3得： ．根据乘方运算，得： 或 分别解这两个一元一次方程，得 ，

【点拨】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意．

举一反三：

【变式】（黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：

【答案】 ，

【分析】直接开方可得 或 ，然后计算求解即可．

解：∵

∴ 或

解得 ， ．

【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．

类型三、解一元二次方程➽➼直接开平方法➽➼中考真题

5．（安徽·统考中考真题）解方程：

【答案】x=-1或x=3

【分析】本题利用直接开平方法即可求出答案．

解：x-1=±2，

x-1= 2或x-1=-2，

解得：x=-1或x=3．

【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键．

举一反三：

【变式】（浙江温州·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．

① ；② ；③ ；④ ．

【答案】① ；② ；③ ， ；④ ．

【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接开平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；

解：① ；

∵a=1，b=-3，c=1，

∴△=（-3）²-4×1×1=5＞0，

∴ ,即 ；

② ；

∴x-1=

∴ ，

③ ；

∴x（x-3）=0

∴x=0或x=3

∴ ， ；

④

∴

∴ ；

∴

∴