专题2.1
一元二次方程（知识讲解）
【学习目标】
理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；
2．会把一元二次方程化为一般形式；
3．会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值.
【要点梳理】
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
特别说明：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如
，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
是二次项，
是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
特别说明：
(1)只有当
时，方程
才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.中考热点：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解
【典型例题】
类型一、一元二次方程➽➼概念的理解➽➼求代数式的值
1．若方程
是关于
的一元二次方程，求
的值．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义得出
，即可求解．
解：∵方程
是关于
的一元二次方程，
∴
，
解得
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
举一反三：
【变式】已知关于x的方程（m﹣
）
﹣x＝3，试问：
m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝
或
或
(2)
【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件： (1) 未知数的最高次数是2； (2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，
解得m＝
，
当m＝
时，该方程是一元一次方程；
m﹣
＝0，解得m＝
，
当m＝
时，该方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1时，该方程是一元一次方程，
综上，当m＝
或
或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣
≠0，
解得m＝﹣
，
当m＝﹣
时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点拨】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a≠0) ，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（1）若方程
是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．
（2）如果
是方程
的一个根，求
的值．
【答案】（1）
且
；（2）9
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；
（2）把
代入
中得到
，再由
进行求解即可．
解：（1）∵方程
是关于x的一元二次方程，
∴
，
∴
且
；
（2）∵
是方程
的一个根，
∴
，即
∴
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．
举一反三：
【变式】已知
是关于x的一元一次方程，求代数式
的值．
【答案】1991
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是
（a，b是常数且
）．列出等式，求出m的值，代入即可．
解：∵
是关于x的一元一次方程，
∴
且
，
解得：
．
则方程变为
，解得
，
∴原式
；
所以所求代数式的值为1991．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．
类型二、一元二次方程➽➼一般形式➽➼各项系数✭✭求参数
3．将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
，二次项系数是3、一次项系数是
、常数项是2；（2）
化为
，二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是
【分析】一元二次方程的一般形式是
（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．
解：（1）∵
化为一般形式为
，
∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2；
（2）∵
化为一般形式为
，
∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：
（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
举一反三：
【变式】已知
、
、
均为有理数，判定关于
的方程
是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是，请说明理由．
【答案】方程为一元二次方程，二次项系数、一次项系数及常数项分别是：
，
，
.
【分析】先把方程化为ax2+bx+c=0的形式，再根据二次项系数为0或不为0两种情况讨论.
解：原方程可化为：
，
∵
是有理数，
∴当
，
∴方程为一元二次方程，
二次项系数、一次项系数及常数项分别是：
，
，
；
【点拨】此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元二次方程与一元一次方程的定义：
（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程；
（2）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程.
4．关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
【答案】b＝1，c＝﹣2．
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，于是得到b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，然后解方程得到b、c的值．
解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，
2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，
所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，
解得b＝1，c＝﹣2．
【点拨】此题主要考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟知乘方公式的运用．
举一反三：
【变式】一元二次方程
化为一般形式后为
，试求
的值．
【答案】
【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案．
解：原方程可化为： ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0，
由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1，
解得：a＝2，b＝1，c＝−2，
∴
．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用．
类型三、一元二次方程的解➽➼代数式的值✭✭方程的根
5．已知m是方程
的一个根，求代数式
的值．
【答案】
【分析】由题意可得：
，即
，根据完全平方公式和平方差公式对代数式进行化简，然后整体代入求解即可．
解：由m是方程
的一个根可得
，即
，
将
代入，可得原式
【点拨】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方程根的含义，正确对代数式进行运算．
举一反三：
【变式】已知
是方程
的一个根．求：
的值．代数式
的值．
【答案】(1)
； (2)2019．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到
，则
，然后把
代入原式即可求解；
（2）可化简得原式
，然后通分后再次代入后化简即可．
（1）解：
是方程
的一个根，
，
，
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形．
6．若
是关于x的一元二次方程
的一个根，则b的值为________．
【答案】6
【分析】把
代入
即可求出b的值．
解：把
代入
，得
，
∴
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】
是不是方程
的根？为什么？
【答案】是，理由见分析
【分析】根据方程根的定义，将
代入方程
，左边为
，从而确定
是方程
的根．
解：
是方程
的根．
理由如下：
当
时，
，
把
代入方程中，方程左、右两边相等，
即
是方程
的根．
【点拨】本题考查方程根的定义，将未知数的值代入方程，并通过计算判断方程左右两边是否相等是解决问题的关键．
类型四、一元二次方程根的估算➽➼代数式的值✭✭方程的根
7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：
分析表格中的数据，估计方程
的一个正数解
的大致范围是（ ）．
-
20.3
20.4
20.5
20.6
20.7
输出
3.76
9.29
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据表格中的数据，可以知道
的值，从而可以判断当
时，x的所在的范围，本题得以解决．
解：由表格可知，
当
时，
，
当
时，
，
故
时，
，
故选：B．
【点拨】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
举一反三：
【变式】根据表格对应值：
判断关于x的方程
的一个解x的范围是_____．
【答案】
【分析】结合表格可知：当
时，
；当
时，
；所以方程
的一个解x的范围为：
．
解：由表格可知：
当
时，
；
当
时，
；
∴方程
的一个解x的范围为：
．
故答案为：
【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当
时，
；当
时，
．