专题2.2全等三角形的综合问题大题专练（培优强化30题）

一、解答题

1．已知，在 中， ，点 为边 的中点， 分别交 ， 于点 ， ．

（1）如图1，①若 ，请直接写出 ______；

②连接 ，若 ，求证： ；

（2）如图2，连接 ，若 ，试探究线段 和 之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①45°；②见解析；（2） ，理由见解析

【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得 和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．

②延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而可证明 ≌ （SAS），再利用全等的性质，可知 ，即可知道 ，所以 ，根据题干又可得到 ，所以 ，从而得出结论．

（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而可证明 ≌ （SAS），再利用全等的性质，可知 ， ，根据题干即可证明 ≌ （HL），即得出结论．

【详解】（1）①∵ ，

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

故答案为 ．

②如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，

∵点 为 的中点，

∴ ，

又∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

（2） ．

如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，

∵ ， ，

∴ ≌ ，

∴ ， ，

∵ ．

∴ ≌ ，

∴ ．

【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．

2．数学活动课中，老师给出以下问题：

(1)如图1，在 中， 是边 的中点，若 ， ，则中线 长度的取值范围______.

(2)如图2，在 中， 是边 的中点，过 点的射线 交边 于 ，再作 交边 于点 ，连结 ，请探索三条线段 、 、 之间的大小关系，并说明理由.

(3)已知：如图3， ， 且 ， 是线段 的中点.求证： .

【答案】（1）2<AD<7；（2）CF+BE>FE，证明见解析（3）见解析.

【分析】(1)延长AD到E，使AD=DE，连接CE，证△ADB≌△EDC，推出EC=AB，根据三角形的三边关系定理求出即可;

(2) 延长FD到点G使DG=FD，连结GE，GB，就有FE=GE，连结EG、BG，可证△CFD≌△BDG，则BG=CF，由三角形的三边关系就可以得出结论；

(3) 延长AF到G使FG=AF，连接GE，GD，先证明△ABF≌△EFG，再证明△ACD≌△GED，从而AD=GD,根据FG=AF结论可证.

【详解】延长AD到E，使AD=DE，连接CE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

∵BD=CD，∠ADB=∠BCDE，AD=DE，

∴△ADB≌△EDC，

∴EC=AB，

∴根据三角形的三边关系定理：

AC+CE<AE<AC - CE，

∵ ，

∴EC=AB=5.

∴4<AE<14

∴2<AD<7.

故线段AD的长的取值范围为：2<AD<7.

（2）如图，延长FD到点G，使DG=FD，连结GE，GB，

∵FD⊥DE，FD=DG

∴FE=GE，

∵D是CB的中点，

∴CD=BD，

在△CDF和△BDG中，

FD=GD，∠CDF=∠GDB，CD=BD

∴△DCF≌△DBG(SAS)，

∴CF=BG，

∵BG+BE>GE，

∴CF+BE>FE；

(3)延长AF到G使FG=AF，连接GE，GD

∵F是BE的中点，

∴BF=EF，

∵在△AFB与△EFG中

AF=FG，∠AFB=∠EFG，BF=EF，

∴△ABF≌△EFG，

∴AB=EG，∠B=∠FEG，

∵AB=AC,

∴AC=GE,

∵∠BAC=∠CDE=90°，

∴∠B+∠DEF+∠CAD+∠CDA=180°，

∵∠CAD+∠C+∠CDA=180°，

∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，

∵在△ACD与△GED中,

AC=GE，∠C=∠GED，CD=ED，

∴△ACD≌△GED，

∴AD=GD，

∵AF=GF，

∴AF⊥FD，

【点睛】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理.本题前两问都是利用中线的性质构造全等三角形，再利用全等三角形的性质，将线段放在同一个三角形中进行讨论，（3）中在需知到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上.

3．阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，

截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．

（1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：

如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF= ∠BAD，求证：BE+DF=EF．

（3）问题拓展：

如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB．求证：AC-AE= AF．

【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到BE=AC，根据三角形三边关系计算；

（2）延长CB到G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明；

（3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，分别证明Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明．

【详解】（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE=AC=8，

AB-BE＜AE＜AB+BE，即21-8＜2AD＜12+8，

∴2＜AD＜10，

故答案为2＜AD＜10；

（2）证明：延长CB到G，使BG=DF，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°，

∴∠ADC=∠ABG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，

∵∠EAF= ∠BAD，

∴∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE= ∠BAD，

∴∠GAE=∠FAE，

在△AEG和△AEF中，

，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴EF=GE，

∴EF=BE+BG=BE+DF；

（3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，

∵∠CAB=60°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=30°，

∴AB=2AC，

∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，

∴DE=DH，AH=AE，

在Rt△DEF和Rt△DHB中，

∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）

∴∠DFA=∠DBA，

在△DAF和△DRB中，

，

∴△DAF≌△DRB（SAS）

∴DA=DR，

∴AH=HR=AE= AR，

∵AF=BR=AB-AR=2AC-2AE

∴AC-AE= AF．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．

4．（1）【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．

A．SSS   B．SAS   C．AAS   D．ASA

Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

（2）【学会运用】

如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD．

【答案】（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见解析.

【分析】（1）Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答；

Ⅱ.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；

（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可证明结论．

【详解】解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中， ，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选B；

Ⅱ.∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC，

∵AB−BE＜AE＜AB＋BE，

∴AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，

∴1＜AD＜9，

故答案为1＜AD＜9；

（2）延长AD至M，使DM＝AD，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△ABD和△MCD中， ，

∴△ABD≌△MCD（SAS），

∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，

∵AB＝CE，

∴CM＝CE，

∵∠BAC＝∠BCA，

∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，

在△ACE和△ACM中， ，

∴△ACM≌△ACE（SAS），

∴AE＝AM，

∵AM＝2AD，

∴AE＝2AD．

【点睛】本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．

5．在 中， ，直线 经过点C，且 于D， 于E，

（1）当直线 绕点C旋转到图1的位置时，显然有： （不必证明）；

（2）当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；

（3）当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD

【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；

（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-AD．

【详解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，CE=AD，

∴DE=CD+CE=AD+BE；

（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，

而AC=BC，

∴△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，CE=AD，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）如图3，

∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，CE=AD，

∴DE=CD-CE=BE-AD；

DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD．

【点睛】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．

6．如图， 中， ， ， 点为射线 上一动点，连结 ，作 且 ．

（1）如图1，过 点作 交 于 点，求证： ；

（2）如图2，连结 交 于 点，若 ， ，求证： 点为 中点．

（3）当 点在射线 上，连结 与直线 交于 点，若 ， ，则 ______．（直接写出结果）

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 或

【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；

（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；

（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．

【详解】解：（1）证明：∵FD⊥AC，

∴∠FDA=90°，

∴∠DFA+∠DAF=90°，

同理，∠CAE+∠DAF=90°，

∴∠DFA=∠CAE，

在△AFD和△EAC中，

，

∴△AFD≌△EAC（AAS），

∴DF=AC，

∵AC=BC，

∴FD=BC；

（2）作FD⊥AC于D，

由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，

在△FDG和△BCG中，

，

∴△FDG≌△BCG（AAS），

∴DG=CG=1，

∴AD=2，

∴CE=2，

∵BC=AC=AG+CG=4，

∴E点为BC中点；

（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，

BC=AC=4，CE=CB+BE=7，

由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE=7，

∴CG=DG=1.5，

∴ ，

同理，当点E在线段BC上时， ，

故答案为： 或 .

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

7．在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；

（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；

②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析．

【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；

（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；

②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．

【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，

∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，

∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，

∴BE=ED=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD；

（2）①AB=AC+CD．

理由：在AB上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠C=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠B+∠BDE=∠AED，

∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD；

②AC+AB=CD．

理由：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠EAC的角平分线，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠ACD=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，

∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，

∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，

∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．

8．（1）如图， 、 、 三点共线， ， ．

求证： ；

（2）如图，在 中， ， ，将斜边 绕点 逆时针旋转90°至 ，连接 ，

求 的面积；

（3）在 中， ， ，点 在 上，且 ，动点 从点 出发，沿射线 以每秒1个单位长度的速度运动，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，要是点 恰好落在射线 上，求点 运动的时间 ．

【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）8

【分析】（1）由已知条件不难证明 ，再结合已知条件即可证明 ≌ ．

（2）将边AC绕点A逆时针旋转90°至 ，连接 ，根据旋转的性质得出对应的角度，进而证明四边形 是直角梯形，用梯形 的面积减去 的面积即可得到 的面积．

（3）类比第（1）问的证明过程，不难证明 ≌ ，即可得出OB=PC，由已知分别条件求出EC、OB的长度，即可得出EP的长度，即可得出点P的运动时间．

【详解】（1） ，

，

，

在 与 中，

≌ ．

（2）如图，将边AC绕点A逆时针旋转90°至 ，连接 ，

， ，

由题意可得： ，

∴

，

四边形 是直角梯形，

=

=

=

=

=8；

（3） ， ，

OB=2，

由题意可得： ，OP=OF，

，

，

，

，

，

，

在 与 中，

，

≌ ，

OB=PC=2，

EP=EC+PC=6+2=8，

点P运动的时间为t=8÷1=8秒．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，是较为典型的一线三等角证明三角形全等，根据题意得出对应的角相等，从而证明三角形全等是解题关键．

9．在△ABC中 ，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D

(1) 当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；

(2) 当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；

(3) 当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.

【分析】（1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；

（2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；

（3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC．

【详解】解：（1）如图1，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=AC+BD；

（2）如图2，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．

（3）如图3，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，

即CD=BD﹣AC．

【点睛】此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.

10．（养正开学考）（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，保留作图痕迹），并猜想BE与CD的关系；

（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由；

【答案】（1）图见解析，BE=CD，证明见解析；（2）BE=CD，证明见解析．

【分析】（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，由等边三角形的三边相等可得AD=AB，AC=AE，三个内角都是60°可得∠BAD=∠CAE=60°，再加上公共角∠BAC即可得∠CAD=∠EAB，由此可证△CAD≌△EAB，继而可得结论；

（2）由正方形的四条边相等可得AD=AB，AC=AE，四个内角都是90°可得∠BAD=∠CAE=90°，再加上公共角∠BAC即可得∠CAD=∠EAB，由此可证△CAD≌△EAB，继而可得结论；

【详解】解：（1）完成图形，如图所示：

BE=CD，证明如下：

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，

在△CAD和△EAB中，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD．

（2）BE=CD，

理由如下，

∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠CAD=∠EAB，

在△CAD和△EAB中，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD；

【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形和正方形的边和角之间的特殊性判断三角形全等是解题关键．

11．（观成周考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．

（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．

（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．

【答案】（1）α＋β=180°，理由见解析；（2）当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β，理由见解析．

【分析】（1）利用SAS证出△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，然后根据三角形的内角和定理即可求出结论；

（2）根据点D的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】解：（1）α＋β=180°，理由如下

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC

∴∠EAC=∠DAB

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠B=∠ACE

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°

∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°

∴α＋∠BCE=180°

∴α＋β=180°

（2）①当点D在线段BC上移动时，由（1）知α＋β=180°；

②当点D在BC延长线上移动时，如下图所示

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC

∴∠EAC=∠DAB

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠B=∠ACE

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°

∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°

∴α＋∠BCE=180°

∴α＋β=180°

③当点D在CB延长线上移动时，如下图所示，连接BE

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE

∴∠DAB=∠EAC

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE

∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE

∴∠BAC=∠BCE

∴α=β．

综上：当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β．

【点睛】此题考查的是全等三角形判定及性质、三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握利用SAS判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．

12．如图①所示，已知 中， ， ，MN是经过点A的直线， ，垂足分别为点D、E．

（1）求证： ；

（2）如图②，将MN绕点A旋转，使MN和BC交于G点，其他条件不变，结论（1）还成立吗？若成立请给出证明；若不成立，请探究CE、DB、DE的关系，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）结论（1）不成立，CE、DB、DE的关系是：DE=DB-EC，证明见解析．

【分析】（1）利用AAS证明△ABD≌△CAE，然后根据全等三角形性质得出BD=AE，DA=CE，即可得出答案；

（2）利用AAS证明△ABD≌△CAE，继而根据全等三角形的推出BD=AE，CE=AD，结合图形即可求出答案．

【详解】（1）∵BD⊥MN，EC⊥MN，∠BAC=90°，

∴∠BDA=∠CEA=∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠EAC=90°，∠ECA+∠EAC=90°，

∴∠DAB=∠ECA，

在△ABD与△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，DA=CE，

∵DE=DA+AE，

∴DE=DB+EC；

（2）（1）的结论不成立，CE、DB、DE的关系是：DE=DB-EC，证明如下：

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAD=90°，

又∵BD⊥MN，CE⊥MN，

∴∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠BAD=∠ACE，

在△ABD与△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）；

∴BD=AE，CE=AD，

∵DE=AE-AD，

∴DE=BD-CE．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．

13．问题情境：如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．猜想线段BE，AD之间的关系．

（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的数量关系：       

（2）合作交流：城南中学八年级某学习小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H，交AD于点O．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）拓展延伸：图（1）中AD和BE存在着怎样的位置关系？在等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转的过程中AD和BE的这种位置关系是否会变化？请结合图（2）说明理由．

【答案】（1）BE=AD；（2）仍成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【分析】（1）先利用边角边定理证明△BCE和△ACD全等，于是对应边BE=CD；（2）结论仍然成立，根据等腰直角三角形的性质，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE，得对应边BE=AD；（3）因为△BCE≌△ACD，对应角∠CEB和∠CDA相等，再由同角的余角相等，可得BE⊥AD；由△BCE和△ACD全等得∠CBE=∠CAD，而∠BMC和∠AMP是对顶角，结合三角形内角和可得∠APM=90°，则BE⊥AD．

【详解】（1）解：如图(1)BE=AD，

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=90∘，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD；

（2）不变化，理由如下：

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴BC=AC，CE=DE，∠BCA=∠ECD=90°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，

（3）如图，

成立，理由如下：

由（1）知，△BCE≌△ACD，

∴∠CEB=∠CDA，

∵∠CBE+∠CEB=90°，

∴∠CBE+∠CDA=90°，

∴BE⊥AD，

由（2）得，∵△BCE≌△ACD，

∴∠CBE=∠CAD，

∠BMC=∠AMP，

∵∠APM=∠BCM=90°，

即BE⊥AD.

【点睛】本题主要考查了余角、补角及其性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，掌握余角、补角及其性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转是解题的关键.

14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．

(1)如图1，求证：BD＝CE；

(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．

【答案】(1)见解析

(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C

【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；

（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．

（1）

证明：在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（SAS），

∴BD＝CE．

（2）

解：∵△ABD≌△DCE，

∴∠B＝∠C，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，

∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，

∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．

15．如图，在△ABC中．

（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；

①猜想BE与CD的数量关系是　　；

②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；

（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直接写出∠APC与α的数量关系

【答案】（1）①BE＝CD；②60°；（2）∠APC＝

【分析】（1）①证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论；

②连接AN，由①得：△ABE≌△ADC（SAS），则BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，再证△ADN≌△ABM（SAS），得AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，然后证∠MAN＝∠BAD＝60°，得△AMN为等边三角形，即可得出∠AMN＝60°；

（2）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS），则∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，证出PA平分∠DPE，得∠APE＝ ∠DPE，再证∠EPC＝∠CAE＝α，得∠DPE＝180°﹣α，则∠APE＝90°﹣ α，即可得出结论．

解：（1）①BE＝CD，理由如下：

∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE，

∴∠CAE＋∠BAC＝∠BAD＋∠BAC，

即∠BAE＝∠DAC，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE＝CD，

故答案为：BE＝CD；

②连接AN，如图①所示：

由①得：△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，

∵点M，N分别是BE和CD的中点，

∴BM＝DN，

又∵AD＝AB，

∴△ADN≌△ABM（SAS），

∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，

∴∠BAM＋∠BAN＝∠DAN＋∠BAN，

即∠MAN＝∠BAD＝60°，

∴△AMN为等边三角形，

∴∠AMN＝60°；

（2）∠APC＝ ，理由如下：

过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，如图②所示：

同②得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS），

∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，

∵AM⊥CD，AN⊥BE，

∴PA平分∠DPE，

∴∠APE＝ ∠DPE，

又∵∠EPC＋∠ACD＝∠CAE＋∠AEB，

∴∠EPC＝∠CAE＝α，

∴∠DPE＝180°﹣α，

∴∠APE＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，

∴∠APC＝∠APE＋∠EPC＝90°﹣ α＋α＝90°＋ α．

16．在学习完第12章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．”

（1）请你也独立完成这道题；

（2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：

在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）BE＝0.8cm；（2）AD+BE＝DE；（3）AD+BE＝DE成立，理由见解析

【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答．

【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°，

∴∠EBC+∠BCE＝90°．

∵∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5．

∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，

∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm，

∴BE＝0.8cm；

（2）AD+BE＝DE，

证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°，

∴∠EBC+∠BCE＝90°．

∵∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE＝DC，CE＝AD，

∴DE＝CE+DE＝AD+BE；

（3）答：（2）中的猜想还成立，

证明：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ADC+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，

∴∠BCE＝∠CAD，

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC，

∴BE＝CD，EC＝AD，

∴DE＝EC+CD＝AD+BE．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

17．【提出问题】

我们已经知道了三角形全等的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS）和直角三角形全等的判定方法（HL），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（SSA）”的情形进行探究．

【探索研究】

已知：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．

（1）如图①，当∠B＝∠E＝90°时，根据　　，可知Rt△ABC≌Rt△DEF；

（2）如图②，当∠B＝∠E＜90°时，请用直尺和圆规作出△DEF，通过作图，可知△ABC与△DEF　　全等．（填“一定”或“不一定”）

（3）如图③，当∠B＝∠E＞90°时，△ABC与△DEF是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例．

【归纳总结】

（4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是__________时，这两个三角形一定全等．（填序号）

①锐角；②直角；③钝角．

【答案】（1）HL；（2）不一定；（3）△ABC≌△DEF，见解析；（4）②③

【分析】（1）根据HL即可判断；

（2）画出图形，可知两个三角形不一定全等．

（3）结论：△ABC≌△DEF．如图③中，作AG⊥CB交CB的延长线于G，作DH⊥FE交FE的延长线于H．利用3次全等解决问题即可；

（4）利用（1）（3）中结论即可解决问题．

【详解】（1）在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），

故答案为HL．．

（2）如图②中，通过作图，可知△ABC与△DEF不一定全等．

（3）结论：△ABC≌△DEF．

理由：如图③中，作AG⊥CB交CB的延长线于G，作DH⊥FE交FE的延长线于H．

∵∠ABC＝∠DEF，

∴∠ABG＝∠DEH，

∵∠G＝∠H＝90°，AB＝DE，

∴△ABG≌△DEH，

∴AG＝DH，

∵AC＝DF，

∴Rt△ACG≌△DFH，

∴∠C＝∠F，

∵∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，

∴△ABC≌△DEF．

（4）由（1）（3）中的结论可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角，故答案为②③．

【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

18．如图，在 中， ， ， ， ， ，动点E以 的速度从A点向F点运动，动点G以 的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．

（1） ， ；

（2）当 取何值时， 和 全等；

（3）在（2）的前提下，若 ， ，求 ．

【答案】（1）4，2；（2） ；（3） cm²．

【分析】（1）根据角平分线的性质可证Rt△AFD≌Rt△AMD，得AF=AM，从而求出即可；

（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜4时，②当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可．

（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

【详解】（1）∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，

在Rt△AFD和Rt△AMD中，

，

∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；

∴ ，

，

， ，

（2）①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．

EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t

∴10﹣2t＝4﹣t，

∴t＝6（不合题意，舍去）；

②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．

EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，

∴10﹣2t＝t﹣4，

∴t＝ ；

综上所述当t＝ 时，△DFE与△DMG全等；

（3）∵t＝ ，

∴AE＝2t＝ ，

∵DF＝DM，

∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，

∵AC＝14，

∴AB＝ ，

∴BF＝AB﹣AF＝ ﹣10＝ ，

∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝ ： ，S△AED＝28cm²，

∴S△BDF＝ cm²．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解．

19．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．

（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED＝2S_△DGC；

（2）当取何值时，△DFE与△DMG全等；

（3）在（2）的前提下，若 ， ，求S_△BFD．

【答案】（1）见解析；（2）当t＝ 时，△DFE与△DMG全等；（3） ．

【分析】（1）由角平分线的性质可知DF＝DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程＝速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED＝2S_△DGC．

（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜4时，②当4＜t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF＝GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可．

（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

【详解】（1）证明：∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF＝DM，

∵S_△AED＝ AE•DF，S_△DGC＝ CG•DM，

∴ ＝ ，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴AE＝2tcm，CG＝tcm，

∴ ＝2，

即 ＝2，

∴在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED＝2S_△DGC．

（2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．

EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t

∴10﹣2t＝4﹣t，

∴t＝6（不合题意，舍去）；

②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．

EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，

∴10﹣2t＝t﹣4，

∴t＝ ；

综上，t＝ ．

综上所述当t＝ 时，△DFE与△DMG全等．

（3）解：∵t＝ ，

∴AE＝2t＝ （cm），

∵DF＝DM，

∴S_△ABD：S_△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，

∵AC＝14cm，

∴AB＝ （cm），

∴BF＝AB﹣AF＝ ﹣10＝ （cm），

∵S_△ADE：S_△BDF＝AE：BF＝ ： ，S_△AED＝28cm²，

∴S_△BDF＝ （cm²）．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解．

20．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．

（1）求证：△ABD≌△ACF；

（2）若BD平分∠ABC，求证：CE= BD；

（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠AED不变； ；理由见解析

【分析】（1）由题意易得∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，进而可证∠ABD=∠ACF，则问题可证；

（2）由（1）可得BD=CF，则有BC=BF，然后根据线段的数量关系可求解；

（3）如图，过点A作AG⊥CF于G，作AH⊥BD于H，则有BD•AH=CF•AG，进而可得EA平分∠BEF，则问题可解．

【详解】解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，

∴∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，

∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，

∴∠ABD=∠ACF，

在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF（ASA）；

（2）由（1）知，△ABD≌△ACF，

∴BD=CF，

∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，

∴BC=BF，

∵BD⊥CE，

∴CE=EF，

BD

（3）∠AED不变，

理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，

由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），

∴S_△BAD=S_△CAF，BD=CF，

∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，

∴AH=AG，

∵AH⊥EB，AG⊥EG，

∴EA平分∠BEF， ．

即 ．

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理，数量掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．

21．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．

（1）求证：△ABC≌△DCE；

（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2） ．

【分析】（1）根据CE∥AB可得∠B=∠DCE，由SAS定理可得结论；

（2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD=∠B=50°，∠A=∠D=22°，由平行线的性质定理易得∠ACE=∠A=22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．

【详解】（1）证明：∵CE∥AB，

∴∠B＝∠DCE，

在△ABC与△DCE中，

，

∴△ABC≌△DCE（SAS）；

（2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，

∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，

∵CE∥AB，

∴∠ACE＝∠A＝22°，

∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，

∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．

22．在 内有一点D．过点D分别作 ， ，垂足分别为B，C．且 ，点E，F分别在边 和 上．

（1）如图1，若 ， ． ．则 ______°；

（2）如图2，若 ， ，求 的长；

（3）如图3，若 ， ，猜想 ， ， 三条线段间具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

【答案】（1）50°；（2）7；（3）EF=FC+BE，理由见解析

【分析】（1）连接AD，根据题意判断出AD平分∠BAC，结合平行线的性质可得∠ADF=20°，从而利用三角形内角和算出结果；

（2）根据题目中的条件和∠BED=∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE=DF；

（3）作辅助线，过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE=DG，BE=CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF=GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．

【详解】解：（1）连接AD，

∵ ， ，BD=CD，

∴AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=20°，

∵DF∥AM，

∴∠BAD=∠ADF=20°，

∴∠FDC=180°-∠CAD-∠ADF-∠ACD=50°；

（2）∵DB⊥AM，DC⊥AN，

∴∠DBE=∠DCF=90°，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（AAS）．

∴DE=DF=7；

（3）EF=FC+BE，

理由：过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G，

在△BDE和△CDG中，

，

∴△BDE≌△CDG（ASA），

∴DE=DG，BE=CG．

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠BDE+∠CDF=60°．

∴∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°，

∴∠EDF=∠GDF．

在△EDF和△GDF中，

，

∴△EDF≌△GDF（SAS）．

∴EF=GF，

∴EF=FC+CG=FC+BE．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，三角形内角和，平行线的性质，角平分线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

23．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　　；

（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　　（用含α的式子表示）；

（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析.

【分析】（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．

【详解】解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，

所以△ACD是等边三角形．

∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

所以△ECB是等边三角形．

∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，

又∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD．

∵AC=DC，CE=BC，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠EAC=∠BDC．

∠AFB是△ADF的外角．

∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．

如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠AEC=∠DBC，

又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，

∴∠EFD=90°．

∴∠AFB=90°．

如图3，∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．

∴∠ACE=∠DCB．

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠EAC=∠BDC．

∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，

∴∠FAB+∠FBA=120°．

∴∠AFB=60°．

故填120°，90°，60°．

（2）∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．

∴∠ACE=∠DCB．

∴∠CAE=∠CDB．

∴∠DFA=∠ACD．

∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．

（3）∠AFB=180°﹣α；

证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中 ，

则△ACE≌△DCB（SAS）．

则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．

∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练运用三角形全等的判定方法证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题是解决这类题目的基本思路．

24．已知：如图， 中，∠ABC=45°， 于D，BE平分∠ABC，且 于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G

（1）求证：BF=AC；

（2）判断CE与BF的数量关系，并说明理由

【答案】（1）证明见解析；（2） ，理由见解析

【分析】（1）由题意可以得到Rt⊿DFB≅Rt⊿DAC，从而得到BF=AC；

（2）由题意可以得到Rt⊿BEA≅Rt⊿BEC，所以 ．

【详解】证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，

∴ BCD是等腰直角三角形，∠DBF=90°-∠BFD，∠A=90°-∠DCA，

又 ，∴∠EFC =90°-∠DCA，∴∠A=∠EFC

∵∠BFD=∠EFC，∴∠A=∠DFB，

∴在Rt⊿DFB和Rt⊿DAC中，∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=DC，

∴Rt⊿DFB≅Rt⊿DAC，∴BF=AC；

(2)

理由是：∵BE平分ABC，∴∠ABE=∠CBE，

在Rt⊿BEA和Rt⊿BEC中，∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠ABE=∠CBE，

∴Rt⊿BEA≅Rt⊿BEC，∴

由（1）得： ．

【点睛】本题考查三角形的综合问题，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．

25．如图1， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ．连结 ， ，交于点 ．

（1）求证： ．

（2）如图2，连结 ， ，求证： ．

（3）如图3，连结 ， ，试判断 与 是否垂直，并说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）垂直，详见解析

【分析】（1）直接证明 即可；

（2）分别表示出 ， ，即可证明平行；

（3）先证 得到 ，再根据等腰三角形的三线合一即可证明.

【详解】证明：（1）在 与 中，

，

∴ ，

∴ ；

（2）∵ ，

∴ ，

而 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

而 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

（3）由（1）得 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

在 和 中，

，

∴ ，

∴ ，

由∵ ，

∴ ．（等腰三角形三线合一）

【点睛】本题是对三角形证明的综合考查，熟练掌握三角形证明和等腰三角形的三线合一是解决本题的关键.

26．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α.

(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°，则BE___CF;(填“>”,“<”或“=”)； EF，BE，AF三条线段的数量关系是：___.

②如图2,若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件___，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立。

(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明。

【答案】（1）①＝，EF＝|BE−AF|②添加∠BCA+∠α＝180°，证明见解析（2）EF＝BE＋AF，证明见解析

【分析】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90 ，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

②当∠a＋∠ACB＝180 时，求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．

【详解】（1）①如图1中，

E点在F点的左侧，

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90 ，

∴∠BEC＝∠AFC＝90 ，

∴∠BCE＋∠ACF＝90 ，∠CBE＋∠BCE＝90 ，

∴∠CBE＝∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，CE＝AF，

∴EF＝CF−CE＝BE−AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF−BE，

∴EF＝|BE−AF|；

故答案为＝；EF＝|BE−AF|；

②∠a＋∠ACB＝180 时，①中两个结论仍然成立；

证明：如图2中，

∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＋∠ACB＝180 ，

∴∠CBE＝∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，CE＝AF，

∴EF＝CF−CE＝BE−AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF−BE，

∴EF＝|BE−AF|；

故答案为∠a＋∠ACB＝180 ．

（2）猜想：EF＝BE＋AF．

证明过程：

∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，

∴∠BCE＝∠CAF，

又∵BC＝CA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．

∴BE＝CF，EC＝FA，

∴EF＝EC＋CF＝BE＋AF．

故答案为：EF＝BE＋AF．

【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．

27．如图，四边形ABDC中， ，点O为BD的中点，且AO平分 ．

（1）若 ，则点O到AC的距离为________cm；

（2）求证： ；

（3）求证： ．

【答案】(1)2；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【分析】(1)过O点作OE⊥AC，垂足为E，根据题目条件能证得△AEO≌△ABO，从而知道BO=EO，即可得出结果；

(2)由题(1)得：△AEO≌△ABO，同理可证的△CEO≌△CDO，利用全等三角形的性质可得到∠AOE=∠AOB，∠EOC=∠COD，利用平角即可得出结果；

(3) 由题(2)知：△AEO≌△ABO，△CEO≌△CDO，可得到AB=AE，CE=CD，即可得出结果．

【详解】解：(1)如图所示，过O点作OE⊥AC，垂足为E

∵AO平分∠BAC

∴∠EAO=∠OAB

在△AEO和△ABO中

∴△AEO≌△ABO

∴BO=EO

∵点O是BD的中点，BD=4cm

∴BO=OD=2cm

∴OE=2cm

∴点O到AC的距离为2cm

(2)由题(1)知：△AEO≌△ABO

∴∠AOE=∠AOB

∵点O是BD的中点

∴OE=OD

在Rt△CEO和Rt△CDO

∴Rt△CEO≌Rt△CDO

∴∠EOC=∠COD

∴∠AOE+∠EOC=∠AOB+∠COD

∵∠AOE+∠EOC+∠AOB+∠COD=180°

∴∠AOE+∠EOC=90°

∴OA⊥OC

(3)由题(2)知：△AEO≌△ABO，△CEO≌△CDO

∴AB=AE，CE=CD

∵AC=AE+EC

∴AC=AB+CD

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，全等三角形判定的五种方法：AAS、SAS、ASA、SSS、HL，正确掌握全等三角形判定方法是解题的关键．

28．如图已知 中， 厘米， 厘来，点 为 的中点．如果点 在线段 上以每秒2厘米的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动，设运动时间为 (秒)．

（1）用含 的代数式表示线段 的长度；

（2）若点 的运动速度相等，经过1秒后， 与 是否全等，请说明理由；

（3）若点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？

（4）若点 以（3）中的运动速度从点 出发，点v以原来的运动速度从点 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点 与点 第一次在 的哪条边上相遇？

【答案】（1）6-2t；（2）全等，理由见解析；（3） ；（4）经过24s后，点 与点 第一次在 的BC边上相遇

【分析】（1）根据题意求出BP，由PC=BC-BP，即可求得；

（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C，利用SAS判定 和 全等即可；

（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC，再根据路程=速度×时间公式，求点P的运动时间，然后求点Q的运动速度即得；

（4）求出点P、Q的路程，根据三角形ABC的三边长度，即可得出答案．

【详解】（1）由题意知，BP=2t，则

PC=BC-BP=6-2t，

故答案为：6-2t；

（2）全等，理由如下：

∵ ，t=1，

∴BP=2=CQ，

∵AB=8cm，点D 为AB的中点，

∴BD=4（cm），

又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm），

在 和 中

∴ ≌ （SAS）

故答案为：全等．

（3）∵ ，

∴ ，

又∵ ≌ ，∠B=∠C，

∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，

∴点 运动时间 （s），

∴ （cm/s），

故答案为： ；

（4）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，

∵ ， ，

∴2t+8+8= t，

解得：t=24

此时点Q走了 （cm），

∵ 的周长为：8+8+6=22（cm），

∴ ，

∴20-8-8=4（cm），

经过24s后，点 与点 第一次在 的BC边上相遇，

故答案为：24s，在 BC边上相遇．

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．

29．已知如图，射线 在 的内部， ．点 分别在射线 上，且 ．连结 ．

（1）如图1，若 ，延长 到点 ，使 ，连接 ．求证：① ≌ ．

② ．

（2）如图2，若 ，其它条件不变，问题（1）中的线段 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）不发生变化，仍然有 ，理由见解析．

【分析】（1）①根据SAS即可证得结论；

②根据全等三角形的性质可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，进而可得∠EAF=∠GAF，然后根据SAS即可证明△EAF≌△GAF，可得EF＝FG，进一步即可证得结论；

（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，根据SAS可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，然后仿（1）题的思路证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，进而可得结论．

【详解】解：（1）证明：①如图1，在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS）；

②由①知：△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵∠EAF＝ ∠CAM=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=120°－60°=60°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中， ，

∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，

∵GF＝DG+DF，BE＝DG，

∴BE+DF＝EF；

（2）不发生变化，结论EF＝BE+DF仍然成立；

理由：如图3，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．

∵ ， ，∴∠ABE=∠ADG，

在△ABE和△ADG中， ，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝ ∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝ ∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

在△AEF和△GAF中， ，

∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF．

【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

30．如图，已知AC=BC，点D是BC上一点，∠ADE=∠C．

（1）如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°．

①求证：∠EDB=∠CAD；

②求证：DA=DE；

（2）如图2，若∠C=40°，DA=DE，求∠DBE的度数；

（3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）∠AGD=110°；（3）∠DBE=90°+ ∠C．

【分析】（1）①根据三角形的内角和及平角的定义可得结论；

②如图1，作辅助线，构建等腰直角三角形，利用ASA证明△AFD≌△DBE（ASA），可得结论；

（2）方法一：如图2，同理作辅助线，证明△AGD≌△DBE（SAS），得∠AGD=∠DBE=110°；

方法二：如图2，延长DB到点H使DH=AC，连接EH，证明△ACD≌△DHE（SAS），得∠C=∠H=40°，CD=EH，再根据已知证明CD=BH=EH，可得结论；

（3）同理作辅助线，证明△AFD≌△DBE（SAS），根据三角形的外角和三角形内角和定理可得结论．

【详解】（1）证明：①∵∠ADE=∠C，

∴∠CAD=180°-∠C-∠ADC，

∠EDB=180°-∠ADE-∠ADC，

∴∠CAD=∠EDB；

②在AC上截取CF=CD，连接FD，（或在AC上截取AF=BD，连接FD）

∵∠C=90°，

∴∠CFD=∠CDF=45°，

∴∠AFD=135°=∠DBE，

∵AC=BC，

∴AC-CF=BC-CD，即：AF=BD，

由①知：∠CAD=∠BDE，

∴△AFD≌△DBE（ASA），

∴DA=DE；

（2）方法一：如图2，在AC上截取AG=DB，连接GD（在AC上截取CG=CD，连接GD），

∵AC=BC，

∴AC-AG=BC-BD即：CG=CD，

∴∠CGD=∠CDG= =70°，

∵DA=DE，∠CAD=∠EDB（已证），AG=DB，

∴△AGD≌△DBE（SAS），

∴∠AGD=∠DBE=110°；

方法二：如图3，延长DB到点H使DH=AC，连接EH，

∵∠CAD=∠BDE，AD=DE，

∴△ACD≌△DHE（SAS），

∴∠C=∠H=40°，CD=EH，

∵AC=BC=DH，

∴CD=BH=EH，

∴∠HBE=∠HEB=70°，

∴∠DBE=110°；

（3）当∠DBE=90°+ ∠C时，总有DA=DE成立；

理由是：如图3，在AC上截取CF=CD，连接DF，则∠CDF=∠CFD，

设∠CDF=x，

△CDF中，∠C+∠CDF+∠CFD=180°，

∴∠C+x+x=180°，

x= =90°- ，

同理得△AFD≌△DBE（SAS），

∴∠AFD=∠DBE=∠C+∠CDF=∠C+x=∠C+90°- ∠C，

∴∠DBE=90°+ ∠C．

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边.对应角相等的性质，本题中作辅助线证明AFD≌△DBE是解题的关键．