专题1.15二次根式（常考考点专题）
（巩固篇）
一、单选题
【类型一】定义与概念的理解
【考点一】二次根式➽➼➵概念➻➼二次根式✮✮复合二次根式
1．下列式子中是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．化简
为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【考点二】最简二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列实数中是无理数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点三】同类二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数
5．下列根式中与
是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如果最简二次根式
与
能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【考点四】分母有理化➽➼➵化简✮✮求值
7．已知
，则
的值为（ ）．
A．﹣2
B．2
C．2 D．-2
8．已知a＝
，b＝2+
，则a，b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．互为有理化因式
【类型二】二次根式的性质➽➼双重非负性
【考点一】二次根式➽➼➵二次根式的意义
9．x取下列各数时，使得
有意义的是（ ）
A．0 B．
C．
D．
10．已知
，化简二次根式
的值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【考点二】二次根式➽➼➵二次根式的化简
11．已知
，则二次根式
化简后的结果为（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．已知实数a满足
，那么
的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【类型三】二次根式的运算
【考点一】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘法
13．
的一个有理化因式是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．在
中，
，
，
，则
的面积是（ ）
A．5 B．
C．10 D．
【考点二】二次根式运算➽➼➵二次根式的除法
15．下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．若
与
互为相反数，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点三】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘除法
17．下列各式正确的是 ( )
A．
×
＝9
B．(4
)2＝8
C．
÷
D．
＝7－4
18．计算2
×
÷
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点四】二次根式运算➽➼➵二次根式的加减法
19．计算：
的结果为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
20．已知
的整数部分是
，小数部分是
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．2 D．1
【考点五】二次根式运算➽➼➵二次根式的混合运算
21．估计
的值应在（ ）
A．
和
之间 B．
和
之间 C．
和
之间 D．
和
之间
22．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【类型四】二次根式的化简求值
【考点一】二次根式化简求值➽➼➵直接化简求值
23．已知
时，则代数式
的值（ ）
A．1 B．4 C．7 D．3
24．若x＝
﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（ ）
A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25
【考点二】二次根式化简求值➽➼➵条件式化简求值
25．若
+（a﹣4）2＝0，则化简
的结果是（ ）
A．
B．±
C．
D．±
26．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点三】二次根式化简求值➽➼➵比较大小
27．估算
的值应在（ ）．
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间．
28．比较大小错误的是（ ）
A．
＜
B．
＋2＜
﹣1
C．
＞﹣6 D．|1－
|＞
－1
【类型五】二次根式的应用
【考点一】二次根式的应用➽➼➵几何问题✮✮古代问题
29．如图，长方形
内，两个小正方形的面积分别是18，2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．9 C．6 D．
30．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门
里见到树，则
．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（ ）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）．
A．
里 B．
里 C．
里 D．
里
【考点二】二次根式的应用➽➼➵规律问题✮✮最值问题
31．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2022行从左向右数第2021个数是（ ）
A．2021 B．
C．
D．
32．代数式
的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．
D．不存在
二、填空题
【类型一】定义与概念的理解
【考点一】二次根式➽➼➵概念➻➼二次根式✮✮复合二次根式
33．已知点
的坐标满足
，
，且
，则点
的坐标是__________
34．化简
的结果为____．
【考点二】最简二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数
35．下列各式：①
②
③
④
是最简二次根式的是:_____（填序号）
36．若
和
都是最简二次根式，则m+n＝_____．
【考点三】同类二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数
37．若两最简根式
和
是同类二次根式，则
的值的平方根是______．
38．若最简二次根式
和
能合并，则
＝__．
【考点四】分母有理化➽➼➵化简✮✮求值
39．解不等式：
的解集是______．
40．当
时，代数式
的值是______．
【类型二】二次根式的性质➽➼双重非负性
【考点一】二次根式➽➼➵二次根式的意义
41．当x__________时，代数式
有意义．
42．已知等腰三角形ABC的两边满足
，则此三角形的周长为___________.
【考点二】二次根式➽➼➵二次根式的化简
43．当
时，化简：
_____．
44．若
，则
______
【类型三】二次根式的运算
【考点一】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘法
45．计算：
=___________．
46．当
时，化简
的结果是__________．
【考点二】二次根式运算➽➼➵二次根式的除法
47．
的倒数是______．
48．化简
的结果是______．
【考点三】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘除法
49．计算
结果是_______________________．
50．设
，
，用含
的代数式表示
，结果为________．
【考点四】二次根式运算➽➼➵二次根式的加减法
51．已知
是
的整数部分，
是
的小数部分，则
_____．
52．若
与
是可以合并的二次根式，则这两个二次根式的和是______．
【考点五】二次根式运算➽➼➵二次根式的混合运算
53．不等式
的解集是______．
54．
的整数部分为
，小数部分为
，则
___________．
【类型四】二次根式的化简求值
【考点一】二次根式化简求值➽➼➵直接化简求值
55．若
，则
的值为______．
56．若x＝
－1，则
＋x＝_______．
【考点二】二次根式化简求值➽➼➵条件式化简求值
57．已知
，那么
的值为__________.
58．已知x＝
，则
的值等于____________．
【考点三】二次根式化简求值➽➼➵比较大小
59．比较大小：
______
．
60．满足不等式
的整数m的个数是______．
【类型五】二次根式的应用
【考点一】二次根式的应用➽➼➵几何问题✮✮古代问题
61．已知
，
，
为三个正数，当代数式
取最小值时
__．
62．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积
．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设
，那么其三角形的面积
，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若
，
，
，则此三角形的面积为______．
【考点二】二次根式的应用➽➼➵规律问题✮✮最值问题
63．已知一列数：
，
，
，
，
，……，认真观察发现其中的规律，用含有
（正整数）的代数式表示第
个数是______．
64．已知a＜
＜a+1（a为正整数），
是整数，当b取最小值时，则a﹣b＝___．
参考答案
1．C
【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．
解：A、
中，当
时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、
中当
时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、
，
恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；
D、
中被开方数
，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如
(
)的式子叫做二次根式．
2．C
【分析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值
解：
＝
.
故选C.
【点拨】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数．
3．C
【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可．
解：A.
，故A不符合题意；
B.
，故B不符合题意；
C.
是最简二次根式，故C符合题意；
D.
，故D不符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的特点①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解答本题的关键．
4．B
解：
，
，
，
，
所以
是无理数，其余的都是有理数，
即
是无理数．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键．
5．C
【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
解：A.
，与
不是同类二次根式，不符合题意；
B.
，与
不是同类二次根式，不符合题意；
C.
，与
是同类二次根式，符合题意；
D.
，与
不是同类二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
6．A
【分析】先把
化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式
与
能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
解：
，
∵最简二次根式
与
能够合并，
∴
，
∴
，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
7．B
【分析】根据所给字母的值，直接代入求值即可．
解：
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查代数式求值，涉及到分母有理化及实数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
8．A
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
解：∵a＝
＝
+2，b＝2+
，
∴a＝b，
故选：A．
【点拨】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．
9．A
【分析】根据二次根式有意义求出x的取值范围，即可得出答案．
解：由题意得，
，
解得：
，
∴只有A选项符合题意，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
10．C
【分析】根据二次根式有意义的条件求出
，求出
、
的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
解：由二次根式有意义的条件求出
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
11．D
【分析】由题意可得
，再根据二次根式的性质化简即可．
解：由题意可得：
∴
∵
∴
∴
故选：D
【点拨】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
12．A
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得
，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．
解：由题意得：
，即
，
，
，
，
，
则
，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
13．A
【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．
解：A．∵
，
∴
就是
的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵
，
∴
不是
的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵
，
∴
不是
的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵
，
∴
不是
的一个有理化因式，故D不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．
14．A
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC是直角三角形，再求出其面积就可解决问题．
解：∵
，
，
，
∴AB2+BC2=
，AC2=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴
，
故选：A．
【点拨】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是已知三角形三边，利用勾股定理的逆定理可以判断三角形形状，属于中考常考题型．
15．B
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．
解：
．
，选项不正确，不符合题意；
B．
，选项正确，符合题意；
C．
，选项不正确，不符合题意；
D．
，选项不正确，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．A
【分析】先利用相反数的含义可得
，再利用非负数的性质求解
、
从而可得答案.
解：
与
互为相反数，
且
解得：
，
，
故选：A
【点拨】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，二次根式的除法运算，利用非负数的性质求解
，
，是解本题的关键.
17．D
【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可．
解：A．
×
＝3
，故该选项错误；
B．(4
)2＝32，故该选项错误；
C．
÷
＝
=3
，故该选项错误；
D．∵4
＝
，7＝
，
<
，即4
<7，
∴
＝7－4
，
故选：D
【点拨】本题考查了二次根式的运算和求算数平方根，熟悉相关性质是解题的关键
18．C
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式=
=3÷
=
故选C．
【点拨】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．
19．D
【分析】根据实数的运算法则计算即可．
解：
故选：D．
【点拨】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则．
20．C
【分析】估算无理数的大小，得到m，n的值，代入代数式求值即可得出答案．
解：
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的加减运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
21．A
【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出
的近似值，进而得解．
解：
，
∴
，
∴
，
∴估计
的值应在
和
之间．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键．
22．B
【分析】根据二次根式加法法则计算并判定A；根据二次根式乘法法则计算并判定B；根据二次根式性质化简并判定C；根据二次根式混合运算法则计算并判定D．
解：A．
和
不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B．
，故本选项符合题意；
C．
，故本选项不符合题意；
D．
，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
23．C
【分析】先把
变形得到
，再两边平方可得到
，最后整体代入计算即可．
解：∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴
..
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
24．A
【分析】将已知变形，得到
，即可得到答案．
解：
，
，
，即
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查与二次根式相关的代数式求值，将已知变形，得到
是解题的关键．
25．A
【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得．
解：由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：
，
解得
，
则
，
故选：A．
【点拨】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键．
26．A
【分析】把原式化简为含ab、a-b的形式，再整体代入计算．
解：∵
，
∴(a+1)(b−1)=ab−a+b−1=ab−(a−b)−1=
−(2
−1)−1=−
.
故选A.
【点拨】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
27．D
【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与
比较，即可得到解答．
解：∵原式=
且49<54<64，
∴
即
，
故选D．
【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．
28．D
【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
解：A、由于5<7，则
＜
，故正确；
B、由于
＋2<6+2=8，而8=9-1<
－1，则
＋2＜
﹣1，故正确；
C、由于
，则
，故正确；
D、由于
，故
错误．
故选：D
【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
29．A
【分析】由两个小正方形的面积分别为18、2，得出其边长分别为
和
，则阴影部分的长等于（
﹣
），宽等于
的长方形，从而可得答案．
解：面积为18的正方形的边长为：
，面积为2的正方形的边长为：
，
则阴影部分面积为：
×
＝4，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．
30．D
【分析】根据题意得出
，进而可得出EF⋅GF＝AG⋅BE＝10，结合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．
解：因为1里=300步，
则由图知
步=4里，
步=2.5里，
由题意，得
，
则
，
所以该小城的周长为
，
当且仅当
时等号成立．
故选D
【点拨】本题考查基本不等式的实际应用，考查数学运算和直观想象的能力，属于中档题．
31．C
【分析】经观察发现，第n行共有2n个数，且第n行的第
个数为
，从而得出答案．
解：经观察发现，第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝
，
∴第2022行从左向右数第2022个数是2022，
∴第2022行从左向右数第2021个数是
．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，探索规律，发现第n行的第n个数为
是解题的关键．
32．B
【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据
，
，
都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．
解：若代数式
+
+
有意义，
则
，
解得：x≥2，
∵由
，
，
都随x的增大而增大，
∴当x＝2时，代数式的值最小，
即
+
+
＝1+0+2＝3．
故选：B．
【点拨】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．
33．
【分析】先根据二次根式求出y,再根据要求求出x即可.
解：∵
∴y=4
∵
，
∴x=-3
∴P为
.
【点拨】本题考查的是坐标，熟练掌握绝对值和二次根式是解题的关键.
34．
【分析】先把
化为平方的形式，再根据
化简即可求解．
解：原式
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把
化为平方的形式是解题关键．
35．②③
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．
解：②
③
是最简二次根式，
故答案为②③．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
36．﹣6．
【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．
解：由题意可得：
解得：
∴m+n＝﹣6
故答案：﹣6．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．
37．
【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，
解：由题意可得：
，解得
的平方根为
故答案为：
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
38．5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
解：∵最简二次根式
和
能合并，
∴最简二次根式
和
是同类二次根式，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到
是解题的关键．
39．
【分析】按照解不等式的一般步骤求解即可．
解：
，
，
，
，
即
，
故答案为：
.
【点拨】本题考查了解不等式，和分母有理化，掌握分母有理化是解题的关键.
40．5
【分析】把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
解：
，
．
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
41．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行解答即可．
解：由题意得：
，
解得：
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是要注意x应同时满足这两个条件．
42．15
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出
的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可．
解：
，
，
，
解得：
，
，
若等腰三角形ABC的三边分别为
，则
，不能构成三角形；
若等腰三角形ABC的三边分别为
，则此三角形周长为
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握基础知识点是解本题的关键．
43．1
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质计算即可．
解：∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟记：
是解题的关键．
44．2021
【分析】根据二次根式有意义得
，再由绝对值的性质化简得到
，把a的值代入所求的式子求解即可．
解：要使
有意义，则
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：2021．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、实数的运算，理解二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
45．
##
【分析】先把原式写成
，然后再运用积的乘方法则的逆用运算即可．
解：
，
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法和乘方运算，灵活运用积的乘方和同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．
46．
【分析】根据二次根式乘法公式得到
，再根据二次根式的性质化简即可得到结论．
解：
，
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决问题的关键．
47．
##
【分析】根据倒数的定义解答即可．
解：∵
，
∴
的倒数是
．
故答案为
．
【点拨】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键．
48．
##
【分析】根据二次根式的除法法则计算即可．
解：
．
故答案为：
【点拨】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
49．
【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可．
解：
=
=
=
=
=
．
故答案为
．
【点拨】本题考查了二次根式乘除运算，掌握二次根式乘除混合运算法则是解答本题的关键．
50．
【分析】将
化简后，代入a，b即可．
解：
，
∵
，
，
∴
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，解题的关键是将
化简变形，本题属于中等题型．
51．
【分析】根据有理数的估算可知
的整数部分是
，小数部分是
，进而得出
的值，代入计算即可．
解：
，
，
，
的整数部分是
，
的整数部分是
，
是
的整数部分，
是
的小数部分，
，
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了无理数的估算，实数的运算，根据题意得出相应式子的整数部分和小数部分是解本题的关键．
52．
【分析】先根据同类二次根式的定义确定p的值，然后再确定两个二次根式，最后合并即可．
解：∵
是二次根式
∴
，解得
∴
，
∴
+
=
．
故答案为
．
【点拨】本题主要考查了同类二次根式的定义、二次根式的性质等知识点，根据同类二次根式的定义确定p的值是解答本题的关键．
53．
##
【分析】通过移项，合并，系数化1，根据不等式的性质即可求出
的解集．
解：
∵
∴
∴
故答案为：
．
【点拨】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断
与0的大小关系，本题属于基础题型．
54．
【分析】先把
化简为
，然后根据夹逼法求出a，b的值，最后代入计算即可．
解：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
的整数部分为1，小数部分为
，
即
整数部分为1，小数部分为
，
∴
．
故答案为：
【点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，把
化简为
，然后根据夹逼法求出a，b的值是解题的关键．
55．2023
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把a的值代入计算即可．
解：∵
，
∴
，
故答案为：2023．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，熟记完全平方公式是解题的关键．
56．2-
【分析】代入代数式，展开化简计算．
解：∵x＝
－1，
∴
＋x
=
=
=2-
，
故答案为：2-
．
【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，正确进行完全平方公式的展开是解题的关键．
57．
【分析】根据已知条件求出
的值，再由：
，即可得出答案．
解：解:
，得：
，
，
，
故答案为：
.
【点拨】本题考查完全平方公式的变形运用，能利用已知条件求出
，再将
化为平方形式，再化回来是关键．
58．4
【分析】先求出x、
的值，再代入代数式即可．
解：
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是先化简再代入，这是代数式求值的一般步骤．
59．＞
【分析】先求出
与
的倒数，然后进行大小比较．
解：∵
而
，
∴
．
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．
60．7
【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．
解：∵
，
，
∴
，
，
∵
<m<
，
∴3.312<m<10.472，
∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，
∴整数m的个数是7，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．
61．
##
【分析】根据题意得
，再根据非负数的性质得
，
，
，求出
、
、
的值，代入
计算即可．
解：∵代数式
取最小值，
∴代数式
，
∴
，
，
，
解得：
，
，
，
∵a，
，
为三个正数，
∴
，
，
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的应用、非负数的性质，掌握这二个知识点的综合应用，其中根据题意列出等式是解题关键．
62．
【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．
解：
，
三角形的面积
=
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握
（a≥0，b≥0）是解题的关键．
63．
【分析】将这一列数转化为
，
，
，
，
，……，归纳分母及分子中根号下数字的变化规律，即可得解．
解：第1个数为
，
第2个数为
，
第3个数为
，
第4个数为
，
第5个数为
，
……
所以第n个数为
．
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了数字的变化规律，灵活运用二次根式的性质进行二次根式化简的逆运算是解题关键．
64．2
【分析】先计算
，再根据取值范围即可判断a的值，化简
，即可找到符合题意得b值，即可求解．
解：由题意
，
∵
，a为正整数
∴a＝2．
∵
，且是整数．
故b的最小值为0．
∴a﹣b＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，确定
的取值范围是求出a值的关键.