专题1.5 二次根式的乘除（基础篇）

一、单选题

1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．若 与最简二次根式 能合并，则m的值为（    ）

A．7 B．9 C．2 D．1

3．已知二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　）

A．23 B．21 C．15 D．5

4．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知 ，则代数式 的值是（    ）

A． B． C． D．

6．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．墨迹覆盖了等式“ ”中的运算符号，则覆盖的是（    ）

A．＋ B．－ C．× D．÷

8．在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中 代表的实数为（   ）

A． B． C． D．

9．下列计算正确的是(      )

A． B．

C． D．

10．计算： （　　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若 是最简二次根式，则自然数 _________．

12．化简： ________．

13．在平面直角坐标系中，点 与 关于y轴对称，则 ___________．

14． 的面积 ，底边 ，则底边上的高为______ .

15．有一个密码系统，其原理如下面的框图所示，当输出的值为 时，输入的 ______．

16．若三个正数a，b，c满足a+4 +3b﹣2 ﹣c＝0，则 的值是_____．

17．已知 ，则 的值是_____

18．把 的根号外因式移到根号内得____________．

三、解答题

19．计算：

(1) ； (2) ．

20．计算题．

(1) ； (2)

(3) ； (4)

21．先化简，再求值： ，其中 ， ．

22．已知 的整数部分是a，小数部分是b，那么 的值是多少？

23．图中的小正方形边长为1， 的三个顶点都在小正方形上，求：

（1）三角形ABC的面积；

（2）求三角形ABC边AB上的高CD的长．

24．探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）2 =

验证：2 = × =

=

= =

（2）3 =

验证：3 = × = =

= =

同理可得：4

5 ，……

通过上述探究你能猜测出： a =_______（a>0）,并验证你的结论．

参考答案

1．A

【分析】根据最简二次根式的定义化简判断即可．

【详解】因为 是最简二次根式，

A符合题意；

因为 ，不是最简二次根式，

B不符合题意；

因为 ，不是最简二次根式，

C不符合题意；

因为 ，不是最简二次根式，

D不符合题意；

故选A．

【点拨】本题考查了最简二次根式就被开方数中不含有开方不尽的因数或因式，熟练掌握定义是解题的关键．

2．D

【分析】先将 化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．

【详解】解： ，

与最简二次根式 能合并，

，

解得 ，

故选：D．

【点拨】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．

3．D

【分析】由 ，且与 是同类二次根式知23﹣a＝2n²，分别取n＝1、2、3即可得答案．

【详解】解：∵ ，且与 是同类二次根式，

∴23﹣a＝2时，a＝21；

23﹣a＝8时，a＝15；

23﹣a＝18时，a＝5；

23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；

∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．

∴a的最小值为5．

故选D．

【点拨】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．

4．B

【分析】根据二次根式的化简，二次根式的乘法分别计算并判断．

【详解】解： 与 不是同类项，故不能合并，故选项A不正确；

，故选项B正确；

，故选项C不正确；

，故选项D不正确；

故选：B．

【点拨】此题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法，熟记各计算法则是解题的关键．

5．C

【分析】现将多项式化简，然后代入求解即可．

【详解】解： ，

当 时，

原式

，

故选：C．

【点拨】题目主要考查整式的化简求值及完全平方公式与二次根式的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．

6．C

【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得解．

【详解】A. ，A选项错误；

B. ，B选项错误；

C. ，C选项正确；

D. ，D选项错误．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．

7．D

【分析】根据二次根式的除法运算法则即可得出答案．

【详解】∵ ，

∴墨迹覆盖的运算符号是“ ”，

故选：D．

【点拨】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握和运用二次根式的除法法则是解决本题的关键．

8．B

【分析】根据第一行和第三行列式进行计算即可得．

【详解】解：由题意得： ，

故选：B．

【点拨】本题考查了二次根式的乘法与除法的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键．

9．D

【分析】根据二次根式的性质和运算法则进行排除即可．

【详解】解：A. ，故A选项错误；

B. , 故B选项错误；;；

C. ，故C选项错误；

D. ,正确；

故选D．

【点拨】本题考查了二次根式的性质和运算法则,掌握二次根式的相关知识是解答本题的关键．

10．A

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可．

【详解】原式 ．

故选：A

【点拨】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．

11．0

【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．

【详解】解：∵ 是最简二次根式，

∴1+n=1或1+n=0，

解得：n=0或n=-1(舍去)，

∴自然数n=0，

故答案为：0．

【点拨】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．

12． ##

【分析】根据 ，再化简即可．

【详解】解： ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查的是商的算术平方根，掌握“商的算术平方根的化简”是解本题的关键．

13．

【分析】根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得出a和b的值，将a和b的值代入即可求解．

【详解】解：∵点 与 关于y轴对称，

∴ ， ，

∴ ，

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的特征以及求一个数的算数平方根，解题的关键是掌握关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数．

14．

【分析】设 底边上的高为h，根据三角形的面积公式 列方程求解即可．

【详解】解：设 底边上的高为h，根据题意，得 ，

解得： ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查解一元一次方程、二次根式的除法运算、三角形的面积公式，正确计算是解答的关键．

15． ##

【分析】根据框图得出方程 ，解方程即可．

【详解】解：由题意得： ，

两边同时乘以 得： ，

右边计算得： ，

移项得： ，

∴当输出为 时，则输入的 ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查一元一次方程的应用，二次根式的乘除法，读懂框图，正确列出方程是解答的关键．

16．

【详解】根据完全平方公式进行添加减项将原式凑成完全平方公式，即可得出答案正数．

【解答】解：a+4 +3b﹣2 ﹣c＝0，

，

，

∵a，b，c是正数，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

故答案为：1．

【点拨】本题考查完全平方公式的应用，掌握配方法，和完全平方公式是解题关键．

17．

【分析】先将x²−y²因式分解为(x+y)(x-y)，然后将 代入求值即可．

【详解】解：x²−y²=(x+y)(x-y)

将 代入得：原式=

=

=

=

故答案为： ．

【点拨】本题考查了因式分解和二次根式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法（平方差公式）和二次根式的运算法则是解题关键．

18．

【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．

【详解】解： ，

；

故答案为：

【点拨】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可；

（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可．

【详解】（1）

；

（2）

．

【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式的乘法和除法运算法则是解答本题的关键．

20．(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减法法则即可求解；

（2）运用乘法分配律将括号去掉，再根据二次根式的乘法法则，化简即可求解；

（3）运用完全平方公式展开，再根据实数加减法法则即可求解；

（4）先将分子化简，合并同类项，约分即可求解．

【详解】（1）解：

．

（2）解：

．

（3）解：

．

（4）解：

．

【点拨】本题主要考查实数的混合运算，乘法公式的运用，掌握二次根式的化简，合并同类项，约分化简是解题的关键．

21． ，

【分析】根据分式的四则运算进行化简，然后代入求值即可．

【详解】解：

，

将 ， 代入得，原式 ．

【点拨】此题考查了分式的化简求值，涉及了分式的四则运算，完全平方公式，平方差公式，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．

22．5

【分析】先估算出 的取值范围，进而可得出a、b的值，代入代数式进行计算即可．

【详解】∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ．

【点拨】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．

23．（1） ；（2） ．

【分析】（1）利用割补法，把 的面积转化为图形面积之差可得答案；

（2）根据勾股定理先求解 ，再利用面积法求解AB上的高CD即可．

【详解】解：（1）

（2）如图，过 作 于

，

【点拨】本题考查的是利用割补法求网格三角形的面积，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 考查利用面积法求三角形的高，掌握以上知识是解题的关键．

24．a =    

【详解】试题分析：观察题中的式子，找出它们规律.然后根据二次根式的运算法则进行验证即可.

试题解析：