专题1.13 二次根式（全章复习与巩固）

（培优篇）

一、单选题

1．若 有意义，则字母x的取值范围是(    )

A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2

2．化简二次根式 的结果是（     ）

A． B．－ C． D．－

3．下列计算不正确的是 （    ）

A． B．

C． D．

4．化简 的结果为（　　）

A． B．30 C． D．30

5．已知 ，且a>b>0，则 的值为(    )

A． B．± C．2 D．±2

6．若 ， ，则a与b的大小关系是（    ）

A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定

7．与 最接近的整数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是（    ）

A． B． C． D．0

9．已知m、n是正整数，若 + 是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　）

A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是

10．如图是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知n是正整数， 是整数，则满足条件的所有n的值为__________．

12．把 根号外的因式移入根号内，得________

13．使函数 有意义的自变量x的取值范围为_____________

14．已知 ，则 的值为 _____．

15．设 ， ，则 =______(结果用m，n表示).

16．若 ，则 的值为______．

17．已知 ，则 的值是_____________．

18．观察下列等式：

第1个等式：a₁= ，

第2个等式：a₂= ，

第3个等式：a₃= =2- ，

第4个等式：a₄= ，

…

按上述规律,回答以下问题：

1. 请写出第n个等式：a_n=__________.

2. a₁+a₂+a₃+…+a_n=_________

三、解答题

19．计算：

(1) ＋    ； (2) － －| |

20．计算：

（1） （2）

21．（1）试比较 与 的大小；

  （2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.

22．已知 ， ．

（1）求 的值． （2）求 值．

23．解决如下问题：

(1)分母有理化： ．

(2)计算： ．

(3)若a＝ ，求2a²﹣8a+1的值．

24．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：

若设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

1. 若 ，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；

2. 若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)化简： ．

参考答案

1．D

【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．

解： 有意义，则x+1≥0且x-2≠0，

解得：x≥-1且x≠2．

故选D．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．

2．B

【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可

解：

故选B

【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．

3．D

解：根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知 ，故正确；

根据二次根式的乘法，可知 ，故正确；

根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得 ，故正确；

根据二次根式的加减，可知 与 不是同类二次根式，故不正确.

故选D.

4．C

解：先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得 = = ，

故选C．

【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.

5．A

【分析】已知a²+b²=6ab，变形可得（a+b）²=8ab，（a-b）²=4ab，可以得出（a+b）和（a-b）的值，即可得出答案．

解：∵a²+b²=6ab，

∴（a+b）²=8ab，（a-b）²=4ab，

∵a＞b＞0，

∴a+b= ，a-b= ，

∴ = ，

故选A．

【点拨】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a、b的大小关系以及本身的正负关系．

6．B

【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．

解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵

，

，

∴ ，

故选：B．

【点拨】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．

7．B

【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解 ．

解：原式= ，

∵49<54<64，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ 最接近7，

∴ 最接近7-3即4，

故选：B．

【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．

8．A

【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．

解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0

∴

=

=-a－b＋a－b

=

故选A．

【点拨】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．

9．C

【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．

解：∵ + 是整数，m、n是正整数，

∴m=2，n=5或m=8，n=20，

当m=2，n=5时，原式=2是整数；

当m=8，n=20时，原式=1是整数；

即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），

故选：C．

【点拨】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．

10．C

【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．

解：由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），

∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n²-3，

∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：

故选：C．

【点拨】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．

11． 或 或

【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数 的取值范围，然后令 等于所有可能的平方数即可求解．

解：由题意得 ，

解得 ，

∵n是正整数，

∴

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 是整数，

∴ 或 或 或 或 ，

解得 或 或 或 或 ，

∵n是正整数，

∴ 或 或 ，

故答案为： 或 或

【点拨】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．

12．

【分析】根据被开方数大于等于零，可得出 ，再根据二次根式的性质进行计算即可．

解：∵ ，

∴ ，

∴ ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．

13．

【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.

解：根据题意，

解得：

①当 时，

解得：

即：

①当 时，

解得：

即：

故自变量x的取值范围为

【点拨】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键.

14． ##

【分析】先利用二次根式有意义求得 与 的值，然后把 与 的值代入变形后的代数式求值即可．

解：∵ ，

∴ ，解得 ，

∴ ，

∴

．

故答案为：

【点拨】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．

15．

分析：本题考察二次根式的化简.

解：∵

故答案为 .

点睛：二次根式的计算公式的应用可以化简， .

16．2022

【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．

解：由题意得a-2022≥0，

∴a≥2022，

∴|2021-a|= a-2021．

∵ ，

∴ ，

，

，

即 =2022．

故答案为2022．

【点拨】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．

17．9

【分析】先将原等式变形为 ，再根据平方的非负性可得 ， ， ，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．

解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

故答案为：9．

【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．

18．         

【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；

（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．

解：∵第1个等式：a₁= ，

第2个等式：a₂= ，

第3个等式：a₃= =2- ，

第4个等式：a₄= ，

……

∴第n个等式： ；

故答案为： ；

（2）

=

= ；

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题．

19．(1)2 (2)3

【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的性质，进行二次根式的求和运算求解即可.

（2）根据完全平方公式，零次幂的性质，绝对值的性质求解即可.

解：（1） ＋    

=9-7+2 -2

=2 .

（2） － －| |

=2+2 +1-1-2+

=3 .

【点拨】本题主要考查了实数的运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，二次根式的性质，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键.

20．（1） ；（2）

【分析】（1）分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；

（2）先将 变形为 ，然后利用平方差公式计算求解．

解：（1）

（2）

故答案为（1） ；（2） ．

【点拨】本题考查的是二次根式的混合运算，积的乘方，平方差公式，合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键．

21．（1） < ；（2） <

试题分析：运用分母有理化进行化简后，再进行比较大小即可.

解：（1） ，

，

故 < .

（2） ，

   ，

 故 ＜ ．

22．（1）40；（2）

【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；

（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．

解：（1） ，

，

， ，

．

（2） ， ，

， ，

．

【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法、完全平方公式的变形等知识点．

23．(1) ﹣1 (2)44 (3)3

【分析】（1）根据平方差公式，分子分母都乘以 计算即可；

（2）先把 ， ， ，…， ，分母有理化，再代入计算即可；

（3）先分母有理化，求出a＝ ，移项平方求出 ，整体代入求值即可．

(1)解： ；

(2)解：∵ ，

，

，

…

，

，

= ，

= ，

=45-1，

=44；

(3)解：a＝ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【点拨】本题考查二次根式分母有理化，利用分母有理化化简二次根式，平方差公式，完全平方公式，整体代入求值，掌握二次根式分母有理化，利用分母有理化化简二次根式，平方差公式，完全平方公式，整体代入求值是解题关键．

24．(1) (2)28或12 (3)

【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；

（2）利用完全平方公式展开可得到 ，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由 分别计算即可；

（3）令 ，两边平方并整理得 ，然后利用（1）中的结论化简得到 ，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．

解：（1）∵ ，

∴ ，

∴ ．

故答案为： ， ；

（2）∵ ，

∴ ，6=2mn，

∴mn=3．

∵a、m、n均为正整数，

∴m=1，n=3或m=3，n=1．

当m=1，n=3时， ；

当m=3，n=1时， ．

∴a的值为28或12；

（3）令 ，

则

∴ ．

【点拨】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．