专题1.19
二次根式（中考真题专练）
（巩固篇）
一、单选题
1．（上海·统考中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（辽宁鞍山·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（广西梧州·统考中考真题）下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（重庆·统考中考真题）估计
的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
5．（内蒙古·统考中考真题）若
，则代数式
的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．
6．（湖南娄底·统考中考真题）
是某三角形三边的长，则
等于（ ）
A．
B．
C．10 D．4
7．（广东·统考中考真题）设
的整数部分为a，小数部分为b，则
的值是（ ）
A．6 B．
C．12 D．
8．（湖北荆门·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（浙江嘉兴·统考中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则
的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
二、填空题
11．（内蒙古赤峰·统考中考真题）在函数
中，自变量x的取值范围是_____．
12．（山西·统考中考真题）计算：
_____________．
13．（内蒙古·中考真题）计算：
______．
14．（四川遂宁·统考中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
______．
15．（四川眉山·中考真题）将一组数
，2，
，
，…，
，按下列方式进行排列：
，2，
，
；
，
，
，4；
…
若2的位置记为
，
的位置记为
，则
的位置记为________．
16．（四川达州·统考中考真题）人们把
这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设
，
，记
，
，…，
，则
_______．
17．（青海·统考中考真题）观察下列各等式：①
；②
；③
…根据以上规律，请写出第5个等式：______．
18．（湖北黄冈·统考中考真题）人们把
这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的
法就应用了黄金分割数．设
，
，则
，记
，
，…，
．则
____．
19．（四川眉山·统考中考真题）观察下列等式：
；
；
；
……
根据以上规律，计算
______．
20．（青海·统考中考真题）对于任意两个不相等的实数
，定义一种新运算“
”如下：
，如：
．那么
________．
三、解答题
21．（广西河池·统考中考真题）计算：
．
22．（广西河池·统考中考真题）计算：
．
23．（山东济宁·统考中考真题）已知
，
，求代数式
的值．
24．（四川雅安·统考中考真题）（1）计算：（
）2+|﹣4|﹣（
）﹣1；
（2）化简：（1+
）÷
，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
25．（贵州毕节·统考中考真题）先化简，再求值：
，其中
．
26．（内蒙古赤峰·统考中考真题）先化简，再求值：
，其中
．
参考答案
1．C
【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可
解：A、
∵
是无理数，故
是无理数
B、
∵
是无理数，故
是无理数
C、
为有理数
D、
∵
是无理数，故
是无理数
故选：C
【点拨】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键
2．D
【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方和幂的乘方运算法则对各项进行运算即可．
解：A、
，故A不符合题意；
B、
，故B不符合题意；
C、
，故C不符合题意；
D、
，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．D
【分析】根据同底数幂相乘法则，积的乘方法则，合并同类二次根式法则，完全平方公式逐一判断即可．
解：A．
，计算正确，但不符合题意；
B．
，计算正确，但不符合题意；
C．
，计算正确，但不符合题意；
D．
，计算错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了同底数幂相乘法则，积的乘方法则，合并同类二次根式法则，完全平方公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．
4．B
【分析】先化简
，利用
，从而判定即可．
解：
，
∵
，
∴
，
∴
，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．
5．C
【分析】先将代数式
变形为
，再代入即可求解．
解：
．
故选：C
【点拨】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．
6．D
【分析】先根据三角形三边的关系求出
的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
解：
是三角形的三边，
，
解得：
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出
的范围，再对二次根式化简．
7．A
【分析】首先根据
的整数部分可确定
的值，进而确定
的值，然后将
与
的值代入计算即可得到所求代数式的值．
解：∵
，
∴
，
∴
的整数部分
，
∴小数部分
，
∴
．
故选：
．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，正确确定
的整数部分
与小数部分
的值是解题关键．
8．D
【分析】根据相应运算的基本法则逐一计算判断即可
解：∵
，
∴A计算错误；
∵
，
∴B计算错误；
∵
+x无法运算，
∴C计算错误；
∵
，
∴D计算正确；
故选D．
【点拨】本题考查了幂的乘方，二次根式的化简，完全平方公式，熟练掌握各类公式的计算法则是解题的关键．
9．C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．
解：A、
，是无理数，不符合题意；
B、
，是无理数，不符合题意；
C、
，是有理数，符合题意；
D、
，是无理数，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．
10．B
【分析】根据数轴得∶ 0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
解：∵根据数轴得∶ 0<a<1，
∴a>0，a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点拨】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握
是解题的关键．
11．x≥－1且x≠
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据题意得：
，
解得：x≥-1且x≠
，
故答案为：x≥－1且x≠
【点拨】本题考查函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．5
【分析】先利用完全平方公式、二次根式的性质进行化简，然后合并同类项，即可得到答案．
解：
故答案为：5
【点拨】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．
13．
【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．
解：
=
=
=
．
故答案为
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．
14．2
【分析】利用数轴可得出
，进而化简求出答案．
解：由数轴可得：
，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
15．
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得
的位置即可．
解：数字可以化成：
，
，
，
；
，
，
，
；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵
，28是第14个偶数，而
∴
的位置记为
故答案为：
【点拨】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
16．5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
解：
，
，
，
，
，
…，
故答案为：5050
【点拨】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得
，找出的规律是本题的关键．
17．
【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案．
解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；
即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填：
．
【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
18．10
【分析】先根据
求出
（
为正整数）的值，从而可得
的值，再求和即可得．
解：
，
（
为正整数），
，
，
，
，
则
，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
19．
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为
，等式右边为1与
的和；利用这个结论得到原式＝1
+1
+1
+…+1
﹣2021，然后把
化为1﹣
，
化为
﹣
，
化为
﹣
，再进行分数的加减运算即可．
解：由题意可知，
，
＝1
+1
+1
+…+1
﹣2021
＝2020+1﹣
+
﹣
+…+
﹣
﹣2021
＝2020+1﹣
﹣2021
＝
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
20．
【分析】根据新定义，将
，
代入计算即可．
解：∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查实数的计算，解题的关键是将
，
正确代入再化简．
21．
【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．
解：原式＝
【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．
22．
【分析】根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则求解即可得到答案.
解：
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．－4
【分析】先将代数式因式分解，再代入求值．
解：
故代数式的值为
．
【点拨】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．
24．（1）5；（2）
当
时，分式的值为1．
【分析】（1）先计算二次根式的乘方运算，求解绝对值，负整数指数幂的运算，再合并即可；
（2）先计算括号内的分式的加法运算，同步把除法转化为乘法运算，再约分可得化简后的结果，再结合分式有意义的条件可得
从而可得分式的值．
解：（1）（
）2+|﹣4|﹣（
）﹣1
（2）（1+
）÷
且
当
时，原式
【点拨】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的乘法运算，分式的化简求值，负整数指数幂的含义，掌握以上基础运算是解本题的关键．
25．
；
【分析】先化简分式，再代值求解即可；
解：原式=
=
=
=
，
将
代入得，原式=
．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
26．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将计算m的值代入化简结果中求值可得．
解：
∵
∴当
时，原式
．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．