专题1.11
二次根式（全章复习与巩固）
（基础篇）
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列式子中与
是同类二次根式的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简
的结果是（ ）
A．
B．b C．
D．
5．估算：
的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
6．下列计算中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．
C．
cm，
cm，
cm D．
cm，
cm，5cm
8．如图，从一个大正方形中截去面积为
和
的两个小正方形，则大正方形的边长是（ ）cm．
A．
B．
C．
D．
9．将一组数
，2，
，
，
，…，
，按下列方式进行排列：
，2，
，
，
；
，
，4，
，
；
…
若2的位置记为
，
的位置记为
，则
这个数的位置记为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝
，则其面积S＝
．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．如果已知p＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
二、填空题
11．化简：
______．
12．代数式
有意义，那么x的取值范围____________．
13．比较大小
_____
．
14．已知x，y都是实数，且
，则
__________．
15．已知实数m、n满足
，则
______．
16．如果
的整数部分为
，
的小数部分为
，求
____．
17．已知
，则
的值为________．
18．阅读理解：对于任意正整数
，
，有下面的不等式：
，当且仅当
时，等号成立；结论：在
（
、
均为正实数）中，当且仅当
时，
有最小值
．若
，式子
有最小值为________．
三、解答题
19．已知实数
、
在数轴上的对应点如图所示，化简
．
20．计算：
(1)
(2)
21．计算：
(1)
(2)
22．（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知
，
，求
的值．
23．某居民小区有一块形状为长方形
的绿地，长方形绿地的长
为
，宽
为
（即图中阴影部分），长方形花坛的长为
，宽为
，
(1)长方形
的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
24．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知
，求
的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴
即
∴
∴
．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
______．化简
；
(3)若
，求
的值．
参考答案
1．C
【分析】根据二次根式的定义即可得出正确选项．
解：A、
是三次根式，不合题意；
B、
的被开方数是负数，不合题意；
C、
是二次根式，符合题意；
D、
中，当
时，不是二次根式，不合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是本题的关键．
2．D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、
，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、
，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、
，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、
属于最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键．
3．A
【分析】根据二次根式的性质，把各个式子化成最简二次根式，根据同类二次根式的概念判断即可．
解：A、
与
是同类二次根式，符合题意；
B、
，与
不是同类二次根式，不符合题意；
C、(
，与
不是同类二次根式，不符合题意；
D、
，与
不是同类二次根式，不符合题意；
故选:A．
【点拨】本题考查的是同类二次根式，二次根式的性质，熟记同类二次根式的概念是解题的关键．
4．B
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．
解：由数轴可知
，
∴
，
∴
．
故选：B．
【点拨】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键．
5．C
【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算出
的范围，得出答案即可．
解：
，
∵
，
∴
，
∴估算
的值应在2到3之间，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算和估算无理数的大小，能估算出
的范围是解此题的关键．
6．C
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的性质对D进行判断．
解：A、
与
不能合并，所以A选项不符合题意；
B、原式
，所以B选项不符合题意；
C、原式
，所以C选项符合题意；
D、原式
，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
7．C
【分析】根据三角形的三边关系，即可求解．
解：A.
，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B.
，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C.
，能组成三角形，故本选项符合题意；
D.
，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
8．B
【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长．
解：两小正方形的边长分别为：
cm，
cm，
∴大正方形的边长为
cm．
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的应用，解题关键是利用正方形面积公式求出小正方形的边长．
9．C
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得
的位置即可．
解：这组数据可表示为：
,
…
∵
，
∴
为第4行，第3个数字．
故选：C．
【点拨】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．
10．D
【分析】根据公式算出a＋b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
解：∵p＝
，p＝6，c＝4，
∴6＝
，
∴a＋b＝8，
∴a＝8−b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
=
∴当b＝4时，S有最大值为
．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
11．
##
【分析】根据二次根式的性质，即
由此即可求解．
解：根据二次根式的性质得，
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式开根的方法是解题的关键．
12．
【分析】由代数式
有意义，可得
，再解不等式即可．
解：∵代数式
有意义，
∴
，
解得：
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“被开方数为非负数”是解本题的关键．
13．
【分析】先分别求出
与
的倒数，再进行比较，然后根据倒数大的反而小，即可得出答案．
解：
的倒数是：
，
的倒数是：
，
又
，
故答案为：
．
【点拨】此题考查了实数的大小比较，分母有理化，掌握无理数的大小的比较方法是解题的关键．
14．4
【分析】利用二次根式被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
解：∵
，
∴
，
，
∴
，
将
代入
，
得：
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次根式被开方数的非负性，熟练掌握并灵活运用二次根式被开方数的非负性是解题的关键．
15．
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出
和
的值，然后代入化简求值即可．
解：∵
，
∴
，
解得
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，二次根式的化简和加减运算，根据题意求出
和
的值是解题的关键．
16．6
【分析】先估算
的取值范围，从而求出a，b的值，然后代入计算即可．
解：∵
，
∴
，即
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．
17．
【分析】根据题意可得
，
，再把原式变形为
，再代入，即可求解．
解：∵
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
18．
【分析】根据题中所给方法可直接进行求解．
解：由题意得：
当
时，则
，
当且仅当
时，即
时，
取最小值为
；
故答案为
．
【点拨】本题主要考查二次根式的性质，解题的关键是理解
．
19．
【分析】根据数轴可知
，从而可知
，
，
，再结合二次根式的性质、绝对值的性质进行化简计算即可．
解：由数轴可知：
，
∴
，
，
，，
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和性质、二次根式的加减运算，实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
20．(1)
(2)15
【分析】（1）先开方，再乘除，再加减
（2）先用平方差公式化简，并求出算术平方根，再加减
解：（1）原式=
（2）原式
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算规则和方法技巧是本题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及完全平方公式化简结合二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，正确化简各数是解题关键．
22．（1）8；（2）8
【分析】（1）先计算
与
的值，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）先计算
与
的值，然后根据分式的加法运算化简，再根据完全平方公式变形求值即可求解；
（1）解：∵
，
，
∴
，
∴
＝
；
（2）解：∵
，
，
∴
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
23．(1)
(2)6600元
【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可；
（2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可．
（1）解：长方形
的周长
，
答：长方形
的周长是
；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【点拨】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用分母有理化计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先利用
得到
，两边平方得到
，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）
，
故答案为：
；
（2）解：
；
（3）
，
，
∴
，即
．
∴
．
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式．