【324073】2024八年级数学下册 专题2.1 一元二次方程（知识讲解）（新版）浙教版

专题2.1 一元二次方程（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；
   2．会把一元二次方程化为一般形式；
   3．会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值.

【要点梳理】

1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
特别说明：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
特别说明：
　　(1)只有当 时，方程 才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.中考热点：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解

【典型例题】

类型一、一元二次方程➽➼概念的理解➽➼求代数式的值

1．若方程 是关于 的一元二次方程，求 的值．

【答案】

【分析】根据一元二次方程的定义得出 ，即可求解．

解：∵方程 是关于 的一元二次方程，

∴ ，

解得 ．

【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

举一反三：

【变式】已知关于x的方程（m﹣ ） ﹣x＝3，试问：

1. m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？

2. m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？

【答案】(1)m＝ 或 或 (2)

【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；

（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件： (1) 未知数的最高次数是2； (2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，

解得m＝ ，

当m＝ 时，该方程是一元一次方程；

m﹣ ＝0，解得m＝ ，

当m＝ 时，该方程是一元一次方程；

m2﹣1＝0，解得m＝±1，

m＝±1时，该方程是一元一次方程，

综上，当m＝ 或 或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；

（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣ ≠0，

解得m＝﹣ ，

当m＝﹣ 时，该方程是关于x的一元二次方程．

【点拨】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax²+bx+c=0 (且a≠0) ，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．

2．（1）若方程 是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．

（2）如果 是方程 的一个根，求 的值．

【答案】（1） 且 ；（2）9

【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；

（2）把 代入 中得到 ，再由 进行求解即可．

解：（1）∵方程 是关于x的一元二次方程，

∴ ，

∴ 且 ；

（2）∵ 是方程 的一个根，

∴ ，即

∴ ．

【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．

举一反三：

【变式】已知 是关于x的一元一次方程，求代数式 的值．

【答案】1991

【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是 （a，b是常数且 ）．列出等式，求出m的值，代入即可．

解：∵ 是关于x的一元一次方程，

∴ 且 ，

解得： ．

则方程变为 ，解得 ，

∴原式 ；

所以所求代数式的值为1991．

【点拨】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．

类型二、一元二次方程➽➼一般形式➽➼各项系数✭✭求参数

3．将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：

（1） ； （2） ．

【答案】（1） ，二次项系数是3、一次项系数是 、常数项是2；（2） 化为 ，二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是

【分析】一元二次方程的一般形式是 （a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．

解：（1）∵ 化为一般形式为 ，

∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2；

（2）∵ 化为一般形式为 ，

∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2．

【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式： （a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

举一反三：

【变式】已知 、 、 均为有理数，判定关于 的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是，请说明理由．

【答案】方程为一元二次方程，二次项系数、一次项系数及常数项分别是： ， ， .

【分析】先把方程化为ax²+bx+c=0的形式，再根据二次项系数为0或不为0两种情况讨论.

解：原方程可化为： ，

∵ 是有理数，

∴当 ，

∴方程为一元二次方程，

二次项系数、一次项系数及常数项分别是： ， ， ；

【点拨】此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元二次方程与一元一次方程的定义：

（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程；

（2）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程.

4．关于x的一元二次方程2（x﹣1）²+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x²﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．

【答案】b＝1，c＝﹣2．

【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x²+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，于是得到b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，然后解方程得到b、c的值．

解：2（x²﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，

2x²+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，

所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，

解得b＝1，c＝﹣2．

【点拨】此题主要考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟知乘方公式的运用．

举一反三：

【变式】一元二次方程 化为一般形式后为 ，试求 的值．

【答案】

【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案．

解：原方程可化为： ax²−（2a−b）x＋a−b＋c＝0，

由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1，

解得：a＝2，b＝1，c＝−2，

∴ ．

【点拨】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用．

类型三、一元二次方程的解➽➼代数式的值✭✭方程的根

5．已知m是方程 的一个根，求代数式 的值．

【答案】

【分析】由题意可得： ，即 ，根据完全平方公式和平方差公式对代数式进行化简，然后整体代入求解即可．

解：由m是方程 的一个根可得 ，即 ，

将 代入，可得原式

【点拨】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方程根的含义，正确对代数式进行运算．

举一反三：

【变式】已知 是方程 的一个根．求：

1. 的值．

2. 代数式 的值．

【答案】(1) ； (2)2019．

【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到 ，则 ，然后把 代入原式即可求解；

（2）可化简得原式 ，然后通分后再次代入后化简即可．

（1）解： 是方程 的一个根，

，

，

；

（2）解：原式

．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形．

6．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则b的值为________．

【答案】6

【分析】把 代入 即可求出b的值．

解：把 代入 ，得

，

∴ ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．

举一反三：

【变式】 是不是方程 的根？为什么？

【答案】是，理由见分析

【分析】根据方程根的定义，将 代入方程 ，左边为 ，从而确定 是方程 的根．

解： 是方程 的根．

理由如下：

当 时，

，

把 代入方程中，方程左、右两边相等，

即 是方程 的根．

【点拨】本题考查方程根的定义，将未知数的值代入方程，并通过计算判断方程左右两边是否相等是解决问题的关键．

类型四、一元二次方程根的估算➽➼代数式的值✭✭方程的根

7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：

分析表格中的数据，估计方程 的一个正数解 的大致范围是（    ）．

	20.3	20.4	20.5	20.6	20.7
输出				3.76	9.29

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据表格中的数据，可以知道 的值，从而可以判断当 时，x的所在的范围，本题得以解决．

解：由表格可知，

当 时， ，

当 时， ，

故 时， ，

故选：B．

【点拨】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

举一反三：

【变式】根据表格对应值：

判断关于x的方程 的一个解x的范围是_____．

【答案】

【分析】结合表格可知：当 时， ；当 时， ；所以方程 的一个解x的范围为： ．

解：由表格可知：

当 时， ；

当 时， ；

∴方程 的一个解x的范围为： ．

故答案为：

【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当 时， ；当 时， ．