【324087】2024八年级数学下册 专题2.4 公式法解一元二次方程重难点题型（含解析）（新版）浙

专题2.4公式法解一元二次方程-重难点题型

【 知识点1 公式法解一元二次方程】

当 时，方程 通过配方，其实数根可写为 的形式，这个

式子叫做一元二次方程 的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解

一元二次方程的方法叫做公式法.

【题型1 用公式法解一元二次方程】

【例1】（淮北月考）用公式法解方程：x²﹣5x﹣1＝0．

【分析】利用公式法求解即可．

【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，

∴△＝（﹣5）²﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，

则x ，

即x₁ ，x₂ ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式1-1】（朝阳区期中）用公式法解方程：3x²﹣x﹣1＝0．

【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，

∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，

∴x ，

∴x₁ ，x₂ ．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

【变式1-2】（江干区期末）解下列一元二次方程： （公式法）．

【分析】整理后利用公式法求解可得．

【解答】解：整理，得：3x²﹣8x﹣2＝0，

∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2，

∴△＝（﹣8）²﹣4×3×（﹣2）＝88＞0，

则x ，即x₁ ，x₂ ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式1-3】（达川区期末）解方程：3x²﹣4 x+2＝0（用公式法解）．

【分析】先求出b²﹣4ac的值，再代入公式求出即可．

【解答】解：3x²﹣4 x+2＝0，

∵a＝3，b＝﹣4 ，c＝2，

∴△＝b²﹣4ac＝（﹣4 ）²﹣4×3×2＝24，

∴x ，

则x₁ ，x₂ ．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x 是解题的关键．

【题型2求根公式的应用】

【例2】（和平区期中）若一元二次方程x²+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b （　　）

A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m

【分析】根据公式得出 m，求出即可．

【解答】解：∵x²+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，

∴ m，

解得：b 2m，

故选：D．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．

【变式2-1】（福州模拟）关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的两根分别为x₁ ，x₂ ，下列判断一定正确的是（　　）

A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D． 1

【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．

【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x₁ ，x₂ ，

∵关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的两根分别为x₁ ，x₂ ，

∴x₁+x₂＝﹣b ，x₁•x₂ 1，

∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，

故选：D．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．

【变式2-2】（宜兴市校级月考）已知a是一元二次方程x²﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根，

（1）求a²﹣4a+2013的值；

（2）化简求值： ．

【分析】（1）将a代入方程确定出a²﹣4a的值，代入原式计算即可得到结果；

（2）根据a的范围化简原式即可得到结果．

【解答】解：（1）将x＝a代入方程得：a²﹣4a＝﹣2，

则原式＝﹣2+2013＝2011；

（2）方程解得：a 2 ，

∴a﹣1＜0，

则原式 （a﹣1）＝﹣1﹣a+1＝﹣a 2．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：

在一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c＝0，则有一根为1，另一根为 ．

证明：设方程的两根为x₁，x₂，由a+b+c＝0，

知b＝﹣（a+c），

∵x

∴x₁＝1，x₂ ．

（1）若一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；

（2）已知方程（ac﹣bc）x²+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明： ．

【分析】（1）由a﹣b+c＝0，可得出b＝a+c，结合给定材料可猜测方程的两根中有一根为﹣1，另一根为 ．利用求根公式结合给定材料中的证明过程即可证明猜测成立；

（2）将方程系数相加即可得知“ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0”，满足给定材料的条件，由此得出方程的两根分别为1和 ，由题意可知 1，整理变形后即可得出结论．

【解答】解：（1）有一根为﹣1，另一根为 ．

证明：设方程的两根为x₁，x₂，由a﹣b+c＝0，

知b＝a+c，

∵x ，

∴x₁＝﹣1，x₂ ．

（2）证明：∵ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0，

∴方程（ac﹣bc）x²+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）的两根分别为1和 ．

∵方程（ac﹣bc）x²+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，

∴ 1，即ab﹣ac＝ac﹣bc，

∴ab+bc＝2ac．

∵abc≠0，

∴ ．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及求根公式，解题的关键：（1）利用求根公式表示出x；（2）将方程系数相加得出方程的两个分别为1和 ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据求根公式表示出方程的解是关键．

【 知识点2 一元二次方程根的判别式】

一元二次方程根的判别式： ．

①当 时，原方程有两个不等的实数根；

②当 时，原方程有两个相等的实数根；

③当 时，原方程没有实数根.

【题型3应用根的判别式判断方程根的情况】

【例3】（河南模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（　　）

A．x²﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1

C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x²+1＝0

【分析】利用根的判别式△＝b²﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论．

【解答】解：A、∵△＝（﹣2）²﹣4×1×2＝﹣4＜0，

∴一元二次方程x²﹣2x+2＝0没有实数根；

B、方程变形为x²﹣2x+1＝0，

∵△＝（﹣2）²﹣4×1×1＝0，

∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根；

C、方程变形为x²﹣2x﹣k²﹣1＝0，

∵△＝（﹣2）²﹣4×1×（﹣k²﹣1）＝8+4k²＞0，

∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；

D、∵△＝0²﹣4×1×1＝﹣4＜0，

∴一元二次方程x²+1＝0没有实数根．

故选：C．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

【变式3-1】（滨城区一模）关于x的一元二次方程x²+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

【分析】根据根的判别式△＝（﹣k+2）²﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k²﹣8k+20＝（k﹣4）²+4＞0即可作出判断．

【解答】解：∵△＝（﹣k+2）²﹣4×1×（﹣4+k）

＝k²﹣4k+4+16﹣4k

＝k²﹣8k+20

＝k²﹣8k+16+4

＝（k﹣4）²+4＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

【变式3-2】（凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x²+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到△＝b²﹣4（k﹣1），于是可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，

所以b²＞0，﹣4k＞0，

因为△＝b²﹣4（k﹣1）＝b²﹣4k+4＞0，

所以△＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．

【变式3-3】（鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x²+2cx+a+b＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法判断

【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△＝（2c）²﹣4（a+b）（a+b）＝4c²﹣4（a+b）²，根据三角形的三边关系即可判断．

【解答】解：△＝（2c）²﹣4（a+b）（a+b）＝4c²﹣4（a+b）²＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．

∵a，b，c分别是三角形的三边，

∴a+b＞c．

∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，

∴△＜0，

∴方程没有实数根．

故选：A．

【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）²﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．

【题型4已知方程根的情况求字母系数的值或范围】

【例4】（菏泽）关于x的方程（k﹣1）²x²+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k 且k≠1 B．k 且k≠1 C．k D．k

【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．

【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．

∵关于x的方程（k﹣1）²x²+（2k+1）x+1＝0有实数根，

∴△＝（2k+1）²﹣4×（k﹣1）²×1＝12k﹣3≥0，

解得k ；

当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；

综上，k的取值范围是k ，

故选：D．

【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

【变式4-1】（广安）关于x的一元二次方程（a+2）x²﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a 且a≠﹣2 B．a C．a 且a≠﹣2 D．a

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x²﹣3x+1＝0有实数根，

∴△≥0且a+2≠0，

∴（﹣3）²﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，

解得：a 且a≠﹣2，

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

【变式4-2】（台江区校级月考）若关于x的方程x² x+n＝0有两个相等的实根，则 　　．

【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△＝0即可得到关于m、n的方程，进而即可求得 的值．

【解答】解：∵关于x的方x² x+n＝0有两个相等的实根，

∴△＝（ ）²﹣4n

∴m＝4n，

∴ 4．

故答案为：4．

【点评】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于m、n的方程是解答此题的关键．

【变式4-3】（海门市模拟）关于x的方程x²+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x²+bx+c的值都等于n，则n＝　　．

【分析】根据题意得到△＝b²﹣4c＝0，求得c ，把原方程可表示为x²+bx 0，根据x取m和m+2时，代数式x²+bx+c的值相等，得到m²+bm （m+2）²+b（m+2） ，解得b＝﹣2m﹣2，把x＝m代入x²+bx+c＝即可得到结论．

【解答】解：∵方程x²+bx+c＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b²﹣4c＝0，

∴c ，

∴原方程可表示为：x²+bx 0，

∵x取m和m+2时，代数式x²+bx+c的值相等，

∴m²+bm （m+2）²+b（m+2） ，

∴b＝﹣2m﹣2，

∴x²+bx+c＝x²+（﹣2m﹣2）x ，

当x＝m时，x²+bx+c＝m²+（﹣2m﹣2）m m²﹣2m²﹣2m+m²+2m+1＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式的求值，正确的理解题意是解题的关键．

【题型5根的判别式的综合应用】

【例5】（海淀区二模）关于x的一元二次方程x²﹣mx+2m﹣4＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．

【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）²，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．

（2）利用求根公式得到x₁＝m﹣2，x₂＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．

【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，

∴△＝b²﹣4ac

＝（﹣m）²﹣4（2m﹣4）

＝m²﹣8m+16

＝（m﹣4）²≥0，

∴此方程总有两个实数根．

（2）解：∵△＝（m﹣4）²≥0，

∴x ．

∴x₁＝m﹣2，x₂＝2．

∵此方程有一个根小于1．

∴m﹣2＜1．

∴m＜3．

【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．

【变式5-1】（萧山区期中）已知：关于x的方程kx²﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0

（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；

（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；

（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．

【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）²，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；

（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；

（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．

【解答】（1）证明：当k≠0时，

∵方程kx²﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，

∴△＝（4k﹣3）²﹣4k（3k﹣3）＝4k²﹣12k+9＝（2k﹣3）²，

∴△＝（2k﹣3）²≥0，

当k＝0时，3x﹣3＝0，

解得x＝1．

∴无论k取何值，方程都有实根；

（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，

解得k ．

故k的值 ；

（3）解：kx²﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，

∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，

∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x ，

∴此方程的两个根分别为x₁＝1，x₂＝3 ，

∵方程的两个实根均为正整数，

∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．

【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．

【变式5-2】（广东模拟）已知关于x的一元二次方程x²﹣（k+2）x+2k＝0．

（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；

（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．

（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

【分析】（1）把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根；

（2）根据根的判别式的符号进行论证；

（3）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．

【解答】解：（1）把x＝1代入x²﹣（k+2）x+2k＝0，得

1﹣k﹣2+2k＝0，

解得k＝1．

设方程的另一根为t，则

t＝2k＝2．

即k的值为1，方程的另一根为2；

（2）∵△＝（k﹣2）²≥0，

∴对于任意实数k，原方程一定有实数根；

（3）由x²﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0

此方程的两根为x₁＝k，x₂＝2

若x₁≠x₂，则x₁＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．

若x₁＝x₂＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，

所以，这个等腰三角形的周长为12．

【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．

【变式5-3】（安居区期末）已知关于x的方程x²﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．

（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．

（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：△＝（m+3）²﹣4（4m﹣4）＝m²﹣10m+25＝（m﹣5）²≥0，由此即可证得结论；

（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．

【解答】（1）证明：△＝（m+3）²﹣4（4m﹣4）＝m²﹣10m+25＝（m﹣5）²≥0，

∴无论m取何值，这个方程总有实数根；

（2）∵△ABC为等腰三角形，

∴b＝c或b、c中有一个为5．

①当b＝c时，△＝（m﹣5）²＝0，

解得：m＝5，

∴原方程为x²﹣8x+16＝0，

解得：b＝c＝4，

∵b+c＝4+4＝8＞5，

∴4、4、5能构成三角形．

该三角形的周长为4+4+5＝13．

②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，

解得：m＝6，

∴原方程为x²﹣9x+20＝0，

解得：x₁＝4，x₂＝5．

∵4、5、5能组成三角形，

∴该三角形的周长为4+5+5＝14．

综上所述，该三角形的周长是13或14．

【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．

【题型6根的判别式中新定义问题】

【例6】（郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a²+b²﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝5²+6²﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（　　）

A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x²+k²﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x²﹣3kx+k²﹣2＝0，再计算判别式的值得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：∵x*k＝x²+k²﹣2xk﹣2，

∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x²+k²﹣2xk﹣2＝xk，

整理为x²﹣3kx+k²﹣2＝0，

∵△＝（﹣3k）²﹣4（k²﹣2）＝k²+8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

【变式6-1】（瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b ，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（　　）

A．t B．t C．t D．t

【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x﹣3成立时；②当2x+1＞2x﹣3成立时；进行讨论即可求解．

【解答】解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立；

②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立；

则（2x﹣3）²﹣（2x+1）＝t，

化简得：4x²﹣14x+8﹣t＝0，

该一元二次方程有两个不相等的实数根，

△＝14²﹣4×4×（8﹣t）＞0；

解得：t ．

故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．

【变式6-2】（瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．

（1）求﹣2△ 得值；

（2）如果关于x的方程x△（a△x） 有两个相等的实数根，求实数a的值．

【分析】（1）利用新定义得到﹣2△ 2 ，然后进行二次根式的混合运算；

（2）先利用新定义把方程化为（a+1）x²+（a+1）x 0，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△＝（a+1）²﹣4（a+1） 0，然后解不等式和方程可得到a的值．

【解答】解：（1）﹣2△ 2 2×4 4 4 ；

（2）∵a△x＝ax+x，

∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，

∴关于x的方程x△（a△x） 化为x（ax+x）+ax+x ，

整理得（a+1）x²+（a+1）x 0，

∵方程有两个相等的实数根，

∴a+1≠0且△＝（a+1）²﹣4（a+1） 0，解得a＝0，

即a的值为0．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

【变式6-3】（丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE c，这时我们把关于x的形如ax² cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax² cx+b＝0必有实数根；

（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax² cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．

【分析】（1）只要证明△≥0即可解决问题．

（2）当x＝﹣1时，有a c+b＝0，即a+b c，由2a+2b c＝12，即2（a+b） c＝12，推出c＝2 ，推出a²+b²＝c²＝4，a+b＝4，由（a+b）²＝a²+2ab+b²，可得ab＝4，由此即可解决问题．

【解答】（1）证明： ，

∵a²+b²＝c²，

∴2c²﹣4ab＝2（a²+b²）﹣4ab＝2（a﹣b）²≥0，

∴关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；

（2）解：当x＝﹣1时，有 ，即 ，

∵四边形ACDE的周长是12，

∴ ，即 ，

∴ ，

∴a²+b²＝c²＝8，

又∵a+b＝4，

∴（a+b）²＝a²+2ab+b²，即16＝8+2ab，

∴ab＝4，

∴ ．

【点评】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．