【324077】2024八年级数学下册 专题2.1与三角形有关角的计算问题大题专练（含解析）（新版）浙

专题2.1与三角形有关角的计算问题大题专练（培优强化30题）

一、解答题

1．（1）如图1， 与 是 的两个外角，那么 ， ， 之间有怎样的等量关系？请直接写出结论．

（2）如图2，若 ， 分别平分 的外角 和 ，那么 与 之间有怎样的等量关系？请说明理由．

（3）如图3，若 ， 分别平分四边形 的外角 和 ，那么 与 ， 之间有怎样的等量关系？请说明理由．

【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） ，理由见解析

【分析】（1）根据平角的性质可得可得∠DBC=180°-∠ABC，∠BCE=180°-∠ACB，再根据三角形内角和定理整理即可得解；

（2）利用（1）中的结论，结合三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出 ；

（3）结合（1）（2）可得 和 ，整理后即可得出三者之间的关系．

【详解】解：（1） ，理由如下：

∠DBC+∠BCE

=180°-∠ABC+180°-∠ACB

=360°-（∠ABC+∠ACB）

=360°-（180°-∠A）

=180°+∠A；

（2） ．

理由如下：

∵ ， 分别平分 和 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ．

（3） ，理由如下：

延长DQ、CE交于A，

由（1）同理可证 ，

由（2）得 ，即 ，

∴ ，即

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的定义,三角形的外角．熟练掌握相关性质，并能结合图形分析是解题关键．

2．如图甲，射线 与长方形 的边 交于点 ，与边 交于点 ，①②③④分别是被射线 隔开的4个区域（不含边界，其中区域②③位于直线 上方）， 是位于以上四个区域上的点．

（1）如图乙，当 在区域①，猜想图中 的关系并证明你的结论．

（2）猜想当 分别在区域②③④， 的关系，请直接写出答案，不要求证明．

【答案】（1）∠EPF=∠PEB+∠PFC，证明见解析；（2）见解析

【分析】根据题意画出图形，再根据平行线的性质及三角形内角和和外角定理即可得出结论．

【详解】解：（1）∠EPF=∠PEB+∠PFC，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠CFE=180°，

∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，

∴∠EPF=∠PEB+∠PFC；

（2）当点P在区域②时，如图所示，

∵AB∥CD，

∴∠PFC=∠PHB．

∵∠PHB是△PEH的外角，

∴∠PHB=∠EPF+∠PEB，即∠PFC=∠EPF+∠PEB．

当点P在区域③时，如图所示，

∵AB∥CD，

∴∠PFC=∠PHB，

∵∠PEH+∠PEB=180°，

∴∠PEH=180°-∠PEB，

∵∠EPF+∠PEH+∠PHB=180°，即∠EPF+（180°-∠PEB）+∠PFC=180°，

∴∠PEB=∠EPF+∠PFC；

当点P在区域④时，如图所示，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠CFE=180°，

∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．

∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，

∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；

【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

3．如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交于点G， ．

（1）若 ，求 的度数；

（2）若 ，求 的度数．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；

（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．

【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF= ，

∵ ，

∴ ，

∴ ；

（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，

∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，

∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，

∴∠A+∠C=2∠P，

∵∠A=42°，∠C=38°，

∴∠P= （38°+42°）=40°．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．

4．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】

（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；

（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；

【延伸推广】

（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（ ），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）

【答案】（1）95°或110°；（2）60°；（3） m°或 m°或 m°＋ °或 m°﹣18°

【分析】（1）根据题意可得 的三分线 有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得 的度数；

（2）根据 、 分别是 邻 三分线和 邻 三分线，且 可得 ，进而可求 的度数；

（3）根据 的三分线所在的直线与 的三分线所在的直线交于点 ．分四种情况画图：情况一：如图①，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时；情况二：如图②，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时；情况三：如图③，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时；情况四：如图④，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时，再根据 ， ，根据三角形外角性质，即可求出 的度数．

【详解】解：（1）如图，

当BD是“邻AB三分线”时， ；

当BD是“邻BC三分线”时， ；

（2）在△BPC中，

∵ ，

∴ ，

又∵BP、CP分别是 邻BC三分线和 邻BC三分线，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

在△ABC中， ，

∴ ．

（3）分4种情况进行画图计算：

情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，

∴ ；

情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，

∴ ；

情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，

∴ ；

情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，

；

综上所述： 的度数为： 或 或 或 ．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握并灵活运用三角形的外角性质，注意要分情况讨论．

5．如图（1） 是一个三角形的纸片，点D、E分别是 边上的两点，

研究（1）：如果沿直线 折叠，写出 与 的关系，并说明理由．

研究（2）：如果折成图2的形状，猜想 和 的关系，并说明理由．

研究（3）：如果折成图3的形状，猜想 和 的关系，并说明理由．

【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由见解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由见解析

【分析】（1）翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′=2∠A；

（2）根据图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）根据图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．

【详解】解：（1）∠BDA′=2∠A；

根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；

（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，

理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，

∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，

∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，

∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，

∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

∴∠A=∠DA′E，

∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，

理由：如图3，DA′交AC于点F，

∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，

∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，

∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

∴∠A=∠DA′E，

∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．

【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及翻折变换的性质，遇到折叠的问题，一定要找准相等的量，结合题目所给出的条件在图形上找出之间的联系则可．

6．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；

②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）

③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G₁、G₂ 、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，则∠A的度数=__________°．

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70

【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；

（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；

②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE= （∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．

③由②方法，进而可得答案．

【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，

由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；

∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，

∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.

∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；

∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，

∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，

∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．

故答案是：40；

②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A

∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，

∴∠ADB+∠AEB＝80°；

∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,

∴∠ADC= ∠ADB,∠AEC= ∠AEB

∴∠DCE＝ (∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；

③由②知，∠BG₁C＝ (∠ABD+∠ACD)+ ∠A，

∵∠BG₁C＝77°，

∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，

∴ (140﹣x)＋x＝77，

∴14﹣ x+x＝77，

∴x＝70，

∴∠A为70°．

故答案是：70．

【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

7． 中， ．

（1）如图①，若点 是 与 平分线的交点，求 的度数；

（2）如图②，若点 是 与 平分线的交点，求 的度数；

（3）如图③，若点 是 与 平分线的交点，求 的度数；

（4）若 .请直接写出图①，②，③中 的度数，(用含 的代数式表示)

【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：① ；② ；③

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；

（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB= （∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；

（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P= ∠A，即可得出结果；

（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．

【详解】解:（1） ，

，

点 是 与 平分线的交点，

， ，

，

；

（2） ，

，

点 是 与 平分线的交点，

，

；

（3） 点 是 与 平分线的交点，

， ，

， ，

，

；

（4）若 ，在（1）中， ；

在（2）中，同理得： ；

在（3）中，同理得： ．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．

8．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．

（1）当α＝40°时，∠BPC＝　　°，∠BQC＝　　°；

（2）当α＝　　°时，BM∥CN；

（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；

（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　　．

【答案】（1）70， 125；（2）60；（3）45°；（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．

【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC＝ ∠PBC，∠QCB＝ ∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；

（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可；

（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数；

（4）分别用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．

【详解】解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，

∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，

∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，

∴∠CBP+∠BCP＝ （∠DBC+∠BCE）＝110°，

∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，

∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，

∴∠QBC＝ ∠PBC，∠QCB＝ ∠PCB，

∴∠QBC+∠QCB＝55°，

∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；

（2）∵BM∥CN，

∴∠MBC+∠NCB＝180°，

∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，

∴ （∠DBC+∠BCE）＝180°，

即 （180°+α）＝180°，

解得α＝60°；

（3）∵α＝120°，

∴∠MBC+∠NCB＝ （∠DBC+∠BCE）＝ （180°+α）＝225°，

∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；

（4）∵α＞60°，

∠BPC＝90°﹣ α

∠BQC＝135°﹣ α

∠BOC＝ α﹣45°．

∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣ α）+（135°﹣ α）+（ α﹣45°）＝180°．

故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．

【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．

9．如图①，在 中， ，点 在 边上，点 在 边上，且 ，连结 .

（1）若 ， ，则 ______，此时 ______；

（2）若点 在 边上（点 、 除外）运动，试探究 与 的数量关系并说明理由；

（3）若点 在线段 的延长线上（如图②），点 在直线 上， ，其余条件不变，求 的度数.

【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） 或 .

【分析】（1）根据三角形内角和与三角形外角的性质可求得结果；

（2）如图①，设 ，同理根据三角形内角和与三角形外角的性质可得 与 的数量关系；

（3）分两种情况讨论，同（2）的方法可求出 的度数．

【详解】解：（1）如图①， ， ，

， ，

， ，

， ；

故答案为 ；

（2）如图①， 与 的数量关系是： ；

理由是：设 ，则 ，

，

，

，

，

，

；

（3）分两种情况：

①当 在射线 上时，如图③，

设 ，则 ，

， ，

，则在 中，

；

②当 在射线 上时，如图④，

设 ，则 ，

， ，

，

在 中， ；

综上， 或 .

【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和定理以及方程思想和整体代入思想，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．

10．如图，△ABC中，∠A=40°，

(1)若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；

(2)若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；

(3)若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；

(4)若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度数(用含β的代数式表示，直接写出结果)

【答案】(1)∠BPC=110°；(2)∠BPC =70°；(3)∠BPC=20°；(4)(1)中∠P= β+90°；(2)中∠P=90°- β；(3)中∠P= β．

【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB的度数，根据点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，可知 的度数，再次利用三角形内角和定理即可得出∠P度数；

（2）由三角形的外角和定理可以得到 ∠DBC与 ∠BCE关于∠A的关系，再利用三角形内角和定理即可求出答案；

（3）由三角形的外角和定理和角平分线的定义可以得到∠P= ，即可得出答案；

（4）由（1）（2）（3）证明过程，容易得到答案.

【详解】(1)∵∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=140°，

∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= ×140°=70°，

∴∠BPC=180°-70°=110°；

(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，

∵P为△ABC两外角平分线的交点，

∴ ∠DBC= ∠A+ ∠ACB，

同理可得： ∠BCE= ∠A+ ∠ABC，

∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，

∴ (∠ACB+∠ABC)=90°- ∠A，

∵180°-∠BPC= ∠DBC+ ∠BCE= ∠A+ ∠ACB+ ∠A+ ∠ABC，

∴180°-∠BPC=∠A+ ∠ACB+ ∠ABC，180°-∠BPC=∠A+90°- ∠A，

∴∠BPC=90°- ∠A=70°；

(3)∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点

∴

∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC

∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC

∴

(4)若 在(1)中 ；在(2)中，同理得 ；在(3)中同理可得∠P= β．

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角和定理和角平分线的定义，能够综合运用定理与定义进行倒角证明是解答本题的关键.

11．探究与发现：在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上(点B、C除外)，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE.

(1)如图①，若∠B＝∠C＝45º，

①当∠BAD＝60º时，求∠CDE的度数；

②试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由.

(2)深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45º，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系.

【答案】（1）①∠CDE=30°；②∠BAD=2∠CDE，理由见解析；（2）∠BAD=2∠CDE.

【分析】（1）①先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=105°，∠AED=∠EDC=75°，再由∠CDE=∠ADC-∠ADE即可得出结论；

②引入参数，设∠BAD=x，根据①的过程方法解答即可

（2）同（1）理，用角直接计算进行转化即可．

【详解】解：(1)①∵∠ADC是△ABD的外角，∠B=45°，∠BAD=60°，

∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°+45°=105°，

∵∠B＝∠C＝45º，

∴∠BAC=90°，

∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°-60°=30°，

∴∠ADE=∠AED= = = 75°，

∴∠CDE=∠ADC-∠ADE =105°﹣75°=30°；

②∠BAD=2∠CDE，

理由如下：设∠BAD=x，

∴∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x，

∵∠B＝∠C＝45º，

∴∠BAC=90°，

∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣x，

∴∠ADE=∠AED= = ，

∴∠CDE=∠ADC-∠ADE =45°+x﹣ = x，

∴∠BAD=2∠CDE；

(2)设∠BAD=x，

∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，

∵∠B＝∠C，

∴∠BAC=180°﹣2∠C，

∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=180°﹣2∠C﹣x，

∴∠ADE=∠AED= = =∠C+ x，

∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=（∠B+x）﹣(∠C+ x)= x，

∴∠BAD=2∠CDE.

【点睛】本题考查了三角形的内角和和三角形外角的性质，灵活运用三角形的内外角性质进行角的换算是解答此题的关键．

12．如图，

（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，若∠A =70°，试求∠BDC的度数，并说明理由．   

（2）如图②，BD、CD分别是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分线且相交于点D，若∠A =x°，试用x表示∠BDC的度数，并说明理由．   

（3）如图③，BD、CD分别是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分线且相交于点D，试找出∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）∠BDC＝125°，理由见解析；（2）∠BDC＝90°− x°，理由见解析；（3）∠BDC＝ ∠A，理由见解析.

【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝110°，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理求解即可；

（2）先根据外角平分线的性质求出∠CBD＝ （∠A＋∠ACB），∠BCD＝ （∠A＋∠ABC），再由三角形内角和定理解答即可；

（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠D＋∠DBC，再根据角平分线的定义可得∠DBC＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE，然后整理可得∠BDC＝ ∠A.

【详解】解：（1）∠BDC＝125°，

理由：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，

∵∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A＝110°，

∴∠BDC＝180°−∠DBC−∠DCB＝180°− （∠ABC＋∠ACB）＝180°−55°＝125°；

（2）∠BDC＝90°− x°；

理由：∵BD、CD分别是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分线，

∴∠CBD＝ （∠A＋∠ACB），∠BCD＝ （∠A＋∠ABC），

∵∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A，

∴∠BDC＝180°−∠CBD−∠BCD

＝180°− （∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）

＝180°− （2∠A＋180°−∠A）

＝90°− ∠A，

即∠BDC＝90°− x°；

（3）∠BDC＝ ∠A，

理由：由三角形的外角性质可得，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠D＋∠DBC，

∵BD、CD分别是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分线，

∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE，

∴ （∠A＋∠ABC）＝∠D＋ ∠ABC，

∴∠BDC＝ ∠A.

【点睛】本题考查了角平分线定义、三角形外角的性质及三角形内角和定理；三角形外角的性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

13．已知， ， 分别在直线 上， 是平面内一点， 和 的平分线所在直线相交于点 .

（1）如图1，当 都在直线 之间，且 时， 的度数为_________；

（2）如图2，当 都在直线 上方时，探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当 在直线 两侧时，直接写出 和 之间的数量关系是_____.

【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3） .

【分析】（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，根据角平分线的定义得到∠BMF+∠DNF= （∠BME+∠DNE）=45°，于是得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=∠EGB-∠EMB，根据平行线的性质得到∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，根据角平分线的定义得到∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，于是得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠5=∠END，根据角平分线的定义得到∠5=∠END=2∠4，∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．

【详解】解：（1）过E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，

∵AB∥CD，

∴EH∥CD，FG∥CD，

∴∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，

∴∠BME+∠DNE=∠MEH+∠NEH=∠MEN=90°，

同理∠MFN=∠BMF+∠DNF，

∵MF平分∠BME，FN平分∠DNE，

∴∠BMF+∠DNF= （∠BME+∠DNE）=45°，

∴∠MFN的度数为45°；

故答案为45°；

（2）∵∠EGB=∠EMB+∠E，

∴∠E=∠EGB-∠EMB，

∵AB∥CD，

∴∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，

∴∠E=∠END-∠EMB，

∵MF、NF分别平分∠BME和∠DNE，

∴∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，

∴∠E=2∠FND-2∠FMB=2（∠FND-∠FMB），

∵∠FHB=∠FMB+∠F，

∴∠F=∠FHB-∠FMB，

=∠FND-∠FMB，

∴∠E=2∠F；

（3） ∠E+∠MFN=180°，

证明：∵AB∥CD，

∴∠5=∠END，

∵NF平分∠END，

∴∠5=∠END=2∠4，

∵MF平分∠BME，

∴∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，

∴∠3=∠1= ∠E+∠4，

∵∠E+∠MFN=360°-∠4-∠2-∠3=360°-∠4-（180°-∠E-2∠4）-（ ∠E+∠4）=180°+ ∠E，

∴∠MFN+ ∠E=180°．

故答案为 ∠E+∠MFN=180°．

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是：过过E作EH∥AB，过点F作FG∥AB.

14．如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．

【提出问题】

分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？

【解决问题】

为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．

已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．

（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝　　．

（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？

小明是这样思考的，请你帮他完成推理过程：

易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，

∴∠D+∠1+∠B+∠4＝　　，

∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∴2∠E＝　　，

又∵∠D＝30°，∠B＝50°，

∴∠E＝　　度．

（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是：　　．

【类比应用】

如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．

已知：∠D＝m°、∠B＝n°，（m＜n）求：∠E的度数．

【答案】【解决问题】（1）35°；（2）2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；（3）∠E＝ ；【类比应用】∠E＝ （n﹣m）°．

【分析】解决问题：（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论；

（2）同理列两式相加可得结论；

（3）根据（1）和（2）可得结论；

类比应用：首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．

【详解】解决问题：（1）如图3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，

∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，

∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，

∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，

∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，

∴2∠E＝∠B+∠D，

∴∠E＝

∴∠E＝ （30°+40°）＝ ×70°＝35°；

故答案为35°；

（2）如图（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，

∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，

∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∴2∠E＝∠D+∠B，

∴∠E＝ ，

又∵∠D＝30°，∠B＝50°，

∴∠E＝40度．

故答案为2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；

（3）由（1）和（2）得：∠E＝ ，

故答案为∠E＝ ；

类比应用:

如图（5），延长BC交AD于F，

∵∠BFD＝∠B+∠BAD，

∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，

∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD

∴∠ECD＝∠ECB＝ ∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝ ∠BAD，

∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，

∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣ ∠BCD＝∠B+∠BAE﹣ （∠B+∠BAD+∠D）＝ （∠B﹣∠D），

∵∠D＝m°、∠B＝n°，

即∠E＝ （n﹣m）°．

【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．

15．（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°

（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D

（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明

（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠P＝90°+ （∠B+∠D）；（4）∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．理由见解析

【分析】（1）延长BC到D，过点C作CE∥BA，根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠1，两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠2，再根据平角的定义列式整理即可得证；

（2）根据三角形内角和定理即可证明；

（3）根据（2）的结论∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，∠PAD+∠P＝∠D+∠PCD，然后整理即可得解；

（4）作PQ∥AB，根据平行线性质得到PQ∥CD，则∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，∠5＝∠2，由于∠APQ+∠5+∠1＝90°，则180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，整理得到∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．

【详解】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，

∵BA∥CE，

∴∠B＝∠1，

∠A＝∠2，

又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；

（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，

在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（3）如图3，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，

∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，

∴2∠P＝180°+∠D+∠B，

∴∠P＝90°+ （∠B+∠D）；

（4）②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．

理由如下：

作PQ∥AB，如图4，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，

由PQ∥CD得∠5＝∠2，

∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，

∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，

∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．

【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题．

16．如图，D、E、F、G是△ABC边上的点， ， ．

(1)求证： // ；

(2)若BE平分 ， ， ，求 的度数．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件证明 或者 ，根据平行线的判定即可得证；

（2）根据平行线的性质以及角平分线的性质，可得 ， ，根据 ，即可求解．

（1）证法1：∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．证法2：∵ ，∴ ．∴ ．∵ ， ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．

（2）解：∵ ，∴ ．∴ ．∵BE平分 ，∴ ．∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线与三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．

17．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线，已知∠BAC＝100°．

(1)若∠DAE＝20°，求∠C的度数；

(2)设∠DAE＝ （ ），用含有 的代数式表示∠C的大小．

【答案】(1)20°

(2)40°-α

【分析】（1）由题意可求得∠AED=70°，再由角平分线的定义可得∠EAC=50°，即可求∠C的度数；

（2）仿照（1）的解答过程进行求解即可．

(1)

解：∵在Rt△ADE中，∠DAE=20°，

∴∠AED=90°-20°=70°，

又∵∠BAC=100°，AE是角平分线，

∴∠EAC=50°，

∴∠C=∠AED-∠EAC=70°-50°=20°；

(2)

解：∵在Rt△ADE中，∠DAE=α，

∴∠AED=90°-α，

又∵∠BAC=100°，AE是角平分线，

∴∠EAC=50°，

∴∠C=∠AED-∠EAC=（90°-α）-50°=40°-α．

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解题的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．

18．如图，在 中， 是 边上的高线， 平分 ，且 ， 相交于点 ，若 ， ，求 的度数．

【答案】

【分析】先根据垂直的定义求出 ，再由角平分线的性质得到 ，再根据三角形的外角定理即可求解．

【详解】解：∵

∴           

又∵

∴                       

又∵ 平分

∴                          

又∵

∴ ．

【点睛】此题主要考查三角形内的角度求解，解题的关键是熟知三角形的外角定理．

19．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高，AD是角平分线，∠B＝42°，∠C＝68°．

①求∠DAE的度数；

②若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），用含α，β的代数式表示∠DAE．（直接写出结论）

【答案】（1）13°（2）

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠AC，代入∠DAE＝∠DAC−∠EAC求出即可．

（2）同（1）的方法即可求解．

【详解】解：（1）∵∠B＝42°，∠C＝68°，

∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝70°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAC＝ ∠BAC＝35°，

∵AE是BC边上的高，

∴∠AEC＝90°，

∵∠C＝68°，

∴∠EAC＝180°−∠AEC−∠C＝22°，

∴∠DAE＝∠DAC−∠EAC＝35°−22°＝13°．

（2）∵∠B＝α，∠C＝β，

∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝180°−α−β，

D是∠BAC的平分线，

∴∠DAC＝ ∠BAC＝90°− α− β，

AE是BC边上的高，

∴∠AEC＝90°，

∵∠C＝β，

∴∠EAC＝180°−∠AEC−∠C＝90°−β，

∠DAE＝∠DAC−∠EAC＝（90°− α− β）−（90°−β）＝ ．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

20．已知，在直角三角形 中， ， 是 上一点，且 ．

（1）如图1，求证： ；

（2）如图2，将 沿 所在直线翻折， 点落在 边上，记为 点．

①若 ，求 的度数；

②试求 与 的关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°-2∠B

【分析】（1）根据直角三角形中两锐角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，则∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根据垂直的定义得CD⊥AB；

（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根据折叠的性质得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；

②同①的方法，进行分类讨论即可．

【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠ACD=∠B，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠ADC=90°，

∴CD⊥AB；

（2）①∵∠B=34°，

∴∠ACD=34°，

∴∠BCD=90°-34°=56°，

∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，

∴∠A′CD=∠ACD=34°，

∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；

②∵∠B=∠ACD，则∠BCD=90°-∠ACD，

∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，

∴∠A′CD=∠ACD=∠B，

∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-∠B-∠B=90°-2∠B．

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

21．如图，在 中点 是 边上的一点, ,将 沿 折叠得到 与 相交于点 .

(1)求 的度数;

(2)求 的度数.

【答案】（1） ；（2）

【分析】（1）根据折叠的特点得出∠ ∠ ，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案；

（2）根据已知求出∠ADB的值，再根据折叠的特点得出∠ADE=∠ADB，最后根据∠EDF=∠EDA -∠ADF，即可得出答案．

【详解】（1）∵ 沿 折叠得到 ，

∴∠ ∠ ，

∵∠B=50°，∠BAD=30°，

∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF ；

（2）∵∠B=50°，∠BAD=30°，

∴∠ADB=180°-50°-30°=100°，

∵ 沿 折叠得到 ，

∴∠EDA=∠BDA=100°，

∴∠EDF=∠EDA -∠ADF ＝∠EDA –(∠B+∠BAD) ．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、翻折变换等问题，解答的关键是沟通外角和内角的关系．

22．如图，在折纸活动中，小明制作了一张 纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将 沿着DE折叠压平，A与A'重合．

（1）若 ，则 ___________；

（2）若 ，则 ___________；

（3）由（1）（2）探索 与 之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）150°；（2）∠1+∠2=2n°；（3）2∠A=∠1+∠2

【分析】（1）先根据图形翻折变化的性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案；

（2）先根据图形翻折变化的性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理表示出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE，然后根据平角的性质即可求出答案；

（3）先根据图形翻折变化的性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理表示出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE，然后根据平角的性质即可求出答案．

【详解】解：（1）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，

∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°；

（2）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=n°，

∵∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-n°，

∴∠1+∠2=360°-2(180°-n°)=2n°，

∴∠1+∠2=2n°；

（3）2∠A=∠1+∠2．

∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，

∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°-∠A′，

∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A，

∴∠1+∠2=2∠A．

【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

23．已知△ABC．

（1）如图（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 与∠B，∠C 之间的数量关系吗？并说明理由．

（2）如图（2），AE 平分∠BAC，F 为 AE 上一点，FM⊥BC 于点 M，∠EFM 与∠B，∠C之间有何数量关系？并说明理由．

【答案】（1）∠EAD= (∠C-∠B)；理由见解析；（2）∠EFM= (∠C－∠B) ；理由见解析.

【分析】（1）分析题意，观察图形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分别表示出∠EAC、∠DAC即可；首先根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC=90°-∠C，据此可解答；

对于（2）过点A作AD⊥BC于D，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再结合（1）的结论进行解答即可

【详解】解：（1）∵AE 平分∠BAC，

∴∠EAC= ∠BAC= (180º－∠B－∠C)，

又∵AD⊥BC，

∴∠DAC=90º－∠C，

∴∠EAD=∠EAC－∠DAC= (180º－∠B－∠C)－(90º－∠C)= (∠C－∠B)，

即∠EAD= (∠C-∠B)；·

（2）如图，过点 A 作 AD⊥BC 于 D，

∵FM⊥BC，

∴AD∥FM，

∴∠EFM=∠EAD= (∠C－∠B)

【点睛】本题的关键是利用三角形内角和的关系用∠A表示出其他角

24．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；

（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

【答案】（1）10°．（2）∠EFD= （∠C﹣∠B），证明见解析；（3）∠EFD= （∠C﹣∠B）

【分析】（1）由三角形内角和定理先求出∠BAC=100°，再根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，根据三角形的外角性质可得∠AEC=80°，再根据直角三角形两锐角互余即可求得∠EFD的度数；

（2）根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE= ∠BAC= （180°-∠B-∠C）=90°- （∠B+∠C），求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EFD的度数；

（3）根据（2）可以得到∠AEC=90°+ （∠B-∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解．

【详解】（1）∵∠C=50°，∠B=30°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=50°，

∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，

在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°；

（2）∠EFD= （∠C﹣∠B），理由如下：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE= （180°-∠B-∠C）=90°﹣ （∠C+∠B），

∵∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+90°﹣ （∠C+∠B）=90°+ （∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°，

∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C），

∴∠EFD= （∠C﹣∠B）；

（3）∠EFD= （∠C﹣∠B），理由如下：

如图，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE= （180°-∠B-∠C），

∵∠DEF为△ABE的外角，

∴∠DEF=∠B+ （180°-∠B-∠C）=90°+ （∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°，

∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）

∴∠EFD= （∠C﹣∠B）．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键.

25．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．

活动一：如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：　　．（填“能“或“不能”）

（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．则θ=　　度；

活动二：如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂=AA₁．

数学思考：

（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．

【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．

【分析】（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；

（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.

【详解】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，

∴小棒能继续摆下去；

(2)∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，

∴∠A₂A₁A₃=45°，

∴∠AA₂A₁+∠θ=45°，

∵∠AA₂A₁=∠θ，

∴∠θ=22.5°；

(3)如图乙，∵A₂A₁=A₂A₃，∴∠A₂A₃A₁=∠A₂A₁A₃=2θ°，

∵A₂A₃=A₄A₃，∴∠A₃A₂A₄=∠A₃A₂A₄=3θ°，

∵A₄A₃=A₄A₅，∴∠A₄A₃A₅=∠A₄A₅A₃=4θ°，

根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ⩾90°，5θ<90°，

∴15°⩽θ<18°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.

26．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出 之间的数量关系：_______________﹔

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数___________个；

（3）如果图2中，若 ，试求 的度数

（4）如果图2中， 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）

【答案】（1） ；（2）6；（3） ；（4）2∠P＝∠D＋∠B

【分析】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；

（2）由交点有点M、O、N，再分类确定即可得到答案；

（3）由（1）可得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，再两式相加，结合角平分线的定义可得： 再把 代入计算即可得到答案；

（4）由（1）可得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，再两式相加，结合角平分线的定义可得：

【详解】解：（1）

故答案为：

（2）交点有点M、O、N，

以M为交点的8字形有1个，为△AMD与△CMP，

以O为交点的8字形有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，

以N为交点的8字形有1个，为△ANP与△CNB，

所以，“8字形”图形共有6个；

故答案为：6

（3）解：由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①

∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② 

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P

∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB

①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P

又∵

∴

∴

（4）关系：2∠P＝∠D＋∠B

由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①

∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② 

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P

∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB

①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键.

27．如图，在 中：

（1）画出 边上的高 和中线 ．

（2）若 ， ，求 和 的度数．

【答案】（1）见解析；（2） ，

【分析】（1）延长BC，作AD⊥BC于D；作BC的中点E，连接AE即可；

（2）可根据三角形的内角和定理求∠BAC=20°，由外角性质求∠CAD=40°，那可得∠BAD=60°．

【详解】解：（1）如图所示：

（2）∵∠B=30°，∠ACB=130°，

∴∠BAC=180°-30°-130°=20°，

∵∠ACB=∠D+∠CAD，AD⊥BC，

∴∠CAD=130°-90°=40°，

∴∠BAD=20°+40°=60°．

【点睛】本题是计算与作图相结合的探索．考查学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、三角形内角和外角等基础知识解决问题的能力．

28．（公益周考卷）已知：线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB， 和 的平分线AP和CP相交于点P，与CD，AB相交于M，N，如图2：

（1）在图1中，直接写出 ， ， ， 之间的数量关系；

（2）图中有几个八字模型？

（3）在图2中， 与 为任意角，试探究 与 ， 之间是否存在一定的数量关系，若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由

【答案】（1） ；（2）6个；（3） ，证明见详解.

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；

（2）可以以三角形的公共点为中心寻找；

（3）利用（1）中所得到得结论，列出两组关系式，然后结合角平分线性质即可得证；

【详解】（1） 在 和 中：

, ,且

（2）一共有6组，分别是： 和 , 和 , 和 ， 和 ， 和 ， 和 ；

（3） ,证明如下：

由（1）得：

又 和 分别是 和 的平分线

【点睛】本题主要考查了三角形的“8”字模型，充分理解“8”字模型的结论，并利用它进行角度的计算是解决本题的关键.

29．如图1，已知 是 的一个外角，我们容易证明 ，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

(1)尝试探究：

如图2， 与 分别为 的两个外角，则 （横线上填>，<或=）．

(2)初步应用：

如图3，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，则 ．

(3)解决问题：

如图4，在 中， ， 分别平分外角 ， ， 与 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．

(4)如图5，在四边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请直接利用上面的结论探究 与 ， 的数量关系．（写出探究过程）

【答案】(1)=

(2)

(3)∠P=

(4) ，详见解析

【分析】（1）根据三角形外角性质知∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两等式相加即可得到结论；

（2）利用（1）中结论，得到∠2+∠1=∠C+180°，代入∠1的度数即可得到结论；

（3）根据角平分线性质及（1）中结论，等量代换即可得到结论；

（4）延长 、 ，相交于点 ，借助（1）、（3）中的结论即可得到结论．

（1）

解： = ，理由如下：

由三角形外角性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，

∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC= ，

故答案为：=．

（2）

解：∠2－∠C=45°，理由如下：

由（1）知，∠2+∠1=∠C+180°，

∵∠1=135°，

∴∠2－∠C=45°，

故答案为：45°．

（3）

解：∠P= ，理由如下：

∵BP、CP分别是∠DBC和∠ECB的平分线，

∴∠DBC =2∠CBP，∠ECB=2∠BCP，

由（1）知，∠DBC+∠ECB=∠A+180°，

即：2∠CBP+2∠BCP=∠A+180°，

∴∠CBP+∠BCP= ，

∴∠P=180°－（∠CBP+∠BCP）= = ，

故答案为：∠P= ．

（4）

解： ，理由如下：

延长 、 ，相交于点 ，

由（1）得 ，

即 ，

由（3）的结论可知， ，

．

【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．

30．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．

(1)如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝；

(2)判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；

(3)当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．

【答案】(1)100°

(2)∠BAE＝∠CEF，理由见解析

(3)∠AEF与∠BAE的数量关系是互余或2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．

【分析】（1）根据三角形内角和定理解答即可；

（2）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由条件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠CEF；

（3）分别根据当∠AFE＝90°时，以及当∠EAF＝90°时利用外角的性质得出即可．

（1）

解：∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，

∴∠ACB＝40°，

∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

故答案为：100°．

（2）

∠BAE＝∠CEF；

理由如下：

∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，

∴∠BAE＝∠CEF；

（3）

如图1，当∠AFE＝90°时，

∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，

∴∠BAE＝∠CEF，

∵∠C+∠CEF＝90°，

∴∠BAE+∠AEF＝90°，

即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；

如图2，当∠EAF＝90°时，

∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，

∴∠BAE＝∠1，

∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，

∴2∠AEF+∠1＝90°，

∴2∠AEF+∠BAE＝90°

即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．

【点睛】此题考查了三角形内角和定理以及外角的性质，分类讨论思想是解题的关键．