专题
1.7
二次根式的加减（知识讲解）
【学习目标】
1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【要点梳理】
要点一、同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
特别说明：
(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
特别说明：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
要点二、二次根式的加减
1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其
中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
特别说明：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
3)合并同类二次根式.
要点三、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
特别说明：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
【典型例题】
类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化
1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：
，﹣
，
，
，﹣7
．
【答案】
，
，
是同类二次根式；
，
是同类二次根式；
【分析】先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
解：∵
＝
，﹣
＝﹣3
，
＝2
，
＝
，
＝﹣35
，
∴
、﹣
、﹣7
是同类二次根式，
∴
、
是同类二次根式；
【点拨】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
举一反三：
【变式1】若最简二次根式
与
是同类二次根式，求
的值．
【答案】
的值为
【分析】根据最简二次根式，同类二次根式的定义列方程求解即可．
解：∵最简二次根式
与
是同类二次根式，
∴
，
解得
，
答：
的值为
．
【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．
【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：
若最简二次根式
与﹣
是同类二次根式；若二次根式
与﹣
是同类二次根式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；
（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．
解：(1)∵﹣
＝﹣2
，最简二次根式
与﹣
是同类二次根式，
∴3a＝2，
解得
．
(2)∵二次根式
与﹣
是同类二次根式，
∴3a＝2n2，
解得a＝
．
【点拨】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
2．【阅读材料】
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简
．
解：
．
【理解应用】
(1)化简：
①
；
②
．
(2)计算：
．
【答案】(1)①
；②
(2)
【分析】（1）①根据题意分母有理化即可求解；
②根据题意分母有理化即可求解；
（2）根据题意，将每一项都分母有理化，然后根据二次根式的加减进行计算即可求解．
（1）解：①原式
．
②原式
．
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】解不等式：
【答案】
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解．
解：
，
即：
．
【点拨】本题主要考查了求解一元一次不等式的解集和二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
【变式2】计算：
【答案】
【分析】根据根式的运算法则直接计算即可得到答案．
解：
．
【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．
类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算
3．计算：
．
【答案】
【分析】先计算开方，化简绝对值，再合并同类二次根式即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则，二次根式的加减运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：
【答案】
【分析】先根据二次根式性质化简，再结合去括号法则及二次根式混合运算逐步计算，最后合并同类二次根式即可得到答案．
解：
．
【点拨】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、去括号法则、二次根式加减乘除运算法则及合并同类二次根式等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
【变式2】计算：
；(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减法即可．
（1）解：
原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，求绝对值，熟练掌握实数的混合运算和二次根式的混合运算法则是解题的关键．
类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算
4．计算下列各式．
；
．
【答案】(1)6 ； (2)1.
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：
．
【答案】3
【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式2】计算：
；(2)
．
【答案】(1)
;
(2)
.
【分析】（1）根据实数的混合运算法则，先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减；
（2）根据二次根式的混合运算法则，先计算乘方、乘法，再计算加法．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式、算术平方根、立方根、绝对值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式、算术平方根、立方根、绝对值、完全平方公式是解决本题的关键．
类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值
5．解答下列各题
已知
，
．求
的值．若
，求
的平方根．
【答案】(1)
;
(2)
.
【分析】（1）分别求出
，再代入到代数式求值即可；
（1）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，求出
的值，然后代值求解即可．
（1）解：
，
∴
，
，
∴
；
（2）解：
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式的性质，以及二次根式的运算法则，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知
，
，求代数式
的值．
【答案】2015
【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案．
解：∵x
，
y
，
．
【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．
【变式2】已知
，
，则
______；
______；
______．根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子
的值．
【答案】(1)
；
；
(2)
.
【分析】（1）根据二次根式的加减法计算
和
的值，利用平方差公式计算
的值；
（2）先根据完全平方公式变形得出原式
，然后再利用整体代入法计算．
（1）解：∵
，
，
∴
，
，
．
故答案为：
；
；
（2）原式
，
把
，
代入，可得：
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．
类型五、二次根式➽➼应用
6．阅读材料并回答问题
肖博睿同学发现如下正确结论：
材料一：
若
，则
；若
，则
；若
，则
；
材料二：
完全平方公式：（1）
；（2）
．
比较大小：
___________
；
___________
；试比较
与
的大小（写出相应的解答过程）．
【答案】(1)
(2)
，
(3)
，过程见分析
【分析】（1）根据作差法，判定
的符号，结合材料一中的规则即可得到答案；
（2）根据所给式子，结合完全平方式的结构特征即可得到
；
（3）根据作差法，判定
的符号，根据材料二完全平方公式变形，根据平方的非负性确定符号，再结合材料一中的规则即可得到答案．
（1）解：
，
又
，即
，
，即
；
（2）解：根据题意，
；
（3）解：
，
又
，
，即
．
【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，涉及二次根式加减运算、去括号法则、整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】设一个三角形的三边分别为a，b，c，p=
（a+b+c），则有下列面积公式：S=
（海伦公式）；S=
（秦九韶公式）．
一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
一个三角形的三边长依次为
，
，
，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先求出
，再由海伦公式计算即可；
（2）先求出
，
，
，再由秦九韶公式计算即可．
解：（1）∵一个三角形的三边长依次为3，5，6，
∴
，
由海伦公式得：
；
（2）∵
，
，
，
∴
，
，
，
由秦九韶公式得：
．
【点拨】本题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式；熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
【变式2】某居民小区有一块形状为长方形
的绿地，长方形绿地的长
为
，宽
为
，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为
，宽为
．
长方形
的周长是多少？除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为
的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长方形
的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
（1）解：∵长方形的长
为
，宽
为
，
∴长方形
的周长为：
．
答：长方形
的周长是
．
（2）由题意，知
（元）．
答：购买地砖需要花费
元．
【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．