专题2.2
根的判别式和根与系数的关系
【典例1】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2．
（1）若x12+x22＝2，求m的值；
（2）令T
，求T的取值范围．
【
思路点拨】
首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．
（1）变形x12+x22为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；
（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．
【
解题过程】
解：∵关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，
解得m≤1，
∵m是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m≤1，
∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3．
（1）∵x12+x22＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2，
整理得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去），
∴m的值为1；
（2）T
＝2﹣2m．
∵当m＝0时，方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3．
此时T没有意义．
当m≠0时，﹣1≤m≤1，
所以0≤2﹣2m≤4．
即0≤T≤4且T≠2．
1．（南海区期末）已知
是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】
利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可．
【解题过程】
解：∵
是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为a，
∴a
1，
解得：a＝1
，即a
．
故选：C．
2．（莲池区期末）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【思路点拨】
分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．
【解题过程】
解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；
故选：C．
3．（江汉区校级自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（ ）
A．1 B．
C．
D．2
【思路点拨】
先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．
【解题过程】
解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m＝0，解得|x|＝1±
，
∵1
0，则方程有四个实数根，
∴方程必有一个根等于0，
∵1
0，
∴1
0，
解得m＝2．
故选：D．
4．（鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】
由2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，即2（
）2+5
2＝0，且αβ≠1，可得α、
是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，由根与系数关系得α
，α•
1，再把
变形
（α
）+α•
，然后利用整体代入的方法计算．
【解题过程】
解：∵实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，
∴2（
）2+5
2＝0，
∴α、
是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，
∴α
，α•
1，
∴
1+α•
α
（α
）+α•
1
（
）+（﹣1）+1
．
故选：A．
5．（江岸区校级自主招生）设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．
m
B．m
或m
C．m
或m
D．
m
【思路点拨】
首先根据根的判别式求出三个方程没有一个方程有实数根的m的取值范围，然后即可求出题目要求的取值范围．
【解题过程】
解：设关于x的三个方程都没有实根．
对于方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，则有△1＜0，即△1＝16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得m
；
对于方程x2+（2m+1）x+m2＝0，则有△2＜0，即△2＝（2m+1）2﹣4m2＝4m+1＜0，解得m
；
对于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0，当m＝1时，方程变为2x＝0，方程有解，
所以m≠1，则有△3＜0，
即△3＝4m2﹣4（m﹣1）2＝8m+4＜0，解得m
．
综上所述：当
m
，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．
所以若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是m
或m
．
故选：C．
6．（永春县期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：
①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0；
②若a+2c＝0，则方程必有两个不相等的实数根；
③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根；
④若x＝2m方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立．
以上说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
①由韦达定理求出b＝a，c＝﹣3a，再对所求式子进行判断即可；
②利用判别式对方程的根情况进行判断即可；
③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可；
④将所求式子作差，判断差的符号即可．
【解题过程】
解：①∵方程两根为﹣3和1，
∴﹣2+1
，（﹣3）×1
，
∴b＝a，c＝﹣3a，
∴2b+3c＝2a﹣9a＝﹣7a≠0，
故①不正确；
②∵a+2c＝0，
∴c
a，
∵方程ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+2a2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵b＝2a+c或b＝a+2c，
当b＝2a+c时，Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，
当b＝a+2c时，Δ＝b2﹣4ac＝（a+2c）2﹣4ac＝a2+4c2＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，
故③正确；
④∵x＝2m方程的一个根，
∴4am2+2bm+c＝0，
∵（2am+b）2﹣（b2+2abm﹣ac）＝a（4am2+2bm+c）＝0，
∴b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2，
故④正确；
故选：C．
7．（郾城区期末）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）依照题意，找出k值，进而可得出原方程，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴
，
解得：k＞﹣2且k≠﹣1，
∴实数k的取值范围为k＞﹣2且k≠﹣1．
（2）∵k＞﹣2且k≠﹣1，
∴满足条件的k的最小整数值为0，此时原方程为x2﹣2＝0，
解得：x1
，x2
．
8．（盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【思路点拨】
（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；
（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．
【解题过程】
（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴m、n的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，
此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10．
9．（涪城区校级自主招生）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．
【思路点拨】
（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，求出不等式的解集即可；
（2）取m＝﹣1或1，代入方程，再求出方程的解即可．
【解题过程】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m
，
即m的取值范围是m
；
（2）由（1）知：当m
时，方程有两个不相等的实数根，
∵m为不大于1的整数，
∴m＝0，﹣1，1，
又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，
当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0，
即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．
当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝0，
即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．
10．（鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2
，x1•x2
．
【思路点拨】
利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证．
【解题过程】
证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，
∴当b2﹣4ac≥0时，x1
，x2
，
则x1+x2
，
x1•x2
•
．
11．（绵阳期末）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2．
（1）求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个实数根是﹣p+1，求p的值及方程的另一个实数根．
【思路点拨】
（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质证明Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得﹣p+1+t＝5，（﹣p+1）t＝6﹣p2，则t＝4+p，消去t得到（﹣p+1）（4+p）＝6﹣p2，然后解关于p的方程，再计算t的值．
【解题过程】
（1）证明：原方程化为x2﹣5x+6﹣p2＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2）
＝1+4p2，
而4p2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得﹣p+1+t＝5，（﹣p+1）t＝6﹣p2，
∴t＝4+p，
∴（﹣p+1）（4+p）＝6﹣p2，
整理得p
，
∴t
，
即p的值为
，方程的另一个实数根为
．
12．（江汉区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
【思路点拨】
（i）根据根的判别式进行求解；
（ii）由方程的根为x1，x2，得到x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，据此对原式进行化简，最后根据根与系数的关系进行求解．
【解题过程】
解：（i）∵方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k
；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
13．（九江期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）请说明该方程实数根的个数情况；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求m的值．
【思路点拨】
（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2﹣2m，代入计算即可求出答案．
【解题过程】
解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，（x1+1）•（x2+1）＝8，
∴（x1+1）•（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）＝8，
∴2m﹣2+m2﹣2m＝8，
∴m2＝10，
∴m
或m
．
故m的值为
或
．
14．（曲靖期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
【思路点拨】
（1）利用根的判别式的意义得到（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，再利用x12+x22＝10得到42﹣2（k﹣1）＝10，接着解关于k的方程，然后利用k的范围确定满足条件的k的值．
【解题过程】
解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
15．（麦积区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．
【思路点拨】
（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，然后解不等式得到m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，再利用完全平方公式把（x1﹣x2）2+m2＝13变形为（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝13，所以（2m+1）2﹣4m2+m2＝13，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．
【解题过程】
解：（1）由题意得：Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，
解得m
，
即m的取值范围为m
；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝13，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝13，
∴（2m+1）2﹣4m2+m2＝13，
整理得m2+4m﹣12＝0，
解得m1＝﹣6，m2＝2，
∵m
，
∴m的值为2．
16．（海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的取值范围．
【思路点拨】
（1）先计算根的判别式，然后利用非负数的性质证明Δ≥0，从而得到结论；
（2）先利用求根公式得到b＝2k，c＝k+1，再利用两边之和大于第三边得到2k+k+1＞6，2k＞0，k+1＞0，k+1+6＞2k，然后解不等式组得到k的范围．
【解题过程】
（1）证明：∵Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：x
，
解得x1＝2k，x2＝k+1，
即b＝2k，c＝k+1，
∴2k+k+1＞6，2k＞0，k+1＞0，k+1+6＞2k，
∴
k＜7，
即k的取值范围为
k＜7．
17．（乐平市期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣3）x+k＝0．
（1）若原方程有实数根，求k的取值范围．
（2）设原方程两根为x1，x2，是否存在实数k，使得
k﹣2成立？若存在，请求出k；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用根的判别式的意义得到k﹣1≠0且（2k﹣3）2﹣4k（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2
，x1x2
，利用
k﹣2得到
（k﹣2）
，解得k1＝1，k2＝3，然后利用（1）中k的范围可判断不存在这样的实数k，使得
k﹣2成立．
【解题过程】
解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣3）2﹣4k（k﹣1）≥0，
解得k
，
而k﹣1≠0，
∴k的取值范围为k
且k≠1；
（2）不存在实数k，使得
k﹣2成立．
理由如下：
x1+x2
，x1x2
，
∵
k﹣2，
∴x1+x2＝（k﹣2）x1x2，
（k﹣2）
，
整理得k2﹣4k+3＝0，解得k1＝1，k2＝3，
∵k
且k≠1，
∴不存在这样的实数k，使得
k﹣2成立．
18．（黄石期末）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值．
【思路点拨】
（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，然后解不等式得到k的范围；
（2）据题根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，由此推知x1＜0，x2＜0，结合已知条件得到：﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，代入解方程即可．
【解题过程】
（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，
解得k
；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝|x1x2|﹣1，
∴﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，
∴2k+1＝k2+2﹣1，
整理得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，
∵k
，
∴k＝2．
19．（恩施市期末）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|
？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
【思路点拨】
（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用根与系数的关系，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【解题过程】
解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，
∴
；
（2）由一元二次方程的求根公式得：x1
，x2
，
∵
，
∴
，
∴x1＞0，
又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，
∴x2＞0，
当
时，有
，
即
，
∴4k﹣11＝3，
∴
，
∴存在实数
，使得
．
20．（石狮市期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1，x2是方程的两个解，令w＝x1x22+x12x2+k，求w的最大值．
【思路点拨】
（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝3，x1•x2＝k+1，结合w＝x1x22+x12x2+k，由增减性可求w的最大值．
【解题过程】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（k+1）≥0，
解得：k
，
∴k的取值范围为k
；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0的两个解，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝k+1．
∴w＝x1x22+x12x2+k＝x1x2（x1+x2）+k＝3（k+1）+k＝4k+3，
∴k
时，w的最大值为4
3＝5+3＝8．
21．（鄞州区校级期末）已知a，b是一元二次方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根，解方程组
．
【思路点拨】
将方程组中的两个方程相减可得（
1）（x﹣y）＝0，再由a+b＝2021，ab＝﹣1，可知
1≠0，所以x＝y，再求解方程组即可．
【解题过程】
解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝2021，ab＝﹣1，
，
①﹣②，得（
1）（x﹣y）＝0，
当x＝y时，①得（
）x＝x+2021，
∴
x＝x+2021，
∴x
，
∴方程组的解为
．
当x≠y时，
1＝0，
∴
1＝0，
∴a﹣b﹣1＝0，
∵2021﹣2b﹣1＝2022﹣2b≠0，
∴方程组的解为
．
22．（花山区校级月考）综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2+x﹣6＝0；
②2x2﹣2
x+2＝0．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，且a＜0）是“邻根方程”，令t＝2﹣b2，求t的最大值．
【思路点拨】
（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝2﹣b2，得t与a的关系，化简即可．
【解题过程】
解：（1）①解方程得：（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∵2≠﹣3+1，
∴x2+x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②x
，
∴x1
，x2
，
∵
1，
∴2x2﹣2
x+2＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+2）＝0，
∴x1＝m，x2＝﹣2，
∵方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1，
∴m＝﹣1或﹣3；
（3）解方程ax2+bx+2＝0得：
x1
，x2
，
∵关于x的方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，a＜0）是“邻根方程”，
∴
1
，
∴
a，
等号两边平方得：b2﹣8a＝a2，
∴b2＝a2+8a，
∵a＜0，t＝2﹣b2，
∴t＝2﹣（a2+8a）＝﹣（a+4）2+18，
∴当a＝﹣4时，t有最大值18．