【324083】2024八年级数学下册 专题2.3 配方法解一元二次方程重难点题型（含解析）（新版）浙

专题2.3配方法解一元二次方程-重难点题型

【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】

【例1】（上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x²+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　）

A．（x﹣1）²＝4 B．（x+1）²＝4 C．（x+2）²＝1 D．（x﹣2）²＝1

【变式1-1】（隆回县期末）把x²﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（　　）

A． B．

C． D．

【变式1-2】（崂山区期末）解方程：x²﹣5x+1＝0（配方法）．

【变式1-3】（白银期末）解方程：x²+2＝2 x．

【题型2用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】

【例2】（陇县期中）用配方法解方程2x²＝7x﹣3，方程可变形为（　　）

A．（x ）² B．（x ）²

C．（x ）² D．

【变式2-1】（巩义市期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）

A．2m²+m﹣1＝0化为

B．x²﹣6x+4＝0化为（x﹣3）²＝5

C．2t²﹣3t﹣2＝0化为

D．3y²﹣4y+1＝0化为

【变式2-2】（开江县期末）解方程：3x²+1＝2 x．

【变式2-3】（朝阳区校级期中）已知y₁ 8x﹣1，y₂＝6x+2，当x取何值时y₁＝y₂．

【题型3利用一元二次方程的配方求字母的值】

【例3】（津南区期中）一元二次方程x²﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）²＝11，则c和m的值分别是（　　）

A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8

【变式3-1】（镇江校级期中）已知方程x²﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）²＝7，那么方程x²+6x+q＝0配方后是（　　）

A．（x﹣p）²＝5 B．（x+p）²＝5 C．（x﹣p）²＝9 D．（x+p）²＝7

【变式3-2】（内江期末）如果x²﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）²＝6的形式，那么x²+8x+m＝0可以配方成（　　）

A．（x﹣n+5）²＝1 B．（x+n）²＝1

C．（x﹣n+5）²＝11 D．（x+n）²＝6

【变式3-3】（邓州市期末）若一元二次方程x²+bx+5＝0配方后为（x﹣4）²＝k，则k的值为　　．

【题型4利用一元二次方程的配方法解新定义问题】

【例4】（建平县期末）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a²+b²+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（　　）

A．x₁＝x₂＝1 B．x₁＝0，x₂＝1 C．x₁＝x₂＝﹣1 D．x₁＝1，x₂＝﹣2

【变式4-1】（北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a²+b²，a★b ，则方程3☆x＝x★12的解为　　．

【变式4-2】（福州期中））将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若 8x，则x＝　　．

【变式4-3】（市中区期中）阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i²＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．

例如：解方程x²＝﹣1，

解得：x₁＝i，x₂＝﹣i．

同样我们也可以化简 2i；

读完这段文字，请你解答以下问题：

（1）填空：i³＝　　，i⁴＝　　，i⁶＝　　，i²⁰²⁰＝　　；

（2）在复数范围内解方程：（x﹣1）²＝﹣1．

（3）在复数范围内解方程：x²﹣4x+8＝0．

【题型5配方法的应用】

【例5】（常熟市期中）我们知道“a²≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x²+2x+2＝x²+2x+1+1＝（x+1）²+1．

∵（x+1）²≥0，

∴（x+1）²+1≥1．

即：x²+2x+2≥1．

试利用“配方法”解决以下问题：

（1）填空：x²﹣2x+4＝（A）²+B，则代数式A＝　　，常数B＝　　；

（2）已知a²+b²＝6a﹣4b﹣13，求a^b的值；

（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x²﹣1，试比较M，N的大小．

【变式5-1】（石狮市校级月考）阅读材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16＝0，求m，n的值．

解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16＝0，

∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）＝0，（m﹣n）²+（n﹣4）²＝0，

∴（m﹣n）²＝0，（n﹣4）²＝0，

∴n＝4，m＝4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a²+b²﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围；

（2）已知P＝2x²+4y+13，Q＝x²﹣y²+6x﹣1，比较P，Q的大小．

【变式5-2】（历城区期中）阅读下列材料：

利用完全平方公式，将多项式x²+bx+c变形为（x+m）²+n的形式，

例如：x²﹣8x+17＝x²﹣2•x•4+4²﹣4²+17＝（x﹣4）²+1．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）填空：将多项式x²﹣2x+3变形为（x+m）²+n的形式，并判断x²﹣2x+3与0的大小关系，

∵x²﹣2x+3＝（x﹣　　）²+　　；

所以x²﹣2x+3　　0（填“＞”、“＜”、“＝”）；

（2）将多项式x²+6x﹣9变形为（x+m）²+n的形式，并求出多项式的最小值；

（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．

【变式5-3】（南京月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²﹣2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．

例如：分解因式x²+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；

例如：求代数式2x²+4x﹣6的最小值：2x²+4x﹣6＝2（x²+2x﹣3）＝2（x+1）²﹣8．可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：m²﹣6m﹣7．

（2）当a，b为何值时，多项式a²+b²﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；

（3）当a，b为何值时，多项式a²﹣2ab+2b²﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．

【题型6一元二次方程的几何解法】

【例6】（内江期末）《代数学》中记载，形如x²+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x²+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）

A．6 B．3 3 C．3 2 D．3

【变式6-1】（丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x²+2x﹣35＝0写成x²+2x＝35的形式，并将方程左边的x²+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x²+2x+　　＝35+　　，整理，得（x+1）²＝36．因为x表示边长，所以x＝　　．

【变式6-2】（东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x²+10x﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x²+10x﹣39＝0，所以有x（x+10）＝39．

展示1：阿尔•花拉子米构图法

如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x+10），宽为x，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．

（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为　　；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x+　　）²＝39+　　；

展示2：赵爽构图法

如图3，用4个长都是（x+10），宽都是x的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．

（2）图3中，大正方形面积可以表示为（　　）²（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+　　，故可得原方程的一个正的根为　　．

（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x²+2x＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．

【变式6-3】（杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．

（1）求∠DCE的度数．

（2）设BC＝a，AC＝b．

①线段BE的长是关于x的方程x²+2bx﹣a²＝0的一个根吗？说明理由．

②若D为AE的中点，求 的值．