专题1.6
二次根式的乘除（巩固篇）
一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列实数中是无理数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．估计
的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
4．若
，则化简
（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
5．若直角三角形的两直角边长分别为
，斜边长为
，则斜边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则
的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设a=
，b=
，用含a，b的式子表示
，则下列表示正确的是（ ）
A．
B．
C．2ab D．
8．已知
，且a>b>0，则
的值为( )
A．
B．±
C．2 D．±2
9．下列说法中正确的是（ ）
A．使式子
有意义的是x＞﹣3
B．使
是正整数的最小整数n是3
C．若正方形的边长为3
cm，则面积为30cm2
D．计算3÷
×
的结果是3
10．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数
称为黄金分割数．设
，
，记
，
，
，…，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．100 D．5050
二、填空题
11．
的倒数是______．
12．已知实数
，则a的倒数为________．
13．若
和
都是最简二次根式，则m+n＝_____．
14．已知最简二次根式
与
的被开方数相同，则a=_________________．
15．不等式
的解集是_________．
16．已知m是
的小数部分，求
＝
___________．
17．如图，若以
米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
18．将1、
、
、
按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.
三、解答题
19．（1）计算：
；（2）计算：
20．比较下列各数的大小
(1)
和
(2)
和
21．计算：
（1）
；
（2）
；
（3）
22．先化简，再求值：
，其中
．
23．观察下面的式子：
，
，
，….
(1)类
比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；
(2)请你将发现的规律用含自然数
的等式表示出来，并给出证明．
24．我们知道：无理数是无限不循环的小数．下面是探究无理数
的大小过程：
因为
，
，所以
；
因为
，
，所以
；
因为
，
，所以
；
因为
，
，所以
；
……
如此进行下去，可以得到
的更加精确的近似值．
（1）请仿照上面的思考过程，请直接写出无理数
的大致范围？（精确到0.01）
（2）填空：①比较大小：
______
（填“>、<或=”）
②若
、
均为正整数，
，
，则
的最小值是______．
（3）现有一块长
，宽为
的长方形木板，要想在这块木板上截出两个面积分别为
和
的正方形木板，张师傅准备采用如图的方式进行，请你帮助分析一下，他的方法可行吗？
参考答案
1．C
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】
、
，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
、
，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
、
是最简二次根式，本选项符合题意；
、
，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：
．
【点拨】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．B
【详解】解：
，
，
，
，
所以
是无理数，其余的都是有理数，
即
是无理数．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键．
3．C
【分析】先根据实数的混合运算化简，再估算
的值即可．
【详解】
＝
=
．
∵3＜
＜4，
∴7＜
＜8
故
的运算结果应在7和8之间．
故选：C．
【点拨】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．
5．C
【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．
【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即
，
∴
．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．
6．D
【分析】根据a和b的值去计算各式是否正确即可．
【详解】A.
，错误；
B.
，错误；
C.
，错误；
D.
，正确；
故答案为：D．
【点拨】本题考查了实数的运算问题，掌握实数运算法则是解题的关键．
7．B
【分析】根据已知求出ab的值，再把要求的式子
化成
，即可求出答案．
【详解】∵a
，b
，∴ab=
，
2×0.1
0.6ab．
故选B．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，把
化成
是本题的关键，是一道基础题．
8．A
【分析】已知a2+b2=6ab，变形可得（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，可以得出（a+b）和（a-b）的值，即可得出答案．
【详解】解：∵a2+b2=6ab，
∴（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，
∵a＞b＞0，
∴a+b=
，a-b=
，
∴
=
，
故选A．
【点拨】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a、b的大小关系以及本身的正负关系．
9．B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【详解】A、使式子
有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；
B、使
是正整数的最小整数n是3，故此选项正确；
C、若正方形的边长为3
cm，则面积为90cm2，故此选项错误；
D、3÷
×
的结果是1，故此选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算，正确掌握相关定义是解题的关键；
10．C
【分析】先计算
，
，
的值，找出规律，然后求解即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【点拨】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．
11．
##
【分析】根据倒数的定义解答即可．
【详解】∵
，
∴
的倒数是
．
故答案为
．
【点拨】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键．
12．
【分析】直接利用倒数的定义结合二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：∵实数
，
∴a的倒数为：
．
故答案为：
．
【点拨】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
13．﹣6．
【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．
【详解】由题意可得：
解得：
∴m+n＝﹣6
故答案：﹣6．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．
14．3
【分析】根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的性质，列方程求解．
【详解】由题意可知
与
是同类二次根式，
∴3b=ab，解得a=3.
故答案为3.
【点拨】本题考查的知识点是最简二次根式，解题的关键是熟练的掌握最简二次根式.
15．
【分析】根据一元一次不等式的解法及二次根式的除法即可求得．
【详解】解：由原不等式得：
解得
故答案为：
．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法及二次根式的化简与除法，熟练掌握和运用一元一次不等式的解法及二次根式的化简与除法是解决本题的关键．
16．2
【分析】根据题意知m=
-1，将所求式子进行通分化简，再将m的值代入即可求解．
【详解】解：由题意，知m=
-1，
=
=
当m=
-1时，原式=
=
=
=
=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的性质．
17．9和10
【分析】先计算17里面有几个
即可求解．
【详解】
，
∵
，
∴
∴这两个相邻整数是9和10．
故答案为：9和10．
【点拨】此题考查了无理数的估算，正确估算出
的大小是解题的关键．
18．
【详解】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：
，
（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4个就是：
，
∴(5，4)与(9，4)表示的两数之积是：
×
=2
．
故答案为2
．
19．（1）8；（2）0
【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；
（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案．
【详解】解：（1）计算：
=
=
=8；
（2）
=
=0．
【点拨】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可；
（2）根据实数比较大小的方法求解即可．
(1)
解：∵
，
∴
；
(2)
解：∵
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
21．（1）
；（2）
；（3）
．
【分析】（1）本题首先需要将二次根式化简，之后进行计算，去括号注意符号变化；
（2）先对二次根式进行化简，去括号利用完全平方公式进行运算在进行合并；
（3）利用平方差公式对括号进行化简，之后针对绝对值，判断绝对值内符号的正负，再去绝对值，之后进行合并运算．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点拨】本题重点考察的是二次根式的混合运算，需要用到简便运算，熟练掌握二次根式的化简及运算方法是解此类题型的关键．
22．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
，
∴当
时，
原式=
=
．
【点拨】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键 ．
23．(1)
，
，
(答案不唯一)；(2)
，证明见解析.
【分析】（1）此题应先观察列举出的式子，再根据式子的特点书写.
（2）先找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可．
【详解】(1)答案不唯一，如
，
，
.
(2)规律：
.
证明：
.
【点拨】本题主要考查学生把特殊归纳到一般的能力及二次根式的化简，解题的关键是仔细观察，找出各式的内在联系解决问题．
24．（1）
；（2）①>；②4；（3）他的方法可行，理由见解析．
【分析】（1）根据题目所给的求
得近似值的方法进行仿照求
得近似值即可；
（2）①将两个数进行平方，平方后再进行比较即可；②要使得
有最小值，只需要求得
和
的最小值，再进行计算即可得到答案；
（3）由题意可知只需要比较
与4.1的大小，
与3的大小即可得到答案.
【详解】解：（1）∵
，
，
∴
；
∵
，
，
∴
；
∵
，
，
∴
，
（2）①∵
，
∴
∴
故答案为：＞.
②∵
，
，
∴
；
∵
且
为正整数
∴a的最小值为3
∵
，
，
∴
∵
且
为正整数
∴b的最小值为1
∴
的最小值为4；
（3）∵两个正方形的面积分别为
、
∴两个正方形的边长分别为
、
∵
，
∴
∴这个方法可行
【点拨】本题主要考查了无理数的估值和比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.