【324086】2024八年级数学下册 专题2.3一元二次方程的解法（公式法）（含解析）（新版）浙教版

专题2.3一元二次方程的解法（公式法）

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（盐城期末）用公式法解一元二次方程3x²﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　）

A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8

【分析】整理为一般式即可得出答案．

【解析】∵3x²﹣4x＝8，

∴3x²﹣4x﹣8＝0，

则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，

故选：B．

2．（连城县期中）已知α是一元二次方程x²﹣x﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（　　）

A．2＜α＜3 B．1.5＜α＜2 C．1＜α＜1.5 D．0＜α＜1

【分析】先求出方程的解，再估算出 的范围，求出 的范围，即可得出选项．

【解析】解方程x²﹣x﹣1＝0得：x₁ ，x₂ ，

即a ，

∵2 3，

∴3＜1 4，

∴ 2，

即1.5＜a＜2，

故选：B．

3．（西湖区期末）方程x²+x﹣1＝0的一个根是（　　）

A．1 B． C．﹣1 D．

【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．

【解析】∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，

∴Δ＝b²﹣4ac＝1²﹣4×（﹣1）＝5，

则x ，

所以x₁ ，x₂ ．

故选：D．

4．（肥城市期末）x 是下列哪个一元二次方程的根（　　）

A．3x²+2x﹣1＝0 B．2x²+4x﹣1＝0 C．﹣x²﹣2x+3＝0 D．3x²﹣2x﹣1＝0

【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b²﹣4ac的值（若b²﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b²﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．

【解析】A、3x²+2x﹣1＝0中，x ，不合题意；

B、2x²+4x﹣1＝0中，x ，不合题意；

C、﹣x²﹣2x+3＝0中，x ，不合题意；

D、3x²﹣2x﹣1＝0中，x ，符合题意；

故选：D．

5．（泗县一模）设x₁为一元二次方程2x²﹣4x 较小的根，则（　　）

A．0＜x₁＜1 B．﹣1＜x₁＜0 C．﹣2＜x₁＜﹣1 D．﹣5＜x₁

【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．

【解析】2x²﹣4x ，

8x²﹣16x﹣5＝0，

x ，

∵x₁为一元二次方程2x²﹣4x 较小的根，

∴x₁ 1 ，

∵5 6，

∴﹣1＜x₁＜0．

故选：B．

6．（台州期中）用公式法解一元二次方程2x²﹣3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（　　）

A．2，﹣3，﹣1 B．2，3，1 C．2，﹣3，1 D．2，3，﹣1

【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c．

【解析】∵方程2x²﹣3x＝1化为一般形式为：2x²﹣3x﹣1＝0，

∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．

故选：A．

7．（江岸区校级自主招生）若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）²+bx＝b﹣c的解为（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣1或x＝2 D．x＝﹣2或x＝0

【分析】由a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0知x＝2和x＝﹣1满足方程a（x﹣1）²+bx＝b﹣c．

【解析】∵a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0，

∴在方程a（x﹣1）²+bx＝b﹣c中，当x＝2时，a+2b＝b﹣c，即a+b+c＝0，

当x＝﹣1时，4a﹣b＝b﹣c，即4a﹣2b+c＝0，

∴方程的解为x＝﹣1或x＝2，

故选：C．

8．（仙居县校级月考）一元二次方程x²﹣2x＝1的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【分析】整理后得出x²﹣2x﹣1＝0，求出Δ＝8＞0，再根据根的判别式的内容得出答案即可．

【解析】x²﹣2x＝1，

整理，得x²﹣2x﹣1＝0，

∵Δ＝（﹣2）²﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：B．

9．（江汉区期中）关于x的方程kx²+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k B．k 且k≠0 C．k D．k 且k≠0

【分析】由方程kx²+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，可得△≥0且k≠0，即可求得k的取值范围．

【解析】当k＝0时，原方程可化为﹣x﹣3＝0，

∴x＝﹣3，

∵方程kx²+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个实数根，

∴Δ＝b²﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]²﹣4k（k﹣3）＝8k+1≥0，

解得：k ，

∴k的取值范围为：k ．

故选：A．

10．（南湖区校级期中）定义：cx²+bx+a＝0是一元二次方程ax²+bx+c＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（　　）

A．如果x＝2是x²+2x+c＝0的倒方程的解，则

B．如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根

C．如果一元二次方程ax²﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解

D．如果一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根

【分析】根据一元二次方程的解，根的判别式分别判断即可．

【解析】x²+2x+c＝0的倒方程是cx²+2x+1＝0，将x＝2代入， ，故A正确；

∵ac＜0，∴b²﹣4ac＞0，∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故B正确；

∵ax²﹣2x+c＝0无解，∴4﹣ac＜0，它的倒方程的根的判别式也为4﹣ac＜0，∴它的倒方程也无解，故C正确；

若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D错误

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（邓州市期中）写出方程x²+x﹣1＝0的一个正根　 　．

【分析】找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可得到结果．

【解析】这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，

∵△＝1+4＝5，

∴x ，

则方程的一个正根为 ．

故答案为： ．

12．（思明区校级期中）已知x （b²﹣4c＞0），则x²+bx+c+3的值为　3　．

【分析】由 是方程x²+bx+c＝0的解可得答案．

【解析】∵ 是方程x²+bx+c＝0的解，

∴x²+bx+c+3＝3，

故答案为：3．

13．（高州市期中）方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的判别式是　b²﹣4ac　，求根公式是　 　．

【分析】答题时首先要知道根的判别式的含义，Δ＝b²﹣4ac，知道求根公式．

【解析】方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的判别式是b²﹣4ac，求根公式为 ．

14．（莘县一模）若关于x的方程（k﹣1）x²+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是　k≤5　．

【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，其中k﹣1≠0时根据题意列出关于k的不等式求解可得．

【解析】当k﹣1＝0时，方程为4x+1＝0，显然有实数根；

当k﹣1≠0，即k≠1时，Δ＝4²﹣4×（k﹣1）×1≥0，

解得k≤5且k≠1；

综上，k≤5．

故答案为：k≤5．

15．（饶平县校级模拟）若关于x的一元二次方程x²+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为　﹣1　．

【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b²﹣4ac＝0，建立关于k的等式，求出k的值．

【解析】∵关于x的一元二次方程x²+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝b²﹣4ac＝4+4k＝0，

解得k＝﹣1，

故答案为﹣1．

16．（嵊州市期末）关于x的一元二次方程x²﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值　1（答案不唯一）　．（写出一个即可）

【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）²﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．

【解析】根据题意得Δ＝（﹣3）²﹣4m＞0，

解得m ，

所以当m取1时，方程有两个不相等的实数根．

故答案为：1（答案不唯一）．

17．（江干区二模）关于x的一元二次方程（1﹣m）x²﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞0且m≠1　．

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1﹣m≠0且Δ＝（﹣2）²﹣4（1﹣m）＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．

【解析】根据题意得1﹣m≠0且Δ＝（﹣2）²﹣4（1﹣m）＞0，

解得m＞0且m≠1．

故答案为：m＞0且m≠1．

18．（丽水期末）已知二次多项式x²﹣ax+a﹣5．

（1）当x＝1时，该多项式的值为　﹣4　；

（2）若关于x的方程x²﹣ax+a﹣5＝0，有两个不相等的整数根，则正数a的值为　2或5　．

【分析】（1）把x＝1代入代数式化简即可；

（2）设x₁，x₂是方程两个不相等的整数根，于是得到x₁+x₂＝a，x₁x₂＝a5．求得Δ＝（﹣a）²﹣4（a﹣5）＝a²﹣4a+20＝（a﹣2）²+16为完全平方数，列方程组即可得到结论．

【解析】解（1）当x＝1时，x²﹣ax+a﹣5＝1﹣a+a﹣5＝﹣4，

故答案为﹣4；

（2）设x₁，x₂是方程两个不相等的整数根，

则x₁+x₂＝a，x₁x₂＝a﹣5．

∴a，a﹣5均为整数，

∴Δ＝（﹣a）²﹣4（a﹣5）＝a²﹣4a+20＝（a﹣2）²+16为完全平方数，

设（a﹣2）²+16＝t²（t为整数，且t≥0），

则（a﹣2）²﹣t²＝﹣16．于是，（a﹣2﹣t）（a﹣2+t）＝﹣16，

由于a﹣2﹣t，a﹣2+t奇偶性相同，且a﹣2﹣t≤a﹣2+t，

∴ 或 或 ，

解得 或 （舍去）或 ，

经检验a＝2，a＝5符合要求，

∴a＝2或a＝5，

故答案为2或5．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（舞钢市期末）解方程．

（1）﹣3x²﹣4x+4＝0；

（2）x²﹣6x+9＝（2x﹣1）²．

【分析】（1）利用公式法求解即可；

（2）先去括号、移项、合并同类项，然后利用因式分解法即可得出答案．

【解析】（1）∵a＝﹣3，b＝﹣4，c＝4，

∴b²﹣4ac＝16﹣4×（﹣3）×4＝64＞0，

∴x ，

∴x₁＝﹣2，x₂ ；

（2）x²﹣6x+9＝（2x﹣1）²，

x²﹣6x+9＝4x²﹣4x+1，

3x²+2x﹣8＝0，

（3x﹣4）（x+2）＝0，

解得x₁ ，x₂＝﹣2．

20．（常州模拟）解下列方程

（1）x²﹣3x﹣2＝0；

（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．

【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根；

（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．

【解析】（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，

∴Δ＝b²﹣4ac＝（﹣3）²﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，

∴x ，

∴x₁ ，x₂ ；

（2）原方程化为x²+x﹣6＝0，

∵（x+3）（x﹣2）＝0，

∴x+3＝0或x﹣2＝0，

∴x₁＝﹣3，x₂＝2．

21．（遂宁期末）（1）用配方法解方程：2x²﹣x﹣1＝0．

（2）公式法解方程：2x²﹣7x+3＝0．

【分析】（1）利用配方法求解即可；

（2）利用公式法求解即可．

【解析】（1）两边都除以2，得 ．

移项，得 ．

配方，得 ， ，

∴ 或 ，

∴x₁＝1， ；

（2）∵2x²﹣7x+3＝0，

∴b²﹣4ac＝（﹣7）²﹣4×2×3＝25＞0，

则x ，

∴x₁ ，x₂＝3．

22．（临清市期末）关于x的一元二次方程（k﹣2）x²﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k²+mk+1＝0的根，求m的值．

【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠0且Δ＝（﹣4）²﹣4（k﹣2）×2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；

（2）满足条件的k的值为3，然后把k＝3代入k²+mk+1＝0得9+3m+1＝0，然后解关于m的方程即可．

【解析】（1）根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣4）²﹣4（k﹣2）×2＞0，

解得k＜4且k≠2；

（2）符合条件的最大整数k＝3，

把k＝3代入k²+mk+1＝0得9+3m+1＝0，解得m ．

23．（温岭市期中）已知关于x的一元二次方程x²+x+a﹣2＝0．

（1）若该方程的一个根为2，求a的值；

（2）若该方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

【分析】（1）把x＝2代入已知方程，得到关于a的一元一次方程，解该方程即可；

（2）关于x的方程x²+x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，即判别式即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．

【解析】（1）把x＝2代入原方程得：4+2+a﹣2＝0．

解得a＝﹣4；

（2）△＝b²﹣4ac＝1²﹣4×1×（a﹣2）＝﹣4a+9＞0，此时a ．

故a的取值范围是a ．

24．（西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x²﹣（k+3）x+2k+2＝0．

（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）²≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x₁＝2、x₂＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【解析】（1）证明：∵在方程x²﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]²﹣4×1×（2k+2）＝k²﹣2k+1＝（k﹣1）²≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵x²﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，

∴x₁＝2，x₂＝k+1．

∵方程有一根小于1，

∴k+1＜1，解得：k＜0，

∴k的取值范围为k＜0．