专题2.2
一元二次方程（基础篇）
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．方程
的一次项系数是( )
A．
B．
C．
D．
3．将一元二次方程
化成一般形式后，一次项系数、常数项分别为（ ）
A．1，
B．
，1 C．1，5 D．5，1
4．若方程
中，
，
，
满足
和
，则方程的根是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．无法确定
5．已知m是方程
的一个根，则代数式
的值是（ ）
（ ）
A．
B．2 C．26 D．
6．若关于x的一元二次方程
有一个根是2，则
的值是（ ）
A．2 B．
C．
D．1
7．根据下列表格的对应值：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
由此可判断方程
必有一个解
满足( )
A．
B．
C．
D．
8．若
是关于x的一元二次方程
的一个解，则
的值是（ ）
A．1 B．1011 C．2020 D．4041
9．若
是方程
的一个根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2 D．6
10．已知
、
、
分别是等腰三角形三边的长，且
是关于
的一元二次方程
的一个根，则
的值等于（ ）
A．1 B．
C．1或2 D．1或
二、填空题
11．把一元二次方程
化为一般形式，若二次项系数是1，则常数项是____．
12．若关于
的一元二次方程
有一个根为
，则
的值为______．
13．已知m为一元二次方程
的一个根，则代数式
的值为______．
14．观察表格，一元二次方程
的一个解的取值范围是______．
X |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
|
|
|
|
|
0.09 |
0.34 |
0.61 |
15．关于x的一元二次方程
的常数项为0，则m为_______．
16．若
为关于
的一元二次方程
的根，则
的值为______．
17．在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为
和
；乙看错了常数项，得出的两根为8和2．则这个方程为：__________________．
18．已知
是一元二次方程
的一个解，且
，则
的值为__________．
三、解答题
19．若关于
的方程
是一元二次方程，求不等式：
的解集．
20．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)
，且
；
(2)
．
21．已知
为方程
的一个根，求代数式
的值．
22．已知
是关于x的一元一次方程，求代数式
的值．
23．先化简，再求值：
，其中x为方程
的根．
24．如图是证明勾股定理时用到的一个图形，
，
，
是
和
的边长，显然
，我们把关于
的一元二次方程
称为“弦系一元二次方程”.请解决下列问题：
方程
是不是“弦系一元二次方程”：（填“是”或“否”）；写出一个“弦系一元二次方程”；
在（2）的条件下，判断此方程根的情况.
参考答案
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．
是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．
是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．
，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．
是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是
（且
．特别要注意
的条件．
2．D
【分析】根据
(
，
，
是常数且
)
，
，
分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
解：
的一次项系数是
．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：
(
，
，
是常数且
)．在一般形式中
叫二次项，
叫一次项，
是常数项．其中
，
，
分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．B
【分析】将一元二次方程
化成一般形式，再进行判断即可．
解：
，
整理，得：
，
∴一次项系数为：
，常数项为：
；
故选B．
【点拨】本题考查一元二次方程的一次项系数和常数项．将一元二次方程正确的转化为：
的形式，是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意，当
时，
，当
时，
，则方程的根是
，
．
解：根据题意，当
时，
，当
时，
∴方程的根是
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解题意是解题的关键．
5．A
【分析】根据方程根的概念得到m等式，变形后整体代入即可．
解：∵m是方程
的一个根，
∴
即
，
∴
，
故选：A．
【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握方程的根的概念和整体思想的应用．
6．B
【分析】把
代入一元二次方程
得
，化简整理即可求解．
解：把
代入一元二次方程
，得
，
∴
．
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
7．C
【分析】根据表中的数据可得
时，
，当
时，
，可判断当
时，
，即可求解．
解：根据表中的数据可得
时，
，当
时，
∴
时，
故选：C
【点拨】本题考查了一元二次方程的近似值，熟悉二次函数的图像是解题的关键.
8．B
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到
，再把
变形为
，然后利用整体代入的方法计算．
解：把
代入方程
得
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．D
【分析】先根据一元二次方程的定义得到
，然后利用整体代入的方法计算
的值．
解：
是方程
的一个根，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．C
【分析】分当
或
时，两种情况进行讨论，再将
的值代入方程计算即可．
解：因为
、
、
分别是等腰三角形三边的长，
①当
，即
，
方程为
，
解得：
，
②当
时，即
，
方程为
解得：
，
综上所述，
的值等于
或
，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确的理解题意分类讨论是解题的关键．
11．
【分析】先将方程左边展开，再移项，化成一般式，即可得出常数项．
解：∵
∴
，
∴常数项是
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握
，叫一元二次方程的一般式，其中
叫二次项，
叫一次项，c是常数项是解题的关键．
12．
【分析】根据一元二次方程根的定义，将
代入关于x的一元二次方程
得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．
解：由题意得：
把
代入方程
，得：
，
解得：
，
，
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．
13．4044
【分析】将
代入一元二次方程即可得出
，再将代数式
变形为
，最后整体代入即可．
解：∵m为一元二次方程
的一个根，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：4044．
【点拨】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和利用整理代入的思想是解题关键．
14．
【分析】观察表格可得当
时，
，当
时，
，可得到一元二次方程
的解介于1.6与1.7之间，即可求解．
解：根据题意得∶当
时，
，
当
时，
，
∴一元二次方程
的解介于1.6与1.7之间，
即
．
故答案为：
【点拨】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得
比较接近0，本题属于基础题型．
15．
【分析】根据一元二次方程定义二次项系数不为0及常数为0列式即可得到答案．
解：由题意可得，
，
解得：
，
故答案为
．
【点拨】本题考查一元二次方程的定义及绝对值方程，解题关键是根据题意得到二次项系数不为0．
16．
【分析】首先把
代入一元二次方程
中，可得到，
，再把方程左边分解因式即可求出答案．
解：
为关于
的一元二次方程
的根，
，
，
或
，
或
，
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，解题的关键是正确把握一元二次方程的解的意义．
17．
【分析】先分别确定甲乙看错的方程，然后即可得出原方程．
解：甲看错的方程为：
，
∵看错了一次项系数，
∴常数项为9；
乙看错的方程为：
，
∵看错了常数项，
∴一次项系数
；
所以原方程为
，
故答案为：
．
【点拨】题目主要考查一元二次方程的解及确定一元二次方程，熟练掌握因式分解法的逆用是解题关键．
18．
【分析】根据一元二次方程解的定义把
代入求得
，然后对所求分式进行化简，再整体代入计算即可．
解：∵
是一元二次方程
的一个解，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19．
【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
解：
是一元二次方程，
，
，
解得：
，
，
，
原不等式变为：
，
∴
，
即
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出m的值．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知设
，代入
列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
（1）解：（1）
，
设
，
，
∴
，
解得：
，
∴
，
则方程为：
；
（2）解：∵
，
∴
，
解得：
，
则方程为
．
【点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式并根据已知求出
的值是解答此题的关键．
21．1
【分析】将a代入方程中得
，将所求代数式化简整理后，把
整体代入即可.
解：∵
为方程
的一个根，
∴
．
∴
．
∴原式=
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整体代入法求代数式的值.解题的关键是掌握整体代入法.
22．1991
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是
（a，b是常数且
）．列出等式，求出m的值，代入即可．
解：∵
是关于x的一元一次方程，
∴
且
，
解得：
．
则方程变为
，解得
，
∴原式
；
所以所求代数式的值为1991．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．
23．
，
【分析】先将小括号内进行通分计算，括号外面的分子分母进行因式分解，然后将除法转化为乘法进行约分计算，最后将
整体代入计算即可．
解：原式
，
∵x为方程
的根，
，
∴原式
．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是准确的对分式进行化简，再把方程
变为
整体代入进行计算．
24．(1)是； (2)
； (3)此方程有两个不相等的实数根
【分析】（1）根据弦系一元二次方程的定义解答即可；
（2）根据弦系一元二次方程的定义解答即可；
（3）根据一元二次方程根的判别式判断即可．
解：（1）是．
根据题意可知
，
，
，则
，
所以
是弦系一元二次方程．
故答案为：是；
（2）
．
令
，
，则
，可知一次项系数为
，
所以方程为
．
故答案为：
；
（3）
，
可知
，
，
，
∴
，
所以原方程有两个不相等的实数根．
【点拨】本题主要考查了新定义的理解，一元二次方程根的判别式，理解系数之间的关系是解题的关键．