专题1.12
二次根式（全章复习与巩固）
（巩固篇）
一、单选题
1．若
时，
无意义，当
时，
是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，则
化简后的结果是（ ）
A．xy B．
C．
D．
4．估计
的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．已知数列
，…，则
是它的（ ）
A．第23项 B．第24项 C．第19项 D．第25项
6．能够使
与
是同类最简二次根式的x值是（ ）
A．
B．
C．
或
D．不存在
7．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
为实数，
分别表示
的整数部分和小数部分，且
，则
（ ）
A．1 B．
C．
D．2
9．当
时，多项式
的值为（ ）
A．3 B．
C．1 D．
10．观察下列二次根式的化简（ ）
；
；
；
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知
，那么
＝_____．
12．求值：
______.
13．最简二次根式
与
是同类最简二次根式，则
________．
14．已知a是
的整数部分，b是它的小数部分，则
______．
15．若两不等实数a，b满足
，
，则
的值为
_____．
16．已知整数x，y满足
，则
的最小值为
_____．
17．已知等腰
的两边长分别为
和
，则等腰
的周长是______．
18．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“
……”的路线运动．设第n秒运动到点
（n为正整数），则点
的坐标是_______________．
三、解答题
19．当
时，求
的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
的解法是错误的；
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
当
时，求
的值．
20．计算：
(1)
； (2)
．
21．计算及解方程组：
(1)
(2)
22．已知
和
，求下列各式的值：
(1)
：(2)
．
23．小明在解决问题：已知
，求
的值．他是这样分析与解的：
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
化简
若
，
①求
的值；
②直接写出代数式的值
___________．
24．探究题
(1)用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3
2
，1+
2
，5+5
2
．
(2)由（1）中各式猜想m+n与2
（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
参考答案
1．B
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据这个条件列不等式即可．
解：∵当
时，
无意义，
∴
，解得
，
∵当
时，
是二次根式，
∴
，解得
，
∴
，
∴a的值可能是8，
故选：B．
【点拨】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．A
【分析】根据二次根式化简方法和最简二次根式的概念进行化简辨别即可．
解：A、
符合最简二次根式的定义，该选项符合题意；
B、
，
不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、
，
不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、
，
不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查二次根式的化简，对于最简二次根式要满足两个条件：被开方数不含开的尽方得因数，被开方数不含分母，准确理解最简二次根式的概念，并能对二次根式进行正确的化简是解决问题的关键．
3．D
【分析】根据
，
有意义可得
，进而即可求解．
解：∵
，
有意义，
∴
，
∴
，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出
是解题的关键．
4．B
【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
解：
，
∵
，
∴
，即
，
∴
的值应在
和
之间，
故选：B
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出
的范围是解此题的关键．
5．D
【分析】通过观察，得出第
项为：
，再根据
，得出方程
，解出即可得出答案．
解：∵数列
，…，
∴通过观察，可得：第
项为：
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
是它的第
项．
故选：D
【点拨】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．
6．A
【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可
解：根据题意得：
，且
，
，
∵
，
∴
，
解得：
或
（舍），
∴
，
故选：A
【点拨】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
7．B
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可．
解：A、
，计算错误，不符合题意，选项错误；
B、
，计算正确，符合题意，选项正确；
C、
和
不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意，选项错误；
D、
，计算错误，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点拨】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
8．D
【分析】估算无理数
的大小，确定
的值，再代入计算即可．
解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
的整数部分
，小数部分
，
∵
，
∴
，
∴
，
故选：D．
【点拨】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
9．D
【分析】根据
可得
，然后将多项式
转化为
，然后代入计算即可．
解：
，
，
，
，
多项式
，
故选：D．
【点拨】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想．
10．B
【分析】根据题目中给定的计算方法求出
，再进行求解即可．
解：∵
，
，
，…∴
，
∴
，
，
，
…
∴
，
∴则
．
故选B．
【点拨】本题考查二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键．
11．
【分析】根据
代入计算即可；
解：∵
，
∴
；
故答案是：
．
【点拨】本题主要考查了代数式求值和分母有理化，准确利用平方差公式计算是解题的关键．
12．
【分析】先根据积的乘方得到原式＝
，然后利用平方差公式计算．
解：原式＝
＝
＝
＝
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与幂的乘方是解决问题的关键．
13．2
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．
解：根据题意得：
∴
∵最简二次根式
与
是同类最简二次根式
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．
14．
【分析】由于
，则
，
，然后代入所求代数式进行计算即可．
解：
，
，
，
．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
15．4
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出
和
，然后代入原式即可求出答案．
解：∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
∴
∴原式＝
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是
，本题属于基础题型．
16．
【分析】原式可变形为
，然后因式分解为
，从而得到
，进而分析得出
，
，则答案可得．
解：
，
变形为
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵x，y均为整数，
，
∴
最小值时
，
，
∴
最小值为
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到
．
17．
##
【分析】分两种情况：当等腰
的腰长为
，底边长为
时，当等腰
的腰长为
，底边长为
时，然后分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰
的腰长为
，底边长为
时，
，
不能组成三角形；
当等腰
的腰长为
，底边长为
时，
等腰
的周长
；
综上所述：等腰
的周长是
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键．
18．
【分析】每6个点的纵坐标规律：
，0，
，0，
，0，点的横坐标规律：
，1，
，2，
，3，…，
，即可求解．
解：如图，过
作
轴于
，则
，而
，
∴
，
，
∴每6秒的纵坐标规律：
，0，
，0，
，0，
∵
余1，
∴点
的纵坐标为
，
由题意可知动点P每秒的横坐标规律：
，1，
，2，
，3，…，
，
∴点
的横坐标为
，
∴点
的坐标
，
故答案为
．
【点拨】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
19．(1)小亮 (2)
(3)-2
【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（2）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（3）根据
的范围判断
与
的符号，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案．
解：（1）原式
，
，
∵
，
∴
，
∴原式
，
故小亮的解法错误，
故答案为：小亮．
（2）
，
故答案为：
．
（3）∵
，
，
，
∴原式
，
．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
20．(1)
(2)2
【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；
（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可
（1）解：
（2）
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先计算括号，再计算除法，最后计算加减．
（2）按照完全平方公式，二次根式的乘法计算即可．
解：（1）
=
=
=
．
（2）
=
=
．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法，除法，完全平方公式，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的乘除运算是解题的关键．
22．(1)
(2)12
【分析】（1）先计算出
和
，再利用乘法公式得到
；
（2）利用乘法公式得到
，然后利用整体代入的方法计算．
（1）解：
和
，
，
，
；
（2）由（1）知
，
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式、平方差公式等知识点．题目难度不大，注意整体代入思想的运用．
23．(1)5 (2)①5，②0
【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；
（2）①先把a分母有理化可得到
，从而得到
，再把式子进行整理，将
代入计算即可求出值；②将式子整理成
，再代入
，即可求解．
（1）解：
；
（2）解：①∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
②∵
，
∴
．
故答案为：0
【点拨】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键．
24．(1)＞，＞，＝， (2)m+n≥2
(3)40
【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2
；比较大小，可以作差，m+n-2
，联想到完全平方公式，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
（1）解：∵4+3=7，2
=4
，
∴
，
，
∵49＞48，
∴4+3＞2
；
∵1+
=
＞1，2
=
＜1，
∴1+
＞2
；
∵5+5=10，2
=10，
∴5+5=2
．
故答案为：＞，＞，=；
（2）解：m+n≥2
（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵
，
∴
，
∴m-2
+n≥0，
∴m+n≥2
；
（3）解：设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S=ab=200，
根据（2）的结论可得：
，
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
【点拨】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．