专题1.14
二次根式（常考考点专题）
（基础篇）
一、单选题
【类型一】定义与概念的理解
【考点一】二次根式➽➼➵概念➻➼二次根式✮✮复合二次根式
1．下列式子中是二次根式的是( )
A．
B．
C．
D．
2．将
根号外的因式移到根号内为（ ）
A．
B．－
C．－
D．
【考点二】最简二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数
3．以下各数是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知n是正整数，
是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点三】同类二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数
5．下列二次根式中，与
不是同类二次根式（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知二次根式
与
化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点四】分母有理化➽➼➵化简✮✮求值
7．方程
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若
，
，则a与b关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
【类型二】二次根式的性质➽➼双重非负性
【考点一】二次根式➽➼➵二次根式的意义
9．若代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．
且
B．
C．
D．
且
10．已知
，若
，则b的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点二】二次根式➽➼➵二次根式的化简
11．计算
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．当
时，
的化简结果（ ）
A．
B．
C．
D．
【类型三】二次根式的运算
【考点一】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘法
13．估计
的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
14．化简
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点二】二次根式运算➽➼➵二次根式的除法
15．估算
的运算结果应在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
16．若等式
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【考点三】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘除法
17．计算：
的值为（ ）
A．1 B．3 C．
D．9
18．计算：
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点四】二次根式运算➽➼➵二次根式的加减法
19．下列计算中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点五】二次根式运算➽➼➵二次根式的混合运算
21．估计
的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
22．计算
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【类型四】二次根式的化简求值
【考点一】二次根式化简求值➽➼➵直接化简求值
23．若
，则代数式
的值为（ ）
A．7 B．4
C．3 D．3-2
24．若
，则代数式
的值为（ ）
A．2005 B．－2005 C．2022 D．－2022
【考点二】二次根式化简求值➽➼➵条件式化简求值
25．已知
，则
的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
26．已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点三】二次根式化简求值➽➼➵比较大小
27．估计与
最接近的整数是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．将
，
，
用不等号连接起来为（ ）
A．
B．
C．
D．
【类型五】二次根式的应用
【考点一】二次根式的应用➽➼➵几何问题✮✮古代问题
29．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记
，那么三角形的面积为
．已知
的三边长分别为4，5，7，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．8
30．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1，
，则⊙A的直径长为( )
A．
B．
C．
D．
【考点二】二次根式的应用➽➼➵规律问题✮✮最值问题
31．已知化简
的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
32．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如
，有些数则不能直接求得，如
．但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得． 请同学们观察下表：
n |
0.09 |
9 |
900 |
90000 |
… |
|
0.3 |
3 |
30 |
300 |
… |
运用你发现的规律解决问题，已知
≈1.435，则
≈（ ）
A．14.35 B．1.435 C．0.1435 D．143.5
二、填空题
【类型一】定义与概念的理解
【考点一】二次根式➽➼➵概念➻➼二次根式✮✮复合二次根式
33．下列各式：
，
，
，
，
，
中，是二次根式的是______.
34．已知x＝
，则4x2+4x﹣2020＝___________．
【考点二】最简二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数
35．下列是最简二次根式的有______．
①
；②
；③
；④
．
36．若
与最简二次根式
能合并成一项，则
________．
【考点三】同类二次根式➽➼➵概念➻➼判断✮✮化简✮✮求参数
37．若最简二次根式
与
是同类根式，则
=_______．
38．若最简二次根式
与最简二次根式
是同类二次根式，则
_____．
【考点四】分母有理化➽➼➵化简✮✮求值
39．分母有理化：
______．
40．不等式
的解集是________．
【类型二】二次根式的性质➽➼双重非负性
【考点一】二次根式➽➼➵二次根式的意义
41．若二次根式
在实数范围内有意义，则x的取值范围为___________．
42．已知a，b都是实数，
，则
的值为___________．
【考点二】二次根式➽➼➵二次根式的化简
43．已知
，化简二次根式
的结果是______．
44．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简
=___________．
【类型三】二次根式的运算
【考点一】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘法
45．计算：
_____．
46．有这样一个问题：
与下列哪些数相乘，结果是有理数？
①
；②
；③
；④
；⑤
．
问题的答案是：________（填序号）．
【考点二】二次根式运算➽➼➵二次根式的除法
47．计算：
______．
48．
的倒数为___________．
【考点三】二次根式运算➽➼➵二次根式的乘除法
49．
______．
50．计算：2
×
÷
=___________．
【考点四】二次根式运算➽➼➵二次根式的加减法
51．计算：
_____________．
52．已知
，
，则
_____．
【考点五】二次根式运算➽➼➵二次根式的混合运算
53．
___
____．
54．计算
______ ．
【类型四】二次根式的化简求值
【考点一】二次根式化简求值➽➼➵直接化简求值
55．若
，则代数式
的值为________．
56．当
时，代数式
的值是______．
【考点二】二次根式化简求值➽➼➵条件式化简求值
57．若
，则化简
______
．
58．已知
，
，则
的值为______．
【考点三】二次根式化简求值➽➼➵比较大小
59．比较大小：
______
；
______
（填“>”，“<”或“=”）
60．若
，则k=__________；比较大小：
________
．
【类型五】二次根式的应用
【考点一】二次根式的应用➽➼➵几何问题✮✮古代问题
61．长方形内两个相邻正方形的面积分别为4和2，图中阴影部分的面积为_____．
62．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字表述为数学语言即为：在
中，
所对的边分别为a、b、c，则其面积为
，可利用其解决下列问题．如图，在
中，
，则
_________．
【考点二】二次根式的应用➽➼➵规律问题✮✮最值问题
63．当
=_______时，
有最小值，这个最小值为___________．
64．观察下列各式：
当n＝3时，
，
当n＝4时，
，
当n＝5时，
，
根据以上规律，写出当n＝7时的等式是______．
参考答案
1．C
【分析】二次根式必须满足两个条件：被开方数大于等于0，且根指数必须是2；根据上述信息，对题中的各个式子进行判断即可．
解：A．被开方数可以是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是二次根式，故本选项符合题意；
D．根指数是3不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解题的关键．
2．B
【分析】直接利用二次根式的性质得出
的符号进而化简求出答案；
解：由题意可知
，
∴
，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
3．A
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
解：A．
是最简二次根式，符合题意；
B．
，此选项不是最简二次根式，则此项不符合题意；
C．
，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D．
，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：1．被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4．D
【分析】首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值．
解：∵
是整数，n是正整数，
∴n的最小值为5，
故选D
【点拨】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
5．C
【分析】根据二次根式性质化简后，根据同类二次根式的定义进行选择即可．
解：A、
，与
是同类二次根式，故A不符合题意；
B、
，与
是同类二次根式，故B不符合题意；
C、
，与
不是同类二次根式，故C符合题意；
D、
，与
是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式），二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义，对二次根式进行化简，是解题的关键．
6．C
【分析】先将
化简为2
，再根据同类二次根式的定义即可求解．
解：
，
∵二次根式
与
化成最简二次根式后被开方数相同，
∴
且
，
即
，
∴①当
，即a=30时，
，
②当
，即a=24时，
，
③当
，即a=14时，
，
则符合条件的正整数a有3个，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式的化简方法和同类二次根式的定义是解题的关键．
7．C
【分析】两边同时除以
，然后分母有理化即可求解．
解：
，
，
∴
，
故选：C．
【点拨】本题考查了分母有理化，正确计算是解题的关键．
8．A
【分析】利用二次根式的性质将a分母有理化，结果与b对比，即可得出答案．
解：∵
，
∴
，
∴a与b互为相反数，
故选A．
【点拨】本题考查二次根式的分母有理化和相反数的定义，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
9．D
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解．
解：根据题意得：
且
，
解得：
且
．
故选：D
【点拨】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分式的分母不等于0是解题的关键．
10．C
【分析】先求
的取值的范围，然后再利用不等式的性质求
的取值的范围即可．
解：
，
，
，
，
，
即
；
故选：C．
【点拨】此题考查了二次根式有意义的条件、不等式的基本性质，熟练掌握二次根式的被开方数大于或等于零以及不等式的基本性质是解答此题的关键．
11．C
【分析】利用
即可求解．
解：
，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握运算法则．
12．D
【分析】根据分式基本性质进行化简即可．
解：∵
有意义，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，
．
13．A
【分析】先计算二次函数的乘法运算可得结果为
，再估算
的范围即可．
解：
，
∵
，
∴
，
故选A．
【点拨】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，掌握“无理数的估算的方法”是解本题的关键．
14．A
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可得到答案．
解：
，
故选A．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
15．B
【分析】根据二次根式进行计算，然后估算
的大小即可求解．
解：∵
，
∴
，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的除法运算，估算无理数的大小，正确的估算是解题的关键．
16．A
【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解．
解：根据题意得，
，
∴由①得，
；由②得，
，
∴
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键．
17．A
【分析】从左往右，依次计算即可得．
解：原式=
=
=
=1，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是掌握二次根式运算的运算法则和运算顺序．
18．A
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
解：
．
故选：A．
【点拨】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，
，
，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．D
【分析】根据二次根式的计算公式及完全平方公式，平方差公式计算每一项即可．
解：A选项：不是同类二次根式无法合并，故错误；
B选项：
，故错误；
C选项：
，故错误；
D选项：
，正确；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次根式的计算，能够熟练根据公式计算二次根式是解题关键．
20．D
【分析】根据二次根式的加、减、乘运算法则和算式平方根的定义逐一计算即可得到答案．
解：A．
，计算错误，不符合题意，选项错误；
B．
，计算错误，不符合题意，选项错误；
C．
，计算错误，不符合题意，选项错误；
D．
，计算正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式的加、减、乘运算和算术平方根的定义，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
21．B
【分析】下根据二次根式的乘法计算，再估算结果的大小，即可求解．
解：
，
∵
，
∴
，
∴
的值应在4和5之间．
故选：B
【点拨】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法．
22．A
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
解：
．
故选：A
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键．
23．A
【分析】将代数式化简为
，然后再代入求解即可．
解：∵
，
∴
．
故选：A．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值，能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
24．A
【分析】根据完全平方公式得出
，再代入求出答案即可．
解：∵
，
∴
．
故选A．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
25．C
【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求解即可．
解：∵（x﹣1）2+
＝0，
∴x﹣1＝0，y+4＝0，
解得：x＝1，y＝﹣4，
∴
＝
＝
＝4．
故选：C．
【点拨】本题考查二次方根的求值、偶次方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，熟知偶次方和算术平方根的非负性是解答的关键．
26．B
【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可．
解：
，
，
、
同号，并且
、
都是负数，
解得：
，
或
，
，
当
，
时，
；
当
，
时，
，
则
的值是
，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
27．C
【分析】根据二次根式的性质，先估算出
的范围
，再求出
与
中点与
比较大小，进而得到
最接近的整数
解：
，
，
，
，即
，
，且
，
，
，即
，
与
最接近的整数是
，
故选：C．
【点拨】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出
的范围是
，并取
与
得中点与
比较大小是解决问题的关键．
28．B
【分析】先利用计算器估算出三个无理数的值，再进行比较即可得出答案．
解：方法一：∵
，
，
，且
，
∴
；
方法二：∵
，
，且
，
∴
，
∵
，
，且
，
∴
，
∴
，
故选：B．
【点拨】本题考查的是无理数大小的估算及实数的大小的比较，能熟记实数的大小比较法则以及幂的乘方是解此题的关键．．
29．A
【分析】直接将三边长代入公式求解即可．
解：∵
的三边长分别为4，5，7，
∴
，
∴
，
故选：A．
【点拨】本题考查了学生对题意的理解和对公式的运用，涉及到了二次根式的计算，解题关键是读懂题意，正确将数值代入公式计算．
30．C
【分析】根据已知条件可以求出线段AB的长度，然后根据直径等于2倍的半径，即可解答．
解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和
，
∴AB＝
﹣1，
∵⊙A的直径为2AB＝2
﹣2．
故选C．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算、实数与数轴，解本题关键是求两点间的距离用大数减去小数，圆的直径等于2倍的半径．
31．C
【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到
，再根据条件确定正整数
的最小值即可．
解：
的结果是一个整数，
正整数
的最小值是
．
故选：C
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．
32．A
解：由表格中找规律，可知被开方数扩大一百倍，结果扩大十倍，故选A.
33．
【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项进行判断即可
解：
根指数为3，不是二次根式；
根指数为3，不是二次根式；
被开方数为负数，不是二次根式；
根指数为4，不是二次根式；
能满足被开方数为非负数，故是二次根式；
被开方数为负数，不是二次根式.
故答案为：
【点拨】主要考查了二次根式的概念．式子
（a≥0）叫二次根式．
（a≥0）是一个非负数．
34．-2018
【分析】先对式子4x2+4x-2020进行化简变为完全平方式，然后代入求值即可解答本题．
解：∵x＝
，
∴4x2+4x-2020
=（2x+1）2-2021
=（2×
+1）2-2021
=（
+1）2-2021
=（
+1）2-2021
=（
+1）2-2021
=（
+1）2-2021
=（
−1+1）2-2021
=3-2021
=-2018．
故答案为：-2018．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是巧妙的对原式进行变形，然后进行求值即可．
35．②④##④②
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：
＝2
，
的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
＝
，
被开方数中含分母，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
所以最简二次根式有②④，
故答案为：②④．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式叫最简二次根式，被开方数中不含分母，也不含开得尽的因数或因式，能够熟记最简二次根式的定义是解题的关键．
36．-2
【分析】先化简
，因为它与最简二次根式
能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值．
解：∵
，它与最简二次根式
能合并成一项，
∴1-a=3，
∴a=-2，
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键．
37．0
【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可．
解：∵最简二次根式
与
是同类根式，
∴
，
解得：
，
．
∴
．
故答案为：0．
【点拨】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
38．1
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于m的方程，解出即可．
解：∵最简二次根式
与最简二次根式
是同类二次根式，
∴
，
解得：
．
故答案为：1
【点拨】本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2．
39．
##
【分析】分子分母同乘以
，然后进行化简即可．
解：
．
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化，平方差公式．
40．
##
【分析】不等式移项、合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
解：
，
移项，得：
，
合并同类项，得：
，
系数化1，变号，得：
，
分母有理化，得：
，
即不等式
的解集是
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查解一元一次不等式、二次根式分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键，不等式两边同时除以一个负数时，不等式要变号．
41．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
解：∵
，
∴
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数．
42．4
【分析】直接利用二次根式有意义条件求出a，b的值代入求解即可．
解：由题意可得，
，
，
解得
，
∴
，
∴
，
故答案为4．
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件，正确得出a的值，再代入求出b的值是解题的关键．
43．
【分析】二次根式有意义，
，结合已知条件得
，化简即可得出最简形式．
解：根据题意，
，
得
和
同号，
又
中
，
，
，
，
则原式
，
故答案为：
．
【点拨】主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数．
44．
【分析】利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可．
解：由图可知
，
∴
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了实数的运算，数轴的知识，解题的关键是掌握
，
．
45．
##
【分析】先计算算术平方根、负整数指数幂、二次根式的乘法，再计算加减法即可得．
解：原式
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了算术平方根、负整数指数幂、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
46．①④⑤
【分析】根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
解：
是有理数，
是无理数，
是无理数，，
是有理数，
是有理数，
故答案为：①④⑤
【点拨】本题主要考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则是关键．
47．
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可．
解：
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的除法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
48．
【分析】根据倒数和实数运算的性质计算，即可得到答案.
解：
的倒数
故答案为：
.
【点拨】本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握倒数、实数运算的性质，从而完成求解.
49．
【分析】利用二次根式的性质进行乘除运算．
解：
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则．
50．1
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
解：原式
故答案为：1．
【点拨】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
51．
##
【分析】先计算二次根式和绝对值的性质化简，再计算，即可求解．
解：
故答案为：
【点拨】本题主要考查了二次根式的加减法，最简二次根式，绝对值的性质，理解二次根式加减的运算法则是解答关键．
52．
##
【分析】先化简，后代入求值即可．
解：因为
，
，
，
所以
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练化简是解题的关键．
53．
##
##
【分析】根据配方法，第一提取二次项系数使其变为1，第二配一次项一半平方，第三完成配方．
解：原式变形可得，
，
括号里同时加上减去
可得，
，
化简得，
，
，
故答案为：
，
．
【点拨】本题考查多项式的配方，解题关键是多项式的配方步骤．
54．4
【分析】原式利用负整数指数幂，以及二次根式性质计算即可求出值．
解：原式
．
故答案为：
．
【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
55．7
【分析】把原式变形为
，再把
代入，即可求解．
解：∵
，
∴
故答案为：7
【点拨】本题考查的是利用完全平方公式变形，再求代数式的值，同时考查了二次根式的乘法运算，掌握完全平方公式是解题的关键．
56．2034
【分析】先将
配方成
，将
代入计算即可．
解：∵
，
∴当
时，
．
故答案为：2034．
【点拨】本题考查配方法的应用，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便．
57．
【分析】根据二次根式的性质，可得
，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．
解：由
，得
，
∴
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的加减，解题关键是利用二次根式的性质化简二次根式．
58．
【分析】根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
解：∵
，
，
∴原式=
=
=
=
故答案为：
．
【点拨】本题考查了因式分解，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
59．
【分析】由
与
是两个正数，可采用平方法比较大小，而
，
是两个负数，可利用绝对值大的反而小来比较大小，从而可得答案．
解：∵
而
∴
∵
∴
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握“二次根式的大小比较方法”是解本题的关键．
60． 3 ＜
【分析】把
化为最简二次根式得结论；先把2
、3
化为“
”的形式，再比较被开方数得出结论．
解：∵
=3
，
∴k=3．
故答案为：3．
∵2
=
×
=
，
3
=
×
=
，
又∵
＞
，
∴3
＞2
．
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了实数大小的比较，掌握二次根式的性质和实数大小的比较方法是解决本题的关键．
61．
【分析】直接利用总面积减去两正方形面积进而得出答案．
解：由正方形的性质可得，大正方形边长为：2，小正方形边长为：
，
故阴影部分面积为：
=
，
故答案为：
．
【点拨】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出正方形边长是解题关键．
62．
【分析】把数据代入面积公式计算面积即可求解．
解：在
中，
，
∴
=
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的应用，考查了学生的计算能力，正确计算出结果是解题的关键．
63．
1
【分析】根据非负数的性质求出有最小值时的x的值，然后求出最小值即可．
解：∵
有最小值，
∴3x＋1＝0，
∴x＝
，
∴当x＝
时，
有最小值，这个最小值为1，
故答案为
；1．
【点拨】本题考查了绝对值非负数的性质，熟记绝对值大于等于0是解题的关键．
64．
【分析】根据题意得出相关规律，然后计算即可．
解：当n＝3时，
，
当n＝4时，
，
当n＝5时，
，
∴当n＝n时，
，
∴当n＝7时，
，
故答案为：
．
【点拨】题目主要考查二次根式的计算及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键．