【324088】2024八年级数学下册 专题2.4 解一元二次方程——直接开平方法(知识讲解)(新版)
专题2.4解一元二次方程——直接开平方法
(知识讲解)
【学习目标】
1.
掌握直接开平方法解方程,会应用此判定方法解决有关问题;
2.理解解法中的降次思想,直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
【要点梳理】
直接开平方法解一元二次方程
如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如
的方程,根据平方根的定义可解得
;
直接开平方法适用于解形如
或
形式的方程,可以利用直接开平方法;
用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根;
直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
【典型例题】
类型一、解一元二次方程➽➼直接开平方法
1.用开平方法解下列方程:
; (2)
; (3)
; (4)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用直接开平方法解一元二次方程;
(2)利用直接开平方法解一元二次方程;
(3)利用直接开平方法解一元二次方程;
(4)利用直接开平方法解一元二次方程即可求解.
(1)解:
,
,
即
;
(2)解:
,
即
,
∴
,
即
;
(3)解:
,
即
,
∴
,
即
;
(4)解:
,
∴
,
∴
,
解得:
.
【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
举一反三:
【变式1】解方程:
(2)
【答案】(1)
,
(2)
,
【分析】(1)用开平方法解一元二次方程即可
(2)用开平方法解一元二次方程即可
解:(1)∵
,
∴
,
∴
,
(2)∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
【点拨】此题考查了用开平方法解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解决此题的关键.
【变式2】求下列各式中的x:
; (2)
.
【答案】(1)
(2)
,
【分析】(1)首先把二次项系数化1,再方程两边开平方,计算即可;
(2)首先把二次项系数化1,再方程两边开平方,计算即可.
解:(1)∵
,
∴二次项系数化1,可得:
,
方程两边开平方,可得:
;
(2)∵
,
∴
,
∴
,
解得:
,
.
【点拨】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程,熟练掌握并学会灵活变形是解题关键.
2.解方程:
(2)
.
【答案】(1)
,
(2)
,
【分析】(1)先移项,写成
的形式,然后利用数的开方解答.
(2)方程两边直接开方,再按解一元一次方程的方法求解.
(1)解:移项得,
,
开方得,
,
解得
,
.
(2)方程两边直接开方得:
,或
,
∴
,或
,
解得:
,
.
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法,掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键.
举一反三:
【变式1】解方程
(2)
【答案】(1)
(2)
,
【分析】(1)首先移项、方程两边同乘以
,然后方程两边开立方,计算即可;
(2)首先去分母、移项,然后方程两边开平方,计算即可.
(1)解:
移项、可得:
,
方程两边同乘以
,可得:
,
方程两边开立方,可得:
,
∴
;
(2)解:
去分母,可得:
,
移项,可得:
,
方程两边开平方,可得:
,
于是得:
或
,
∴
,
.
【点拨】本题考查了解一元二次方程、立方根的定义、平方根的定义,根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键.解一元二次方程的基本思路是:将二次方程转化为一次方程,即降次.
【变式2】解下列方程:
(2x﹣3)2=9 (2)(3x﹣1)2=(x+1)2.
【答案】(1)x1=3,x2=0; (2)x1=1,x2=0
【分析】(1)直接开方即可求解;(2)直接开方即可求解.
解:(1)直接开平方,得:2x-3=±3,
∴2x-3=3或2x-3=-3,
∴x1=3,x2=0;
(2)直接开平方,得:3x-1=x+1,或3x-1=-(x+1),
∴2x=2,或4x=0,
解得:x1=1,x2=0.
【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程,理解平方根的含义是解答本题的关键.
类型二、解一元二次方程➽➼直接开平方法➽➼应用
3.我们把形如x2=a(其中a是常数且a≥0)这样的方程叫做x的完全平方方程.
如x2=9,(3x﹣2)2=25,
…都是完全平方方程.
那么如何求解完全平方方程呢?
探究思路:
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.
如:解完全平方方程x2=9的思路是:由(+3)2=9,(﹣3)2=9可得x1=3,x2=﹣3.
解决问题:
(1)解方程:(3x﹣2)2=25.
解题思路:我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解:根据乘方运算,得3x﹣2=5 或 3x﹣2= .
分别解这两个一元一次方程,得x1=
,x2=﹣1.
(2)解方程
.
【答案】(1)﹣5;(2)x1=
,x2=
.
【分析】(1)根据乘方运算求解;
(2)根据题意给出的思路即可求出答案.
解:(1)3x﹣2=﹣5,
(2)根据乘方运算,
得
∴x1=
,x2=
.
【点拨】考查一元二次方程的解法,解题的关键是正理解题意.
举一反三:
【变式】嘉嘉和琪琪用图中的
、
、
、
四张带有运算的卡片,做一个“我说你算”的数学游戏,规则如下:嘉嘉说一个数,并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序,然后琪琪根据这个运算顺序列式计算,并说出计算结果.例如,嘉嘉说2,对2按
的顺序运算,则琪琪列式计算得:
.
(1)嘉嘉说-2,对-2按
的顺序运算,请列式并计算结果;
(2)嘉嘉说
,对
按
的顺序运算后,琪琪得到的数恰好等于12,求
.
【答案】(1)
,
;(2)嘉嘉出的数是1或3.
【分析】(1)根据题意,可以写出相应的算式,然后计算即可;
(2)根据题意,可以得到关于x的方程,然后解方程即可.
解:(1)
.
(2)根据题意得
,
,
,
,
.
为整数,
嘉嘉出的数是1或3.
【点拨】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的算式,求出x的值.
4.提出问题:
我们把形如
(其中a是常数且
)这样的方程叫做x的完全平方方程.
如:
,
,
…都是完全平方方程.
那么如何求解完全平方方程呢?
探究思路:
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.
如:解完全平方方程
的思路是:由
,
,可得
,
.
解决问题:
填空:解方程:
.
解题思路:我们只要把
看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解:根据乘方运算,得
或
_______.
分别解这两个一元一次方程,得
_____,
______.
解方程
.
【答案】(1)-5,
,
(2)
,
【分析】(1)根据乘方运算求解即可;
(2)根据题中给出的解题思路求解即可.
(1)解:∵
,
,又∵
,解得
,解得
故答案为:-5,
,
.
(2)(2)解:两边同时除以3得:
.根据乘方运算,得:
或
分别解这两个一元一次方程,得
,
【点拨】考查一元二次方程的解法,解题的关键是正确理解题意.
举一反三:
【变式】(黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)解方程:
【答案】
,
【分析】直接开方可得
或
,然后计算求解即可.
解:∵
∴
或
解得
,
.
【点拨】本题考查了解一元二次方程.解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程.
类型三、解一元二次方程➽➼直接开平方法➽➼中考真题
5.(安徽·统考中考真题)解方程:
【答案】x=-1或x=3
【分析】本题利用直接开平方法即可求出答案.
解:x-1=±2,
x-1= 2或x-1=-2,
解得:x=-1或x=3.
【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程,能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键.
举一反三:
【变式】(浙江温州·中考真题)我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法,开平方法,配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个方程.
①
;②
;③
;④
.
【答案】①
;②
;③
,
;④
.
【分析】①利用公式法求解即可.②利用直接开平方法求解即可.③利用因式分解法求解即可;④利用配方法求解即可;
解:①
;
∵a=1,b=-3,c=1,
∴△=(-3)2-4×1×1=5>0,
∴
,即
;
②
;
∴x-1=
∴
,
③
;
∴x(x-3)=0
∴x=0或x=3
∴
,
;
④
∴
∴
;
∴
∴
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