【324084】2024八年级数学下册 专题2.3 一元二次方程（巩固篇）（新版）浙教版

专题2.3 一元二次方程（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

1．下列方程中属于一元二次方程的是（     ）

A． B． C． D．

2．下面关于x的方程中： ， 其中一元二次方程的个数为（      ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．如果关于x的一元二次方程 ，有一个解是0，那么m的值是（    ）

A．3 B． C． D．0或

4．方程 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）

A． ， ， B． ， ，0 C．3， ，0 D．3，

5．已知 是关于x的一元二次方程 的一个根，则m的值是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

6．关于 的方程 的解是 ， （ ， ， 均为常数， ），则方程 的解是（    ）

A． ， B． ， C． ， D．无法求解

7．若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则一元二次方程 必有一根为（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2019

8．根据下列表格的对应值：判断方程x²+x﹣1＝0一个解的取值范围是（　　）

x	0.59	0.60	0.61	0.62	0.63
x2+x﹣1	﹣0.061	﹣0.04	﹣0.017	0.0044	0.027

A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63

9．若 是方程 的一个根，设 ， ，则p与q的大小关系为（    ）

A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定

10．若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则一元二次方程 必有一根为（    ）．

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

二、填空题

11．若关于 的方程 是一元二次方程，则 ________．

12．已知关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是 ．请你写出一个符合条件的一元二次方程____________________．

13．若关于x的一元二次方程 的一次项系数为0，则a的值为_____．

14．将一元二次方程 化成 的形式则 ____________．

15．已知 ，则 __________．

16．己知m为方程 的根，那么 的值为______．

17．已知a是方程 的一个根，则代数式 的值为：_____________

18．已知 为一元二次方程 的一个根，且 ， 为有理数，则 ______， ______．

三、解答题

19．方程（m﹣3） ＋（m﹣2）x＋5＝0

(1)m为何值时，方程是一元二次方程；

(2)m为何值时，方程是一元一次方程．

20．若m是一元二次方程 的一个实数根．

（1）求a的值；

（2）不解方程，求代数式 的值．

21．已知代数式 ．

(1)化简代数式 ；

(2)若m是方程 的一个根．求代数式 的值．

22．计算：

先化简，再求值： ，其中x的值是一元二次方程 的解．

23．已知一元二次方程 ，

(1)如果方程有一个根是 ，那么 ， ， 之间有什么关系？

(2)如果方程有一个根是 ，那么 ， ， 之间有什么关系？

(3)如果方程有一个根是 ，那么未知项的系数或常数项有什么特征？

24．有一个三角形，面积为30cm²，其中一边比这边上的高的4倍少1cm． 若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．

参考答案

1．A

【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案．

解：A. 是关于x的一元二次方程，故该选项满足题意；

B. 不是整式方程，故该选项不满足题意；

C. ，含有两个未知数，故该选项不满足题意；

D. ，化简后不含有二次项，故该选项不满足题意．

故选：A．

【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．A

【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程）分别分析得出答案．

解： 是一元一次方程，不合题意；

是一元二次方程，符合题意；

含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；

不符合一元二次方程的定义，不合题意；

是一元二次方程，符合题意；

不符合一元二次方程的定义，不合题意；

∴其中一元二次方程的个数为：2，

故选：A．

【点拨】此题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程具备的条件是解题的关键．

3．B

【分析】把x=0代入方程（m-3）x²+3x+m²-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．

解：把x=0代入方程（m-3）x²+3x+m²-9=0中，得

m²-9=0，

解得m=-3或3，

当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，

∴m=-3

故选：B．

【点拨】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.

4．C

【分析】首先把方程化成一般形式 ，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．

解： ，

去括号得：

移项得：

合并同类项得：

二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是 ，

故选：C．

【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式 ．其中 叫做二次项系数； 叫做一次项系数； 叫做常数项．

5．A

【分析】根据 是关于x的一元二次方程 的一个根，将 代入 得到 ，解得 ，从而确定答案．

解： 是关于x的一元二次方程 的一个根，

将 代入 得到 ，解得 ，

故选：A．

【点拨】本题考查一元二次方程根的定义以及解一元一次方程，熟练理解方程根的定义是解决问题的关键．

6．A

【分析】变号后将 转换成 利用整体思想解题即可．

解：∵ 可转化为 ，方程 的解是 ， ，

∴ 或 ，

∴ ，

故选A．

【点拨】本题主要考查一元二次方程根的运用，能够熟练运用整体思想是解题关键．

7．D

【分析】先合并带b的式子，再左右两边乘以2后利用整体思想解题即可．

解：原式化简为： ，则有 ，

∵一元二次方程 的一个根是 ，

∴ ，解得 ，

故选：D．

【点拨】本题主要考查一元二次方程的根，能够利用整体思想是解题关键．

8．C

【分析】观察表格中数据，可发现在0.61和0.62之间有一个x的值能使x²+x-1的值为0，即可得到答案．

解：∵x＝0.61时，x²+x﹣1＝﹣0.0179；x＝0.62时，x²+x﹣1＝0.0044，

∴方程x²+x﹣1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．

故选：C．

【点拨】本题考查了一元二次方程的近似解的取值范围，当x的值代入后方程两边结果越接近，则未知数的值越接近方程的根，即可找到方程近似解的范围．

9．A

【分析】把 代入方程 得 ，作差法比较可得．

解：∵x₁是方程 的一个根，

∴ ，

则

＝ac﹣ac﹣1

＝﹣1，

∴p﹣q＜0，

∴p＜q．

故选：A．

【点拨】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．

10．A

【分析】对一元二次方程 变形，设t＝x＋2得到 ，利用 的一个根是 可得t＝2022，从而求出x即可．

解：对于一元二次方程 即 ，

设t＝x＋2，则可得 ，

而关于x的一元二次方程 的一个根是 ，

所以 有一个根为t＝2022，

所以x＋2＝2022，

解得x＝2020，

所以一元二次方程 必有一根为x＝2020，

故选：A．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

11．-1

【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．

解：∵关于x的方程 是一元二次方程，

∴k−1≠0且|k|＋1＝2，

解得：k＝−1，

故答案为：−1．

【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．

12．

【分析】由关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是 ，可以将方程写为 即可得到答案．

解：∵关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是 ，

∴可以将一元二次方程写成 即 ，

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

13．

【分析】利用一元二次方程定义进行计算即可．

解：由题意得：-（4a²-1）=0，且a+ ≠0，

解得：a= ，

故答案为： ．

【点拨】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

14．1

【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．

解：将一元二次方程 化成一般形式 之后，变为 ，

故 ，

，

故答案为：1．

【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．

15．6

【分析】将 表示，然后再将 看成是 降幂后整体代入处理即可得到结果.

解：∵

∴

∴原式=

.

故答案为：6.

【点拨】本题借助一元二次方程考查了降幂思想求多项式的值，本题的关键是将 看成是 ，进而整体代入求解.

16．

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 ，则 ，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．

解：∵m是方程 的一个根，

∴ ，

∴ ，

∴

．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．

17．

【分析】根据a是一元二次方程 的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．

解：∵a是一元二次方程 的一个根，

∴ ，

∴ ， ，

把上面的两个式子代入原式求解，

．

故答案是： ．

【点拨】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．

18．     ；     ；

【分析】将 因式分解求得 ，则 可化简得 ，根据 ， 为有理数，可得 ， 也为有理数，故当 时候，只有 ， ，据此求解即可．

解：∵

∴

∴

∴

∴

∴

∵ ， 为有理数，

∴ ， 也为有理数，

故当 时候，只有 ， ，

∴ ， ，

故答案是： ， ；

【点拨】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．

19．(1)m＝﹣3

(2)3或±2 或±

【分析】（1）由一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案；

（2）由一元一次方程的定义进行计算，即可求出答案；

（1）

解：根据题意，则

∵方程（m﹣3） ＋（m﹣2）x＋5＝0是一元二次方程，

∴ 且m﹣3≠0，

解得m＝﹣3．

故m为﹣3时，原方程是一元二次方程；

（2）

解：根据题意，则

∵关于（m﹣3） +（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，

∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或 或 ，

解得m＝3或m＝±2 或m＝±

故m为3或±2 或± 时，原方程是一元一次方程．

【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算．

20．（1） ；（2）4

【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到 ，即可求解；

（2）利用方程的解得到 ，推出 和 ，再整体代入原式即可求解．

解：（1）由于 是关于 的一元二次方程，

所以 ，

解得 ；

（2）由（1）知，该方程为 ，

把 代入，得 ，

所以 ，①

由 ，得 ，

所以 ，②

把①和②代入 ，

得 ，

即 ．

【点拨】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得 和 是解题的关键．

21．(1)

(2)

【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可

（2）根据方程的根得到 ，然后代入代数式即可

解：（1）解：

（2）∵ 是方程 的一个根，

∴ ，

∴ ，

∴

【点拨】本题考查了整式的化简求值和一元二次方程的根，能够熟练的使用整式的运算法则进行计算是解决问题的关键

22． ， 6

【分析】先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而根据方程变形得出 ，代入计算即可．

解：原式

；

∵ ，

∴ ，

∴原式 ；

【点拨】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

23．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）把 代入方程即可得出答案；

（2）把 代入方程即可得出答案；

（3）把 代入方程即可得出答案．

解：（1）解：把 代入方程 得： ，

∴ ， ， 之间的关系是： ；

（2）把 代入方程 得： ，

∴ ， ， 之间的关系是： ；

（3）把 代入方程 得： ，

∴常数项 ．

【点拨】本题考查的是一元二次方程的根，掌握这个概念是关键．

24．详见分析.

【分析】分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程，主要是利用三角形的面积公式:三角形的面积= ×三角形底边的长×高.

解： x（4x-1）=30，是一元二次方程，一般形式为2x²- x-30=0，二次项系数为2，一次项系数为- ，常数项为-30.

【点拨】本题主要考查根据题意列方程及一元二次方程的定义.，解题关键是正确列方程.