专题2.2一元二次方程的解法（配方法）

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（营口期末）用配方法解方程x²﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（　　）

A．（x﹣1）²＝4 B．（x﹣1）²＝﹣4 C．（x+1）²＝4 D．（x+1）²＝﹣4

【分析】在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．

【解析】把方程x²﹣2x﹣3＝0的常数项移到等号的右边，得到x²﹣2x＝3，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x²﹣2x+1＝4，

配方得（x﹣1）²＝4．

故选：A．

2．（丽水期末）用配方法将方程x²﹣6x＝1转化为（x+a）²＝b的形式，则a，b的值分别为（　　）

A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝10 D．a＝﹣3，b＝10

【分析】已知方程利用完全平方公式配方后，确定出a与b的值即可．

【解析】方程x²﹣6x＝1，

配方得：x²﹣6x+9＝10，即（x﹣3）²＝10，

则a，b的值分别为﹣3，10．

故选：D．

3．（越城区期末）将一元二次方程x²﹣6x﹣5＝0化成（x﹣a）²＝b的形式，那么a+b的值为（　　）

A．9 B．11 C．14 D．17

【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．

【解析】方程x²﹣6x﹣5＝0，

移项得：x²﹣6x＝5，

配方得：x²﹣6x+9＝14，即（x﹣3）²＝14，

∴a＝3，b＝14，

则a+b＝17．

故选：D．

4．（南充一模）方程（9x﹣1）²＝1的解是（　　）

A．x₁＝x₂ B．x₁＝x₂

C．x₁＝0，x₂ D．x₁＝0，x₂

【分析】利用直接开平方法求解即可．

【解析】∵（9x﹣1）²＝1，

∴9x﹣1＝1或9x﹣1＝﹣1，

解得x₁＝0，x₂ ，

故选：C．

5．（桂林期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x²+a＝5的解，则a的值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【分析】把x＝2代入方程得出4+a＝5，再求出方程的解即可．

【解析】把x＝2代入方程x²+a＝5得：4+a＝5，

解得：a＝1，

故选：C．

6．（越城区校级月考）一元二次方程x²＝c有解的条件是（　　）

A．c＜0 B．c＞0 C．c≤0 D．c≥0

【分析】因为在x²＝c中，左边是一个平方式，总是大于等于0，所以c必须大于等于0．

【解析】利用直接开平方法解方程时，本题中的被开方数c必须为非负数，方程才有实数根．即c≥0．故选D．

7．（仙居县校级月考）一元二次方程（x﹣1）²＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（　　）

A．x+1＝﹣5 B．x+1＝5 C．x﹣1＝﹣5 D．x﹣1＝5

【分析】根据平方根定义开方，即可得出两个一元一次方程．

【解析】∵（x﹣1）²＝25，

∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，

即另一个方程是x﹣1＝﹣5，

故选：C．

8．（邗江区期中）关于代数式﹣x²+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（　　）

A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零

【分析】先利用配方法将代数式﹣x²+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．

【解析】∵﹣x²+4x﹣2

＝﹣（x²﹣4x+4）+4﹣2

＝﹣（x﹣2）²+2，

又∵（x﹣2）²≥0，

∴（x﹣2）²≤0，

∴﹣（x﹣2）²+2≤2，

∴代数式﹣x²+4x﹣2有最大值2．

故选：B．

9．（西湖区校级月考）若P m﹣2，Q＝2m² m+1，则P，Q的大小关系是（　　）

A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定

【分析】利用求差法比较大小，计算Q﹣P＝2m² m+1﹣（ m﹣2），利用配方法得到Q﹣P＝2（m ）² ，然后利用非负数的性质可确定P与Q的大小．

【解析】Q﹣P＝2m² m+1﹣（ m﹣2）

＝2m²﹣m+3

＝2（m² m ）+3

＝2（m ）² ，

∵2（m ）²≥0，

∴2（m ）² 0，

∴Q﹣P＞0，

即Q＞P．

故选：B．

10．（青岛一模）我们知道，一元二次方程x²＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i²＝﹣1（即x²＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i¹＝i，i²＝﹣1，i³＝i²•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i⁴＝（i²）²＝（﹣1）²＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i⁴ⁿ⁺¹＝i⁴ⁿ•i＝（i⁴）ⁿ•i，同理可得i⁴ⁿ⁺²＝﹣1，i⁴ⁿ⁺³＝﹣i，i⁴ⁿ＝1，那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁸+i²⁰¹⁹的值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．i D．1

【分析】利用积的乘方得到原式＝（i+i²+i³+i⁴）+…+i²⁰¹²（i+i²+i³+i⁴）+…+i^4×504+1+i^4×504+2+i^4×504+3，然后利用利用i⁴ⁿ⁺¹＝i⁴ⁿ•i＝（i⁴）ⁿ•i，i⁴ⁿ⁺²＝﹣1，i⁴ⁿ⁺³＝﹣i，i⁴ⁿ＝1进行计算．

【解析】i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁸+i²⁰¹⁹＝（i+i²+i³+i⁴）+…+i²⁰¹²（i+i²+i³+i⁴）+…+i^4×504+1+i^4×504+2+i^4×504+3＝（i﹣1﹣i+1）+…+i²⁰¹²（i﹣1+i+1）+i﹣1﹣i＝﹣1．

故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（徐州期末）方程（x+1）²＝4的解是　x＝﹣3或x＝1　．

【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．

【解析】∵（x+1）²＝4，

∴x+1＝±2，

∴x＝﹣3或x＝1，

故答案为：x＝﹣3或x＝1．

12．（温岭市期中）已知关于x的一元二次方程x²﹣a＝0有一个根是x＝﹣2，则a的值为　4　．

【分析】将x＝﹣2代入方程得到关于a的方程，解之即可．

【解析】将x＝﹣2代入方程，得：4﹣a＝0，

解得a＝4，

故答案为：4．

13．（西湖区期末）方程（x﹣1）²＝2020²的根是　x₁＝2021，x₂＝﹣2019　．

【分析】利用直接开平方法求解可得．

【解析】∵（x﹣1）²＝2020²，

∴x﹣1＝2020或x﹣1＝﹣2020，

解得x₁＝2021，x₂＝﹣2019，

故答案为：x₁＝2021，x₂＝﹣2019．

14．（台州期中）用配方法解方程3x²﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）² 的形式，则m的值为　1　．

【分析】利用配方法的步骤，把方程变形为（x﹣m）² 的形式后确定m的值．

【解析】移项，得3x²﹣6x＝﹣2，

系数化为1，得x²﹣2x ．

方程的两边都加1，得x²﹣2x+1 ，

∴（x﹣1）² ．

∴m＝1．

故答案为：1．

15．（中方县期末）一元二次方程x²﹣6x+5＝0化为（x+h）²＝k的形式是　（x﹣3）²＝4　．

【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方．

【解析】移项，得x²﹣6x＝﹣5，

配方得，x²﹣6x+9＝﹣5+9，

（x﹣3）²＝4．

故答案为：（x﹣3）²＝4．

16．（永嘉县校级期末）用配方法解一元二次方程x²﹣mx＝1时，可将原方程配方成（x﹣3）²＝n，则m+n的值是　16　．

【分析】根据配方法可以将题目中的方程变形，然后根据题意即可得到m和n的值，从而可以求得m+n的值．

【解析】∵x²﹣mx＝1，

∴（x ）²＝1 ，

∵一元二次方程x²﹣mx＝1配方成（x﹣3）²＝n，

∴ ，得 ，

∴m+n＝6+10＝16，

故答案为：16．

17．（大同区校级期中）已知x²+y²﹣4x+6y+13＝0，求xy＝　﹣6　．

【分析】先利用配方法对含x的式子和含有y的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出x和y的值，二者相乘可得答案．

【解析】∵x²+y²﹣4x+6y+13＝0，

∴（x²﹣4x+4）+（y²+6y+9）＝0，

∴（x﹣2）²+（y+3）²＝0，

∵（x﹣2）²≥0，（y+3）²≥0，

∴（x﹣2）²＝0，（y+3）²＝0，

∴x﹣2＝0，y+3＝0，

∴x＝2，y＝﹣3．

∴xy＝2×（﹣3）＝﹣6．

故答案为：﹣6．

18．（鼓楼区期末）对于实数m，n，我们用符号min{m，n}表示m，n两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{x²﹣1，2x²}＝2，则x＝　 　．

【分析】通过先比较x²﹣1与2x²的大小，然后根据新定义运算法则得到方程并解答．

【解析】∵min{x²﹣1，2x²}＝2，

∴当x²﹣1≤2x²时，

则x²﹣1＝2，

∴x ，

当x²﹣1≥2x²时，

则2x²＝2，

解得：x＝±1（舍），

综上所述：x的值为： ．

故答案为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（余姚市期末）解方程：

（1）（2x﹣1）²＝16；

（2）2x²+8x﹣1＝0．

【分析】（1）方程开方转化为两个一元一次方程，求出解即可；

（2）方程利用配方法求出解即可．

【解析】（1）（2x﹣1）²＝16，

开方得：2x﹣1＝4或2x﹣1＝﹣4，

解得：x₁＝2.5，x₂＝﹣1.5；

（2）2x²+8x﹣1＝0，

整理得：x²+4x ，

配方得：x²+4x+4 ，即（x+2）² ，

开方得：x+2＝± ，

解得：x₁＝﹣2 ，x₂＝﹣2 ．

20．（思明区校级月考）解方程：

（1）（x﹣1）²＝4；

（2）x²+2x﹣1＝0．

【分析】（1）开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）移顶后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解析】（1）（x﹣1）²＝4；

x﹣1＝±2，

∴x₁＝3，x₂＝﹣1；

（2）x²+2x﹣1＝0．

x²+2x＝1，

（x+1）²＝2，

∴x+1＝± ，

∴x₁＝﹣1 ，x₂＝﹣1 ．

21．（惠山区校级月考）解方程：

（1）（x﹣2）²﹣9＝0；

（2）x²﹣2x﹣5＝0．

【分析】（1）首先移项，把﹣9移到方程的右边，再两边直接开平方即可；

（2）方程移项后，利用配方法求出解即可．

【解析】（1）移项得：（x﹣2）²＝9，

两边直接开平方得：x﹣2＝±3，

则x﹣2＝3，x﹣2＝﹣3，

解得：x₁＝5，x₂＝﹣1；

（2）（2）方程移项得：x²﹣2x＝5，

配方得：x²﹣2x+1＝6，即（x﹣1）²＝6，

开方得：x﹣1＝± ，

解得：x₁＝1 ，x₂＝1 ．

22．（正定县期末）“a²≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x²+4x+5＝x²+4x+4+1＝（x+2）²+1，∵（x+2）²≥0，∴（x+2）²+1≥1，∴x²+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：

（1）填空：x²﹣4x+5＝（x　﹣2　）²+　1　；

（2）已知x²﹣4x+y²+2y+5＝0，求x+y的值；

（3）比较代数式：x²﹣1与2x﹣3的大小．

【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；

（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；

（3）将两式相减，再配方即可作出判断．

【解析】（1）x²﹣4x+5＝（x﹣2）²+1；

（2）x²﹣4x+y²+2y+5＝0，

（x﹣2）²+（y+1）²＝0，

则x﹣2＝0，y+1＝0，

解得x＝2，y＝﹣1，

则x+y＝2﹣1＝1；

（3）x²﹣1﹣（2x﹣3）

＝x²﹣2x+2

＝（x﹣1）²+1，

∵（x﹣1）²≥0，

∴（x﹣1）²+1＞0，

∴x²﹣1＞2x﹣3．

故答案为：﹣2，1．

23．（成都期末）（1）已知：a（a+1）﹣（a²+b）＝3，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，求代数式ab的值．

（2）已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a²+b²﹣6a﹣14b+58＝0，求△ABC的周长．

【分析】（1）首先将已知条件化简，进而得出a²﹣2ab+b²＝9①，a²+b²＝13②，把②代入①可得结论；

（2）首先将已知等式配方后，根据非负性可得a和b的值，根据三角形三边关系和等腰三角形的定义可得结论．

【解析】（1）a（a+1）﹣（a²+b）＝3，

a²+a﹣a²﹣b＝3，

a﹣b＝3，

两边同时平方得：a²﹣2ab+b²＝9①，

a（a+b）+b（b﹣a）＝13，

a²+ab+b²﹣ab＝13，

a²+b²＝13②，

把②代入①得：13﹣2ab＝9，

13﹣9＝2ab，

∴ab＝2；

（2）a²+b²﹣6a﹣14b+58＝0，

a²﹣6a+9+b²﹣14b+49＝0，

（a﹣3）²+（b﹣7）²＝0，

∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，

∴a＝3，b＝7，

当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，

当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长＝7+7+3＝17．

24．（鼓楼区校级期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．

如：①用配方法分解因式：a²+6a+8，

解：原式＝a²+6a+9﹣1＝（a+3）²﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．

②M＝a²﹣2ab+2b²﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．

解：a²﹣2ab+2b²﹣2b+2＝a²﹣2ab+b²+b²﹣2b+1+1＝（a﹣b）²+（b﹣1）²+1．

∵（a﹣b）²≥0，（b﹣1）²≥0，

∴当a＝b＝1时，M有最小值1．

请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x² x+　 　＝（　x 　）²．

（2）用配方法因式分解（不按要求不给分）：x²﹣4x+3．

（3）若M x²+xy+2y²+2y﹣1，求M的最小值．

【分析】（1）根据完全平方公式配方；

（2）按照题干的①计算；

（3）按照题干的②计算．

【解析】（1）x²﹣2•x• （ ）²＝（x ）²，

故答案为： ；x ；

（2）x²﹣4x+3

＝x²﹣4x+4﹣1

＝（x﹣2）²﹣1²

＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）

＝（x﹣1）（x﹣3）；

（3）M x²+xy+y²+y²+2y+1﹣2

＝（ x+y）²+（y+1）²﹣2，

∵（ x+y）²≥0，（y+1）²≥0，

∴当x＝2，y＝﹣1时，M有最小值﹣2．