专题2.3
一元二次方程（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下面关于x的方程中：
，
其中一元二次方程的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如果关于x的一元二次方程
，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B．
C．
D．0或
4．方程
化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．
，
，
B．
，
，0 C．3，
，0 D．3，
5．已知
是关于x的一元二次方程
的一个根，则m的值是（ ）
A．
B．0 C．1 D．2
6．关于
的方程
的解是
，
（
，
，
均为常数，
），则方程
的解是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．无法求解
7．若关于x的一元二次方程
的一个根是
，则一元二次方程
必有一根为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2019
8．根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）
-
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x﹣1
﹣0.061
﹣0.04
﹣0.017
0.0044
0.027
A．0.59＜x＜0.60 B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62 D．0.62＜x＜0.63
9．若
是方程
的一个根，设
，
，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定
10．若关于x的一元二次方程
的一个根是
，则一元二次方程
必有一根为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题
11．若关于
的方程
是一元二次方程，则
________．
12．已知关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是
．请你写出一个符合条件的一元二次方程____________________．
13．若关于x的一元二次方程
的一次项系数为0，则a的值为_____．
14．将一元二次方程
化成
的形式则
____________．
15．已知
，则
__________．
16．己知m为方程
的根，那么
的值为______．
17．已知a是方程
的一个根，则代数式
的值为：_____________
18．已知
为一元二次方程
的一个根，且
，
为有理数，则
______，
______．
三、解答题
19．方程（m﹣3）
＋（m﹣2）x＋5＝0
(1)m为何值时，方程是一元二次方程；
(2)m为何值时，方程是一元一次方程．
20．若m是一元二次方程
的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式
的值．
21．已知代数式
．
(1)化简代数式
；
(2)若m是方程
的一个根．求代数式
的值．
22．计算：
先化简，再求值：
，其中x的值是一元二次方程
的解．
23．已知一元二次方程
，
(1)如果方程有一个根是
，那么
，
，
之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是
，那么
，
，
之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是
，那么未知项的系数或常数项有什么特征？
24．有一个三角形，面积为30cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm． 若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
参考答案
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案．
解：A.
是关于x的一元二次方程，故该选项满足题意；
B.
不是整式方程，故该选项不满足题意；
C.
，含有两个未知数，故该选项不满足题意；
D.
，化简后不含有二次项，故该选项不满足题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．A
【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程）分别分析得出答案．
解：
是一元一次方程，不合题意；
是一元二次方程，符合题意；
含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
不符合一元二次方程的定义，不合题意；
是一元二次方程，符合题意；
不符合一元二次方程的定义，不合题意；
∴其中一元二次方程的个数为：2，
故选：A．
【点拨】此题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程具备的条件是解题的关键．
3．B
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点拨】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
4．C
【分析】首先把方程化成一般形式
，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．
解：
，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
二次项系数是
、一次项系数是
、常数项是
，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式
．其中
叫做二次项系数；
叫做一次项系数；
叫做常数项．
5．A
【分析】根据
是关于x的一元二次方程
的一个根，将
代入
得到
，解得
，从而确定答案．
解：
是关于x的一元二次方程
的一个根，
将
代入
得到
，解得
，
故选：A．
【点拨】本题考查一元二次方程根的定义以及解一元一次方程，熟练理解方程根的定义是解决问题的关键．
6．A
【分析】变号后将
转换成
利用整体思想解题即可．
解：∵
可转化为
，方程
的解是
，
，
∴
或
，
∴
，
故选A．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的运用，能够熟练运用整体思想是解题关键．
7．D
【分析】先合并带b的式子，再左右两边乘以2后利用整体思想解题即可．
解：原式化简为：
，则有
，
∵一元二次方程
的一个根是
，
∴
，解得
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的根，能够利用整体思想是解题关键．
8．C
【分析】观察表格中数据，可发现在0.61和0.62之间有一个x的值能使x2+x-1的值为0，即可得到答案．
解：∵x＝0.61时，x2+x﹣1＝﹣0.0179；x＝0.62时，x2+x﹣1＝0.0044，
∴方程x2+x﹣1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的近似解的取值范围，当x的值代入后方程两边结果越接近，则未知数的值越接近方程的根，即可找到方程近似解的范围．
9．A
【分析】把
代入方程
得
，作差法比较可得．
解：∵x1是方程
的一个根，
∴
，
则
＝ac﹣ac﹣1
＝﹣1，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
故选：A．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
10．A
【分析】对一元二次方程
变形，设t＝x＋2得到
，利用
的一个根是
可得t＝2022，从而求出x即可．
解：对于一元二次方程
即
，
设t＝x＋2，则可得
，
而关于x的一元二次方程
的一个根是
，
所以
有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程
必有一根为x＝2020，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．-1
【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
解：∵关于x的方程
是一元二次方程，
∴k−1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝−1，
故答案为：−1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
12．
【分析】由关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是
，可以将方程写为
即可得到答案．
解：∵关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是
，
∴可以将一元二次方程写成
即
，
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
13．
【分析】利用一元二次方程定义进行计算即可．
解：由题意得：-（4a2-1）=0，且a+
≠0，
解得：a=
，
故答案为：
．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
14．1
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
解：将一元二次方程
化成一般形式
之后，变为
，
故
，
，
故答案为：1．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
15．6
【分析】将
表示，然后再将
看成是
降幂后整体代入处理即可得到结果.
解：∵
∴
∴原式=
.
故答案为：6.
【点拨】本题借助一元二次方程考查了降幂思想求多项式的值，本题的关键是将
看成是
，进而整体代入求解.
16．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到
，则
，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．
解：∵m是方程
的一个根，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．
17．
【分析】根据a是一元二次方程
的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．
解：∵a是一元二次方程
的一个根，
∴
，
∴
，
，
把上面的两个式子代入原式求解，
．
故答案是：
．
【点拨】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．
18．
；
；
【分析】将
因式分解求得
，则
可化简得
，根据
，
为有理数，可得
，
也为有理数，故当
时候，只有
，
，据此求解即可．
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
，
为有理数，
∴
，
也为有理数，
故当
时候，只有
，
，
∴
，
，
故答案是：
，
；
【点拨】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
19．(1)m＝﹣3
(2)3或±2
或±
【分析】（1）由一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案；
（2）由一元一次方程的定义进行计算，即可求出答案；
（1）
解：根据题意，则
∵方程（m﹣3）
＋（m﹣2）x＋5＝0是一元二次方程，
∴
且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3．
故m为﹣3时，原方程是一元二次方程；
（2）
解：根据题意，则
∵关于（m﹣3）
+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，
∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或
或
，
解得m＝3或m＝±2
或m＝±
故m为3或±2
或±
时，原方程是一元一次方程．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算．
20．（1）
；（2）4
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到
，即可求解；
（2）利用方程的解得到
，推出
和
，再整体代入原式即可求解．
解：（1）由于
是关于
的一元二次方程，
所以
，
解得
；
（2）由（1）知，该方程为
，
把
代入，得
，
所以
，①
由
，得
，
所以
，②
把①和②代入
，
得
，
即
．
【点拨】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得
和
是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可
（2）根据方程的根得到
，然后代入代数式即可
解：（1）解：
（2）∵
是方程
的一个根，
∴
，
∴
，
∴
【点拨】本题考查了整式的化简求值和一元二次方程的根，能够熟练的使用整式的运算法则进行计算是解决问题的关键
22．
，
6
【分析】先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而根据方程变形得出
，代入计算即可．
解：原式
；
∵
，
∴
，
∴原式
；
【点拨】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把
代入方程即可得出答案；
（2）把
代入方程即可得出答案；
（3）把
代入方程即可得出答案．
解：（1）解：把
代入方程
得：
，
∴
，
，
之间的关系是：
；
（2）把
代入方程
得：
，
∴
，
，
之间的关系是：
；
（3）把
代入方程
得：
，
∴常数项
．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根，掌握这个概念是关键．
24．详见分析.
【分析】分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程，主要是利用三角形的面积公式:三角形的面积=
×三角形底边的长×高.
解：
x（4x-1）=30，是一元二次方程，一般形式为2x2-
x-30=0，二次项系数为2，一次项系数为-
，常数项为-30.
【点拨】本题主要考查根据题意列方程及一元二次方程的定义.，解题关键是正确列方程.