专题2.2直接开平方法解一元二次方程-重难点题型

【 知识点1 直接开平方法解一元二次方程】

根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.

直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为 或 的形式；

②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.

【题型1 直接开平方法解一元二次方程的条件】

【例1】（环江县期末）若关于x的方程x²﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0

【分析】根据直接开平方法求解可得．

【解答】解：∵x²﹣m＝0，

∴x²＝m，

由x²﹣m＝0知m≥0，

故选：D．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式1-1】（乐亭县期中）若方程（x﹣1）²＝m+1有解，则m的取值范围是（　　）

A．m≤﹣1 B．m≥﹣1

C．m为任意实数 D．m＞0

【分析】根据非负数的性质可知（x﹣1）²≥0，所以当m+1≥0时，关于x的方程（x﹣1）²＝m+1有解，由此求出m的取值范围．

【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）²＝m+1有解，

∴m+1≥0，

∴m≥﹣1．

故选：B．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x²＝p或（nx+m）²＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

【变式1-2】（南岗区校级月考）若（4x﹣3）²＝m+3无实数解，则m的取值范围是　　．

【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出m的范围即可．

【解答】解：∵（4x﹣3）²＝m+3无实数解，

∴m+3＜0，

解得：m＜﹣3．

故答案为：m＜﹣3．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．

【变式1-3】（鼓楼区校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）²＝4m﹣1有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．

【分析】（1）利用非负数的性质得到4m﹣1≥0，然后解不等式即可；

（2）先把x＝2代入方程（x﹣1）²＝4m﹣1中求出m，则方程化为（x﹣1）²＝1，然后利用直接开平方法解方程即可．

【解答】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0，

解得m ；

（2）把x＝2代入方程（x﹣1）²＝4m﹣1得（2﹣1）²＝4m﹣1，解得m ，

∴方程化为（x﹣1）²＝1，

∴x﹣1＝±1，解得x₁＝2，x₂＝0，

∴方程的另一个根为0．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x²＝p或（nx+m）²＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

【题型2解形如 的方程】

【例2】（梁溪区校级期中）解方程：

（1）x²＝9；

（2）4x²﹣25＝0．

【分析】利用直接开平方法求解即可．

【解答】解：（1）∵x²＝9，

∴x₁＝3，x₂＝﹣3；

（2）∵4x²﹣25＝0，

∴4x²＝25，

则x² ，

∴x₁ ，x₂ ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式2-1】（江城区期中）解方程4x²﹣13＝12

【分析】移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案．

【解答】解：移项得：4x²＝13+12，

4x²＝25，

，

，

．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．

【变式2-2】（马山县期中）解方程：1﹣8x+16x²＝2﹣8x．

【分析】先将方程移项、合并同类项得到16x²＝1，再两边同时除以16，得到x² ，从而把问题转化为求 的平方根．

【解答】解：1﹣8x+16x²＝2﹣8x，

移项、合并同类项，得16x²＝1，

两边同时除以16，得x² ，

解得x＝± ．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x²＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x²＝a（a≥0）；ax²＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）²＝b（b≥0）；a（x+b）²＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

【变式2-3】（金山区期中）解关于x的方程：x²﹣1＝1﹣ax²（a≠﹣1）．

【分析】采用直接开平方的方法解一元二次方程解答即可．

【解答】解：x²﹣1＝1﹣ax²（a≠﹣1）．

（1+a）x²＝2，

当a＜﹣1，无解，

当a＞﹣1， ，

．

【点评】此题考查解一元二次方程，关键是直接开平方的方法解一元二次方程解答．

【题型3解形如 的方程】

【例3】（广州校级期中）解方程：4（2x﹣1）²﹣36＝0．

【分析】根据直接开方法即可求出答案．

【解答】解：∵4（2x﹣1）²﹣36＝0，

∴（2x﹣1）²＝9，

∴2x﹣1＝±3，

∴x＝2或﹣1

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

【变式3-1】（蜀山区期中）解方程： （y+2）²﹣6＝0

【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．

【解答】解： （y+2）²﹣6＝0，

（y+2）²＝12，

y+2＝±2 ，

y₁＝2 2，y₂＝﹣2 2．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

【变式3-2】（孟津县期末）解方程：（y+2）²＝（3y﹣1）²．

【分析】直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为x²＝p或（mx+n）²＝p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解．

【解答】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）

即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），

解得：y₁ ，y₂ ．

【点评】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x²＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x²＝a（a≥0）；ax²＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）²＝b（b≥0）；a（x+b）²＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

【变式3-3】（孝南区月考）解方程：4x²+12x+9＝81．

【分析】利用完全平方公式变形得到（2x+3）²＝81，然后利用直接开平方法解方程．

【解答】解：（2x+3）²＝81，

2x+3＝±9，

即2x+3＝9或2x+3＝﹣9，

所以x₁＝3，x₂＝﹣6．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x²＝p或（nx+m）²＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

【题型4已知方程的根求字母的值】

【例4】（武昌区校级期中）如果x＝2是方程x²﹣c＝0的一个根，这个方程的另一个根为　　．

【分析】将x＝2代入方程得出c的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．

【解答】解：将x＝2代入方程，得：4﹣c＝0，

解得c＝4，

∴方程为x²﹣4＝0，

则x²＝4，

∴x＝2或x＝﹣2，

即这个方程的另一个根为x＝﹣2，

故答案为：x＝﹣2．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式4-1】（龙湖区期末）若关于x的方程（ax﹣1）²﹣16＝0的一个根为2，则a的值为　　．

【分析】将x＝2代入原方程即可求出a的值．

【解答】解：将x＝2代入（ax﹣1）²﹣16＝0，

∴（2a﹣1）²﹣16＝0，

∴2a﹣1＝±4，

∴a₁ 或a₂ ，

故答案为： 或 ．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

【变式4-2】（杨浦区期中）若关于x的一元二次方程a（x﹣m）²＝3的两根为 ± ，其中a、m为两数，则a＝　　，m＝　　．

【分析】利用配方法求解即可．

【解答】解：∵a（x﹣m）²＝3，

∴（x﹣m）² ，

则x﹣m＝± ，

∴x＝m± ，

根据题意知m ，a＝4，

故答案为：4， ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式4-3】（于洪区校级月考）若一元二次方程ax²＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 　　．

【分析】根据直接开方法即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：m+1+2m﹣4＝0，

∴m＝1，

∴m+1＝2，

∴x² （m+1）²＝4，

∴ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

【题型5已知方程的解求另一个方程的解】

【例5】（湖里区校级月考）方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝﹣2，x₂＝1，则方程a（x+m+2）²+b＝0的解是（　　）

A．x₁＝﹣2，x₂＝1 B．x₁＝﹣4，x₂＝﹣1

C．x₁＝0，x₂＝3 D．x₁＝x₂＝﹣2

【分析】根据方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝﹣2，x₂＝1，可知方程a（x+m+2）²+b＝0的解比方程a（x+m）²+b＝0的解小2，从而可以得到方程a（x+m+2）²+b＝0的解．

【解答】解：∵方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝﹣2，x₂＝1，

∴方程a（x+m+2）²+b＝0的两个解是x₃＝﹣2﹣2＝﹣4，x₄＝1﹣2＝﹣1，

故选：B．

【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出所求方程的解．

【变式5-1】（阜阳月考）若关于x的方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝2，x₂＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）²+b＝0的解是（　　）

A．x₁＝1，x₂＝﹣2 B．x₁＝1，x₂＝0 C．x₁＝3，x₂＝﹣2 D．x₁＝3，x₂＝0

【分析】将方程a（﹣x﹣m+1）²+b＝0变形为a（x+m﹣1）²+b＝0，再结合关于x的方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝2，x₂＝﹣1知方程a（x+m﹣1）²+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，从而得出答案．

【解答】解：∵a（﹣x﹣m+1）²+b＝0，

∴a（x+m﹣1）²+b＝0，

又∵关于x的方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝2，x₂＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），

∴方程a（x+m﹣1）²+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，

解得x₁＝3，x₂＝0，

故选：D．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式5-2】（石家庄期中）关于x的方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝﹣3，x₂＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）²+b＝0的解是　　．

【分析】可把方程a（x+m+1）²+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，从而得到x+1＝﹣3，x+1＝2，然后解两个一次方程即可．

【解答】解：把方程a（2x+m+1）²+b＝0看作关于2x+1的一元二次方程，

而关于x的方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝﹣3，x₂＝2，

所以2x+1＝﹣3，2x+1＝2，

所以x₁＝﹣2，x₂＝ ．

故答案为x₁＝﹣2，x₂＝ ．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于x的一元一次方程是解题的关键．

【变式5-3】（海陵区校级月考）已知关于x的方程a（x+m）²+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x₁＝3和x₂＝7，则方程 b＝0的解是　　．

【分析】根据题意可求出 、m的值，然后代入方程 b＝0即可求出答案．

【解答】解：∵a（x+m）²+b＝0的两解为x₁＝3和x₂＝7，

∴ ，

解得： ，

∵ b＝0，

∴4（x m）² 0，

∴4（x ）²﹣4＝0，

∴x 或x ，

故答案为：x 或x

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据题意求出 、m的值，本题属于中等题型．

【题型6直接开平方法解新定义问题】

【例6】（钦州期末）给出一种运算：对于函数y＝xⁿ，规定y'＝nx^n﹣1．例如：若函数y＝x⁴，则有y'＝4x³．已知函数y＝x³，那么方程y′＝18的解是（　　）

A．x₁ ，x₂ B．x₁＝6，x₂＝﹣6

C．x₁＝3，x₂＝﹣3 D．x₁＝3 ，x₂＝﹣3

【分析】先根据新定义得出y′＝3x²，再结合y′＝18知3x²＝18，据此利用直接开平方法求解即可．

【解答】解：∵y＝x³，

∴y′＝3x²，

∵y′＝18，

∴3x²＝18，

则x²＝6，

∴x₁ ，x₂ ，

故选：A．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式6-1】（樊城区期末）实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x²﹣1，x²）＝1，则x＝　　．

【分析】先判断出x²﹣1＜x²，从而由min（x²﹣1，x²）＝1知x²﹣1＝1，再利用直接开平方法求解即可．

【解答】解：∵x²﹣1＜x²，

∴由min（x²﹣1，x²）＝1知x²﹣1＝1，

则x²＝2，

∴x ，

故答案为： ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式6-2】（灌云县期中）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+3b；当a＜b时，a*b＝a﹣3b，例如：3*（﹣4）＝3+（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6﹣36＝﹣42．

（1）x²*（x²﹣2）＝30，则x＝　　；

（2）小明在计算（﹣3x²+6x﹣5）（﹣x²+2x+3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．

【分析】（1）根据x²*（x²﹣2）＝30知x²+3（x²﹣2）＝30，解之可得答案；

（2）由（﹣3x²+6x﹣5）﹣（﹣x²+2x+3）＝﹣2（x﹣1）²﹣6＜0知﹣3x²+6x﹣5＜﹣x²+2x+3，据此得（﹣3x²+6x﹣5）*（﹣x²+2x+3）＝（﹣3x²+6x﹣5）﹣3（﹣x²+2x+3）＝﹣14，从而得出答案．

【解答】解：（1）∵x²*（x²﹣2）＝30，

∴x²+3（x²﹣2）＝30，

解得x＝±3，

故答案为：±3．

（2）∵（﹣3x²+6x﹣5）﹣（﹣x²+2x+3）

＝﹣2x²+4x﹣8

＝﹣2（x﹣1）²﹣6＜0，

∴﹣3x²+6x﹣5＜﹣x²+2x+3，

（﹣3x²+6x﹣5）*（﹣x²+2x+3）

＝（﹣3x²+6x﹣5）﹣3（﹣x²+2x+3）

＝﹣3x²+6x﹣5+3x²﹣6x﹣9

＝﹣14，

∵化简后的结果与x取值无关，

∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，

∴小华说小明计算错误．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式6-3】（零陵区期中）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：

如：解方程x（x+8）＝4

解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4

（x+4）²﹣4²＝4

（x+4）²＝20

直接开平方，得x₁＝﹣4+2 ，x₂＝﹣4﹣2 ．

我们称这种解法为“平均数法”．

（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：

解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40

（x+a）²﹣b²＝40

（x+a）²＝40+b²

直接开平方，得x₁＝c，x₂＝d．

上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　　，　　，　　，　　．

（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．

【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；

（2）利用“平均数法”解方程即可．

【解答】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．

（x+5）²﹣3²＝40，

（x+5）²＝40+3²．

直接开平方并整理，得．x₁＝2，x₂＝﹣12．

上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，

故答案为：5、3、2、﹣12；

（2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4．

（x+2）²﹣4²＝4，

（x+2）²＝4+4²．

∴x＝﹣2±2 ，

∴x₁＝﹣2+2 ，x₂＝﹣2﹣2 ．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．